Động học của phương trình Komogorov chịu nhiễu Markov Luận văn ThS. Toán học

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2012 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định 1.2 Toán tử sinh trình Markov thời gian liên tục 1.2.1 1.2.2 11 1.2.3 Toán tử sinh xích Markov với thời gian liên tục 11 1.2.4 Quá trình Markov nghiệm phương trình vi phân 12 1.2.5 Quá trình Markov Toán tử sinh nửa nhóm tốn tử Markov Quá trình Markov hai trạng thái 13 Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo 14 2.1 Tính bền vững hệ 14 2.2 Tập ω- giới hạn 22 2.2.1 2.2.2 Trường hợp 1: hai hệ tất định ổn định Trường hợp 2: Một hệ ổn định hệ song ổn định 22 23 2.2.3 Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục hệ triệt tiêu 24 Nửa nhóm tính ổn định phân bố 29 2.3 Ứng dụng 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục 3.0.2 33 35 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục (3.3) song ổn định 3.0.3 38 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 i Lời nói đầu Đối với hệ sinh thái sinh học, sinh thái học quần thể học gồm có hai lồi, người ta thường mơ tả chúng mơ hình tốn học dạng hệ phương trình vi phân: x = x f (x, y) , y = yg (x, y) , ˙ ˙ (1) x(t) y(t) mật độ quần thể loài thời điểm t f (x, y) , g (x, y) tốc độ tăng trưởng bình quân lồi Thơng thường, hệ gọi hệ Kolmogorov Các hệ kiểu Kolmogorov mơ hình thơng dụng để mơ tả phát triển quần thể hệ mà tốc độ tăng trưởng bình qn lồi phụ thuộc vào quy mơ quần thể hai lồi Mơ hình kiểu Kolmogorov quan trọng quỹ đạo xuất phát góc phần tư thứ mặt phẳng ln nằm mặt phẳng (tức x (0) > 0, y (0) > 0) x (t) > 0, y (t) > 0) với t > 0) Nói cách khác miền góc phần tư thứ mặt phẳng bất biến hệ (1) Đã có nhiều cơng trình nghiên cứu động lực học quần thể thông qua nghiên cứu nghiệm dương, chẳng hạn tính bền vững đều, diệt vong hay giới nội tồn cục (xem [10, 13, 20, 11]) Cách mơ tả hệ theo phương trình dựa vào giả thiết lồi sống mơi trường khơng thay đổi Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) hàm tất định Tuy nhiên, rõ ràng điều nói chung khơng phù hợp thực tế phải tính đến biến động mơi trường mà gây tác động mạnh đến tính động lực học phát triển bền vững quần thể Sự biến đổi mơi trường thể yếu tố ngẫu nhiên điều quan trọng phải mô tả chúng dạng phương trình ngẫu nhiên Tuy vậy, hệ Kolmogorov tất định (1) nghiên cứu với lịch sử lâu dài hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều tài liệu toán học khơng có cơng trình nghiên cứu phương diện thống kê Ở đây, đề cập đến nỗ lực theo hướng này, báo báo hay Arnold [5], tác giả sử dụng lý thuyết trình chuyển động Brown để nghiên cứu quỹ đạo mẫu phương trình Đối với mơ hình phân nhánh mơi trường biến thiên, tham khảo [2, 3, 18, vv ] Một cách trình bày tương đối hệ thống vấn đề đưa [1] Gần đây, [16] xem xét ảnh MỤC LỤC hưởng hai loại nhiễu trình chuyển đổi Markov ồn trắng tác động lên hệ (1), A Bobrowski [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu ổn định phân phối dừng hệ ngẫu nhiên (1); W Shen, Y Wang [19] nghiên cứu hệ Kolmogorov cạnh tranh ngẫu nhiên thơng qua phương pháp tích lệch Trong trường hợp đơn giản nhất, giả sử điều kiện mơi trường chuyển đổi ngẫu nhiên hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng lạnh, trạng thái khô ướt Như vậy, giả sử có nhiễu điện báo ảnh hưởng đến mơ hình cách chuyển đổi hai trạng thái tập hợp E = {+, −} có hai phần tử Với trạng thái khác nhau, động lực học hệ mơ hình khác Sự chuyển đổi ngẫu nhiên điều kiện mơi trường khiến cho mơ hình thay đổi từ hệ trạng thái + với hệ trạng thái − ngược lại Trong [7], tác giả nghiên cứu hệ cạnh tranh cổ điển với nhiễu điện báo Các tác giả tập ω-giới hạn nghiệm hệ phức tạp thành công việc mô tả số