Luận văn giải tích malliavn và ứng dụng luận văn ths toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 M cl c L i nói đ u iii Cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng 1.1 Trư ng h p m t chi u 1.1.1 V n đ đ nh y 1.1.2 M t đ c a phân b 1.1.3 1.2 Kỳ v ng có u ki n Trư ng h p nhi u chi u Gi i tích Malliavin Brown 2.1 12 Trư ng h p h u h n chi u 12 2.1.1 Các đ nh nghĩa tính ch t 12 2.1.2 Các toán t vi phân Các tính ch t b n 14 2.2 Trư ng h p vô h n chi u 18 2.2.1 Mi n xác đ nh t p Domp(D) = D1,p 2.2.2 Mi n xác đ nh t p Domp(δ) 20 2.2.3 19 Các tính ch t 20 2.3 2.2.4 Các ví d 25 2.2.5 Công th c Clark - Ocone 30 2.2.6 Mi n xác đ nh t p Domp(L) 31 2.2.7 Công th c tích phân t ng ph n 33 Chuy n đ ng Brown nhi u chi u 34 2.4 hàm b c cao cơng th c tích phân t ng ph n 41 2.5 ch tán 44 i Các đ o Quá trình khu 2.6 Ph l c Phân tích h n đ n Wiener (Wiener chaos decomposition) 48 Áp d ng vào Tài 3.1 53 Cơng th c Clark - Ocone danh m c đ u tư tái t o 53 3.2 Tính tốn đ nh y 57 3.2.1 T p Delta 59 3.2.2 M t s ví d khác 63 3.3 Kỳ v ng có u ki n 69 3.3.1 Th t c đư ng chéo công th c b n 69 3.3.2 Công th c đ a phương 74 ii L I NÓI Đ U Gi i tích Malliavin đư c hình thành t nh ng năm 70 c a th k XX đ n nh ng năm 80, 90 m t lư ng kh ng l công vi c đư c th c hi n lĩnh v c Lý thuy t ph n l n đư c xây d ng tính tốn ng u nhiên Itơ nh m m c đích nghiên c u c u trúc phân b c a không gian hàm Wiener Đ u tiên năm 1974, Malliavin dùng tiêu chu n liên t c t đ i đ ch ng minh r ng dư i u ki n Hormander phân b c a trình khu ch tán có m t đ m n v i cách ông ch ng minh đư c đ nh lý xác su t Hormander Sau ngư i ta dùng phương pháp gi i tích nhi u tốn khác có liên quan t i trình ng u nhiên Cu i ngư i ta tìm ng d ng c a gi i tích Malliavin phương pháp s xác su t, ch y u lĩnh v c tốn tài Nh ng ng d ng khác nh ng phương pháp trư c b i cơng th c tích phân t ng ph n gi i tích Malliavin đư c dùng đ gi i thích m t cách ch c ch n v n đ thu t toán phi n B c c lu n văn g m ba chương : Chương 1: "Công th c tích phân t ng ph n tr u tư ng " Chương nh m gi i thi u cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng T ta đưa đư c nh ng k t qu quan tr ng : v n đ đ nh y, m t đ c a phân b kỳ v ng có u ki n Chương 2: "Gi i tích Malliavin Brown" Chương đưa khái ni m v hàm đơn gi n, trình đơn gi n, t khái ni m ngư i ta m i đưa đ nh nghĩa đ o hàm Malliavin Ti p theo đưa đ nh nghĩa tích phân Skorohod, m i quan h gi a tích phân Skorohod v i tích phân Itơ, t m i quan h ta th y đư c tích phân Skorohod m r ng c a tích phân Itơ th Áp d ng cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng đ suy đư c tính ch t quan tr ng c a tích phân : cơng th c đ i ng u, quy t c chu i, công th c Clark - Ocone cơng th c tích phân t ng ph n Malliavin Ngồi chương cịn gi i thi u