3 Ứng dụng.
3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục và tất cả các
dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên.
Xét trường hợp d(+) f(+) < a(+) c(+); d(+) e(+) > a(+) b(+) nhưng d(−) f(−)6 a(−) c(−); d(−) e(−) < a(−) b(−).
Với giả thiết này, tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới ba((−−)),0. Nếu λ1 >
0,λ2>0và x∗+,y∗+6= x∗−,y∗−, nó cũng cho thấy rằng tập đóngScho bởi (2.14) hút tất cả các nghiệm của hệ (3.1) với giá trị ban đầu(x0,y0)∈intR2+. Theo những lý do được đề cập
trong trường hợp 1, tồn tại duy nhất một phân phối dừng cho quá trình Markov(ξt,x(t),y(t))
trongintR2+. Theo Mệnh đề 2.3.2 và Định lý 2.3.3, phân phối dừng này có một hàm mật độ
f∗ đối với độ đo m trên E×R2
+,supp f∗⊂[xmin,M]×[0,M] vàlimt→∞kP(t)f−f∗k= 0,∀f ∈L1,kfk=1.Trong trường hợp d(−) f(−)> a(−) c(−); d(−) e(−) > a(−) b(−),
có thể thu được một kết quả tương tự. Để minh hoạ cho trường hợp này, ta xét ví dụ sau
Ví dụ 3:Cho
a(+) =6;b(+) =5;c(+) =2;d(+) =11;e(+) =3;f(+) =7;
a(−) =5;b(−) =3;c(−) =2;d(−) =9;e(−) =4;f(−) =2; x(0) =3;y(0) =4,α =1;β =5.
Chúng ta cóλ1≈2.484;λ2≈6.644.Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận và tất cả các nghiệm dương của hệ (3.3) dần tới một điểm trên biên. Mô phỏng được đưa ra trong hình 5.
Trong bản luận văn này, chúng tôi đã mô tả các dáng điệu của các nghiệm đối với các hệ cạnh tranh Kolmogorov chuyển đổi ngẫu nhiên. Đồng thời, bằng việc chứng minh các định lý, bổ đề chúng tôi cũng đã chỉ ra rằng với các giả thiết về các hệ số, tậpω- giới hạn được mô tả và có tồn tại một tập bất biến cho trước hút tất cả các quỹ đạo dương và một mật độ dừng. Điều kiện (2.15) cho biết, đại số Lie của các véc tơ trường không suy biến tại ít nhất một điểm. Vì vậy, rõ ràng phân phối dừng, nếu tồn tại, sẽ có mật độ với độ đo Lebesgue trên
R2+. Theo (2.7),(2.9) và (2.1), các giá trịλ1,λ2có thể dễ dàng ước tính được. Do đó, bằng cách phân tích các hệ số chúng ta có thể dự đoán được dáng điệu tương lai của các hệ. Nếu λi>0,i∈E, như đã thấy,limt→∞supx(t)>0,limt→∞supy(t)>0.
Theo các nghiệm số, chúng tôi nghĩ rằng trong trường hợp λ1>0,λ2 >0, tồn tại duy nhất một mật độ dừng trongintR2+. Tuy nhiên, cho đến nay điều này vẫn là một câu hỏi mở cho chúng tôi.
Hơn nữa, trong tất cả các trường hợp, chúng ta luôn giả sử rằng một trong hai hệ (2.2) hoặc hệ (2.3) có một trạng thái dương ổn định toàn cục. Thật khó để mô tả chính xác các tập ω- giới hạn của nghiệm dương khi mà không có hệ nào có trạng thái dương ổn định toàn cục. Lưu ý rằng tính dương củaλi không bao hàm sự tồn tại của trạng thái dương của hai hệ tất định (2.2), (2.3).
Xét một ví dụ sau: Cho
a(+) =6;b(+) =3;c(+) =2;d(+) =12;e(+) =4;f(+) =3;
a(−) =12;b(−) =4;c(−) =2;d(−) =9;e(−) =4;f(−) =2; x(0) =3;y(0) =4,α =5;β =5.
Trong ví dụ này, mọi nghiệm dương của (3.2) dần tới (0,4) trong khi đó mọi nghiệm dương của (3.3) dần tới(3,0)nhưngλ1≈0.5>0;λ2≈0.346>0. Động học của các nghiệm được minh hoạ bởi hình 6.
Luận văn "Động học của phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov" đã tập trung nghiên cứu những vấn đề sau:
Hình 6.n=2000
tranh Kolmogorov chịu tác động của nhiễu Markov.
2. Ứng dụng vào nghiên cứu quỹ đạo chuyển động của các nghiệm của hệ cạnh tranh cổ điển.