tập hợp tập ω- giới hạn Mục đích chúng tơi khái qt kết cách xét hệ tổng quát mô tả đầy đủ tất tập ω- giới hạn nghiệm phương trình Chúng tơi chứng minh tập ω- giới hạn tất nghiệm dương hấp thụ tất nghiệm dương khác Hơn nữa, muốn xa cách nghiên cứu số tính chất phân phối dừng Chúng tơi phân phối dừng (nếu tồn tại) có mật độ mật độ hút tất phân phối khác Để làm điều đó, đưa tham số λ1 , λ2 ngưỡng phát triển hệ Mặc dù chưa đưa biểu thức hiển để tìm giá trị λ1 , λ2 , dễ dàng ước lượng chúng phương pháp mô thông qua hệ số Các tham số đóng vai trị quan trọng thực tế cách phân tích hệ số, hiểu dáng điệu động học hệ Luận văn chia làm chương: Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đưa số khái niệm mơ hình cạnh tranh hệ Kolmogorov tất định tính chất quan trọng trình Markov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục Chương II: Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu Markov Chương chủ yếu dựa nội dung báo [23] Trong chương này, mô tả quỹ đạo động học nghiệm dương loại hệ cạnh tranh chịu tác động tiếng ồn điện báo Nó cho thấy tập ω- giới hạn hấp thụ tất nghiệm dương Chúng xét trường hợp cụ thể dáng điệu nghiệm hệ Kolmogorov chịu nhiễu Markov MỤC LỤC Chương III: Ứng dụng vào mơ hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Chương đề cập đến dáng điệu nghiệm hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Lotka- Volterra tác động nhiễu Markov Các mơ hình cổ điển xem thí dụ cụ thể minh họa kết Chương II Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt q trình làm luận văn Tơi muốn bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Tốn khóa 2010- 2012, đặc biệt thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa tốn sinh thái học mơi trường, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, dẫn nhiệt tình suốt khóa học thời gian làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới anh chị em học viên đồng khóa em sinh viên năm cuối khoa Toán- Cơ- Tin trường giúp đỡ nhiệt tình để tơi hồn thành luận văn Tơi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ tơi để tơi hồn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Lê Thị Minh Thu Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định Xét hệ sinh thái đơn giản gồm có hai lồi sống môi trường tương đối ổn định Giả sử x(t), y(t) số lượng cá thể loài thời điểm t f (tương ứng g) tỷ lệ tăng trưởng loài thứ (tương ứng lồi thứ 2); f , g hai hàm hai biến x y Như thế, mơ tả phát triển hệ phương trình: dx dy = x f (x, y) , = yg (x, y) dt dt (1.1) Giả thiết phương trình (1.1) tỷ lệ tăng giảm số lượng cá thể quần thể không phụ thuộc vào thời gian số lượng quần thể đủ lớn để ta xem x y số thực không âm không chịu tác động ngẫu nhiên Hệ (1.1) gọi hệ Kolmogorov Trong toàn Luận văn này, đưa giả thiết f , g với đạo hàm bậc chúng xác định liên tục với giá trị không âm x y phương trình (1.1) ln tồn nghiệm xác định [0, ∞) (do nhất) Nhờ tính nghiệm hệ, dễ dàng thấy góc phần tư thứ R2 = {(u, v) : u + bất biến Tức x(0) 0, y(0) x(t) 0, y(t) 0, v 0} mặt phẳng R2 với t > Tương tự int R2 + phần = {(u, v) : u > 0, v > 0} bất biến Tùy theo toán cụ thể đưa điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm f g Mối quan hệ lồi có chia làm ba loại chính: a) Lồi thứ gặp khó khăn, lồi thứ hai gặp thuận lợi, có diện yếu tố khác (quan hệ loài săn mồi với mồi), Chương Kiến thức chuẩn bị b) Cả hai loài gặp khó khăn diện lồi cịn lại (mơ hình cạnh tranh), c) Cả hai lồi gặp thuận lợi diện lồi khác (mơ hình cộng sinh) Trong tồn Luận văn xét mơ hình cạnh tranh Đó trường hợp mà hai lồi sống vùng lãnh thổ cạnh tranh nguồn thức ăn hay mơi trường Mơ hình tốn học nghiên cứu tượng đưa Volterra (1927) đưa nhiều kết luận bổ ích phát triển lồi Ở chúng