3 Các mô hình tín dụng với thông tin không đầy đủ
3.2.1 Quá trình xu hướng
Giả sử chỉ số rủi ro ( default indicator ) là Ht = 1τ≤t, khi đó xác suất sống sót (survival probability) tại thời điểm t, điều kiện trên bộ lọc thông tin của nhà đầu tư được cho bởi:
Lt = E(1−Nt|Ht) =P(τ > |Ht)
Do N là một quá trình không giảm, quá trình L là một martingale trên (supermartingale) trong đó Ls ≥ E(Lt|Fs) với t>s. Định lý khai triển Dood-Meyer nói rằng tồn tại duy nhất quá trình K là Ht- tăng khả đoán với K0 = 0 trong đó L+K là một H − martingale. Nếu chúng ta định nghĩa quá trình A -H- khả đoán bởi tích phân Stieljes:
At = R0t dKs
Ls−
trong đó ta coi L0− = 1, khi đó theo Jeulin và Yor (1978), chúng ta có mệnh đề sau :
Mệnh đề 3.1. Quá trình N −Aτ là một martingale với mối liên quan tới bộ lọc thông tin- Ht của nhà đầu tư.
Chúng ta gọi quá trình A là " xu hướng " (trend) của mô hình rủi ro
(τ,H). Việc giới thiệu các xu hướng đưa ra một đặc tính chung của các mô hình rủi ro dựa trên cường độ.
Định nghĩa 3.1. (Các mô hình dựa trên cường độ) Một mô hình rủi ro
(τ,H) gọi là có cường độ (intensity based) theo nghĩa mạnh, nếu tồn tại
Lt = e−R0tλsds
với t>0, trong khi đó theo nghĩa yếu:
At = R0tλsds .
Quá trình λ gọi là cường độ của mô hình.
Một yêu cầu hình thức biện minh cho định nghĩa của chúng ta được đưa ra như sau:
Yêu cầu 3.1. Nếu một mô hình là có cường độ theo nghĩa mạnh, thì nó cũng là có cường độ theo nghĩa yếu; Ngược lại, phần bù của H trong L là
1-L.
Chứng minh : Trong thực hành, dễ thấy điều kiện K=1-L là đủ đối với: At = −logLt
Điều kiện H - phần bù của L là 1-L tầm thường, nếu L là không đổi và F
là khả đoán, điều này đúng cho mọi trường hợp. Trong điều kiện kỹ thuật, với t<s: q(t, s) = P(τ ≤ s|Ht) = P(τ > t|Ht)−P(τ > s|Ht) P(τ > t|Ht) = 1− E(Ls|Ht) Lt = 1−E(eAt−As|Ht) (26) Từ đó Lt = e−At
Mệnh đề 3.2. Nếu mô hình là có cường độ theo nghĩa mạnh với cường độ λ liên tục phải, khi đó cho t<τ:
lim
ε→0+S(t, t+ε) = 1
ε εlim→0+q(t, t+ ε) = λt
Kết quả này khác với những gì chúng ta có trong mục 2.1.5, ở đó theo thông tin đầy đủ lim
ε→0+S(t, t+ ε) = 1
ε εlim→0+q(t, t+ ε) = λt = 0. Nó cũng chứng tỏ rằng định nghĩa trên cũng có mối liên hệ tự nhiên với các mô hình cấu trúc với thông tin đầy đủ.