Giải tích malliavn và ứng dụng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số : 60 46 01 06 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN THỊNH Hà Nội - 2015 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 Mục lục Lời nói đầu Công thức tích phân phần trừu tượng 1.1 1.2 2.2 Trường hợp chiều 1.1.1 Vấn đề độ nhạy 1.1.2 Mật độ phân bố 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp nhiều chiều Giải tích Malliavin Brown 2.1 iii 12 Trường hợp hữu hạn chiều 12 2.1.1 Các định nghĩa tính chất 12 2.1.2 Các toán tử vi phân Các tính chất 14 Trường hợp vô hạn chiều 18 2.2.1 Miền xác định tập Domp (D) = D1,p 2.2.2 Miền xác định tập Domp (δ) 20 2.2.3 Các tính chất 20 2.2.4 Các ví dụ 25 2.2.5 Công thức Clark - Ocone 30 2.2.6 Miền xác định tập Domp (L) 31 2.2.7 Công thức tích phân phần 33 19 2.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 34 2.4 Các đạo hàm bậc cao công thức tích phân phần 41 2.5 Quá trình khuếch tán 44 i 2.6 Phụ lục Phân tích hỗn độn Wiener (Wiener chaos decomposition) 48 Áp dụng vào Tài 53 3.1 Công thức Clark - Ocone danh mục đầu tư tái tạo 53 3.2 Tính toán độ nhạy 57 3.3 3.2.1 Tập Delta 59 3.2.2 Một số ví dụ khác 63 Kỳ vọng có điều kiện 69 3.3.1 Thủ tục đường chéo công thức 69 3.3.2 Công thức địa phương 74 ii LỜI NÓI ĐẦU Giải tích Malliavin hình thành từ năm 70 kỷ XX đến năm 80, 90 lượng khổng lồ công việc thực lĩnh vực Lý thuyết phần lớn xây dựng tính toán ngẫu nhiên Itô nhằm mục đích nghiên cứu cấu trúc phân bố không gian hàm Wiener Đầu tiên năm 1974, Malliavin dùng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối để chứng minh điều kiện Hormander phân bố trình khuếch tán có mật độ mịn với cách ông chứng minh định lý xác suất Hormander Sau người ta dùng phương pháp giải tích nhiều toán khác có liên quan tới trình ngẫu nhiên Cuối người ta tìm ứng dụng giải tích Malliavin phương pháp số xác suất, chủ yếu lĩnh vực toán tài Những ứng dụng khác phương pháp trước công thức tích phân phần giải tích Malliavin dùng để giải thích cách chắn vấn đề thuật toán phi tuyến Bố cục luận văn gồm ba chương : Chương 1: “Công thức tích phân phần trừu tượng ” Chương nhằm giới thiệu công thức tích phân phần trừu tượng Từ ta đưa kết quan trọng : vấn đề độ nhạy, mật độ phân bố kỳ vọng có điều kiện Chương 2: “Giải tích Malliavin Brown” Chương đưa khái niệm hàm đơn giản, trình đơn giản, từ khái niệm người ta đưa định nghĩa đạo hàm Malliavin Tiếp theo đưa định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan hệ tích phân Skorohod với tích phân Itô, từ mối quan hệ ta thấy tích phân Skorohod mở rộng tích phân Itô Áp dụng công thức tích phân phần trừu tượng để suy tính chất quan trọng tích phân : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark – Ocone công thức tích phân phần Malliavin Ngoài chương giới thiệu trình khuếch tán phân tích hỗn độn Wiener, tập Domp (D), Domp (δ), Domp (L) Chương 3: “Áp dụng vào tài chính” Ta áp dụng kết chương iii chương vào chương Trước tiên áp dụng công thức Clark – Ocone để tìm danh mục đầu tư