tơi xét mơ hình cạnh tranh tổng qt (1.1) cố gắng đạt kết luận tương tự Để mơ tả mơ hình có tính chất cạnh tranh, đưa giả thiết sau hàm f g : a) Sự gia tăng hai quần thể tạo sụt giảm tốc độ tăng trưởng hai quần thể; ta có ∂f ∂f < 0, < 0, ∂x ∂y ∂g ∂g < < 0, ∂x ∂y ∀x, y ∈ R2 + b) Nếu hai quần thể nhỏ, hai tăng trưởng, f (0, 0) > g (0, 0) > c) Mỗi quần thể, nhỏ, tăng thêm đạt đến kích cỡ định, đó, tồn A C cho f (0, A) = g (C, 0) = d) Mỗi quần thể làm tăng kích thước định số lượng cá thể nhỏ, tồn B D cho f (B, 0) = g (0, D) = Nói chung, hai đường cong f = g = có số lượng điểm chung Khi đó, góc phần tư thứ hệ tọa độ (x, y) chia thành khu vực: khu vực I có f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < khu vực III có f g < Những khu vực biểu diễn biểu đồ hình Tất đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I II cuối vào khu vực III Khu vực III hình thành đường cong f = , g = 0, điểm bên bị chặn hai đường cong đoạn AD BC Tùy thuộc vào đồ thị hàm f g, điểm khu vực điểm biên Khu vực III chia thành nhiều tập con, tập cộng với điểm biên tạo thành khu vực con; tất đường cong tích phân khu vực kết thúc điểm cân x = maximum, y = minimum, tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vào Chương Kiến thức chuẩn bị Hình việc điểm khu vực f > 0, g < f < 0, g > Ví dụ, trường hợp hình 1, D điểm cân khu vực R điểm cân khu vực khác Có thể, khơng chắn, vài điểm khu vực III không thuộc vào nhóm khu vực này, điều xảy mà đường cong f = g = có đoạn trùng Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I II đến đoạn trùng dừng lại Một ví dụ minh họa đơn giản cho ta biết nhiều thông tin dáng điệu giới hạn đường cong tích phân Ví dụ đường cong hình chép hình 2, dấu hàm f g biểu diễn véc tơ đơn vị song song với trục Trong khu vực I, có f > g > đó, với thời gian ngày tăng, đường cong tích phân khu vực giới hạn góc phần tư xác định véc tơ đơn vị thể hình Để minh họa cụ thể, ta xét khu vực giới hạn điểm Q R; rõ ràng từ véc tơ ta thấy, Q điểm cân không ổn định R điểm cân ổn định Chú ý rằng, đường cong tích phân qua khu vực hình chữ nhật xq1 Q∞ cuối phải kết thúc điểm R Các đường cong tích phân qua khu vực hình chữ nhật yq2 Q∞ không đến R, đến D Dáng điệu đường cong tích phân khu vực cịn lại góc phần tư thứ phải xác định cách phân tích chi tiết Kết luận, đường cong f = g = không giao nhau, lồi tồn tại, cụ thể Chương Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo ρ (k) = (−1)k , Bn = {τn λ Suy R2 + τn+1 } Cho λ (B) = Khi t ρ(1) −1 ρ(n+1) ρ(n) B πσn πσ1 πt−τn =0 (z) f (z) dz = ρ(n+1) ρ(n) ρ(1) −1 πσn πσ1 B πt−τn Bởi vậy, P {z (t) ∈ B, τn τn+1 } = 0, ∀n ∈ N t Do đó, ∞ P {z (t) ∈ B} = ∑ P {z (t) ∈ B, τn t τn+1 } = n=0 Điều có nghĩa phân phối z (t) liên tục tuyệt đối đến λ Bổ đề chứng minh Chú ý: D = { f ∈ L1 (m) : f 0; f = 1} Từ Bổ đề 2.3.1, với f ∈ D cần xác định P (t) f mật độ P (t) ν, ν (di, dz) = f (i, z) didz Mệnh đề 2.3.2 Cho giả thiết Định lý 2.2.7 thoả mãn Nếu ν ∗ phân phối dừng trình (ξt , z (t)), có nghĩa là, P (t) ν ∗ = ν ∗ , ∀t với ν ∗ E × intR2 = 1, + ν ∗ có hàm mật độ f ∗ m sup p ( f ∗ ) = E × S Chứng minh Chú ý S tập bất biến hệ (2.1) lim P {(z (t)) ∈ S} = t→∞ ν ∗ (E × S) = Hơn nữa, ν ∗ ({+} × S) = p, ν ∗ ({−} × S) = q Theo định lý khai triển ∗ ∗ ∗ ∗ Lebesgue, tồn hai độ đo xác suất νa , νs với θ ∈ [0, 1] cho ν ∗ = θ νs + (1 − θ ) νa , ∗ ∗ νa liên tục tuyệt đối m cịn νs suy biến Do ν ∗ độ đo dừng nên ∗ ∗ ∗ ∗ ν ∗ = P (t) ν ∗ = θ P (t) νs + (1 − θ ) P (t) νa = θ νs + (1 − θ ) νa (2.16) ∗ Trường hợp θ = ta ν ∗ = νa , suy ra, ν ∗ liên tục tuyệt m ∗ Giả sử θ = 0, theo Bổ đề 2.3.1 ta P (t) νa liên tục tuyệt đối m ∗ Áp dụng Định lý khai triển Lebesgue lần với độ đo P (t) νs có ∗ ∗ ∗ P (t) νs = kν1s + (1 − k) ν1a , ∀0 k 