ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV

Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - Năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số: 60 46 15 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: GS.TS Nguyễn Hữu Dư Hà Nội - Năm 2012 Footer Page of 126 Header Page of 126 Mục lục Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định 1.2 Toán tử sinh trình Markov thời gian liên tục Quá trình Markov Toán tử sinh nửa nhóm toán tử Markov 11 1.2.3 Toán tử sinh xích Markov với thời gian liên tục 11 1.2.4 Quá trình Markov hai trạng thái 13 Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo 2.1 Tính bền vững hệ 14 14 2.2 Tập ω- giới hạn 22 2.2.1 Trường hợp 1: hai hệ tất định ổn định 22 2.2.2 2.2.3 Trường hợp 2: Một hệ ổn định hệ song ổn định Trường hợp 3: Một hệ ổn định toàn cục hệ triệt tiêu 23 24 Nửa nhóm tính ổn định phân bố 29 2.3 1.2.1 1.2.2 Ứng dụng 3.0.1 3.0.2 3.0.3 33 Trường hợp 1: Hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục (3.3) song ổn 35 định 38 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên 39 Kết luận 41 Tài liệu tham khảo 43 i Footer Page of 126 Header Page of 126 Lời nói đầu Đối với hệ sinh thái sinh học, sinh thái học quần thể học gồm có hai loài, người ta thường mô tả chúng mô hình toán học dạng hệ phương trình vi phân: x˙ = x f (x, y) , y˙ = yg (x, y) , (1) x(t) y(t) mật độ quần thể loài thời điểm t f (x, y) , g (x, y) tốc độ tăng trưởng bình quân loài Thông thường, hệ gọi hệ Kolmogorov Các hệ kiểu Kolmogorov mô hình thông dụng để mô tả phát triển quần thể hệ mà tốc độ tăng trưởng bình quân loài phụ thuộc vào quy mô quần thể hai loài Mô hình kiểu Kolmogorov quan trọng quỹ đạo xuất phát góc phần tư thứ mặt phẳng nằm mặt phẳng (tức x (0) > 0, y (0) > 0) x (t) > 0, y (t) > 0) với t > 0) Nói cách khác miền góc phần tư thứ mặt phẳng bất biến hệ (1) Đã có nhiều công trình nghiên cứu động lực học quần thể thông qua nghiên cứu nghiệm dương, chẳng hạn tính bền vững đều, diệt vong hay giới nội kết cục (xem [10, 13, 20, 11]) Cách mô tả hệ theo phương trình dựa vào giả thiết loài sống môi trường không thay đổi Do đó, tốc độ tăng trưởng f (x, y) , g (x, y) hàm tất định Tuy nhiên, rõ ràng điều nói chung không phù hợp thực tế phải tính đến biến động môi trường mà gây tác động mạnh đến tính động lực học phát triển bền vững quần thể Sự biến đổi môi trường thể yếu tố ngẫu nhiên điều quan trọng phải mô tả chúng dạng phương trình ngẫu nhiên Tuy vậy, hệ Kolmogorov tất định (1) nghiên cứu với lịch sử lâu dài hệ Kolmogorov ngẫu nhiên lại chưa đề cập nhiều tài liệu toán học công trình nghiên cứu phương diện thống kê Ở đây, đề cập đến nỗ lực theo hướng này, báo báo hay Arnold [5], tác giả sử dụng lý thuyết trình chuyển động Brown để nghiên cứu quỹ đạo mẫu phương trình Đối với mô hình phân nhánh môi trường biến thiên, tham khảo [2, 3, 18, vv ] Một cách trình bày tương đối hệ thống vấn đề đưa [1] Gần đây, [16] xem xét ảnh Footer Page of 126 Header Page of 126 MỤC LỤC hưởng hai loại nhiễu trình chuyển đổi Markov ồn trắng tác động lên hệ (1), A Bobrowski [8] sử dụng nửa nhóm Markov để nghiên cứu ổn định phân phối