tái tạo, tức tìm cổ phiếu φit để lựa chọn việc đầu tư tái tạo; tìm giá tùy chọn (H, T ) kiểu châu âu thời điểm t, nghĩa kỳ hạn toán T tương ứng với chi trả ngẫu nhiên H Áp dụng việc tính toán độ nhạy chương công thức tích phân phần Malliavin để tính toán độ nhạy Việc tính toán độ nhạy cho ta biết phương án đầu tư có an toàn hay không, độ nhạy thấp phương án đầu tư an toàn ngược lại độ nhạy cao cần tính đến việc thay đổi phương án đầu tư khác Một áp dụng tính kỳ vọng có điều kiện, tính kỳ vọng có điều kiện giúp ta định có bán cổ phiếu theo giá bảo hiểm hay không Luận văn dựa sở tài liệu "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" tác giả : Vlad Bally trường đại học Paris - Est Marne - la - Vallée, Lucia Caramellino trường đại học Roma -Tor Vergata Luana Lombardi trường đại học L’Aquila Tôi xin tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy cô trường đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội thầy cô viện Toán học trang bị kiến thức, dìu dắt tạo điều kiện cho thời gian học tập đây, đặc biệt thầy TS Nguyễn Thịnh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015 Bùi Hùng Cường iv Chương Công thức tích phân phần trừu tượng Trong chương này, ta nghiên cứu phép tính Malliavin trừu tượng, công thức tích phân phần ta nhấn mạnh vài kết quan trọng :tính toán độ nhạy, mật độ phân bố kỳ vọng có điều kiện 1.1 Trường hợp chiều Cho (Ω, F, P) không gian xác suất E kỳ vọng chuẩn P Bộ Cck (Rd ) Cbk (Rd ) không gian hàm f : Rd → R khả vi liên tục bậc k, compact đạo hàm hạn chế tập tương ứng Khi hàm khả vi vô hạn, ta có tập tương ứng Cc∞ (Rd ) Cb∞ (Rd ) Định nghĩa 1.1.1: Cho F, G : Ω → R biến ngẫu nhiên khả tích Ta nói công thức tích phân phần IP (F ; G) tồn biến ngẫu nhiên khả tích H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.1) Hơn nữa, ta có công thức tích phân phần IPk (F ; G) tồn biến ngẫu nhiên khả tích Hk (F ; G) cho: IPk (F ; G) : E(φ(k) (F )G) = E (φ(F )Hk (F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.2) Nhận xét 1.1.2: - Bằng cách sử dụng kết tiêu chuẩn quy, kiểm tra hàm Cc∞ (R) IPk (F ; G) chuyển thành Cck (R) Cb∞ (R), Cbk (R) - Rõ ràng IP1 (F ; G) IP (F ; G) H1 (F ; G) H(F ; G) Hơn nữa, ta có công thức IP (F ; G) IP (F ; H(F ; G)) ta suy công thức IP2 (F ; G) với H2 (F ; G) = H(F ; H(F ; G)) Tương tự cho đạo hàm bậc cao Ví dụ: Trong IPk (F ; 1) cho xác định Hk (F ; 1) ≡ Hk (F ) cách xác định lại: H0 (F ) = 1, Hk (F ) = H(F ; Hk−1 (F )), k ≥ - Nếu có công thức IP (F ; G) từ E(H(F ; G)) = suy G = (1.1) Hơn nữa, H(F ; G) IP (F ; G) : Với biến ngẫu nhiên R thỏa mãn E(φ(F )R) = (nghĩa E(R |F ) = 0) ta sử dụng H(F ; G) + R ( thực tế E(H(F ; G) |F )) ) Trong số học điều đóng vai trò quan trọng ta muốn tính E(φ(F )H(F ; G)) sử dụng phương pháp Monte Carlo cho ta phương sai tối thiểu Cũng lưu ý để thực thuật toán Monte Carlo ta có mô F H(F ; G) Trong số trường hợp, H(F ; G) tính toán trực tiếp Nhưng giải tích Malliavin cho ta hệ thống phép toán để tính toán điều Thường ứng dụng F lời giải phương trình ngẫu nhiên H(F ; G) xuất tổng hợp toán tử vi phân F Những điều có liên quan tới phương trình ngẫu nhiên ta sử dụng số xấp xỉ phương trình để tạo thuật toán cụ thể Ví dụ: Cho f = ∆ G = g(∆) f, g hàm khả vi ∆ biến ngẫu nhiên Gauss có kỳ vọng phương sai σ Khi đó: E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆) ∆ − g (∆)] σ (1.3) ∆ − g (∆) Từ ứng dụng trực σ tiếp công thức tích phân phần với có mặt mật độ Gauss ta có công thức IP (F ; G) với H(F ; G) = g(∆) p(x) = √ x2 exp(− ) ta có : 2σ 2πσ E(f (∆)g(∆)) = f (x)g(x)p(x)dx =− f (x)(g (x)p(x) + g(x)p (x))dx =− f (x)[g (x) + g(x) = E(f (∆)[g(∆) p (x) ]p(x)dx p(x) ∆ − g (∆)]) σ Giải tích Malliavin tạo H(F ; G) cho lớp lớn biến ngẫu nhiên - (1.3) đại diện cho ví dụ đơn giản kiểu này, mục tiêu phần Ở ta đưa vài hệ tính chất 1.1.1 Vấn đề độ nhạy Trong nhiều ứng dụng ta xem xét đến số có dạng E(φ(F x )) F x loại biến ngẫu nhiên số tham số hữu hạn x Một ví dụ điển hình F x = Xtx trình khuếch tán x Để nghiên cứu độ nhạy yếu tố với tham số x, ta chứng minh x → E(φ(F x )) khả vi tìm biểu thức đạo hàm Có hai cách để giải vấn đề này, : cách tiếp cận theo quỹ đạo cách tiếp cận theo phân bố Cách tiếp cận theo quỹ đạo : giả sử x → F x (ω) khả vi hầu khắp nơi ω ( trường hợp x → Xtx (ω) ví dụ) φ khả vi Khi : ∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) cách tiếp cận không thực φ không khả vi Cách tiếp cận theo phân bố : vượt qua trở ngại nhờ sử dụng uyển chuyển mật độ phân bố F x Vì cách tiếp cận ta giả thiết F x ∼ px (y)dy x → px (y) khả vi với y Khi đó: ∂x E(φ(F x )) = φ(y)∂x px (y)dy = φ(y)∂x ln px (y)px (y)dy = E (φ(F x )∂x ln px (F )) Đôi người ta gọi ∂x ln px (F ) hàm điểm Nhưng cách làm dùng ta biết mật độ phân bố F x Nếu mật độ phân bố F x sử dụng công thức tích phân phần IP (F x ; ∂x F x ) ta có đẳng thức : ∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) = E (φ(F x )H(F x ; ∂x F x )) Ta thấy đẳng thức φ không khả vi đạo hàm số hạng đầu cuối Trong thực tế ta sử dụng số lập luận thông thường sau chuyển qua giới hạn Do ta thu H(F x ; ∂x F x ) Giải tích Malliavin máy cho phép tính toán số lượng lớn lớp biến ngẫu nhiên cho trường hợp mật độ phân bố cách rõ ràng (ví dụ trình khuếch tán) Đây cách tiếp cận Fourni’e, [12] [13] tính toán kiểu Hy Lạp (độ nhạy giá người châu Âu lựa chọn người Mỹ với tham số định) vấn đề Toán tài 1.1.2 Mật độ phân bố Sau ký hiệu 1A (x) 1x∈A   1, x ∈ A hàm tiêu, nghĩa là: 1A (x) =  0, x ∈ /A Bổ đề 1.1.3 Giả sử F thỏa mãn công thức IP (F ; 1) Khi phân bố F liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue mật độ phân bố cho bởi: p(x) = E(1[x,∞) (F )H(F ; 1)) (1.4) Hơn p liên tục p(x) → |x| → ∞ Chứng minh: Hình thức lập luận sau: Từ δ0 (y) = ∂y 1[0;∞) (y), áp dụng công thức IP (F ; 1) ta có E(δ0 (F − x)) = E ∂y 1[0;∞) (F − x) = E 1[0;∞) (F − x)H1 (F ; 1) = E(1[x;∞) (F )H(F ; 1)) Sử dụng (3.19) ta dễ nhận  T ρ ηt dBt2 − ∂ρ ST = ST   T 1− ηt dBt1  = ST G ρ2 (3.21) với T T ηt dBt2 G= ρ − 1− ρ2 ηt dBt1 (3.22) T Ta sử dụng quy tắc chuỗi Dexp(F ) = exp(F )DF , mối liên hệ Dsi φr dWri = φs mối liên hệ (3.21) để thu T T Ds1 ST = ST Ds1 0 1− = ST ρ2 ηt dBt2 ηt dBt1 + ρ − ρ2 × ηs = ∂ρ ST ηs (3.23) − ρ2 G − ρ2 G Sử dụng công thức đối ngẫu B ta nhận   T G E (φ (ST )∂ρ ST ) = E  Ds1 φ(ST ) ds = E (φ(ST )Θρ ) ηs T − ρ2 Ds1 φ(ST ) = φ (ST )Ds1 ST = φ (ST )∂ρ ST ηs Θρ = T 1− ρ2 δ1 G η Bây giờ, sử dụng tính chất tích phân Skorohod tích trình tương thích, ta có T δ1 G η η = Gδ1 − ds = ηs Hơn nữa, dễ thấy Ds1 G = − T Θρ = G ηs−1 dBs1 + ηs−1 dBs1 − ρ − ρ2 kết luận ta nói với T T Ds1 G Ds1 G ds ηs ηs ∂ρ E (φ(ST )) = E (φ(ST )Θρ ) ρT − ρ2 66 Độ nhạy biến động cho tùy chọn thay đổi Cho S S hai tài sản tài sau dSt1 = rSt1 dt + σ1 St1 dWt1 , S01 = x1 dSt2 = rSt2 dt + σ2 St2 dWt2 , S02 = x2 W W hai chuyển động Brown với mối liên hệ d W1 , W2 t = ρdt, ρ ∈ (−1, 1) Xem xét tùy chọn trả đô la ST1 > ST2 , tức số phải trả φ = 1{S >S } T T Ở ta muốn tính toán độ nhạy biến động, ví dụ ∂σ1 Π Đầu tiên ta viết Wt1 = − ρ2 Bt1 + ρBt2 , Wt2 = Bt2 B B hai chuyển động Brown độc lập Khi W W hai chuyển động Brown với mối liên hệ ρ phương trình vi phân liên quan tới (S , S ) trở thành dSt1 = rSt1 dt + σ1 St1 − ρ2 dBt1 + ρdBt2 , dSt2 = rSt2 dt + σ2 St2 dBt2 , S01 = x1 S02 = x2 Tại thời điểm T ta có ST1 = x1 exp (r − σ12 )T + σ1 − ρ2 BT1 + σ1 ρBT2 ST2 = x2 exp (r − σ22 )T + σ2 BT2 Bây ta đặt ST = ST1 x1 = exp ST2 x2 (σ − σ22 )T + σ1 1 − ρ2 BT1 + (σ1 ρ − σ2 )BT2 (3.24) ta muốn tính ∂σ1 E(1[1,∞) (ST )) Đặt Π = E(φ(ST )) ∂σ1 Π = E [φ(ST )∂σ1 ST ] 67 (3.25) Chú ý − ρ2 BT1 + ρBT2 ∂σ1 ST = ST (3.26) ∂σ1 ST ST = (3.27) − ρ2 BT1 + ρBT2 Giờ Ds1 ST = ST Ds1 σ1 − ρ2 = ST σ1 − ρ2 σ1 = ∂σ1 ST − ρ2 BT1 + (σ1 ρ − σ2 )BT2 − ρ2 BT1 + ρBT2 − ρ2 σ1 Ds1 (φ(ST )) = φ (ST )Ds1 ST = φ (ST )∂σ1 ST − ρ2 BT1 + ρBT2 Do φ (ST )∂σ1 ST = Ds1 (φ(ST )) − ρ2 BT1 + ρBT2 σ1 (3.28) − ρ2 Sử dụng công thức đối ngẫu B , ta có   B + ρB − ρ D (φ(S )) T T s T T E (φ (ST )∂σ1 ST ) = E  ds T σ1 − ρ = G = T σ1 − ρ2 E (φ(ST )δ1 (G)) − ρ2 BT1 + ρBT2 T Ds1 Gds từ Ds1 G = Giờ δ1 (G) = Gδ1 (1) − − ρ2 1s[...]... mẫu bằng 0 Chứng minh d Chứng minh tương tự như Bổ đề 1.1.7, sử dụng hàm φδ (x) = i=1 10 φδ (xi ) và Φδ (x) = d Φδ (xi ) và thực tế rằng ∂ (1, ,1) Φδ (x) = φδ (x) ta có điều phải chứng minh i=1 11 Chương 2 Giải tích Malliavin Brown 2.1 Trường hợp hữu hạn chiều Trong phần này ta giới thiệu những hàm đơn giản hữu hạn chiều và quá trình đơn giản hữu hạn chiều Ta định nghĩa đạo hàm Malliavin và tích phân... hạn mà giảm đến vô hạn cùng với tất cả các đạo hàm Chứng minh : i) Lập luận chính của chứng minh phần (i) là dựa trên cơ sở δ0 (y) = ∂(1, ,1) 1I(0) (y) và công thức tích phân từng phần Để chặt chẽ, ta có thể sử dụng quy tắc hàm Dirac như trong chứng minh Bổ đề 1.1.3 ii) Để chứng minh (ii) ta có thể sử dụng như " phân phối Schwartz" lập luận như chứng minh Bổ đề 1.1.5 Cuối cùng, để thu được giới hạn... phù hợp Nhận xét 2.1.7 (Tích phân Skorohod và tích phân Ito) Ta đã chú ý rằng quá trình U ∈ Pn là Ft - tương thích nếu và chỉ nếu uk (∆n ) chỉ phụ ∂uk = 0 và trong trường hợp này thuộc vào các biến ∆1n , , ∆k−1 n Do đó ∂xk 1 