Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng : Luận văn ThS. Toán học: 60 46 01 06

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– NƠNG NGỌC LAM MƠ HÌNH HĨA RỦI RO TÍN DỤNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN —————————————– NƠNG NGỌC LAM MƠ HÌNH HĨA RỦI RO TÍN DỤNG VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SỸ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 0106 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS.TRẦN TRỌNG NGUYÊN Hà Nội - 2014 LỜI NÓI ĐẦU Lý chọn đề tài: Rủi ro tín dụng ngôn từ thường sử dụng hoạt động cho vay ngân hàng thị trường tài Đó khả khơng chi trả nợ (cả gốc lãi)của người vay người cho vay đến hạn phải tốn Thơng thường người cho vay phải chịu rủi ro chấp nhận hợp đồng cho vay tín dụng Bất kỳ hợp đồng cho vay có rủi ro tín dụng Mức độ rủi ro tín dụng cao hay thấp phụ thuộc vào nhiều yếu tố khách quan chủ quan mục đích vay vốn hoạt động người vay vốn Đối với rủi ro tín dụng mức độ thiệt hại lượng hóa phụ thuộc vào hai nhân tố: - Xác suất xảy rủi ro tín dụng - Tổn thất xảy kiện tín dụng Thơng tin thị trường đóng vai trị quan trọng việc xác định giá phái sinh tín dụng, hiểu biết thị trường làm suy yếu khả nhà đầu tư để dự đoán diễn biến thị trường phí bảo hiểm tăng thêm phụ thuộc thiếu hiểu biết Chính vậy, tơi lựa chọn mơ hình hóa rủi ro tín dụng ứng dụng để làm đề tài nghiên cứu luận văn Mục đích nghiên cứu Trọng tâm luận văn này, tìm hiểu hai phương pháp để phân tích tín dụng: mơ hình dạng cấu trúc (structural models) mơ hình dạng rút gọn (Reduced from models) ứng dụng để định giá CDS, CDO tín dụng phái sinh khác Ngồi ra, xem xét hai phương pháp điều kiện thơng tin khơng đầy đủ, việc kết hợp hai phương pháp structural models Reduced form models giúp khắc phục hạn chế lựa chọn đặc tính tốt hai phương pháp: - Tính kinh tế hấp dẫn trực quan phương pháp cấu trúc - Tính dễ sử dụng phù hợp thực nghiệm phương pháp dạng rút gọn Cấu trúc luận văn Luận văn gồm phần sau Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Đưa số khái niệm trái phiếu, số đặc điểm chung trái phiếu, khái niệm Arbitrage, độ đo xác suất trung hòa rủi ro, khái niệm chênh lệch tín dụng, CDS, CDO số kiến thức giải tích ngẫu nhiên Chương 2: Mơ hình hóa rủi ro tín dụng ứng dụng: Giới thiệu hai mơ hình dạng cấu trúc dạng rút gọn; ứng dụng định giá CDS, CDO tín dụng phái sinh khác Chương 3: Các mơ hình tín dụng với thơng tin khơng đầy đủ Xem xét hai mơ hình điều kiện thơng tin khơng đầy đủ, định giá chênh lệch tín dụng trái phiếu ước lượng mô hình LỜI CẢM ƠN Luận văn hồn thành hướng dẫn, bảo tận tình TS Trần Trọng Nguyên- trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội Thầy dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới thầy giáo Khoa Tốn- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội trực tiếp giảng dạy tạo điều kiện thuận lợi cho tơi suốt q trình học tập Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, giúp đỡ tơi hồn thành luận văn Hà Nội, Tháng 12 năm 2013 Mục lục Lời nói đầu 1 Kiến thức chuẩn bị 1.1 Một số khái niệm liên quan đến trái phiếu 1.1.1 Khái niệm trái phiếu 1.1.2 Một số đặc điểm chung trái phiếu 1.2 Độ chênh thị giá định giá trung hòa rủi ro 1.3 Chênh lệch tín dụng, CDS, CDO 1.4 Một số kiến thức giải tích ngẫu nhiên 12 1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên 12 1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên 16 Mơ hình hóa rủi ro tín dụng ứng dụng 2.1 19 Các mơ hình tín dụng dạng cấu trúc (Structural models) 20 2.1.1 Rủi ro đối tượng đơn 20 2.1.2 Phương pháp Copula cho rủi ro tương quan 2.1.3 22 Các mơ hình nhân tố vỡ nợ 24 2.1.4 Định giá hốn đổi rủi ro tín dụng 2.1.5 Chênh lệch tín dụng trái phiếu rủi ro 30 2.1.6 Định giá đợt toán nợ chấp 27 32 2.2 Các mơ hình tín dụng dạng rút gọn (Reduced form models) 2.2.1 Các mơ hình dựa cường độ 35 2.2.2 Mơ hình cường độ trình affine 37 2.2.3 Định giá trái phiếu rủi ro 41 2.2.4 Mơ hình tương quan rủi ro 46 2.2.5 Định giá hoán đổi rủi ro tín dụng 2.2.6 Định giá lại lớp CDO 51 49 Các mơ hình tín dụng với thơng tin khơng đầy đủ 3.1 55 Mơ hình cấu trúc với thơng tin khơng đầy đủ 55 3.1.1 Sự quan sát đơn lọc không đầy đủ 56 3.1.2 Sự quan sát nhiều thời điểm 58 3.1.3 Định giá với thông tin không đầy đủ 59 3.2 3.3 35 Các mơ hình dạng rút gọn với thơng tin khơng đầy đủ 60 3.2.1 Quá trình xu hướng 3.2.2 Mối liên hệ với mơ hình cấu trúc 62 3.2.3 Định giá theo thông tin không đầy đủ 64 Các phương pháp ước lượng 60 65 3.3.1 Ước lượng mơ hình cấu trúc 65 3.3.2 Ước lượng mơ hình dạng rút gọn 66 Kết luận 72 Phụ lục 72 Tài liệu tham khảo 77 Chương Kiến thức chuẩn bị Trước tìm hiểu mơ hình để phân tích tín dụng, cần nắm số kiến thức trái phiếu, hai phái sinh tín dụng phổ biến hợp đồng hốn đổi tín dụng (CDS) nghĩa vụ nợ chấp (CDO) 1.1 1.1.1 Một số khái niệm liên quan đến trái phiếu Khái niệm trái phiếu Trái phiếu (bond) loại chứng khoán, loại hợp đồng quy định người phát hành trái phiếu có nghĩa vụ phải hồn trả cho người chủ sở hữu trái phiếu (trái chủ) khoản tiền định, bao gồm gốc lãi thời điểm ấn định trước hợp đồng Có thể coi trái phiếu loại hợp đồng vay chủ thể phát hành trái chủ 1.1.2 Một số đặc điểm chung trái phiếu (a) Coupon trái phiếu Khoản lãi định kỳ trái chủ lĩnh gọi coupon trái phiếu Trái phiếu khơng trả lãi định kỳ (khơng có coupon) gọi " trái phiếu zero coupon " (Gọi tắt "trái phiếu zero") Trái phiếu zero coupon có coupon cố định khơng có điều kiện kèm theo gọi trái phiếu đơn giản (Straight, Vanilla, Bullet Bond) (b) Lãi suất coupon Lãi suất coupon (lãi suất cuống phiếu- coupon rate) trái phiếu mức lãi suất (tính theo mệnh giá) mà người phát hành trả