1, ∗ ∗ ν1a liên tục tuyệt đối ν1s suy biến với m Thay khai triển vào (2.16) ta ∗ ∗ ∗ ν ∗ = θ (kν1s + (1 − k) ν1a ) + (1 − θ ) P (t) νa ∗ ∗ ∗ = θ kν1s + θ (1 − k) ν1a + (1 − θ ) P (t) νa ∗ ∗ = θ νs + (1 − θ ) νa 30 Chương Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo ∗ ∗ Do tính nên θ kν1s = θ P (t) νs ∗ ∗ ∗ Do ν1s P (t) νs độ đo xác suất, k = nên suy νs phân phối dừng tồn ∗ tập đo K S cho λ (K) = νs (E × K) = Nếu (ξt , z (t)) có phân ∗ ∗ phối ban đầu νs phân phối thời điểm t νs Cho ϕ hàm xác định t0 , b số cho chứng minh + − + định lý 2.2.7 Chúng ta xác định hàm ψ(z,t) (s1 , s2 ) = πt−s1 −s2 ◦ πs2 ◦ πs1 (z) với ∗ ∗ s1 , s2 > s1 + s2 < t Khi tồn T > lân cận Uε z∗ = x+ , y∗ + + ∗ cho P (T, +, z, E × (S \ K)) > 0, ∀z ∈ Uε Chú ý ψz∗ ,t (s1 , s2 ) = ϕ (s2 − t0 ,t − s1 − s2 ) + Do đó, det ∂ ψz∗ ,T + ∂ s1 ∂ ψz∗ ,T + , ∂ s2 |( b ,t0 ) = T = t0 + b Suy ra, tồn ε > cho det ∂ ψz,T ∂ s1 , ∗ |( b ,t0 ) = 0, ∀z ∈ Uε ∂ ψz,T ∂ s2 ∗ Với z ∈ Uε , tồn lân cận mở W W := ψ (z, T ) (W ) Dễ dàng suy P T, +, z, E × W \ K b ,t0 cho ψz,T đồng phôi W −1 P (σ1 , σ2 ) ∈ W \ ψz,T (K) , τ2 < T < τ3 −1 Do ψz,T đồng phôi λ (K) = 0, nên suy λ ψz,T (K) = Nói cách khác, phân bố (σ1 , σ2 ) liên tục tuyệt đối λ , P −1 (σ1 , σ2 ) ∈ W \ ψz,T (K) = P {(σ1 , σ2 ) ∈ W } Do đó, P (T, +, z, (S \ K) × E) P T, +, z, E × W \ K P {(σ1 , σ2 ) ∈ W, τ2 < T < τ3 } > ∗ ∗ Tiếp theo, ta chứng minh νs ({+} ×Uε ) > Ta có, tồn tập compact H ∗ intR2 cho νs ({+} × H) > Theo Bổ đề 1.1.1, với z ∈ H, tồn T > cho + + ∗ ∗ πT (z) ∈ Uε , kéo theo P (T , +, z, {+} ×Uε ) P {σ1 > T } Hơn nữa, ∗ ∗ ∗ ∗ νs ({+} ×Uε ) = P T νs ({+} ×Uε ) {+}×H ∗ ∗ P T , +, z, {+} ×Uε dνs > Ta kết quả, ∗ P (T ) νs (E × (S \ K)) ∗ {+}×Uε ∗ P (T, i, z, E × (S \ K)) dνs > Điều dẫn đến mâu thuẫn Do đó, θ = ν ∗ liên tục tuyệt đối m, với hàm mật độ f ∗ 31 Chương Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo Cuối cùng, ta chứng minh sup p f ∗ = E × S Tương tự chứng minh trên, ta cần ∗ ∗ chứng minh với δ > 0, có T = Tδ cho ν ∗ ({+} ×Uε ) = P (T ) ν ∗ {+} ×Uδ ∗ T , +, z, {+} ×Uδ dν ∗ > Cho z = πt− z∗ Theo Định lý liên tục phụ ¯ + thuộc vào điều kiện ban đầu, với ε, lân cận z, tồn δ > cho với ¯ ∗ , π − (z) ∈ W kéo theo P (t , +, z, {+} ×W ) P {σ1 > t1 } > Hơn nữa, z ∈ Uδ t1 ε ε {+}×H P f ∗ dm = {+}×Wε {+}×Wε P (t1 ) f ∗ dm ∗ {+}×Uε P (t1 , +, z, {+} ×Wε ) f ∗ dm > Áp dụng Định lý liên tục phụ thuộc vào điều kiện ban đầu lần nữa, tồn δ > ∗ − cho ∀z ∈ Uδ ,t1 − δ < s1 < t1 < t1 − δ < s1 < t1 , πt+−s1 πs1 (z) ∈ Wε , kéo theo P (t1 , +, z, {−} ×Wε ) P {t1 − δ < σ1 < t1 , σ1 + σ2 > t1 } > Hơn nữa, f ∗ dm = {−}×Wε {−}×Wε P (t1 ) f ∗ dm ∗ {−}×Uε P (t1 , +, z, {−} ×Wε ) f ∗ dm > Bằng phương pháp quy nạp, với z ∈ S ε- lân cận Wε nó, ta có Từ đó, ta v {i}×Wε f ∗ dm > f ∗ dm > với tập mở V ⊂ E × S, kéo theo sup p f ∗ = E × S Định lí 2.3.3 Cho giả thiết Định lý 2.2.7 thoả mãn Nếu nửa nhóm {P (t)}t có độ đo xác suất bất biến ν ∗ , ν ∗ có hàm mật độ f ∗ {P (t)}t tiệm cận ổn định nghĩa limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ D Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.2, {P (t)}t có tập bất biến khơng tầm thường ψ(x∗ ,y∗ ),T3 Hơn nữa, có det dτ có hàm bất biến khác khơng f ∗ khơng b ,t0 = Do đó, theo [17, Mệnh đề 2], {P (t)}t tiệm cận ổn định Đó điều phải chứng minh 32 Chương Ứng dụng Sau đây, áp dụng kết đạt chương để nghiên cứu quỹ đạo nghiệm hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Xét hệ phương trình:   x (t) = x (a (ξt ) − b (ξt ) x − c (ξt ) y) , ˙ (3.1)  y (t) = y (d (ξt ) − e (ξt ) x − f (ξt ) y) , ˙ a (±) , b (±) , c (±) , d (±) , e (±) , f (±) số dương (xem [7]) Nhiễu (ξt ) can thiệp hầu khắp vào phương trình (3.1), tạo chuyển đổi hệ tất định   x+ (t) = x+ (a (+) − b (+) x+ − c (+) y+ ) , ˙ (3.2)  y+ (t) = y+ (d (+) − e (+) x+ − f (+) y+ ) , ˙ hệ   x− (t) = x− (a (−) − b (−) x− − c (−) y− ) , ˙ (3.3)  y− (t) = y− (d (−) − e (−) x− − f (−) y− ) ˙ ∗ Với giả thiết b (±) f (±) − c (±) e (±) = 0, hệ (3.2) có trạng thái x+ , y∗ (tương tự hệ + ∗ (3.3) có trạng thái x− , y∗ ) − ∗ x± = a (±) f (±) − c (±) d (±) ∗ b (±) d (±) − a (±) e (±) , y± = b (±) f (±) − c (±) e (±) b (±) f (±) − c (±) e (±) Chọn D = {(x, y) , x, y M} với M > maxi∈E max a(i) a(i) d(i) d(i) b(i) , c(i) , e(i) , f (i) D tập bất biến chung hai hệ (3.2) (3.3) Với mơ hình này, λ1 , λ2 tính tốn sau: 33 Dễ dàng thấy Chương Ứng dụng Từ hệ thức e (ξs ) e (ξs ) a (ξs ) + (a (ξs ) − b (ξs ) u (s)) b (ξs ) b (ξs ) e (+) e (−) e (ξs ) a (ξs ) + − = d (ξs ) − b (ξs ) b (+) b (−) e (−) u (s) ˙ (a (ξs ) − b (ξs ) u (s)) 1{ξs =+} + , b (−) u (s) d (ξs ) − e (ξs ) u (s) = d (ξs ) − suy t t e (ξs ) a (ξs ) ds b (ξs ) t e (+) e (−) u (s) ˙ + − + b (+) b (−) u (s) {ξs =+} + ln (u (t)) − ln (u (0)) (d (ξs ) − e (ξs ) u (s)) ds = d (ξs ) − Áp dụng (2.8) ta t→∞ t t lim t→∞ t e (ξs ) a (ξs ) ds b (ξs ) e (−) e (+) a (+) p + d (−) − a (−) q b (+) b (−) = d (+) − d (ξs ) − t lim u2 (a (ξs ) − b (ξs ) u (s)) 1{ξs =+} ds = p u1 = mini∈E a(i) b(i) a(i) b(i) , u2 = maxi∈E (h.c.c), (a (+) − b (+) u) µ + (u) du, u1 Theo (2.7),ta có α µ+ = θ a(+) −1 |a (+) − b (+) u| u −1 β |a (−) − b (−) u| a(−) α + β +1 a(+) a(−) , Với B (·, ·) hàm Beta α [a (+)] a(+) −1 β α [a (−)] a(−) (u2 − u1 ) a(+) θ= α (u1 u2 ) a(+) β + a(−) B β α a(+) , a(−) +1 β + a(−) Do đó, + e (+) e (−) a (+) p + d (−) − a (−) q b (+) b (−) e (+) e (−) a (+) a (−) − sign − b (+) b (−) b (+) b (−) d (+) − λ2 = p θ u2 u1 α β |a (+) − b (+) u| a(+) |a (−) − b (−) u| a(−) u α + β +1 a(+) a(−) 34 du Chương Ứng dụng Bằng cách tương tự, ta + c (+) c (−) d (+) p + a (−) − d (−) q + f (+) f (−) d (+) d (−) c (+) c (−) − sign − f (+) f (−) f (+) f (−) a (+) − λ1 = p ζ |d (+) − f (+) v| d(+) |d (−) − f (−) v| d(−) α v1 v1 = mini∈E β α v2 v d(+) d(i) f (i) , v2 = maxi∈E α [d (+)] d(+) −1 β + d(−) +1 d(i) f (i) β α [d (−)] d(−) (v2 − v1 ) d(+) ζ= (v1 v2 ) dv β + d(−) B β α d(+) , d(−) +1 α + β d(+) d(−) Như vậy, cơng thức ta dễ dàng ước tính giá trị λ1 , λ2 Sau đây, ta xét ba trường hợp với giả thiết λ1 > 0, λ2 > 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục Giả sử d (i) a (i) d (i) a (i) < ; > f (i) c (i) e (i) b (i) với i∈E (3.4) ∗ Trong trường hợp này, hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục với trạng thái x± , y∗ ± ∗ Bây chứng minh tồn (x0 , y0 ) = πt− x+ , y∗ ,t0 > cho ¯ ¯ + a (−) − b (−) x0 − c (−) y0 ¯ ¯ a (+) − b (+) x0 − c (+) y0 ¯ ¯ = d (−) − e (−) x0 − f (−) y0 d (+) − e (+) x0 − f (+) y0 ¯ ¯ ¯ ¯ ∗ ∗ Thật vậy, x+ , y∗ = x− , y∗ tập tất điểm (x, y) thoả mãn hệ thức + − a (−) − b (−) x − c (−) y a (+) − b (+) x − c (+) y ¯ ¯ ¯ ¯ = d (−) − e (−) x − f (−) y d (+) − e (+) x − f (+) y ¯ ¯ ¯ ¯ tạo thành đường conic Tuy nhiên, dễ dàng nhận quỹ đạo nghiệm phương trình (3.3) khơng thể đường conic Do vậy, tồn điểm (x0 , y0 ) = ¯ ¯ − ∗ ∗ πt0 x+ , y+ ,t0 > cho a (−) − b (−) x0 − c (−) y0 ¯ ¯ a (+) − b (+) x0 − c (+) y0 ¯ ¯ d (−) − e (−) x0 − f (−) y0 d (+) − e (+) x0 − f (+) y0 ¯ ¯ ¯ ¯ 35 = Chương Ứng dụng ¯ Vì tập ω- giới hạn phương trình (3.1) tập S mơ tả (2.14) Hơn nữa, maxi∈E ymin Thật vậy, từ hệ thức a(i) b(i) d(i) e(i) < mini∈E x (t) = x (a (ξt ) − b (ξt ) x − c (ξt ) y) ˙ maxi∈E x (a (ξt ) − b (ξt ) x) , m0 , ∀t Suy tồn T > cho x (t) a(i) b(i) , tồn ymin cho lim inft→∞ y (t) > < m0 < mini∈E T y (T ) d(i) e(i) lim sup y (t) > 0, t→∞ ε, ε < y∗ , y∗ , limt→∞ sup y (t) + − chọn cho d (−) − e (−) x − f (−) ε > 0, Khơng tính tổng quát, giả sử a(+) b(+) a(−) b(−) ∀0 m0 x Cho (x+ (t) , y+ (t)) nghiệm (3.2) thoả mãn x+ (0) = m0 , y+ (0) = ε Đặt τ ∗ = inf {s > : d (+) − e (+) x+ (s) − f (+) y+ (s) > 0}, ymin = inf {y+ (t) : t > 0} Chúng ta có ε > ymin = y+ (τ ∗ ) > Cho Γ+ = {(x+ (t) , y+ (t)) : t τ ∗ } γ+ (x) hàm xác định [xτ ∗ , m0 ] có đồ thị Γ Dễ dàng nhận miền D = {x < xτ ∗ , ymin y {x M} xτ ∗ , γ+ (x) y M} tập bất biến chung hai hệ (3.2) (3.3), kéo theo y (t) > ymin , ∀t > T Nói cách khác, ln x (t) − ln x (0) = t t t Kéo theo limt→∞ inf t x (s) ˙ ds = x (s) t t t (a (ξs ) − b (ξs ) x (s) − c (ξs ) y (s)) ds t (a (ξs ) − c (ξs ) y (s)) − t (b (ξs ) x (s)) ds > λ1 lim inf t→∞ t t t (b (ξs ) x (s)) ds, Hơn nữa, t x (s) ds λ3 = λ1 / max {b (+) , b (−)} h.c.c (3.5) Kết hợp với y (t) xmin hệ thức (3.5) ta thấy tồn phân phối dừng cho trình Markov (ξt , x (t) , y (t)) intR2 (xem [15], Appendix) Theo Mệnh đề 2.3.2 Định + lý 2.3.3, q trình dừng có hàm mật độ f ∗ với độ đo m E × R2 với sup p f ∗ ⊂ + [0, M] × [ymin , M] limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ L1 , f = Chúng ta có kết tương tự trường hợp này, maxi∈E d(i) < mini∈E a(i) f (i) c(i) ∗ , y∗ = x∗ , y∗ = (x∗ , y∗ ) Bây xét trường hợp x+ + − − Trong trường hợp này, giả thiết maxi∈E mini∈E a(i) c(i) a(i) b(i) < mini∈E 36 d(i) e(i) tương đương với maxi∈E d(i) f (i) < Chương Ứng dụng Trong giả thiết này, giả sử d(i) e(i) a(i) c(i) nhận giá trị nhỏ b(i1 ) c(i1 ) ε Bằng cách vẽ véc nhận giá trị nhỏ i1 ∈ E, i2 ∈ E Với ε > 0, đặt Aε = [x∗ − ε, x∗ + ε] × y∗ − e(i2 ) ε, y∗ + f (i ) tơ trường hai hệ (3.2) (3.3), thấy Aε tập bất biến chung hai hệ với ε đủ nhỏ Theo Định lý 2.2.7, (x∗ , y∗ ) ∈ Ω (x0 , y0 , ω) h.c.c Hơn nữa, τε < ∞ h.c.c, τε = inf {t > : (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ Aε } Kết hợp với tính bất biến Aε ta lim (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) = (x∗ , y∗ ) t→∞ h.c.c Tóm lại ta có định lý sau Định lí 3.0.4 Giả sử cho trước (3.4) có maxi∈E a(i) b(i) < mini∈E d(i) e(i) maxi∈E d(i) < mini∈E a(i) Khi f (i) c(i) ∗ , y∗ = x∗ , y∗ , tồn phân phối dừng cho trình Markov (a) Nếu x+ + − − (ξt , x (t) , y (t)) Phân phối dừng có hàm mật độ f ∗ với độ đo m E × R2 Hơn nữa, + hàm mật độ dừng tiệm cận ổn định, có nghĩa là, limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ L1 , f = ∗ ∗ (b) Nếu x+ , y∗ = x− , y∗ = (x∗ , y∗ ), limt→∞ (x (t) , y (t)) = (x∗ , y∗ ) h.c.c, với + − giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ R+ Để minh họa cho trường hợp này, ta lấy ví dụ sau Ví dụ 1: Cho a (+) = 1; b (+) = 1; c (+) = 0.1; d (+) = 7; e (+) = 6; f (+) = 1; a (−) = 3; b (−) = 1; c (−) = 0.1; d (−) = 7; e (−) = 2; f (−) = 1; x (0) = 2; y (0) = Trường hợp A: α = 3; β = 4; λ1 ≈ 1.157; λ2 ≈ −0.545 Trường hợp B: α = 0.3; β = 0.4; λ1 ≈ 1.157; λ2 ≈ 0.461 (xem Hình.3.) Trong ví dụ này, hai hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận Tuy nhiên, trường hợp A thấy limt→∞ y (t) = trường hợp B, limt→∞ supy (t) > 0; xmin > Điều có nghĩa dáng điệu nghiệm không phụ thuộc vào hệ số, mà phụ thuộc vào thời gian lại ξt trạng thái Hơn nữa, giả thiết λi > 0, i = 1, bị xố bỏ, loại bị triệt tiêu ổn định tiệm cận toàn cục hai hệ 37 Chương Ứng dụng Hình n = 1000 3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục (3.3) song ổn định Giả sử d (+) a (+) d (+) a (+) < ; > f (+) c (+) e (+) b (+) Nhưng d (−) a (−) d (−) a (−) > ; < f (−) c (−) e (−) b (−) ∗ Trong trường hợp này, hệ (3.2) có nghiệm ổn định dương x+ , y∗ ; hệ + (3.3) song ổn định Tuy nhiên, điểm (u− , 0) (0, v− ) lại ổn định địa phương Nếu ∗ ∗ ∗ x+ , y∗ = x− , y∗ tồn điểm (x0 , y0 ) = πt− x+ , y∗ ,t0 > cho ¯ ¯ + − + a (−) − b (−) x0 − c (−) y0 ¯ ¯ a (+) − b (+) x0 − c (+) y0 ¯ ¯ = d (−) − e (−) x0 − f (−) y0 d (+) − e (+) x0 − f (+) y0 ¯ ¯ ¯ ¯ ∗ ∗ Theo