Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Đưa ra một số khái niệm về trái phiếu, một số đặc điểm chung của tráiphiếu, các khái niệm về Arbitrage, độ đo xác suất trung hòa rủi ro, kháiniệm về chênh lệ

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘITRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

LỜI NÓI ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài:

Rủi ro tín dụng là ngôn từ thường được sử dụng trong hoạt động cho vaycủa ngân hàng hoặc trên thị trường tài chính Đó là khả năng không chitrả được nợ (cả gốc và lãi)của người đi vay đối với người cho vay khi đếnhạn phải thanh toán Thông thường người cho vay phải chịu rủi ro khichấp nhận một hợp đồng cho vay tín dụng Bất kỳ một hợp đồng cho vaynào cũng có rủi ro tín dụng

Mức độ rủi ro tín dụng cao hay thấp phụ thuộc vào nhiều yếu tố kháchquan và chủ quan của mục đích vay vốn cũng như hoạt động của người vayvốn Đối với rủi ro tín dụng mức độ thiệt hại được lượng hóa phụ thuộcvào hai nhân tố:

- Xác suất xảy rủi ro tín dụng

- Tổn thất khi xảy ra sự kiện tín dụng

Thông tin thị trường cũng đóng vai trò rất quan trọng trong việc xác địnhgiá các phái sinh tín dụng, sự hiểu biết ít về thị trường rất có thể làm suyyếu khả năng của các nhà đầu tư để dự đoán diễn biến thị trường và phíbảo hiểm tăng thêm sẽ phụ thuộc sự thiếu hiểu biết này

Chính vì vậy, tôi lựa chọn mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng đểlàm đề tài nghiên cứu của luận văn

2 Mục đích nghiên cứu

Trọng tâm của luận văn này, chúng ta tìm hiểu về hai phương pháp chính

để phân tích tín dụng: các mô hình dạng cấu trúc (structural models) vàcác mô hình dạng rút gọn (Reduced from models) và ứng dụng để định

giá CDS, CDO và các tín dụng phái sinh khác.

Ngoài ra, chúng ta cũng xem xét hai phương pháp trên trong điều kiệnthông tin không đầy đủ, khi đó việc kết hợp hai phương pháp structuralmodels và Reduced form models sẽ giúp khắc phục những hạn chế và lựachọn được những đặc tính tốt nhất của hai phương pháp:

- Tính kinh tế và sự hấp dẫn trực quan của phương pháp cấu trúc

- Tính dễ sử dụng và phù hợp thực nghiệm của phương pháp dạng rút gọn

3 Cấu trúc của luận văn

Luận văn này gồm các phần như sau

Chương 1: Kiến thức chuẩn bị

Đưa ra một số khái niệm về trái phiếu, một số đặc điểm chung của tráiphiếu, các khái niệm về Arbitrage, độ đo xác suất trung hòa rủi ro, kháiniệm về chênh lệch tín dụng, CDS, CDO và một số kiến thức về giải tíchngẫu nhiên

Chương 2: Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng:

Giới thiệu hai mô hình dạng cấu trúc và dạng rút gọn; ứng dụng trongđịnh giá CDS, CDO và các tín dụng phái sinh khác

Chương 3: Các mô hình tín dụng với thông tin không đầy đủ

Xem xét hai mô hình trong điều kiện thông tin không đầy đủ, định giáchênh lệch tín dụng đối với trái phiếu và ước lượng các mô hình

LỜI CẢM ƠNLuận văn này được hoàn thành dưới sự hướng dẫn, chỉ bảo tận tình của

TS Trần Trọng Nguyên- trường Đại học Kinh tế Quốc dân Hà Nội Thầy

đã dành nhiều thời gian giúp đỡ, giải đáp các thắc mắc của tôi trong suốtquá trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến ngườithầy của mình

Qua đây, tôi xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới các thầy cô giáo trong KhoaToán- Cơ- Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốcgia Hà Nội đã trực tiếp giảng dạy và tạo điều kiện thuận lợi cho tôi trongsuốt quá trình học tập

Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè và tất cả mọi người đã quan tâm, tạođiều kiện, giúp đỡ tôi hoàn thành luận văn này

Hà Nội, Tháng 12 năm 2013

Mục lục

1.1 Một số khái niệm cơ bản liên quan đến trái phiếu 6

1.1.1 Khái niệm về trái phiếu 6

1.1.2 Một số đặc điểm chung của trái phiếu 6

1.2 Độ chênh thị giá và định giá trung hòa rủi ro 8

1.3 Chênh lệch tín dụng, CDS, CDO 9

1.4 Một số kiến thức về giải tích ngẫu nhiên 12

1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên 12

1.4.2 Tích phân ngẫu nhiên 16

2 Mô hình hóa rủi ro tín dụng và ứng dụng 19 2.1 Các mô hình tín dụng dạng cấu trúc (Structural models) 20

2.1.1 Rủi ro đầu tiên đối với đối tượng đơn 20

2.1.2 Phương pháp Copula cho rủi ro tương quan 22

2.1.3 Các mô hình nhân tố đối với sự vỡ nợ 24

2.1.4 Định giá hoán đổi rủi ro tín dụng 27

2.1.5 Chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu rủi ro 30

2.1.6 Định giá các đợt thanh toán nợ thế chấp 32

2.2 Các mô hình tín dụng dạng rút gọn (Reduced form models) 35

2.2.1 Các mô hình dựa trên cường độ 35

2.2.2 Mô hình cường độ của quá trình affine 37

2.2.3 Định giá một trái phiếu rủi ro 41

2.2.4 Mô hình tương quan giữa các rủi ro 46

2.2.5 Định giá hoán đổi rủi ro tín dụng 49

2.2.6 Định giá lại các lớp CDO 51

3 Các mô hình tín dụng với thông tin không đầy đủ 55 3.1 Mô hình cấu trúc với thông tin không đầy đủ 55

3.1.1 Sự quan sát đơn đối với lọc không đầy đủ 56

3.1.2 Sự quan sát nhiều thời điểm 58

3.1.3 Định giá với thông tin không đầy đủ 59

3.2 Các mô hình dạng rút gọn với thông tin không đầy đủ 60

3.2.1 Quá trình xu hướng 60

3.2.2 Mối liên hệ với các mô hình cấu trúc 62

3.2.3 Định giá theo thông tin không đầy đủ 64

3.3 Các phương pháp ước lượng 65

3.3.1 Ước lượng các mô hình cấu trúc 65

3.3.2 Ước lượng các mô hình dạng rút gọn 66

Chương 1

Kiến thức chuẩn bị

Trước khi tìm hiểu về các mô hình để phân tích tín dụng, chúng ta cầnnắm được một số kiến thức cơ bản về trái phiếu, và hai phái sinh tín dụngphổ biến đó là hợp đồng hoán đổi tín dụng (CDS) và nghĩa vụ nợ có thếchấp (CDO)

phiếu

1.1.1 Khái niệm về trái phiếu

Trái phiếu (bond) là một loại chứng khoán, loại hợp đồng quy địnhngười phát hành trái phiếu có nghĩa vụ phải hoàn trả cho người chủ sởhữu trái phiếu (trái chủ) một khoản tiền nhất định, bao gồm cả gốc và lãitại các thời điểm đã được ấn định trước trong hợp đồng Có thể coi tráiphiếu là loại hợp đồng đi vay giữa chủ thể phát hành và trái chủ

1.1.2 Một số đặc điểm chung của trái phiếu

(a) Coupon của trái phiếu

Khoản lãi định kỳ trái chủ được lĩnh gọi là coupon của trái phiếu Tráiphiếu không trả lãi định kỳ (không có coupon) gọi là " trái phiếu zero

coupon " (Gọi tắt là "trái phiếu zero") Trái phiếu zero coupon hoặc cócoupon cố định không có các điều kiện kèm theo gọi là trái phiếu đơn giản(Straight, Vanilla, Bullet Bond).

(b) Lãi suất coupon

Lãi suất coupon (lãi suất cuống phiếu- coupon rate) của trái phiếu là mứclãi suất (tính theo mệnh giá) mà người phát hành phải chi trả định kì Lãisuất coupon có thể cố định hoặc thay đổi theo các điều kiện thỏa thuậntrước

(c) Mệnh giá trái phiếu

Mệnh giá trái phiếu (Face value, Par value, Nomial value) là số tiền ghitrên trái phiếu và được trả cho trái chủ khi đáo hạn Như vậy có thể coimệnh giá trái phiếu là khoản tiền gốc trái chủ đã cho chủ thể phát hànhtrái phiếu vay

(d) Kỳ hạn của trái phiếu

Kỳ hạn của trái phiếu (Maturity, Redemption) là khoảng thời gian mà tạithời điểm cuối (Thời điểm đáo hạn) hợp đồng cho vay chấm dứt Tại thờiđiểm này người phát hành trái phiếu sẽ thu hồi trái phiếu và thanh toán

cả gốc lẫn lãi cho trái chủ Kỳ hạn của trái phiếu thường được tính theonăm Hầu hết trái phiếu đều có kỳ hạn hữu hạn Một số ít có kỳ hạn vôhạn, gọi là các "trái phiếu vĩnh cửu ", (" trái phiếu Consol")

(e) Lợi tức trái phiếu

Để đo lường khả năng sinh lời của trái phiếu người ta sử dụng thước đogọi là " lợi tức " của trái phiếu (Yields) Trên thị trường trái phiếu thay

vì niêm yết giá, người ta thường thông báo lợi tức của trái phiếu và lợi tức

thường được tính cho kỳ hạn 1 năm Có nhiều loại lợi tức của trái phiếu,tùy thuộc vào mục đích sử dụng mà ta chọn loại lợi tức phù hợp (như lợitức danh nghĩa, lợi tức hiện hành, lợi tức cho đến khi đáo hạn, lợi tức chođến khi đáo hạn sớm, ).

Trong mục này, để định giá các sản phẩm tài chính, ta cố định mộtkhông gian xác suất đầy đủ (Ω, F ,P) và một lọc {Gt : t ≥ 0} của các σ

đại số con củaF mà nó biểu thị thông tin của nhà đầu tư Giả sử kí hiệu P

là độ đo xác suất tự nhiên chúng ta quan sát từ thị trường tài chính Dướiđây là các định nghĩa và nhận xét, mà có thể tìm thấy chứng minh trongcác cuốn sách về tài chính,ví dụ: Duffie ( 2001) Dynamic Asset PricingTheory, Third Edition Princeton University Presss

Định nghĩa 1.1 Arbitrage (Ac-bit) Một arbitrage là 1 chiến lược đầu tư

mà với vốn đầu tư bằng không ở thời điểm 0 và đạt lợi nhuận ròng lớn hơnkhông với xác suất dương

Định nghĩa 1.2 (Độ đo trung hòa rủi ro) Độ đo xác suất Q được gọi là

1 độ đo trung hòa rủi ro cho quá trình giá X, nếu X là 1 martingale theo

Q (Q- martingale)

Định nghĩa 1.3 (Quá trình lãi suất ngắn hạn) Quá trình lãi suất ngắnhạn r là 1 quá trình mà với vốn đầu tư ban đầu 1 đô la chúng ta có thểthu lại eR0trsds đô la tại thời điểm t

Chú ý 1.1 Với giả thiết không có độ chênh thị giá, một sự đầu tư tại thời

điểm t làm cho tài sản không rủi ro có thể tích lũy được e t r s ds tại thờiđiểm T>t.