trình khu ch tán phân tích h n đ n Wiener, t p Domp(D), Domp(δ), Domp(L) Chương 3: "Áp d ng vào tài chính" Ta áp d ng k t qu c a chương iii chương vào chương Trư c tiên áp d ng công th c Clark - Ocone đ tìm danh m c đ u tư tái t o, t c tìm đư c nh ng c phi u φit đ l a ch n vi c đ u tư tái t o; tìm giá c a tùy ch n (H, T ) ki u châu âu t i th i m t, nghĩa t i kỳ h n toán T tương ng v i chi tr ng u nhiên H Áp d ng vi c tính tốn đ nh y chương cơng th c tích phân t ng ph n Malliavin đ tính tốn đ nh y Vi c tính toán đ nh y cho ta bi t phương án đ u tư có an tồn hay khơng, đ nh y th p phương án đ u tư an toàn ngư c l i đ nh y cao c n tính đ n vi c thay đ i phương án đ u tư khác M t áp d ng n a tính kỳ v ng có u ki n, tính kỳ v ng có u ki n giúp ta quy t đ nh có bán c phi u theo giá b o hi m hay không Lu n văn đư c d a s tài li u "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" c a tác gi : Vlad Bally trư ng đ i h c Paris - Est Marne la - Vallée, Lucia Caramellino trư ng đ i h c Roma -Tor Vergata Luana Lombardi trư ng đ i h c L'Aquila Tơi xin t lịng kính tr ng bi t ơn sâu s c đ n th y cô trư ng đ i h c Khoa h c t nhiên - Đ i h c Qu c gia Hà N i th y cô vi n Toán h c trang b ki n th c, dìu d t t o u ki n cho th i gian h c t p t i đây, đ c bi t th y TS Nguy n Th nh t n tình hư ng d n, giúp đ , ch b o tơi hồn thành lu n văn Hà N i, ngày 01 tháng năm 2015 Bùi Hùng Cư ng iv Chương Cơng th c tích phân t ng ph n tr u tư ng Trong chương này, ta s nghiên c u m t phép tính Malliavin tr u tư ng, cơng th c tích phân t ng ph n ta nh n m nh vài k t qu quan tr ng :tính tốn đ nh y, m t đ c a phân b kỳ v ng có u ki n 1.1 Trư ng h p m t chi u Cho (Ω, Φ, P) m t không gian xác su t E kỳ v ng chu n P B Ck(Rd) c Ck(Rd) không gian hàm f : Rd → R kh vi liên t c b c k, compact b đ o hàm đư c h n ch t p tương ng Khi hàm kh vi vơ h n, ta có t p tương ng C∞(Rd) C∞(Rd) c b Đ nh nghĩa 1.1.1: Cho F, G : Ω → R bi n ng u nhiên kh tích Ta nói r ng cơng th c tích phân t ng ph n IP (F ; G) n u t n t i bi n ng u nhiên kh tích H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ C∞(R) c (1.1) Hơn n a, ta có cơng th c tích phân t ng ph n IPk(F ; G) n u t n t i bi n ng u nhiên kh tích Hk(F ; G) cho: IPk(F ; G) : E(φ(k)(F )G) = E (φ(F )Hk(F ; G)) , ∀φ ∈ C∞(R) c (1.2) Nh n xét 1.1.2: - B ng cách s d ng k t qu tiêu chu n quy, có th ki m tra hàm C∞(R) c IPk(F ; G) có th chuy n thành Ck(R) ho c C∞(R), Ck(R) c b b - Rõ ràng IP1(F ; G) IP (F ; G) H1(F ; G) H(F ; G) Hơn n a, n u ta có cơng th c IP (F ; G) IP (F ; H(F ; G)) ta s suy cơng th c IP2(F ; G) v i H2(F ; G) = H(F ; H(F ; G)) Tương t v y cho đ o hàm b c cao Ví d : Trong IPk(F ; 1) cho xác đ nh Hk(F ; 1) ≡ Hk(F ) b ng cách xác đ nh l i: H0(F ) = 1, Hk(F ) = H(F ; Hk−1(F )), k ≥ - N u có cơng th c IP (F ; G) t