Mặc dù đã rất cố gắng, nhưng do vấn đề được đề cập trong luận văn là tương đối phức tạp và do thời gian có hạn, vì vậy luận văn không tránh khỏi những thiếu sót. Tác giả luận văn mong muốn nhận được sự góp ý kiến của thầy cô và các bạn đồng nghiệp để luận văn được hoàn chỉnh hơn.
Tôi xin chân thành cảm ơn!
Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn
[1] L.J.S. Allen,An Introdution to Stochastic Processes with Applications to Biology, Pear- son Education Inc, Upper Saddle River, NJ, 2003.
[2] L.J.S. Allen, E.J. Allen,(2003),A comparison of three differentiable stochastic popula-
tion models with regard to persistence time, Theoret. Population Biology, 68, pp. 439-
449.
[3] E.J. Allen, L.J.S. Allen, H. Schurz,(2005),A comparison of persistence - time estimation
for discrete and continuous population models that include demographic and environ- mental variability, J. Math. Biosci, 196,pp 14-38.
[4] L. Arnold,Random Dynamical Systems, Springer- Verlag, Gerlin- Heidelberg- New York, 1998.
[5] L. Arnold, W. Horsthemke, J.W. Stucki,(1979),The influence of external real and white
noise on the Lotka- Volterra model, Biom.J. 21 (5) ,pp 451-471.
[6] Z. Brzeniak, M. Capifiski, F. Flandoli,(1993),Pathwise global attractors for stationary
random dynamical systems, Probab. Theory, Related Fields, 95,pp 87-102.
[7] N.H.Du, R. Kon, K. Sato, Y. Takeuchi,(2004),Dynamical behavior of Lotka- Volterra
competition systems: Non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise, J.
Comput. Appl. Math. 170 (2),pp. 399-422.
[8] A. Bobrowski, T.Lipniacki, K. Pichor, R. Rudnicki,(2007),Asymptotic behavior of distri-
butions of mRNA and protein levels in a model of stochastic gene expression, J. Math,
Anal. Appl. 333,pp 753- 769.
[9] H. Crauel, F. Flandoli,(1994),Attractors for random dynamical systems, Probab. Theory Related Fields ,100,pp 365- 393.
[10] S.F. Ellermeyer, S.S. Pilyugin, R. Redheffer,(2001),Persistence criteria for a chemostat
[11] H.I. Freedman, S. Ruan,(1995),Uniform persistence in functional differential equations , J. Differential Equations ,115,pp 173- 192.
[12] I.I. Gihman, A.V. Skorohod,The Theory of Stochastic Processes, Springer- Verlag, Berlin- Heidelberg- New York, 1979.
[13] X. Han, Z. Teng,(2006),On the average persistence and extinction in nonautonomous
predator- prey Kolmogorov systems, Dyn. contin. Discrete Imputs. Syst. Ser. A Math. Anal. 13 (3-4),pp 367-385.
[14] X. Mao,(2001),Attraction, stability and boundednees for stochastic differential delay
equations, Nonlinear Anal. 47 (7),pp 4795- 4806.
[15] L. Michael,(1970) ,Conservative Markov processes on a topological space, Israel J. Math. 8, pp 165-186.
[16] Q. Luo, X. Mao,(2007),Stochastic population dynamics under regime switching, J. Math. Anal. Appl. 334, pp 69-84.
[17] K. Pichor, R. Rudnicki,(2000),Continuous Markov semigroups and stability of trans-
port equations, J. Math. Anal. Appl. 249, pp 668- 685.
[18] S.Sathananthan,(2003),Stability analysis of a stochastic logistic model, Math. Comput. Modelling ,8, pp 585- 593.
[19] W. Shen, Y. Wang,(2008),Carrying simplices in nonautonomous and random competi-
tive Kolmogorov systems, J. Differential Equations ,245, pp 1-29.
[20] Z. Teng,(2000),The almost periodic Kolmogorov competitive systems, Nonlinear Anal. 42 , pp 1221- 1230.
[21] A.D. Ventcel,Course of the Theory of the Stochastic Processes, Nauka, Moscow, 1975 (in Russian).
[22] C. Yuan, X. Mao, (2006),Attraction and stochastic asymptotic stability and bound-
ednees of stochastic functional differential equations with respect to semimartingales,
Stoch. Anal. Appl. 24, pp 1169- 1184.
[23] N.H.Du, N.H.Dang, (2011),Dynamics of Kolmogorov systems of competition type under
the telegraph noise, J. Differential Equations, 250, pp. 386- 409.
[24] A. Rescigno, Irvin W. Richardson, (1967),The struggle for life: I. Two species, 29, pp. 381- 384.