Giả thiết 1.1 Giá của 1 chứng khoán bất kỳ ở đây là no-arbitrage trongthị trường

Nhận xét 1.1 Với giả thiết 1.1, Quá trình giá chứng khoán đã điều chỉnh(bao gồm thị giá và cổ tức nếu có) là 1 Q- martingale sau khi chiết khấu

e−R0tr s ds

Nhận xét 1.2 (Định giá trung hòa rủi ro) Với giả thiết 1.1, giá của mộtchứng khoán bất kỳ bằng tổng tất cả các thu hoạch kỳ vọng đã chiết khấu(expected deflated payoffs) trong tương lai với độ đo trung hòa rủi ro Q, ở

đó quá trình chiết khấu cho bởi ξt = e−R0tr s ds

Định nghĩa 1.4 (Chênh lệch tín dụng) Chênh lệch (lợi tức) tín dụng củamột trái phiếu zero coupon (" trái phiếu zero") là sự chênh lệch giữa lợitức trên trái phiếu rủi ro và lợi tức trên trái phiếu không rủi ro với cùngmột mệnh giá và kì hạn

Giả sử giá tại thời điểm t của trái phiếu zero rủi ro với mệnh giá 1 là

BtT và thời điểm đáo hạn của nó là T, khi đó chênh lệch tín dụng tại thờiđiểm t được cho bởi:

S(t, T ) = −

RT

t rsds +log(BtT)

Để tính toán chênh lệch tín dụng (1), chúng ta sẽ xây dựng một mô hình

để tính toán giá BtT, điều này sẽ được trình bày trong những phần sau

Hoán đổi rủi ro tín dụng và Hợp đồng ghi nợ có thế chấp là 2 sản phẩmtín dụng rất phổ biến, việc định giá chúng sẽ là trọng tâm của mục này.Sau đây là một số định nghĩa:

Định nghĩa 1.5 Hợp đồng hoán đổi rủi ro tín dụng(Credit Default CDS) là một hợp đồng phái sinh tín dụng trong đó bên mua sẽ thanh toánmột khoản tiền định kỳ cho bên bán, và đổi lại sẽ nhận được khoản bồithường nếu công cụ tài chính cơ sở bị mất khả năng thanh toán

Spred-Ví dụ 1.1

Nhà đầu tư mua một CDS từ ngân hàng A, tổ chức tham chiếu cho CDS

là tổ chức B Nhà đầu tư phải trả phí định kỳ cho ngân hàng A, và nếu

B mất khả năng thanh toán các khoản nợ như chậm trả lãi suất couponhoặc không trả lãi suất coupon, nhà đầu tư sẽ nhận được khoản thanhtoán một lần từ ngân hàng A và hợp đồng CDS chấm dứt Nếu nhà đầu

tư sở hữu nợ hoặc cổ phần của B, CDS được coi là công cụ hữu hiệu đểphòng chống rủi ro tài chính và rủi ro kinh doanh của B Nhưng nhà đầu

tư có thể mua CDS mà không sở hữu nợ của B, vì mục đích đầu cơ hoặcđánh cược về khả năng mất thanh toán của B để kiếm tiền, hoặc phòngngừa rủi ro cho các khoản đầu tư vào các công ty khác mà khả năng cóthể tương đương với B

Định nghĩa 1.6 (Chênh lệch CDS) Chênh lệch CDS là chi phí cho mỗinăm để phòng hộ rủi ro của bên bán CDS (công ty hoặc tổ chức phát hành

có chủ quyền)

Hình vẽ 1.1, minh họa cho dòng tiền của 1 CDS đơn giản Trong đó A

là giá trị thực của chứng khoán quy định, U là chênh lệch CDS, R là giátrị thu hồi, τ là thời điểm vỡ nợ, T là kì hạn của trái phiếu

Theo giả thiết 1.1, giá của chênh lệch CDS thỏa mãn giá thị trường củahợp đồng CDS bằng 0 Tức là, Giá thị trường hiện tại của sự bảo hộ dựatrên hợp đồng sẽ bằng giá của thị trường hiện tại của các chi trả chênhlệch CDS

ve 1.jpg

Hình 1.1: Dòng tiền của 1 CDS đơn giản Trong đó A là giá trị thực của chứng khoán quy định, U là chênh lệch CDS, R là giá trị thu hồi, τ là thời điểm vỡ nợ, T là kì hạn của trái phiếu.

Định nghĩa 1.7 Hợp đồng ghi nợ có thế chấp (CDO) là một loại chứngkhoán được bảo đảm bằng tài sản, được cấu trúc với nhiều " lớp" (tranche)

và phát hành bởi các bên bán CDS, được đảm bảo bằng các nghĩa vụ nợ baogồm trái phiếu và các khoản vay Mỗi lớp cung cấp một mức độ khác nhaucủa rủi ro và hoàn vốn để đáp ứng nhu cầu của nhà đầu tư Giá trị và cácthanh toán của CDO có nguồn gốc từ một danh mục đầu tư các tài sản

cơ sở thu nhập cố định Chứng khoán CDO được chia thành các lớp rủi rokhác nhau, hoặc các phân ngạch, theo đó các phân ngạch "cao cấp" đượccoi là chứng khoán an toàn nhất Các khoản thanh toán tiền lãi và vốn gốcđược thực hiện theo thứ tự thâm niên, do đó các phân ngạch ít thâm niênhơn được chào với thanh toán cuống lãi (và lãi suất) cao hơn hoặc giá thấphơn để bù đắp cho rủi ro tín dụng bổ sung.