định kì Lãi suất coupon cố định thay đổi theo điều kiện thỏa thuận trước (c) Mệnh giá trái phiếu Mệnh giá trái phiếu (Face value, Par value, Nomial value) số tiền ghi trái phiếu trả cho trái chủ đáo hạn Như coi mệnh giá trái phiếu khoản tiền gốc trái chủ cho chủ thể phát hành trái phiếu vay (d) Kỳ hạn trái phiếu Kỳ hạn trái phiếu (Maturity, Redemption) khoảng thời gian mà thời điểm cuối (Thời điểm đáo hạn) hợp đồng cho vay chấm dứt Tại thời điểm người phát hành trái phiếu thu hồi trái phiếu toán gốc lẫn lãi cho trái chủ Kỳ hạn trái phiếu thường tính theo năm Hầu hết trái phiếu có kỳ hạn hữu hạn Một số có kỳ hạn vơ hạn, gọi "trái phiếu vĩnh cửu ", (" trái phiếu Consol") (e) Lợi tức trái phiếu Để đo lường khả sinh lời trái phiếu người ta sử dụng thước đo gọi " lợi tức " trái phiếu (Yields) Trên thị trường trái phiếu thay niêm yết giá, người ta thường thông báo lợi tức trái phiếu lợi tức thường tính cho kỳ hạn năm Có nhiều loại lợi tức trái phiếu, tùy thuộc vào mục đích sử dụng mà ta chọn loại lợi tức phù hợp (như lợi tức danh nghĩa, lợi tức hành, lợi tức đáo hạn, lợi tức đáo hạn sớm, ) 1.2 Độ chênh thị giá định giá trung hòa rủi ro Trong mục này, để định giá sản phẩm tài chính, ta cố định khơng gian xác suất đầy đủ (Ω, F, P) lọc {Gt : t ≥ 0} σ đại số F mà biểu thị thơng tin nhà đầu tư Giả sử kí hiệu P độ đo xác suất tự nhiên quan sát từ thị trường tài Dưới định nghĩa nhận xét, mà tìm thấy chứng minh sách tài chính,ví dụ: Duffie ( 2001) Dynamic Asset Pricing Theory, Third Edition Princeton University Presss Định nghĩa 1.1 Arbitrage (Ac-bit) Một arbitrage chiến lược đầu tư mà với vốn đầu tư không thời điểm đạt lợi nhuận ròng lớn không với xác suất dương Định nghĩa 1.2 (Độ đo trung hòa rủi ro) Độ đo xác suất Q gọi độ đo trung hòa rủi ro cho trình giá X, X martingale theo Q (Q- martingale) Định nghĩa 1.3 (Quá trình lãi suất ngắn hạn) Quá trình lãi suất ngắn hạn r trình mà với vốn đầu tư ban đầu la thu lại e t rs ds đô la thời điểm t Chú ý 1.1 Với giả thiết khơng có độ chênh thị giá, đầu tư thời 3.2.3 Định giá theo thông tin không đầy đủ Theo định nghĩa q trình xu hướng (Trend process), Đó tự nhiên để xem xét thay trình cường độ λt với dAt , cường độ xuất cơng thức tính giá Ví dụ, giả định lãi suất phi rủi ro không đổi, giá trị thị trường thời điểm t trái phiếu zero đáo hạn thời điểm T với mệnh giá giá trị thu hồi là: e−r(T −t) EtQ (e− T t dAs ) = e−r(T −t) EtQ (eAt −AT ) Khi chênh lệch tín dụng trái phiếu cho bởi: AT − At S(t, T ) = T −t Với phục hồi phân đoạn ( Fractional recovery )R = lS− ngày đáo hạn, l số, có giá thị trường thời điểm t trái phiếu zero cho bởi: e−r(T −t) EtQ (e− T t (1−l)dAs ) = e−r(T −t) EtQ (e(1−l)(At −AT ) ) Do chênh lệch tín dụng trái phiếu cho bởi: (1 − l)(AT − At ) S(t, T ) = T −t Tất nhiên đề án mở rộng để định giá sản phẩm khác