Giải tích Malliavin và ứng dụng

Header Page of 27 Mục lục Lời nói đầu Cơng thức tích phân phần trừu tượng 1.1 1.2 2.2 Trường hợp chiều 1.1.1 Vấn đề độ nhạy 1.1.2 Mật độ phân bố 1.1.3 Kỳ vọng có điều kiện Trường hợp nhiều chiều Giải tích Malliavin Brown 2.1 iii 12 Trường hợp hữu hạn chiều 12 2.1.1 Các định nghĩa tính chất 12 2.1.2 Các tốn tử vi phân Các tính chất 14 Trường hợp vô hạn chiều 18 2.2.1 Miền xác định tập Domp (D) = D1,p 2.2.2 Miền xác định tập Domp (δ) 20 2.2.3 Các tính chất 20 2.2.4 Các ví dụ 25 2.2.5 Công thức Clark - Ocone 30 2.2.6 Miền xác định tập Domp (L) 31 2.2.7 Cơng thức tích phân phần 33 19 2.3 Chuyển động Brown nhiều chiều 34 2.4 Các đạo hàm bậc cao công thức tích phân phần 41 2.5 Quá trình khuếch tán 44 i Footer Page of 27 Header Page of 27 2.6 Phụ lục Phân tích hỗn độn Wiener (Wiener chaos decomposition) 48 Áp dụng vào Tài 53 3.1 Công thức Clark - Ocone danh mục đầu tư tái tạo 53 3.2 Tính tốn độ nhạy 57 3.3 3.2.1 Tập Delta 59 3.2.2 Một số ví dụ khác 63 Kỳ vọng có điều kiện 69 3.3.1 Thủ tục đường chéo công thức 69 3.3.2 Công thức địa phương 74 ii Footer Page of 27 Header Page of 27 LỜI NĨI ĐẦU Giải tích Malliavin hình thành từ năm 70 kỷ XX đến năm 80, 90 lượng khổng lồ công việc thực lĩnh vực Lý thuyết phần lớn xây dựng tính tốn ngẫu nhiên Itơ nhằm mục đích nghiên cứu cấu trúc phân bố không gian hàm Wiener Đầu tiên năm 1974, Malliavin dùng tiêu chuẩn liên tục tuyệt đối để chứng minh điều kiện Hormander phân bố q trình khuếch tán có mật độ mịn với cách ông chứng minh định lý xác suất Hormander Sau người ta dùng phương pháp giải tích nhiều tốn khác có liên quan tới q trình ngẫu nhiên Cuối người ta tìm ứng dụng giải tích Malliavin phương pháp số xác suất, chủ yếu lĩnh vực tốn tài Những ứng dụng khác phương pháp trước cơng thức tích phân phần giải tích Malliavin dùng để giải thích cách chắn vấn đề thuật toán phi tuyến Bố cục luận văn gồm ba chương : Chương 1: “Công thức tích phân phần trừu tượng ” Chương nhằm giới thiệu cơng thức tích phân phần trừu tượng Từ ta đưa kết quan trọng : vấn đề độ nhạy, mật độ phân bố kỳ vọng có điều kiện Chương 2: “Giải tích Malliavin Brown” Chương đưa khái niệm hàm đơn giản, trình đơn giản, từ khái niệm người ta đưa định nghĩa đạo hàm Malliavin Tiếp theo đưa định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan hệ tích phân Skorohod với tích phân Itơ, từ mối quan hệ ta thấy tích phân Skorohod mở rộng tích phân Itơ Áp dụng cơng thức tích phân phần trừu tượng để suy tính chất quan trọng tích phân : công thức đối ngẫu, quy tắc chuỗi, công thức Clark – Ocone cơng thức tích phân phần Malliavin Ngồi chương giới thiệu q trình khuếch tán phân tích hỗn độn Wiener, tập Domp (D), Domp (δ), Domp (L) Chương 3: “Áp dụng vào tài chính” Ta áp dụng kết chương iii Footer Page of 27 Header Page of 27 chương vào chương Trước tiên áp dụng cơng thức Clark – Ocone để tìm danh mục đầu tư tái tạo, tức tìm cổ phiếu φit để lựa chọn việc đầu tư tái tạo; tìm giá tùy chọn (H, T ) kiểu châu âu thời điểm t, nghĩa kỳ hạn toán T tương ứng với chi trả