Một cách đơn giản, một CDO có thể được coi như một lời hứa chi trảcác dòng tiền cho nhà đầu tư theo một trình tự quy định, dựa trên lượngtiền mặt mà CDO này thu thập từ nhóm các trái phiếu hoặc nhóm cáctài sản khác mà nó sở hữu Nếu tiền mặt được thu thập bởi CDO này làkhông đủ để chi trả cho tất cả các nhà đầu tư của nó, những người trongcác lớp thấp bị thiệt hại đầu tiên

1.4.1 Quá trình ngẫu nhiên

Định nghĩa 1.8 Cho (Ω, F ,P) là một không gian xác suất

Một quá trình ngẫu nhiên (Xt), t ≥ 0 là một hàm hai biến X(t, ω) xácđịnh trên tích R+ × Ω lấy giá trị trong R, và là một hàm đo được đốivới σ-trường tích BR+ × F, trong đó BR+ là σ- trường các tập Borel trên

(ii) Họ đó là liên tục phải, tức là Ft = ∩ε>0Ft+ε

(iii) Nếu A ∈ F và A = 0 thì A ∈ F0 (do đó A nằm trong mọi Ft)

Một không gian xác suất (Ω, F ,P) trên đó ta gắn thêm một bộ lọc (Ft),được gọi là không gian xác suất được lọc và ký hiệu là (Ω, F , (Ft),P).Định nghĩa 1.10 (Quá trình ngẫu nhiên thích nghi với bộ lọc)

Cho không gian xác suất được lọc(Ω, F , (Ft),P), một quá trình ngẫu nhiên

X = (Xt), t ≥ 0 được gọi là thích nghi với bộ lọc (Ft)t≥0 nếu với mỗi

t ≥ 0, Xt là Ft đo được

• Thời điểm Markov và thời điểm dừng

Cho một không gian xác suất được lọc (Ω, F , (Ft),P)

Một biến ngẫu nhiênτ được gọi là 1 thời điểm Markov nếu với mọit ≥ 0, tacó: {ω ∈ Ω : τ (ω) ≤ t} ∈ Ft

Một thời điểm Markovτ được gọi là thời điểm dừng nếuτ là hữu hạn h.c.c,tức là: P {ω ∈ Ω : τ (ω) < ∞} = 1

• Kỳ vọng có điều kiện lấy đối với một σ -trường

Định nghĩa 1.11 Cho (Ω, F ,P) là một không gian xác suất, G là một

σ- trường con của F, X là một biến ngẫu nhiên ( Tức là một ánh xạ đođược từ (Ω, F ) vào (R, BR)

Biến ngẫu nhiên Y được gọi là kỳ vọng có điều kiện của biến ngẫu nhiên

X đối với σ-trường G nếu:

(i) Y là biến ngẫu nhiên đo được đối với G

(ii) Với mọi tập A∈ G thì ta có: RAY dP = RAXdP

Ký hiệu: Y = E(X|G)

• Xác suất có điều kiện

Định nghĩa 1.12 Xác suất có điều kiện P(A|G) của một biến cố A ∈ F

là một biến ngẫu nhiên xác định bởi:

P(A|G) = E(1A|G)

* Một số tính chất của xác suất có điều kiện (h.c.c)

(a) P(Ω|G) = 1

(b) ∀A ∈ F : P(A|G) = 1 −P(A|G)

(c) ∀A1; A2; ; ∈ F rời nhau từng đôi một thì:

Với s,t là hai số thực không âm sao cho s ≤ t, khi đó:

(a) Nếu E(Xt|Fs) ≤ Xs thì X gọi là Martingale trên (supermartingale )(b) Nếu E(Xt|Fs) ≥ Xs thì X gọi là Martingale dưới (submartingale )(c) Nếu E(Xt|Fs) = Xs thì X gọi là Martingale

• Khai triển Dood-meyer

Nếu X = (Xt), t ≥ 0 là một martingale dưới đối với Ft, khả tích (tức là:

E|Xt| < ∞ với mọi t ≥ 0 ), thì X có thể khai triển:

Xt = Mt+ At

Trong đó Mt là một martingale đối với (Ft) liên tục phải vàAt là một quátrình tăng và thích nghi với (Ft)

• Quá trình Gauss

Một quá trình ngẫu nhiên X = (Xt, t ≥ 0) được gọi là một quá trìnhGauss, nếu mọi tổ hợp tuyến tính có dạng:

(i) E(Xt) = 0∀t, tức là Xt qui tâm

(ii) Hàm tương quan R(t, s) = min(t, s)

Trong trường hợp tổng quát, một quá trình Weiner với tham số phương sai

σ là một quá trình Gauss qui tâm và hàm tương quan là:

Định nghĩa 1.16 (Quá trình Poisson)

Một quá trình đếm (Nt); (t ≥ 0) được gọi là quá trình Poisson nếu:

(i) N0 = 0

(2) Vi phân ngẫu nhiên I-tô và công thức I-tô.

• Vi phân I-tô

Giả sử X = (Xt, t ≥ 0) là một quá trình ngẫu nhiên sao cho:

(a) Hầu hết quỹ đạo t → X là liên tục

(b) Hầu chắc chắn X có biểu diễn: Xt = X0 +

Vi phân I-tô dX là một biểu thức hình thức được viết như sau:

dXt = h(t, ω)dt + f (t, ω)dWt hay dX = hdt + f dW

• Công thức I-tô

ChoX là một quá trình I-tô vớidX = hdt+f dW, giả sử: g(t, ω) : R2 → R

là một hàm hai biến khả vi liên tục theo biến thứ nhất t, hai lần khả viliên tục theo biến thứ hai x

Khi đó quá trình ngẫu nhiên Yt = g(t, Xt) là một quá trình I-tô có vi phânI-tô cho bởi:

(I1) dYt = ∂g

∂t(t, Xt)dt +

∂g

∂x(t, Xt)dXt+ 1

Phương pháp cấu trúc: lần đầu tiên được giới thiệu bởi Merton dựa trên

Mô hinh Black và Scholes- đoạt giải Nobel về định giá quyền chọn châu

Âu cho mô hình hóa rủi ro của các đối tượng riêng lẻ Phương pháp được

mở rộng hơn nữa bởi các công trình gần đây để mô hình hóa rủi ro củanhiều đối tượng và cấu trúc tương quan liên quan, bằng cách giới thiệukhái niệm thuận tiện của Copula