2n −1 uk (∆n )∆kn = δ(U ) = k=0 Us dWs 0 nghĩa là δ(U ) trùng với tích phân Ito đối với W Điều này cho thấy rằng tích phân Skorohod nhằm mục đích mở rộng tích phân Ito qua tập... đúng với φ ∈ Cp1 (Rm ) (iii) [Tích phân Skorohod của một tích ] Cho U ∈ Dom2 (δ) và F ∈ D1,2 sao cho Fu ∈ Dom2 (δ) Khi đó : δ(F U ) = F δ(U ) − DF, U Chứng minh (i) Cho F ∈ Dom2 (D) và U ∈ Dom2 (δ) Lấy {Fn }n ⊂ S và {Un }n ⊂ P , sao cho khi n → ∞, ta có Fn → F, δ(Un ) → δ(U ) trong L2 (Ω) và DFn → DF, Un → U trong L2 (H1 ) Bằng cách áp dụng mối liên hệ đối ngẫu giữa S và P (Định lý 2.1.8.) E( DF, U... thể chứng minh mối liên hệ giữa đạo hàm Malliavin với tích phân 15 Skorohod và nghiên cứu những tính chất trực tiếp của các toán tử Định lý 2.1.8 (i) [Đối ngẫu] Với bất kỳ F ∈ S và U ∈ P ta có : E( DF, U ) = E(F δ(U )) (ii) [Quy tắc chuỗi] Cho F = (F 1 , , F m ) trong đó F i ∈ S, i = 1, , m và Φ ∈ Cp∞ (Rm ) Khi đó Φ(F ) ∈ S và : m ∂xi Φ(F )DF i DΦ(F ) = i=1 (iii) [Tích phân Skorohod của một tích] ... cách nhắc lại tích phân Skorohod và tích phân Ito trùng với quá trình tương thích, ta có: 1 δ(u) = xW1 + (y − x) 1 Wt dWt − δ(vW1 ) tdWt + 0 0 29 trong đó v(t) = t Sử dụng (iii) của định lý 2.2.6 1 1 tdWt − δ(vW1 ) = W1 0 1 tdWt − Dt W1 tdt = W1 0 1 2 0 Hơn nữa áp dụng công thức Ito cho f (Wt ) = Wt2 và với g(t, Wt ) = tWt ta có : 1 1 1 Wt dWt = (W12 − 1) và 2 0 1 tdWt = W1 − 0 Wt dt tương ứng 0 1 1 Khi... Công thức biểu diễn tích phân (1.7) cho phép có được giới hạn trên của các đạo hàm của mật độ p Đặc biệt giả sử F hữu hạn với bậc tùy ý và thỏa mãn công thức IPi (F ; 1) với ∀i ∈ N và Hi (F ; 1) là bình phương khả tích Khi đó p là khả vi vô hạn và : q − (i) p (x) ≤ P(F > x) Hi (F ; 1) 2 ≤ Cx 2 , ∀q ∈ N Vì vậy p ∈ S, không gian Schwartz của các hàm giảm nhanh Tích phân từng phần và các mật độ Bổ đề... k ∂x 2 Ta dễ dàng chứng minh (ii) (iii) Lấy G ∈ S Bằng cách sử dụng công thức đối ngẫu và quy tắc chuỗi, ta có : E[Gδ(F U )] = E[ DG, F U ] = E[ F DG, U ] = E[ D(GF ) − GDF, U ] = E[ D(GF ), U ]−E[G DF, U ] = E[GF δ(U )] − E [ DF, U ] 16 Khi đó : E[Gδ(F U )] = E[G(F δ(U ) − DF, U )] với bất kỳ G ∈ S và suy ra (iii) được chứng minh Bây giờ ta đã sẵn sàng để chứng minh công thức tích phân từng phần... chứng minh sự khẳng định liên quan đến p - chuẩn Ta có thể giả thiết rằng F n − F → 0 Vì sup F n F¯n → F đối với n 1,p 1,p ≤ Cp ta có thể sử dụng tính khả tích để nhận được : , p < p Khi đó : F Và cuối cùng F 1,p 1,p ≤ sup F n ≤ sup F p ... người ta tìm ứng dụng giải tích Malliavin phương pháp số xác suất, chủ yếu lĩnh vực toán tài Những ứng dụng khác phương pháp trước công thức tích phân phần giải tích Malliavin dùng để giải thích... theo đưa định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan hệ tích phân Skorohod với tích phân Itô, từ mối quan hệ ta thấy tích phân Skorohod mở rộng tích phân Itô Áp dụng công thức tích phân phần trừu... Bùi Hùng Cường GIẢI TÍCH MALLIAVIN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2015 Mục lục Lời nói đầu Công thức tích phân phần trừu tượng 1.1