ngẫu nhiên H Áp dụng việc tính tốn độ nhạy chương cơng thức tích phân phần Malliavin để tính tốn độ nhạy Việc tính tốn độ nhạy cho ta biết phương án đầu tư có an tồn hay khơng, độ nhạy thấp phương án đầu tư an toàn ngược lại độ nhạy cao cần tính đến việc thay đổi phương án đầu tư khác Một áp dụng tính kỳ vọng có điều kiện, tính kỳ vọng có điều kiện giúp ta định có bán cổ phiếu theo giá bảo hiểm hay không Luận văn dựa sở tài liệu "An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance" tác giả : Vlad Bally trường đại học Paris - Est Marne - la - Vallée, Lucia Caramellino trường đại học Roma -Tor Vergata Luana Lombardi trường đại học L’Aquila Tôi xin tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc đến thầy cô trường đại học Khoa học tự nhiên - Đại học Quốc gia Hà Nội thầy viện Tốn học trang bị kiến thức, dìu dắt tạo điều kiện cho thời gian học tập đây, đặc biệt thầy TS Nguyễn Thịnh tận tình hướng dẫn, giúp đỡ, bảo tơi hoàn thành luận văn Hà Nội, ngày 01 tháng năm 2015 Bùi Hùng Cường iv Footer Page of 27 Header Page of 27 Chương Công thức tích phân phần trừu tượng Trong chương này, ta nghiên cứu phép tính Malliavin trừu tượng, cơng thức tích phân phần ta nhấn mạnh vài kết quan trọng :tính tốn độ nhạy, mật độ phân bố kỳ vọng có điều kiện 1.1 Trường hợp chiều Cho (Ω, F, P) không gian xác suất E kỳ vọng chuẩn P Bộ Cck (Rd ) Cbk (Rd ) không gian hàm f : Rd → R khả vi liên tục bậc k, compact đạo hàm hạn chế tập tương ứng Khi hàm khả vi vô hạn, ta có tập tương ứng Cc∞ (Rd ) Cb∞ (Rd ) Định nghĩa 1.1.1: Cho F, G : Ω → R biến ngẫu nhiên khả tích Ta nói cơng thức tích phân phần IP (F ; G) tồn biến ngẫu nhiên khả tích H(F ; G) cho: IP (F ; G) : E(φ (F )G) = E (φ(F )H(F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) (1.1) Hơn nữa, ta có cơng thức tích phân phần IPk (F ; G) tồn biến ngẫu nhiên khả tích Hk (F ; G) cho: IPk (F ; G) : E(φ(k) (F )G) = E (φ(F )Hk (F ; G)) , ∀φ ∈ Cc∞ (R) Footer Page of 27 (1.2) Header Page of 27 Nhận xét 1.1.2: - Bằng cách sử dụng kết tiêu chuẩn quy, kiểm tra hàm Cc∞ (R) IPk (F ; G) chuyển thành Cck (R) Cb∞ (R), Cbk (R) - Rõ ràng IP1 (F ; G) IP (F ; G) H1 (F ; G) H(F ; G) Hơn nữa, ta có công thức IP (F ; G) IP (F ; H(F ; G)) ta suy cơng thức IP2 (F ; G) với H2 (F ; G) = H(F ; H(F ; G)) Tương tự cho đạo hàm bậc cao Ví dụ: Trong IPk (F ; 1) cho xác định Hk (F ; 1) ≡ Hk (F ) cách xác định lại: H0 (F ) = 1, Hk (F ) = H(F ; Hk−1 (F )), k ≥ - Nếu có cơng thức IP (F ; G) từ E(H(F ; G)) = suy G = (1.1) Hơn nữa, H(F ; G) IP (F ; G) : Với biến ngẫu nhiên R thỏa mãn E(φ(F )R) = (nghĩa E(R |F ) = 0) ta sử dụng H(F ; G) + R ( thực tế E(H(F ; G) |F )) ) Trong số học điều đóng vai trò quan trọng ta muốn tính E(φ(F )H(F ; G)) sử dụng phương pháp Monte Carlo cho ta phương sai tối thiểu Cũng lưu ý để thực thuật toán Monte Carlo ta có mơ F H(F ; G) Trong số trường hợp, H(F ; G) tính tốn trực tiếp Nhưng giải tích Malliavin cho ta hệ thống phép tốn để tính tốn điều Thường ứng dụng F lời giải phương trình ngẫu nhiên H(F ; G) xuất tổng hợp toán tử vi phân F Những