định lý 2.2.7, λ1 > 0, λ2 > x+ , y∗ = x− , y∗ , tập S đóng cho + − (2.14) hút tất nghiệm hệ (3.1) với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ intR2 + 38 Chương Ứng dụng Ví dụ 2: Cho a (+) = 11; b (+) = 2; c (+) = 1; d (+) = 9; e (+) = 1; f (+) = 3; a (−) = 10; b (−) = 4; c (−) = 3; d (−) = 8; e (−) = 2; f (−) = 4; x (0) = 3; y (0) = 4, α = 3; β = Ta có λ1 ≈ 6.445; λ2 ≈ 3.286 Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên Mô đưa hình Hình n = 300 3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên Xét trường hợp d (+) a (+) d (+) a (+) < ; > f (+) c (+) e (+) b (+) d (−) f (−) a (−) d (−) a (−) ; < c (−) e (−) b (−) Với giả thiết này, tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới a(−) b(−) , Nếu λ1 > ∗ ∗ 0, λ2 > x+ , y∗ = x− , y∗ , cho thấy tập đóng S cho (2.14) hút tất + − nghiệm hệ (3.1) với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ intR2 Theo lý đề cập + 39 Chương Ứng dụng trường hợp 1, tồn phân phối dừng cho trình Markov (ξt , x (t) , y (t)) intR2 Theo Mệnh đề 2.3.2 Định lý 2.3.3, phân phối dừng có hàm mật độ + ∗ độ đo m E × R2 , sup p f ∗ ⊂ [x ∗ = f , M] × [0, M] limt→∞ P (t) f − f + 0, ∀ f ∈ L1 , f = Trong trường hợp d (−) a (−) > ; f (−) c (−) d (−) e (−) a (−) , b (−) thu kết tương tự Để minh hoạ cho trường hợp này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Cho a (+) = 6; b (+) = 5; c (+) = 2; d (+) = 11; e (+) = 3; f (+) = 7; a (−) = 5; b (−) = 3; c (−) = 2; d (−) = 9; e (−) = 4; f (−) = 2; x (0) = 3; y (0) = 4, α = 1; β = Chúng ta có λ1 ≈ 2.484; λ2 ≈ 6.644 Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên Mô đưa hình Hình n = 300 40 Kết luận Trong luận văn này, mô tả dáng điệu nghiệm hệ cạnh tranh Kolmogorov chuyển đổi ngẫu nhiên Đồng thời, việc chứng minh định lý, bổ đề với giả thiết hệ số, tập ω- giới hạn mô tả có tồn tập bất biến cho trước hút tất quỹ đạo dương mật độ dừng Điều kiện (2.15) cho biết, đại số Lie véc tơ trường khơng suy biến điểm Vì vậy, rõ ràng phân phối dừng, tồn tại, có mật độ với độ đo Lebesgue R2 Theo (2.7),(2.9) (2.1), giá trị λ1 , λ2 dễ dàng ước tính Do đó, + cách phân tích hệ số dự đốn dáng điệu tương lai hệ Nếu λi > 0, i ∈ E, thấy, limt→∞ sup x (t) > 0, limt→∞ sup y (t) > Theo nghiệm số, nghĩ trường hợp λ1 > 0, λ2 > 0, tồn mật độ dừng intR2 Tuy nhiên, điều câu hỏi mở + cho Hơn nữa, tất trường hợp, giả sử hai hệ (2.2) hệ (2.3) có trạng thái dương ổn định tồn cục Thật khó để mơ tả xác tập ω- giới hạn nghiệm dương mà khơng có hệ có trạng thái dương ổn định tồn cục Lưu ý tính dương λi khơng bao hàm tồn trạng thái dương hai hệ tất định (2.2), (2.3) Xét ví dụ sau: Cho a (+) = 6; b (+) = 3; c (+) = 2; d (+) = 12; e (+) = 4; f (+) = 3; a (−) = 12; b (−) = 4; c (−) = 2; d (−) = 9; e (−) = 4; f (−) = 2; x (0) = 3; y (0) = 4, α = 5; β = Trong ví dụ này, nghiệm dương (3.2) dần tới (0, 4) nghiệm dương (3.3) dần tới (3, 0) λ1 ≈ 0.5 > 0; λ2 ≈ 0.346 > Động học nghiệm minh hoạ hình Luận văn "Động học phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu quỹ đạo chuyển động nghiệm dương hệ phương trình cạnh 41 Chương Ứng dụng Hình n = 2000 tranh Kolmogorov chịu tác động nhiễu Markov Ứng dụng vào nghiên cứu quỹ đạo chuyển động nghiệm hệ cạnh tranh cổ điển Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn khơng tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy bạn đồng nghiệp để luận văn hồn chỉnh Tơi xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Lê Thị Minh Thu 42 Tài liệu tham khảo [1] L.J.S Allen,An Introdution to Stochastic Processes with Applications to Biology, Pearson Education Inc, Upper Saddle River, NJ, 2003 [2] L.J.S Allen, E.J Allen,(2003),A comparison of three differentiable stochastic population models with regard