Một cách tiếp cận dễ xử lý được gọi là các mô hình Dạng rút gọn (Reducedform), nó làm theo cường độ của sự xuất hiện các sự kiện rủi ro Theo cáchthiết lập affine , nhiều sản phẩm có thể được định giá bằng cách sử dụngcông thức tường minh và các thông số có thể được ước tính từ các dữ liệulịch sử thị trường bằng cách sử dụng phương pháp moments tổng quát haycông thức " Quasi- likehood " (Tựa hợp lý)

2.1 Các mô hình tín dụng dạng cấu trúc (Structural

models)

2.1.1 Rủi ro đầu tiên đối với đối tượng đơn

Theo thiết lập trong chương 1, xét mô hình Black- Sholes tiêu chuẩncho quá trình tài sản V của 1 đối tượng tham chiếu thỏa mãn:

dVt

Vt = µdt + σdBt

với V0 > 0, trong đó Bt là một chuyển động Brown tiêu chuẩn bắt đầu từ

0 và điều khiển bởi bộ lọc {Gt : t ≥ 0} Khi đó:

Chứng minh: Dựa theo nguyên tắc phản xạ

P (Bt ≤ a, Mt ≥ b) = P (Bt ≥ 2b − a, Mt ≥ b)

= P (Bt ≥ 2b − a)

= √12πt

Z ∞ 2b−a



dG(d) (3)

Trong thực hành, có thể đưa ra G(d) là phân phối đều [0, αV0], trong đó

0 < α ≤ 1hoặc đơn giản chỉ đưa ra G(d) là 1 tập hợp điểm tại0 < A < V0

là r=0.05

2.1.2 Phương pháp Copula cho rủi ro tương quan

Thực tế, chúng ta có nhiều đối tượng liên quan đến kết quả của chúng

ta, vì thế cấu trúc tương quan rủi ro của các đối tượng được quan tâm lớn.Phương pháp đầu tiên là cho chuyển động Brown điều khiển các quá trìnhtài sản của những đối tượng có tương quan Như có thể thấy trong phầntrước, sự xem xét đương nhiên này dẫn tới kết quả là nhu cầu tính toáncác hàm phân phối tích lũy của các biến ngẫu nhiên chuẩn nhiều chiềuvới ma trận tương quan Σ mà không có lời giải tường minh, khi đó cần sửdụng phép xấp xỉ

Một cách khác để chỉ rỗ cấu trúc tương quan là thông qua phương pháp

Đầu tiên chúng ta xác định các copula con như một lớp của các hàm ntăng cơ sở với các biên, khi đó chúng ta xác định các subcopula như cácsubcopula với miền xác định In

-Định nghĩa 2.1 Một subcopula n- chiều là một hàm C’ với những tínhchất sau:

1 DomC0 = S1 × S2 × × Sn, với mỗi Sk là một tập con của I chứa 0

2 Với mọi a và b trong In được xác định a 6 b , VC([a, b]) > 0

Các copula thường dùng là copula chuẩn và t-copula Thông thường,nếu (X1, , Xn) có hàm phân phối tích lũy đa biến F, với phân phối tíchlũy biên duyên F1, , Fn Copula tương ứng có thể định nghĩa bởi:

C(x1, , xn) = F (F1−1(x1), , Fn−1(xn))

trong đó Fi−1(x) = inf {s : Fi(s) ≥ x}

Có thể thấy rằng C(F (x1), , F (xn)) = F (x1, , xn) điều này là sự hiểu

biết trực giác về copula

Ví dụ 2.1 ( Copula chuẩn hai biến số) Copula chuẩn hai biến số với hệ

số tương quan ρ cho bởi:

Cρ(x, y) = R−∞Φ−1(x)R−∞Φ−1(y) 1

2πp1 − ρ2e−

s2+t2−2ρst 2(1−ρ2) dtds

Ví dụ 2.2 ( t- Copula hai biến số) t- Copula hai biến số với hệ số tương

quan ρ và ν bậc tự do cho bởi:

2 + t2 − 2ρstν(1 − ρ2)

−(ν+2)/2

dtds

2.1.3 Các mô hình nhân tố đối với sự vỡ nợ

(a) Mô hình một nhân tố

Mở rộng các cuộc thảo luận ở phần trước, giả sử τi là thời điểm vỡ nợ

của đối tượng thứ i và Fi là các hàm phân phối tích lũy của τi Theo định

nghĩa, Fi(T ) là xác suất không trả được nợ của đối tượng thứ i tại thời

2mi σ2 i

Φ



log(d/V0i) + miT

σi√T



dG(d))

Bây giờ ta xét mô hình một nhân tố đối với τi theo Hull và White (2004):

Xi = aiM +p1 − a2iZi

Trong đó |ai| < 1, M (nhân tố hệ thống) và Zi (các nhân tố riêng biệt) là

i.i.d và độc lập với τi, Zi có hàm phân phối tích lũy H với trung bình bằng

0 và phương sai đơn vị

Rõ ràng ta có: corr(X , X ) = a a (4)

Giả sử hàm phân phối tích lũy của Xi là Qi, và xT thỏa mãn:

Q(xT) = P (Xi ≤ xT) = P (τi ≤ T ) = Fi(T ) Giả sử ta có thể làm cho phùhợp phân phối có điều kiện của Xi và τi tại xT và T, khi đó:

(b) Mở rộng tới mô hình đa nhân tố

Từ công thức (4), có thể dễ dàng mở rộng ra mô hình đa nhân tố:

Xi = ai1M1 + · · · + aipMp+q1 − a2i1− · · · a2

ipZi

Trong đó Ppj=1a2ij < 1, Mis và Zi là độc lập τi có hàm phân phối tích lũytương tự H với trung bình bằng 0 và phương sai đơn vị Mj là độc lập với

Zi, nhưng Miscó thể phụ thuộc lẫn nhau

Khi đó với điều kiện tương tự, ta có:

Từ điều kiện trên nhân tố rủi ro thuộc hệ thống M, Xis là độc lập, do cấutrúc sự rủi ro của các đối tượng liên quan cũng độc lập Sử dụng các điềukiện biên các xác suất sống sót (5) hoặc (6), chúng ta có:

Trường hợp Tj là các thời điểm đáo hạn của đối tượng và chúng ta giả sử

M có hàm phân phối G ( nhiều chiều), khi đó xác suất không rủi ro là:

Z n

Y

i=1

Si(Ti|M = m)dG(m)

(c) Tính toán xác suất k rủi ro

Giả sử π(k|M ) là xác suất có điều kiện mà k trong n đối tượng sẽ khôngtrả được nợ trước thời điểm T = maxi(Ti), khi đó theo công thức (7):

j 1 < <j k ωj1· · · ωjk là các

đa thức đối xứng bậc k, khi đó:

uk− v1uk−1+ v2uk−2− · · · + (−1)k−1vk−1u1+ (−1)kkvk = 0 (8)với 1 ≤ k ≤ n

Dựa vào bổ đề trên, ta có thể tính toán vk như sau:

và có ,π(k|M ) = π(0|M )vk , Khi đó:

Cuối cùng, xác suất k- rủi ro trước thời điểm T = maxi(Ti) được cho bởi

π(k) = R π(k|M = m)dG(m) (9)

ở đó đưa ra dạng hiển của G, chúng ta có thể tính toán tích phân trên

2.1.4 Định giá hoán đổi rủi ro tín dụng

(a) Vanilla CDS

Định nghĩa của một Vaniila CDS đơn giản được đưa ra trong mục 1, dochỉ có một đối tượng liên quan, chúng ta ký hiệu thời điểm vỡ nợ của nó là

τ, quá trình lãi suất ngắn hạn là r , giá trị thu hồi R là độc lập với nhau

Có một số mô hình đối với giá trị thu hồi R Phương pháp thu hồi theonghĩa tương đương một sự phân chia của các chứng khoán không rủi ro,xem Jarrow và Turnbull (1995) và Hull và White (1995) Duffie và Single-ton (1997) đưa ra một đề án phục hồi phân đoạn (fractional recovery) mànói rằng Rt = ¯RtCt− trong đó Ct− là giá trị của cổ phiếu trước khi rủi ro.Hull và White cho rằng một cách hợp lý hơn các cách chọn R là sử dụng:

Rt = A( ¯R + AI(t))

Trong đóR¯ là tỷ lệ thu hồi và AI(t) là lãi vay phải trả trên nghĩa vụ tham

chiếu tại thời điểm t như là tỷ lệ phần trăm mệnh giá của nó

Trong thế giới trung lập rủi ro, tất cả các kết quả trong phần trước có thểđược nhân rộng bằng cách thay thế µ với r Ví dụ, giả sử rào cản D khôngđổi, Xác suất trung hòa rủi ro không trả được nợ của các đối tượng tạithời điểm t là:

FQ(t) = Φ



log(D/V0) − mQ(t)

σ√t

Trong đó mQ = r − 1/2σ2

Theo Hull and White (2000), chúng ta định nghĩa:

• u(t): Giá trị hiện tại của khoản thanh toán ở mức 1 đô-la cho mỗinăm vào ngày thanh toán giữa thời điểm không và thời điểm t

• a(t): Giá trị hiện tại của một khoản thanh toán tích lũy tại thời điểm

t bằng t-t * mà t * là ngày thanh toán ngay lập tức trước thời điểm t

• v(t) giá trị hiện tại của 1 đô-la nhận tại thời điểm t

Lợi suất kỳ vọng của CDS thanh toán chênh lệch giá là:

Giả sử một cấu trúc rủi ro giống nhau trong những mẫu tham chiếu, nghĩa

là tất cả các đối tượng có cùng kỳ hạn T Giả sử τk là thời điểm không

trả nợ thứ k của quỹ tham chiếu, khi đó rõ ràng:

Trong đó π(j) được cho bởi (9)

Sau đó, một lập luận tương tự được áp dụng từ phần trước, cho phépchúng ta thay thế

FQ bởi F(k)Q , trong đó F(k)Q là bản sao( counterpart) rủi ro trung tính của

F(k) bằng cách thay thế µ với r Khi đó chênh lệch CDS rủi ro thứ k đốivới mệnh giá A được cho bởi:

s(k)A = A

RT

0 [1 − R]v(t)dF(k)Q (t)

RT

0 [u(t) + e(t)]dF(k)Q (t) + (1 − F(k)Q(T ))u(T ) (11)

Như có thể thấy sau đó, mô hình định giá có thể được tổng quát dễ dàng

Ví dụ trong khuôn khổ dạng rút gọn, chúng tôi xét mô hình FQ và F(k)Q vềcường độ xảy ra rủi ro λ thay vì quá trình tài sản của đối tượng

Vì những lý do thực nghiệm, tích phân trong (10) và (11) có thể được rờirạc như tổng hữu hạn Rời rạc này cũng rất hữu ích trong khung định giádạng rút gọn

Ví dụ, chúng ta có thể chia khoảng thời gian [0,T] thành 0 = t0 < t1 <

· · · < tn = T và cho rằng cường độ λ = λi là không đổi trong khoảngthời gian ti−1, ti, ví dụ, Duffie ( 1998a) Defaultable Term Structures withFractional Recovery of Par Working Paper, Graduate School of Business,Stanford University