Tuy nhiên, hấp dẫn mặt lý thuyết , tính tốn cần thiết để có A tương đương với u cầu phải tính tốn mơ hình dạng rút gọn mà chúng tơi thay vào 64 λs ds ve 7.jpg Hình 3.1: Đường xác suất sống sót rủi ro trung tính chênh lệch tín dụng trái phiếu zero với mệnh giá thu hồi 0, theo thông tin không đầy đủ rào cản rủi ro, tỷ lệ lãi suất phi rủi ro 5% 3.3 Các phương pháp ước lượng 3.3.1 Ước lượng mơ hình cấu trúc Trong mơ hình cấu trúc, tham số quan trọng để ước lượng σ , µ khơng xuất cơng thức định giá rủi ro trung tính, quan tâm Theo thiết lập đầu tiên, trình tài sản-log(log- asset process) vt −log(Vt ) đối tượng chuyển động Brown với độ dịch chuyển m = (µ − 1/2σ ) mức tỷ lệ σ hoặc: vt = v0 + mt + Bt Trung bình phương sai vt+1 với điều kiện vt là: E(vt+1 |vt ) = vt + m V ar(vt+1 |vt ) = σ log- hàm hợp lý : 65 (vt − vt−1 − m)2 l(µ, σ ; v) = −1/2 log(2π) + log(σ ) + σ2 ước lượng hợp lý cực đại cho m σ là: vN − v0 VN m ˆ = = log N N V0 N σ ˆ2 = ˆ t=1 (vt − vt−1 − m) N đó, phương pháp hợp lý cực đại đáng tin cậy dễ dàng tính N t=1 toán Một cách khác sử dụng tính chất dễ thay đổi từ sản phẩm giao dịch dựa tài sản đối tượng Ví dụ, quan sát chênh lệch tín dụng cho trái phiếu phát hành từ đối tượng, tham số (µ, σ ) lựa chọn cho giá thị trường sản phẩm phù hợp với công thức giá mở rộng theo mơ hình cấu trúc 3.3.2 Ước lượng mơ hình dạng rút gọn Cho mơ hình dạng rút gọn theo cường độ dựa thiết lập affine, thơng số quan trọng cần phải ước tính từ mơ hình affine, mà sử dụng đầu vào cho Riccati ODE để tính tốn hệ số khác α β đề cập trước Nếu phân phối đồng thời biến biết, ước lượng hợp lý cực đại nên xét đến Ví dụ 3.2 Cho mơ hình CIR (16), mật độ có điều kiện Xt+1 Xt là: vt+1 2κ e−ut −vt +1 f (xt+1 |xt ; ξ) = −κ c (1 − e ) ut 66 q/2 Iq 2(ut vt+1 )1/2 đó: 2κ.e−κ xt ut = c (1 − e−κ ) 2κ vt+1 = xt+1 c (1 − e−κ ) q = 2κθ/c2 − Và Iq hàm Bessel bị biến đổi loại thứ bậc q Khi đó, phân phối có điều kiện Xt+1 Xt phân phối χ22q+2 (2ut ) Hàm log- likehood viết bởi: l(ξ; x) = T t=1 log(f (xt+1 |xt ; ξ)) ước lượng ξˆ giải điều kiện đầu tiên: ∂l(ξ; x) =0 ∂ξj Nói chung, khơng có tiện lợi việc có phân bố đồng thời xác dãy bản, trường hợp viết phân phối chung ra, GMM Tựa hợp lý (Quasi-likehood) áp dụng Cho chuỗi affine X, biến đổi Laplace điều kiện nó: ft,s (u) = EtQ (eu.Xs dễ dàng tính tốn phương trình Riccati tổng qt, tính tốn moment điều kiện cách đưa dẫn xuất f điều kiện kỹ thuật Sau đủ để phát triển quy trình ước lượng (tiệm cận) giải hạn chế moment có điều kiện Phương pháp hoạt động theo thiết lập afin rời rạc Cụ thể, xem xét giới hạn moment có điều kiện sau đây: EtQ [h(Xt+s ; ξ] = 67 Trong ξ véc tơ thông số cần ước lượng, h hàm M chiều Nếu h(x; θ) = xn , (27) xác định giới hạn moment điều kiện thứ -n Như thấy, h hàm linh hoạt Ví dụ 3.3 Cho mơ hình CIR (16), theo cơng thức I-tơ ta có: EtQ (Xt+s ) = Xt e−sκ + θ(1 − e−sκ ) V artQ (Xt+s ) = Xt cκ (e−sκ −e −2sκ σ2 ) + θ (1 − e−sκ )2 2κ Từ (27) EtQ [h(Xt+s ; ξ] = 0, đưa định nghĩa phương pháp tổng quát ước lượng Moments ξ : Định nghĩa 3.2 Công thức tổng quát ước lượng Moment (Generalized Method of Moments-GMM) Công thức tổng quát ước lượng Moment ξ với kỳ vọng có điều kiện E Q [h(Xt ; ξ)] = đưa ξ ∗ mà: HT (θ) = T T t=1 h(Xt ; ξ) =0 Nếu hàm h M>1 chiều, đưa N × M (N < M ma trận At hạng đầy đủ mà At ∈ Gt Khi EtQ [h(Xt+s ; ξ)] = kéo theo: EtQ [At h(Xt+s ; ξ)] = "The GMM with instrumental matrix" At cho θ∗ mà giải : T HT (θ; A) = At h(Xt+s ; ξ) = T t=1 T T Trong thực hành, dạng hàm h(X ; ξ) At h(Xt+s ; ξ) T T t=1 T t=1 chưa biết, để giải phương trình khơng tuyến tính, cần hàm giải (solver function) để tìm kiếm lời giải Nếu đối diện với hàm đa trị phương pháp tối ưu hóa số thuật tốn di truyền mơ An-nealing, số cách 68 khác nhau, nên áp dụng Một trường hợp đặc biệt ước lượng GMM ước lượng" Quasi- Maximum Likehood " (Tựa hợp lý cực đại), mà tiến hành sau Theo thiết lập affine X, tính tốn trung bình điều kiện mt = EtQ (Xt+1 phương sai vt2 = V artQ (Xt+1 ) cách giải trực tiếp ODE sử dụng điều kiện biến đổi Laplace Khi đó, giả sử phân phối điều kiện Xt+1 |Xt chuẩn, hàm log- likehood cho : T −1 (Xt+1 − mt )2 + log(vt2 ) + const l(ξ; X) = − t=1 2 vt ∗∗ Khi đó, ước lượng Quasi-ML ξ giải hệ điều kiện đầu : ∂l(ξ; X) =0 ∂ξj Nếu dạng l(ξ, X) đầy đủ, chương trình số để tìm kiếm cực tiểu tồn cục khơng gian tham số M chiều cần thiết Một lần nữa, công thức tối ưu hóa số sử dụng Các lý thuyết hiệu tiệm cận ước lượng Quasi-ML tìm thấy Hansen (1982) Ví dụ 3.4 Đối với cơng thức cho (28), tính tốn ước lượng Quasi-ML cho mơ hình CIR lãi suất Libor tháng sử dụng liệu hàng tuần Đưa giá trị mở đầu (k0 , θ0 , σ0 ) = (0.01, 0.01, 0.01), sử dụng hàm MATLAB để tìm thiết lập tối ưu thơng số để cực tiểu hóa ˆ cˆ) = (0.0186, 0.0076, 0.0279) −l(κ, θ, σ, x) Chương trình hội tụ đến ξˆ = (ˆ κ, θ, nói mức độ nghịch đảo trung bình θˆ = 0.0076 Hơn nữa, biến động biến động tham số cˆ ước lượng 0.0279 lớn nhiều so với độ lệch chuẩn mẫu 0.0074 Đây tạo nên chứng 69 mẫu có phương sai thực phụ thuộc vào biến ngẫu nhiên khác lãi suất Libor tháng Hơn nữa, tỷ lệ ước lượng trung bình nghịch đảo κ ˆ 0.0186 70 KẾT LUẬN Trong luận văn này, nghiên cứu hai mơ hình định lượng để phân tích tín dụng: mơ hình dạng cấu trúc mơ hình dạng rút gọn, ứng dụng chúng đo lường rủi ro định giá phái sinh tín dụng CDS, CDO Mơ hình cấu trúc dựa mơ hình Merton (1974) (hoặc phần mở rộng nó), đó, cơng ty vỡ nợ giá trị tài sản xuống mức định Các mơ hình cấu trúc thường địi hỏi phải tính tốn phân phối đồng thời chuyển động Brown Cầu Brown với vận hành cực đại (" running maximum) (cực tiểu)( minimum)" Trong trường hợp thị trường có phụ thuộc phi tuyến với nhau, phương