to persistence time, Theoret Population Biology, 68, pp 439449 [3] E.J Allen, L.J.S Allen, H Schurz,(2005),A comparison of persistence - time estimation for discrete and continuous population models that include demographic and environmental variability, J Math Biosci, 196,pp 14-38 [4] L Arnold,Random Dynamical Systems, Springer- Verlag, Gerlin- Heidelberg- New York, 1998 [5] L Arnold, W Horsthemke, J.W Stucki,(1979),The influence of external real and white noise on the Lotka- Volterra model, Biom.J 21 (5) ,pp 451-471 [6] Z Brzeniak, M Capifiski, F Flandoli,(1993),Pathwise global attractors for stationary random dynamical systems, Probab Theory, Related Fields, 95,pp 87-102 [7] N.H.Du, R Kon, K Sato, Y Takeuchi,(2004),Dynamical behavior of Lotka- Volterra competition systems: Non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise, J Comput Appl Math 170 (2),pp 399-422 [8] A Bobrowski, T.Lipniacki, K Pichor, R Rudnicki,(2007),Asymptotic behavior of distributions of mRNA and protein levels in a model of stochastic gene expression, J Math, Anal Appl 333,pp 753- 769 [9] H Crauel, F Flandoli,(1994),Attractors for random dynamical systems, Probab Theory Related Fields ,100,pp 365- 393 [10] S.F Ellermeyer, S.S Pilyugin, R Redheffer,(2001),Persistence criteria for a chemostat with variable nutrient input, J Differential Equations ,171 43 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] H.I Freedman, S Ruan,(1995),Uniform persistence in functional differential equations , J Differential Equations ,115,pp 173- 192 [12] I.I Gihman, A.V Skorohod,The Theory of Stochastic Processes, Springer- Verlag, Berlin- Heidelberg- New York, 1979 [13] X Han, Z Teng,(2006),On the average persistence and extinction in nonautonomous predator- prey Kolmogorov systems , Dyn contin Discrete Imputs Syst Ser A Math Anal 13 (3-4),pp 367-385 [14] X Mao,(2001),Attraction, stability and boundednees for stochastic differential delay equations, Nonlinear Anal 47 (7),pp 4795- 4806 [15] L Michael,(1970) ,Conservative Markov processes on a topological space, Israel J Math 8, pp 165-186 [16] Q Luo, X Mao,(2007),Stochastic population dynamics under regime switching, J Math Anal Appl 334, pp 69-84 [17] K Pichor, R Rudnicki,(2000),Continuous Markov semigroups and stability of transport equations, J Math Anal Appl 249, pp 668- 685 [18] S.Sathananthan,(2003),Stability analysis of a stochastic logistic model, Math Comput Modelling ,8, pp 585- 593 [19] W Shen, Y Wang,(2008),Carrying simplices in nonautonomous and random competitive Kolmogorov systems , J Differential Equations ,245, pp 1-29 [20] Z Teng,(2000),The almost periodic Kolmogorov competitive systems, Nonlinear Anal 42 , pp 1221- 1230 [21] A.D Ventcel,Course of the Theory of the Stochastic Processes, Nauka, Moscow, 1975 (in Russian) [22] C Yuan, X Mao, (2006),Attraction and stochastic asymptotic stability and boundednees of stochastic functional differential equations with respect to semimartingales, Stoch Anal Appl 24, pp 1169- 1184 [23] N.H.Du, N.H.Dang, (2011),Dynamics of Kolmogorov systems of competition type under the telegraph noise, J Differential Equations, 250, pp 386- 409 [24] A Rescigno, Irvin W Richardson, (1967),The struggle for life: I Two species, 29, pp 381- 384 44 ... 0.346 > Động học nghiệm minh hoạ hình Luận văn "Động học phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu quỹ đạo chuyển động nghiệm dương hệ phương trình. ..ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số:... nghiệm phương trình đại số ∑ j φ (i) = 0, φ ( j) j∈J 1.2.4 0, với j ∈ J, ∑ φ (i) = i∈J Quá trình Markov nghiệm phương trình vi phân Xét phương trình dXt = f (Xt , ξt ) (1.10) dt Trong ξt q trình Markov