2.1.5 Chênh lệch tín dụng đối với trái phiếu rủi ro

Định nghĩa 2.3 Chênh lệch tín dụng đối vơí một trái phiếu rủi ro là tỉ

lệ chi trả coupon sao cho giá trị thị trường hiện tại của nó là ngang bằng.(với chi trả coupon đó)

Theo một thiết lập tương tự của phần 2.1.4, một trái phiếu zero đáohạn vào thời điểm T với mệnh giá 1 có giá trị thị trường ban đầu là:

∧(T ) = RT

0 Rv(t)dFQ(t) + (1 − FQ(T ))v(T )

Do đó, nếu chúng ta giả định lãi suất ngắn hạn không đổi là r, chênh lệchtín dụng vào thời điểm 0 của trái phiếu zero có thể được tính bằng (1)được đưa ra bởi:

S(0, T ) = −r − log(∧(T ))

Theo các thiết lập thông số của mục 2.1.1, Hình ảnh 2.2, minh họa hìnhdạng của chênh lệch tín dụng S(0,t) cho trái phiếu zero với mệnh giá 1 chocác giá trị khác nhau của σ Phân phối của rào cản rủi ro G trong bảngbên trái là một tập hợp điểm tại d = 0, 5V0, trong khi nó là một phân phốiđều trên [0.1V0, 0.9V0] trên bảng bên phải Lãi suất phi rủi ro được thiếtlập là r=0.05

Trên thực tế, nói chung, nếu chúng ta định nghĩaq(t, T ) = P (τ ≤ t + ε|Ft)

nơi Ft là thông tin lọc của nhà đầu tư tại thời điểm t, khi đó:

Theo cách xây dựng trước của chúng ta với rào cản không đổi ( constantbarier)D < Vt

q(t, t + s) = Φ



log(D/Vt) − ms

σ√s

1 = ∧(T ) + c(T )4 P4T

i=1∧(i/4) c(T ) = 4(1 − ∧(T ))

P4T i=1∧(i/4)

2.1.6 Định giá các đợt thanh toán nợ thế chấp

(a) Công thức đầu tiên

Định nghĩa của CDO được đưa ra trong mục 1.3 Bây giờ, chúng ta địnhnghĩaKj là lợi tức kèm theo của đợt phát hành thứ j trong quỹ, Lj(t) làthiệt hại của đợt j tại thời điểm t và L(t) là tổng thiệt hại của quỹ tại thờiđiểm t Khi đó, có thể thấy rằng

Lj(t) = min((L(t) − Kj−1)+, Kj − Kj−1)

Cho các giá trị K1, , Kn, phân phối của L(t) xác định phân phối của

Lj(t) Trong phần tiếp theo, chúng ta sẽ xây dựng chương trình tính toáncho phân phối L(t) và Lj(t)

Giả sử rằng, thời điểm không trả nợ là τ và quá trình lãi suất ngắn hạn

r là độc lập, khi đó kỳ vọng giá trị hiện tại của thiệt hại ngẫu nhiên củađợt j là:

RT

0 v(t)dE(Lj(t))

Còn lại mệnh giá Aj(t) của đợt phát hành thứ j tại thời điểm t là:

Aj(t) = (Kj − Kj−1) − Lj(t)

và kỳ vọng giá trị hiện tại của tổng thanh toán lãi là:

cjPmi=1v(ti)E(Aj(ti)) = cjPmi=1v(ti)(Kj − Kj−1− E(Lj(ti)))

Trong đócj là chênh lệch cho đợt j, và t1, , tm là các ngày trả lãi coupon.Bởi giả thiết không cơ lợi, chênh lệch cj được cho bởi:

cj =

RT

0 v(t)dE(Lj(t))

Pm i=1v(ti)(Kj − Kj−1 − E(Lj(ti))) (13)

(b) Xác suất Bucketing để phân phối tổn thất

Những gì còn lại là tính toánE(Lj(t)) mà đòi hỏi các hiểu biết về sự phân

bố của Lj(t) Một cách hiệu quả để tính toán là thông qua một kỹ thuật

được gọi là Probability bucketing.

Cách tiếp cận này tiến hành như sau Trước tiên chúng ta phân chia tổnthất tiềm ẩn vào các khoảng nhỏ (bucket).Bi = [li, li+1], trong đó i=0, ,K

và l0 = 0 < l1 < · · · < lK = +∞ Một cách có thể là đặt lj = uj với

0 ≤ j ≤ K − 1và u>0 Khi đó chúng ta có thể tính toán xác suất của tổngthiệt hại L(t) là trong khoảng thứ i Bi bằng cách lặp lại quy trình

Theo các mô hình nhân tố trong mục 3.3.1 và 3.3.2, nếu chúng ta giả sử:

• p(t,k|M) là xác suất điều kiện sao cho tổng thiệt hại vào thời điểm t

sẽ thuộc khoảng thứ k (0 ≤ k ≤ K) và viết tắt là pk(t)

• A(t,k|M) là kỳ vọng điều kiện của tổng thiệt hại vào thời điểm t vàviết tắt là Ak(t)

• Cj là tổn thất được đưa ra từ đối tượng thứ j

• U(k) là khoảng chứa Ak(t) + Cj

Mô hình định giá sẽ được xem xét lại bằng cách sử dụng mô hình dạngrút gọn mà chúng tôi sử dụng quá trình cường độ λ để mô tả sự xuất hiệncủa rủi ro.

form models)

2.2.1 Các mô hình dựa trên cường độ

Theo mô hình dạng rút gọn, động thái của rủi ro được quy định nhưngoại sinh bằng một định nghĩa của quá trình cường độ theo độ đo xácsuất trung hòa rủi ro Q

Định nghĩa 2.4 (Quá trình đếm) Một quá trình đếm N, được xác địnhbởi :

Nt = n với t ∈ [Tn, Tn+1)