điều có liên quan tới phương trình ngẫu nhiên ta sử dụng số xấp xỉ phương trình để tạo thuật tốn cụ thể Ví dụ: Cho f = ∆ G = g(∆) f, g hàm khả vi ∆ biến ngẫu nhiên Gauss có kỳ vọng phương sai σ Khi đó: E(f (∆)g(∆)) = E f (∆)[g(∆) ∆ − g (∆)] σ (1.3) ∆ − g (∆) Từ ứng dụng trực σ tiếp công thức tích phân phần với có mặt mật độ Gauss ta có cơng thức IP (F ; G) với H(F ; G) = g(∆) Footer Page of 27 Header Page of 27 p(x) = √ x2 exp(− ) ta có : 2σ 2πσ E(f (∆)g(∆)) = f (x)g(x)p(x)dx =− f (x)(g (x)p(x) + g(x)p (x))dx =− f (x)[g (x) + g(x) = E(f (∆)[g(∆) p (x) ]p(x)dx p(x) ∆ − g (∆)]) σ Giải tích Malliavin tạo H(F ; G) cho lớp lớn biến ngẫu nhiên - (1.3) đại diện cho ví dụ đơn giản kiểu này, khơng phải mục tiêu phần Ở ta đưa vài hệ tính chất 1.1.1 Vấn đề độ nhạy Trong nhiều ứng dụng ta xem xét đến số có dạng E(φ(F x )) F x loại biến ngẫu nhiên số tham số hữu hạn x Một ví dụ điển hình F x = Xtx trình khuếch tán x Để nghiên cứu độ nhạy yếu tố với tham số x, ta chứng minh x → E(φ(F x )) khả vi tìm biểu thức đạo hàm Có hai cách để giải vấn đề này, : cách tiếp cận theo quỹ đạo cách tiếp cận theo phân bố Cách tiếp cận theo quỹ đạo : giả sử x → F x (ω) khả vi hầu khắp nơi ω ( trường hợp x → Xtx (ω) ví dụ) φ khả vi Khi : ∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) cách tiếp cận không thực φ không khả vi Cách tiếp cận theo phân bố : vượt qua trở ngại nhờ sử dụng uyển chuyển mật độ phân bố F x Vì cách tiếp cận ta giả thiết F x ∼ px (y)dy x → px (y) khả vi với y Khi đó: ∂x E(φ(F x )) = φ(y)∂x px (y)dy = φ(y)∂x ln px (y)px (y)dy = E (φ(F x )∂x ln px (F )) Footer Page of 27 Header Page of 27 Đôi người ta gọi ∂x ln px (F ) hàm điểm Nhưng cách làm dùng ta biết mật độ phân bố F x Nếu mật độ phân bố F x sử dụng cơng thức tích phân phần IP (F x ; ∂x F x ) ta có đẳng thức : ∂x E(φ(F x )) = E (φ (F x )∂x F x ) = E (φ(F x )H(F x ; ∂x F x )) Ta thấy đẳng thức φ khơng khả vi khơng có đạo hàm số hạng đầu cuối Trong thực tế ta sử dụng số lập luận thơng thường sau chuyển qua giới hạn Do ta thu H(F x ; ∂x F x ) Giải tích Malliavin máy cho phép tính tốn số lượng lớn lớp biến ngẫu nhiên cho trường hợp mật độ phân bố khơng biết cách rõ ràng (ví dụ q trình khuếch tán) Đây cách tiếp cận Fourni’e, [12] [13] tính tốn kiểu Hy Lạp (độ nhạy giá người châu Âu lựa chọn người Mỹ với tham số định) vấn đề Tốn tài 1.1.2 Mật độ phân bố Sau ký hiệu 1A (x) 1x∈A   1, x ∈ A hàm tiêu, nghĩa là: 1A (x) =  0, x ∈ /A Bổ đề 1.1.3 Giả sử F thỏa mãn cơng thức IP (F ; 1) Khi phân bố F liên tục tuyệt đối độ đo Lebesgue mật độ phân bố cho bởi: p(x) = E(1[x,∞) (F )H(F ; 1)) (1.4) Hơn p liên tục p(x) → |x| → ∞ Chứng minh: Hình thức lập luận sau: Từ δ0 (y) = ∂y 1[0;∞) (y), áp dụng cơng thức IP (F ; 1) ta có E(δ0 (F − x)) = E ∂y 1[0;∞) (F − x) = E 1[0;∞) (F − x)H1 (F ; 1) = E(1[x;∞) (F )H(F ; 1)) Footer Page of 27 Header Page of 27 Để có suy luận xác, ta làm theo hàm Dirac Vì ta có hàm dương φ ∈ Cc∞ (R) nhận giá trị không đổi [-1;1] Như φ(y)dy = với δ > ta xác định φδ (y) = δ −1 φ(yδ −1 ) Hơn ta xác định Φδ nguyên hàm φδ , y Φδ (y) = φδ (z)dz ta xây dựng vài biến ngẫu nhiên θδ phân bố φδ (y)dy, −∞ mà độc lập với F Vì θδ hội tụ yếu tới δ → nên với f ∈ Cc∞ (R) ta có : E(f (F )) = lim E(f (F − θδ )) δ→0 (1.5) Đặt Λ phân bố F , ta viết : E(f (F − θδ )) = (f (u − v)φδ (v)dvdΛ(u) = f (z)φδ (u − z)dzdΛ(u) = f (z)E(φδ (F − z))dz = f (z)E(Φδ (F − z))dz = f (z)E(Φδ (F − z)H(F ; 1))dz Bây Φδ hạn chế δ Φδ (y) → 1[x,∞) (y) δ → với ∀ y Khi sử dụng định lý hội tụ Lebesgue thông qua giới hạn ta : E(f (F )) = f (z)E(1[z;∞) (F )H(F ; 1))dz với f ∈ Cc∞ (R), z → E(1[z;∞) (F )H(F ; 1)) hàm mật độ xác xuất F , hàm liên tục Thật vậy, zn → z ta có 1[zn ;∞) (F ) → 1[z;∞) (F ) Vì áp dụng định lý hội tụ Lebesgue, ta có: p(zn ) = E(1[zn ;∞) (F )H(F ; 1)) → E(1[z;∞) (F )H(F ; 1)) = p(z) tức p hàm liên tục Cuối cùng, z → +∞ 1[z;∞) (F ) → p(z) → Nếu thay z → −∞ ta sử dụng lập luận tương tự biểu diễn : p(x) = −E(1(−∞;x) (F )H(F ; 1)) (1.6) điều suy từ thực tế sau 1[x;+∞) = − 1(−∞;x) nhắc lại E(H(F ; 1)) = (Xem Nhận xét 1.1.2) Ta có điều cần chứng minh Nhận xét 1.1.4 [Bị chặn] Footer Page of 27 Header Page 10 of 27 Giả sử H(F ; 1) bình phương khả tích Khi sử dụng bất đẳng thức Chebishev ta có : p(x) ≤ P(F ≥ x) H(F ; 1) Đặc biệt, lim p(x) = tỉ lệ hội tụ điều chỉnh lên đến tận phân bố x→∞ −p/2 F Ví dụ F có bậc p hữu hạn cho p(x) ≤ Cx Điều đáng ý ví dụ, q trình khuếch tán thường có dạng mũ Vì vấn đề giới hạn cho hàm mật độ đơn giản ( Ngược lại, vấn đề giới hạn cho hàm mật độ thách thức lớn) Công thức áp dụng cho trường hợp x → ∞ Trường hợp tương tự x → −∞ ta sử dụng công thức (1.6) Bây ta nghiên cứu xa nghiên cứu vấn đề đạo hàm hàm mật độ Bổ đề 1.1.5: Giả sử ta có cơng thức IPi (F ; 1), i = 1, , k + Khi mật độ khả vi bậc k : p(i) (x) = (−1)i E(1(x;∞) (F )Hi+1 (F ; 1)), i = 0, 1, , k (1.7) Chứng minh: x Cho i = Ta xác định Ψδ (x) = Φδ (y)dy, Ψδ = φδ ta quay trở lại với −∞ chứng minh Bổ đề 1.1.3, sử dụng IP2 (F ; 1) ta có : E(φδ (F − z)) = E(Ψδ (F − z)) = E(Ψδ (F − z)H2 (F ; 1)) Do : E(f (F − θδ )) = Từ f (z)E(Ψδ (F − z)H2 (F ; 1))dz lim Ψδ (F − z) = (F − z)+ ta thu : δ→0 E(f (F )) = f (z)E((F − z)+ H2 (F ; 1))dz p(z) = E((F − z)+ H2 (F ; 1)) Cái hay biểu diễn tích phân mật độ z → (F − z)+ khả vi Lấy đạo hàm công thức cho ta : p (z) = −E(1[z;∞) (F )H2 (F ; 1)) Footer Page 10 of 27 Header Page 11 of 27 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Viết Phú - Nguyễn Duy Tiến: Cơ sở lý thuyết Xác suất, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2004 [2] Trần Hùng Thao: Nhập mơn Tốn học Tài chính, NXB Khoa học kỹ thuật, 2004 [3] Đặng Hùng Thắng: Xác suất nâng cao, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, 2013 [4] V Bally: An elementary introduction to Malliavin calculus Rapport de recherche 4718 INRIA, 2003 [5] V Bally, M.P Bavouzet, M Messaoud: Integration by parts formula for locally smooth laws and applications to sensitivity computations Annals of Applied Probability, 17, 33-66, 2007 [6] V Bally, L Caramellino, L Lombardi: An Introduction to Malliavin Calculus and its applications to Finance, 2010 [7] V Bally, L Caramellino, A Zanette: Pricing and Hedging American Options by Monte Carlo methods using a Malliavin calculus approach Monte Carlo Methods and Applications, 11, 121-137, 2005 [8] M.P Bavouzet-Morel, M Messaoud: Computation of Greeks uning Malliavin’s calculus in jump type market models Electronic Journal of Probability, 11, 276300, 2006 [9] K Bichteler, J.