pháp copula trở thành cơng cụ quan trọng tốn nghiên cứu tương quan thị trường, đo lường rủi ro danh mục đầu tư nhiều toán liên quan khác Tuy nhiên, phương pháp cấu trúc có hạn chế chúng khó xác định độ xác CDS, CDO liệu trái phiếu cơng ty, tính tốn nhiều thời gian Các mơ hình dạng rút gọn có tiện lợi việc kết hợp với lý thuyết đẹp q trình Afine, theo đó, xác suất sống sót dễ dàng tính tốn cách giải tập hợp nghiệm phương trình Ricati Trong điều kiện thơng tin khơng đầy đủ, việc kết hợp hai phương pháp structural models Reduced form models giúp khắc phục hạn chế lựa chọn đặc tính tốt hai phương pháp: - Tính kinh tế hấp dẫn trực quan phương pháp cấu trúc 71 - Tính dễ sử dụng phù hợp thực nghiệm phương pháp dạng rút gọn Ước tính thực nghiệm tham số mơ hình tín dụng quan trọng cho mục đích thực tế Bất có thể, ước lượng hợp lý cực đại luôn lựa chọn tốt có tính chất mẫu lớn Ví dụ, ước lượng hợp lý cực đại ( ML) tiệm cận hiệu điều kiện kỹ thuật thường thỏa mãn Trong điều kiện, nơi mà suy phân bố đồng thời dãy điều kiện bậc ước lượng ML khó để thiết lập, chúng tơi dựa ước lượng tham số moment (GMM) mà Quasi-ML trường hợp đặc biệt, mà chứng minh hiệu điều kiện kỹ thuật Đối với họ afin động lực học, Quasi-ML ln ln khả thi moment dãy dễ dàng tính tốn Nhờ đời mơ hình tài sản động Black, Merton Scholes phổ biến tảng xác suất chuyển động Brown, lý thuyết martingale, biến đổi affine, nhiều sản phẩm tín dụng mơ hình hóa với giải pháp rõ ràng cho giá chúng mà không cần làm mô Monte Carlo Sử dụng phổ biến gói phần mềm máy tính cho phép người sử dụng giải hệ phương trình điều kiện bậc đồng thời cho vấn đề tối ưu hóa, vậy, có cơng cụ tốt để đo lường rủi ro định giá sản phẩm tín dụng 72 PHỤ LỤC MỘT SỐ CODE MATHLAB *Phụ lục 1: Đường xác suất sống sót theo mơ hình Vasicek (trái) Mơ hình CIR (phải) >> t = : : 10; k = 0.1; th = 0.015; s = 0.03; b = (1./k) ∗ (exp(−k ∗ t) − 1); a = ((s2 )./(2 ∗ k)) ∗ (t + (4 ∗ exp(−k ∗ t) − exp(−2 ∗ k ∗ t) − 3)./(2 ∗ k)) − th ∗ (t + (exp(−k ∗ t) − 1)./(k)); mu = exp(a + b ∗ 0.01); plot(t, mu); t = : : 10; k = 0.1; th = 0.015; s1 = 0.04; b = (1./k) ∗ (exp(−k ∗ t) − 1); a1 = ((s12 )./(2 ∗ k)) ∗ (t + (4 ∗ exp(−k ∗ t) − exp(−2 ∗ k ∗ t) − 3)./(2 ∗ k)) − th ∗ (t + (exp(−k ∗ t) − 1)./(k)); mu1 = exp(a1 + b ∗ 0.01); plot(t, mu, −b , t, mu1, −r ); t = : : 10; k = 0.1; 73 th = 0.015; s2 = 0.05; b = (1./k) ∗ (exp(−k ∗ t) − 1); a2 = ((s22 )./(2 ∗ k)) ∗ (t + (4 ∗ exp(−k ∗ t) − exp(−2 ∗ k ∗ t) − 3)./(2 ∗ k)) − th ∗ (t + (exp(−k ∗ t) − 1)./(k)); mu2 = exp(a2 + b ∗ 0.01); plot(t, mu, −b , t, mu1, − − r , t, mu2, − − g ); subplot(1, 2, 2); x = : : 10; k = 0.1; h = 0.015; c = 0.03; g = sqrt(k + ∗ c2 ); y = ((2 ∗ k ∗ h)./(c2 )) ∗ log10((2 ∗ g ∗ exp((g + k) ∗ x./2))./((g + k) ∗ (exp(g ∗ x) − 1) + ∗ g)); z = ∗ (1 − exp(g ∗ x))./((g + k) ∗ (exp(g ∗ x) − 1) + ∗ g); f = exp(y + z ∗ 0.01); plot(x, f, − − r ); c1 = 0.04; g1 = sqrt(k + ∗ c12 ); y1 = ((2 ∗ k ∗ h)./(c12 )) ∗ log10((2 ∗ g1 ∗ exp((g1 + k) ∗ x./2))./((g1 + k) ∗ (exp(g1 ∗ x) − 1) + ∗ g1)); z1 = ∗ (1 − exp(g1 ∗ x))./((g1 + k) ∗ (exp(g1 ∗ x) − 1) + ∗ g1); f = exp(y1 + z1 ∗ 0.01); 74 plot(x, f, −b , x, f 1, − − r ); c2 = 0.05; g2 = sqrt(k + ∗ c22 ); y2 = ((2 ∗ k ∗ h)./(c22 )) ∗ log10((2 ∗ g2 ∗ exp((g2 + k) ∗ x./2))./((g2 + k) ∗ (exp(g2 ∗ x) − 1) + ∗ g2)); z2 = ∗ (1 − exp(g2 ∗ x))./((g2 + k) ∗ (exp(g2 ∗ x) − 1) + ∗ g2); f = exp(y2 + z2 ∗ 0.01); plot(x, f, −b , x, f 1, − − r , x, f 2, − − g ); subplot(1, 2, 1); >> * Kết quả: mo hinh LV1.jpg * Phụ lục 2: Chênh lệch tín dụng theo hai mơ hình theo mơ hình Vasicek (trai ) mơ hình CIR (phải): t = 0.1 : : 10.1; k = 0.1; th = 0.015; s = 0.03; b = (1./k) ∗ (exp(−k ∗ t) − 1); a = ((s2 )./(2 ∗ k)) ∗ (t + (4 ∗ exp(−k ∗ t) − exp(−2 ∗ k ∗ t) − 3)./(2 ∗ k)) − 75 th ∗ (t + (exp(−k ∗ t) − 1)./(k)); mu = ((−1)./t) ∗ (a + b ∗ 0.01); s1 = 0.04; b = (1./k) ∗ (exp(−k ∗ t) − 1); a1 = ((s12 )./(2 ∗ k)) ∗ (t + (4 ∗ exp(−k ∗ t) − exp(−2 ∗ k ∗ t) − 3)./(2 ∗ k)) − th ∗ (t + (exp(−k ∗ t) − 1)./(k)); mu1 = ((−1)./t) ∗ (a1 + b ∗ 0.01); s2 = 0.05; b = (1./k) ∗ (exp(−k ∗ t) − 1); a2 = ((s22 )./(2 ∗ k)) ∗ (t + (4 ∗ exp(−k ∗ t) − exp(−2 ∗ k ∗ t) − 3)./(2 ∗ k)) − th ∗ (t + (exp(−k ∗ t) − 1)./(k)); mu2 = ((−1)./t) ∗ (a2 + b ∗ 0.01); plot(t, mu, −b , t, mu1, − − r , t, mu2, − − g ); subplot(1, 2, 2); x = 0.1 : : 10.1; k = 0.1; h = 0.015; c = 0.03; g = sqrt(k + ∗ c2 ); y = ((2 ∗ k ∗ h)./(c2 )) ∗ log10((2 ∗ g ∗ exp((g + k) ∗ x./2))./((g + k) ∗ (exp(g ∗ x) − 1) + ∗ g)); z = ∗ (1 − exp(g ∗ x))./((g + k) ∗ (exp(g ∗ x) − 1) + ∗ g); f = ((−1)./x) ∗ (y + z ∗ 0.01); plot(x, f, − − r ); 76 c1 = 0.04; g1 = sqrt(k + ∗ c12 ); y1 = ((2 ∗ k ∗ h)./(c12 )) ∗ log10((2 ∗ g1 ∗ exp((g1 + k) ∗ x./2))./((g1 + k) ∗ (exp(g1 ∗ x) − 1) + ∗ g1)); z1 = ∗ (1 − exp(g1 ∗ x))./((g1 + k) ∗ (exp(g1 ∗ x) − 1) + ∗ g1); f = ((−1)./x) ∗ (y1 + z1 ∗ 0.01); plot(x, f, −b , x, f 1, − − r ); c2 = 0.05; g2 = sqrt(k + ∗ c22 ); y2 = ((2 ∗ k ∗ h)./(c22 )) ∗ log10((2 ∗ g2 ∗ exp((g2 + k) ∗ x./2))./((g2 + k) ∗ (exp(g2 ∗ x) − 1) + ∗ g2)); z2 = ∗ (1 − exp(g2 ∗ x))./((g2 + k) ∗ (exp(g2 ∗ x) − 1) + ∗ g2); f = ((−1)./x) ∗ (y2 + z2 ∗ 0.01); plot(x, f, −b , x, f 1, − − r , x, f 2, − − g ); subplot(1, 2, 1); * Kết quả: mo hinh LV2.jpg 77 Tài liệu tham khảo [1] Kay Giesecke,2004, Credit risk Modeling and Valuation: An introduction, Cornell University [2] ZhenWei, 2006, Cdedit risk: Modeling and Application, Stanford University [3] Hồng Đình Tuấn,2011, Mơ hình phân tích định giá tài sản tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Trần Hùng Thao,2009, Nhập mơn tốn học tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật [5] Trần Trọng Nguyên,2011, Cơ sở toán tài chính, NXB Khoa học Kỹ thuật 78