đối với một dãy tăng {T0, T1, }của các biến ngẫu nhiên nhận giá trị trong

[0; +∞)

Giả sử chỉ có một đối tượng liên quan, và thời điểm không trả nợ là τ,

đó là một thời điểm dừng theo không gian xác suất (Ω, F,P) Khi đó:

Nt = 1τ ≤t

xác định một quá trình đếm mà chỉ ra các trường hợp không trả được nợ.Định nghĩa 2.5 Quá trình cường độ đối với một quá trình đếm thíchnghi, không âm N được xác định sao cho {Nt −Rt

0 λsds : t ≥ 0} là mộtMartingale địa phương

Cường độ λ còn được gọi là tỷ lệ rủi ro trong phân tích sống sót Các

mô hình hóa của cường độ trở nên dễ xử lý theo giả định của " ngẫu nhiên

đôi " (doubly stochastic).

Định nghĩa 2.6 Nếu quá trình cường độ λ của N là Ft- khả đoán, khi

đó N là ngẫu nhiên đôi nếu thỏa mãn trên σ- đại số Gt ∨ Fs = σ(Gt ∪

Ft); Ns− Nt có phân phối Poission với tham ẩn Rtsλudu, trong đó Ft ⊂ Gt

Theo thiết lập ngẫu nhiên đôi, dễ thấy rằng:

λudu



Gt



' λ(t)∆t nói lên mộtcách trực quan cho cái tên "cường độ"

Do đó, với mô hình động lực học của λ, xác suất sống sót có thể dễ dàngtính toán Một khả năng là λt = ∧(Xt) với một số hàm đo được∧ : R →[0; ∞), và X là các nghiệm của SDE:

− ft(x, t) − ∧(x)f (x, t) = 0 với điều kiện biên f (x, s) = 1

Phương pháp sai phân hữu hạn có thể được sử dụng để tính toán số lượng

f Một cách tiếp cận mô hình sử dụng rộng rãi hơn là giả định λ = X

là affine (Có thể với bước nhảy) Theo đó, chúng ta có thể có được giải

pháp tường minh cho hầu hết các ứng dụng bằng cách giải một tập hợpcác nghiệm của PT Riccati

2.2.2 Mô hình cường độ của quá trình affine

Định nghĩa 2.7 (Quá trình Affine) Một quá trình Markov- n chiều X

là một affine theo độ đo Q nếu các biến đổi Laplace có điều kiện của Xt+s

đối với Xt là một hàm số affine mũ của Xt, tức là:

EQ[eu.Xt+s|Xt] = eα(s,u)+β(s,u).Xt (14)

Định nghĩa 2.8 Điều kiện chính quy (regular) cho quá trình affine

Một quá trình affine Xt là chính quy nếu trong biểu thức (14), α(s, u) và

β(s, u) là khả vi và đạo hàm của chúng là liên tục tại 0

Trong điều kiện kỹ thuật, một quá trình affine chính quy theo độ đo Q

là một quá trình với bước nhảy khuếch tán ( jump-diffusion ) xác định bởi:

dXt = µ(Xt)dt + σ(Xt)dBtQ + dJt

Trong đó BtQ là một chuyển động Brown tiêu chuẩn - n chiều theo Q, độlệch µ(Xt), ma trận hiệp phương sai σ(Xt)σ(Xt)0 và độ đo bước nhảy liênquan đến J tất cả đều có sự phụ thuộc affine trên Xt

Ví dụ 2.3 (Ornstein-Uhlenbeck hoặc Vacicek) Quá trình Ornstein-Uhlenbeckhoặc Vacicek được cho bởi

dXt = κ(θ − Xt)dt + σdBtQ (15)với các tham số(κ, θ, σ)Dễ thấy quá trình Vacicek là 1 quá trình Gauss với :

Thật vậy: (Theo KayGiesecke 2004, example 3.4)

Từ (15), theo công thức I-Tô ta có:

Ví dụ 2.4 (Cox, Ingersoll and Ross) Một quá trình Cox, Ingersoll vàRoss (CIR) được cho bởi:

dXt = κ(θ − Xt)dt + c√

XtBtQ (16)

với các tham số(κ, θ, c) Nó cũng được gọi là quá trình khuếch tán FellerYêu cầu 2.1 (Điều kiện Feller) Cho một quá trình CIR (16) với X0 > 0,nếu:

κθ > c2/2 (17)Khi đó Xt > 0 với mọi t Đẳng thức (17) được gọi là điều kiện Feller.Một sự khái quát nhẹ (15) và (16) là đưa vào một thuật ngữ nhảykhuếch tán dJt, ví dụ, quá trình CIR với bước nhảy khuếch tán là:

dXt = κ(θ − Xt)dt + c√

XtdBtQ + dJt

Trong đó J là Q-độc lập của BtQ, với i.i.d Kích thước nhảy theo cấp sốnhân với trung bình µ mà thời điểm nhảy là một Q -quá trình Poissionđộc lập với tỷ lệ xuất hiện trung bình l, tạo thành một quá trình affine cơ

... điều kiện biên f (x, s) =

Phương pháp sai phân hữu hạn sử dụng để tính tốn số lượng

f Một cách tiếp cận mơ hình sử dụng rộng rãi giả định λ = X

là affine (Có thể với bước nhảy)... class="page_container" data-page="39">

pháp tường minh cho hầu hết ứng dụng cách giải tập hợpcác nghiệm PT Riccati

2.2.2 Mơ hình cường độ q trình affine

Định nghĩa 2.7 (Quá trình Affine)... 3.4)

Từ (15), theo công thức I-Tô ta có:

Ví dụ 2.4 (Cox, Ingersoll and Ross) Một q trình Cox, Ingersoll vàRoss (CIR) cho bởi:

dXt = κ(θ − Xt)dt + c√

XtBtQ