dừng hệ ngẫu nhiên (1); W Shen, Y Wang [19] nghiên cứu hệ Kolmogorov cạnh tranh ngẫu nhiên thông qua phương pháp tích lệch Trong trường hợp đơn giản nhất, giả sử điều kiện môi trường chuyển đổi ngẫu nhiên hai trạng thái, ví dụ: trạng thái nóng lạnh, trạng thái khô ướt Như vậy, giả sử có tiếng ồn điện báo ảnh hưởng đến mô hình cách chuyển đổi hai trạng thái tập hợp E = {+, −} có hai phần tử Với trạng thái khác nhau, động lực học hệ mô hình khác Sự chuyển đổi ngẫu nhiên điều kiện môi trường khiến cho mô hình thay đổi từ hệ trạng thái + với hệ trạng thái − ngược lại Trong [7], tác giả nghiên cứu hệ cạnh tranh cổ điển với tiếng ồn điện báo Các tác giả tập ω-giới hạn nghiệm hệ phức tạp thành công việc mô tả số tập hợp tập ω- giới hạn Mục đích khái quát kết cách xét hệ tổng quát mô tả đầy đủ tất tập ωgiới hạn nghiệm phương trình Chúng chứng minh tập ω- giới hạn tất nghiệm dương hút tất nghiệm dương khác Hơn nữa, muốn xa cách nghiên cứu số tính chất phân phối dừng Chúng phân phối dừng (nếu tồn tại) có mật độ mật độ hút tất phân phối khác Để làm điều đó, đưa tham số λ1 , λ2 ngưỡng phát triển hệ Mặc dù chưa đưa biểu thức để tìm giá trị λ1 , λ2 , dễ dàng ước lượng chúng phương pháp mô thông qua hệ số Các tham số đóng vai trò quan trọng thực tế cách phân tích hệ số, hiểu dáng điệu động học hệ Luận văn chia làm chương: Chương I: Các kiến thức chuẩn bị Nội dung chương đưa số khái niệm mô hình cạnh tranh hệ Kolmogorov tất định tính chất quan trọng trình Markov hữu hạn trạng thái với thời gian liên tục Chương II: Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu Markov Chương chủ yếu dựa nội dung báo [23] Trong chương này, mô tả quỹ đạo động học nghiệm dương loại hệ cạnh tranh chịu tác động tiếng ồn điện báo Nó cho thấy tập ω- giới hạn hấp thụ tất nghiệm dương Chúng xét trường hợp cụ thể dáng điệu nghiệm hệ Kolmogorov chịu nhiễu Markov Footer Page of 126 Header Page of 126 MỤC LỤC Chương III: Ứng dụng vào mô hình hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Chương đề cập đến dáng điệu nghiệm hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Lotka- Volterra tác động nhiễu Markov Các mô hình cổ điển xem thí dụ cụ thể minh họa kết Chương II Footer Page of 126 Header Page of 126 Lời cảm ơn Bản luận văn hoàn thành hướng dẫn nghiêm khắc bảo tận tình GS TS Nguyễn Hữu Dư Thầy dành nhiều thời gian hướng dẫn giải đáp thắc mắc suốt trình làm luận văn Tôi muốn bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến người thầy Qua đây, xin gửi tới thầy cô Khoa Toán-Cơ-Tin học, Trường Đại học Khoa học Tự nhiên, Đại học Quốc gia Hà Nội, thầy cô tham gia giảng dạy lớp cao học Toán khóa 2010- 2012, đặc biệt thầy Nguyễn Hải Đăng, giảng viên khoa toán sinh thái học môi trường, lời cảm ơn sâu sắc công lao dạy dỗ, dẫn nhiệt tình suốt khóa học thời gian làm luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn tới anh chị em học viên đồng khóa em sinh viên năm cuối khoa Toán- Cơ- Tin trường giúp đỡ nhiệt tình để hoàn thành luận văn Tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè tất người quan tâm, tạo điều kiện, động viên cổ vũ để hoàn thành nhiệm