-B Gravereaux, J Jacod Malliavin calculus for processes with jumps Gordon and Breach Science Publishers, New York, 1987 78 Footer Page 11 of 27 Header Page 12 of 27 [10] B Bouchard, I Ekeland, N Touzi: On the Malliavin Approach to Monte Carlo Approximation of Conditional Expectations.Finance and Stochastics, 8, 45-71, 2004 [11] N Chen, P Glasserman Malliavin Greeks without Malliavin calculus Stochastic Processes and their Applications, 117, 1689-1723, 2007 [12] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions, N Touzi: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance Finance and Stochastics, 3, 391 - 412, 1999 [13] E Fourni’e, J.M Lasry, J Lebouchoux, P.-L Lions: Applications of Malliavin Calculus to Monte Carlo methods in finance II Finance and Stochastics, 5, 201 236, 2001 [14] P.E Kloeden, E Platen: Numerical Solutions of Stochastic Differential Equations Applications of Mathematics, Stochastic Modeling and Applied Probability 23, Springer, 1991 [15] A Kohatsu-Higa, R Petterson: Variance Reduction Methods for Simulation of Densities on Wiener Space SIAM Journal of Numerical Analysis, 4, 431-450, 2002 [16] S Kusuoka, D Strook: Applications of the Malliavin calculus II J Fac Sci Univ Tokyo Sect IA Math., 32, 1–76, 1985 [17] N Ikeda, S Watanabe:Stochastic differential equations and diffusion processes North Holland, second ed 1989 [18] D Lamberton, B Lapevre Introduction to stochastic calculus applied to finance Chapman and Hall, London, 1996 [19] P-L Lions, H Reqnier: Calcul du Prix et des Sensibilit’es d’une option Am’ericaine par une M’ethode de Monte Carlo Preprint, 2000 [20] P Malliavin: Stochastic analysis Springer, 1997 79 Footer Page 12 of 27 Header Page 13 of 27 [21] P Malliavin, A Thalmaier: Stochastic calculus of variations in mathematical finance Springer-Verlag, Berlin, 2006 [22] D Nualart: The Malliavin calculus and related topics Springer-Verlag, 1995 [23] M Sanz-Sol’e: Malliavin calculus, with applications to stochastic partial differential equations EPFL Press, 2005 80 Footer Page 13 of 27  ... phương pháp giải tích nhiều tốn khác có liên quan tới q trình ngẫu nhiên Cuối người ta tìm ứng dụng giải tích Malliavin phương pháp số xác suất, chủ yếu lĩnh vực tốn tài Những ứng dụng khác phương... hàm Malliavin Tiếp theo đưa định nghĩa tích phân Skorohod, mối quan hệ tích phân Skorohod với tích phân Itơ, từ mối quan hệ ta thấy tích phân Skorohod mở rộng tích phân Itơ Áp dụng cơng thức tích. .. phương pháp trước cơng thức tích phân phần giải tích Malliavin dùng để giải thích cách chắn vấn đề thuật toán phi tuyến Bố cục luận văn gồm ba chương : Chương 1: “Cơng thức tích phân phần trừu tượng