E(H(F ; G)) = suy G = (1.1) Hơn n a, H(F ; G) IP (F ; G) không ph i nh t : V i b t kỳ bi n ng u nhiên R th a mãn E(φ(F )R) = (nghĩa E(R |F ) = 0) ta có th s d ng H(F ; G) + R ( th c t E(H(F ; G) |F )) nh t ) Trong s h c u đóng vai trị quan tr ng b i n u ta mu n tính E(φ(F )H(F ; G)) s d ng phương pháp Monte Carlo có th cho ta phương sai t i thi u Cũng lưu ý r ng đ th c hi n thu t tốn Monte Carlo ta có mơ ph ng F H(F ; G) Trong m t s trư ng h p, H(F ; G) có th tính tốn tr c ti p Nhưng gi i tích Malliavin cho ta m t h th ng phép toán đ tính tốn u Thư ng ng d ng F l i gi i c a phương trình ng u nhiên H(F ; G) xu t hi n m t s t ng h p c a toán t vi phân F Nh ng u có liên quan t i phương trình ng u nhiên v y ta có th s d ng m t s x p x c a phương trình đ t o thu t toán c th Ví d : Cho f = ∆ G = g(∆) f, g hàm kh vi ∆ bi n ng u nhiên Gauss có kỳ v ng c a phương sai σ Khi đó: E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆)∆ − g (∆)] σ v y ta có cơng th c IP (F ; G) v i H(F ; G) = g(∆)∆ − g (∆) T σ ti p c a công th c tích phân t ng ph n v i s (1.3) ng d ng tr c có m t c a m t đ Gauss p(x) = √ exp(− x ) ta có : 2 2πσ 2σ E(f (∆)g(∆)) = (x)g(x)p(x)dx f =− (x))dx f (x)(g (x)p(x) + g(x)p = f (x)[g (x) + g(x)p ((x))]p(x)dx − x p = E(f (∆)[g(∆)∆ − g (∆)]) σ Gi i tích Malliavin t o H(F ; G) cho m t l p l n bi n ng u nhiên - (1.3) đ i di n cho ví d đơn gi n ki u này, khơng ph i m c tiêu c a ph n ta ch đưa m t vài h qu c a tính ch t 1.1.1 V n đ đ nh y Trong nhi u ng d ng ta xem xét đ n nh ng s có d ng E(φ(F x)) F x m t lo i bi n ng u nhiên ch s tham s h u h n x M t ví d n hình F x = Xx t m t trình khu ch tán b t đ u t x Đ nghiên c u đ nh y c a y u t v i tham s x, ta ch ng minh r ng x → E(φ(F x)) kh vi tìm bi u th c đ o hàm c a Có hai cách đ gi i quy t v n đ này, : cách ti p c n theo t ng qu đ o ho c cách ti p c n theo phân b Cách ti p c n theo t ng qu đ o : gi s r ng x → F x(ω) kh vi h u kh p nơi ω ( trư ng h p x → Xx(ω) ví d ) φ kh vi Khi : t ∂xE(φ(F x)) = E (φ (F x)∂xF x) cách ti p c n không th c hi n đư c n u φ không kh vi Cách ti p c n theo phân b : vư t qua tr ng i nh s d ng s uy n chuy n m t đ c a phân b c a F x Vì v y cách ti p c n ta gi thi t r ng F x ∼ px(y)dy x → px(y) kh vi v i m i y Khi đó: ∂xE(φ(F x)) = φ(y)∂xpx(y)dy = φ(y)∂x ln px(y)px(y)dy = E (φ(F x)∂x ln px(F )) ...ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 M cl c L... đưa đ nh nghĩa tích phân Skorohod, m i quan h gi a tích phân Skorohod v i tích phân Itô, t m i quan h ta th y đư c tích phân Skorohod m r ng c a tích phân Itô th Áp d ng công th c tích phân t ng... trư c b i công th c tích phân t ng ph n gi i tích Malliavin đư c dùng đ gi i thích m t cách ch c ch n v n đ thu t toán phi n B c c lu n văn g m ba chương : Chương 1: "Công th c tích phân t ng ph