vụ Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Lê Thị Minh Thu Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 Phương trình Kolmogorov tất định Xét hệ sinh thái đơn giản gồm có hai loài sống môi trường tương đối ổn định Giả sử x(t), y(t) số lượng cá thể loài thời điểm t f (tương ứng g) tỷ lệ tăng trưởng loài thứ (tương ứng loài thứ 2); f , g hai hàm hai biến x y Như thế, mô tả phát triển hệ phương trình: dx dy = x f (x, y) , = yg (x, y) dt dt (1.1) Giả thiết phương trình (1.1) tỷ lệ tăng giảm số lượng cá thể quần thể không phụ thuộc vào thời gian số lượng quần thể đủ lớn để ta xem x y số thực không âm không chịu tác động ngẫu nhiên Hệ (1.1) gọi hệ Kolmogorov Trong toàn Luận văn này, đưa giả thiết f , g với đạo hàm bậc chúng xác định liên tục với giá trị không âm x y phương trình (1.1) tồn nghiệm xác định [0, ∞) (do nhất) Nhờ tính nghiệm hệ, dễ dàng thấy góc phần tư thứ R2+ = {(u, v) : u 0, v 0} mặt phẳng R2 bất biến Tức x(0) phần int R2+ 0, y(0) x(t) 0, y(t) với t > Tương tự = {(u, v) : u > 0, v > 0} bất biến Tùy theo toán cụ thể đưa điều kiện bổ sung cụ thể cho hai hàm f g Mối quan hệ loài có chia làm ba loại chính: a) Loài thứ gặp khó khăn, loài thứ hai gặp thuận lợi, có diện yếu tố khác (quan hệ loài săn mồi với mồi), b) Cả hai loài gặp khó khăn diện loài khác (mô hình cạnh tranh), Footer Page of 126 Header Page of 126 Chương Kiến thức chuẩn bị c) Cả hai loài gặp thuận lợi diện loài khác (mô hình cộng sinh) Trong toàn Luận văn xét mô hình cạnh tranh Đó trường hợp mà hai loài sống vùng lãnh thổ cạnh tranh nguồn thức ăn hay môi trường Mô hình toán học nghiên cứu tượng đưa Volterra (1927) đưa nhiều kết luận bổ ích phát triển loài Ở xét mô hình cạnh tranh tổng quát (1.1) cố gắng đạt kết luận tương tự Để mô tả mô hình có tính chất cạnh tranh, đưa giả thiết sau hàm f g : a) Sự gia tăng hai quần thể tạo sụt giảm tốc độ tăng trưởng hai quần thể; ta có ∂f ∂f < 0, < 0, ∂x ∂y ∂g ∂g < < ∂x ∂y b) Nếu hai quần thể nhỏ, hai nhân lên, f (0, 0) > g (0, 0) > c) Mỗi quần thể, nhỏ, tăng thêm đạt đến kích cỡ định, đó, tồn A C cho f (0, A) = g (C, 0) = d) Mỗi quần thể làm tăng kích thước định số lượng cá thể nhỏ, tồn B D cho f (B, 0) = g (0, D) = Nói chung, hai đường cong f = g = có số lượng điểm chung Khi đó, góc phần tư thứ hệ tọa độ (x, y) chia thành khu vực: khu vực I có f > 0, g > 0; khu vực II có f < 0, g < khu vực III có f g < Những khu vực biểu diễn biểu đồ hình Tất đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I II cuối vào khu vực III Khu vực III hình thành đường cong f = , g = 0, điểm bên bị chặn hai đường cong đoạn AD BC Tùy thuộc vào đồ thị hàm f g, điểm khu vực điểm biên Khu vực III chia thành nhiều tập con, tập cộng với điểm biên tạo thành khu vực con; tất đường cong tích phân khu vực kết thúc điểm cân x = maximum, y = minimum, tương ứng x = minimum, y = maximum, tùy thuộc vào việc điểm khu vực f > 0, g < f < 0, g > Ví dụ, trường hợp hình 1, D điểm cân khu vực R điểm cân Footer Page of 126 Header Page 10 of 126 Chương Kiến thức chuẩn bị Hình khu vực khác Có thể, không chắn, vài điểm khu vực III không thuộc vào nhóm khu vực này, điều xảy mà đường cong f = g = có đoạn trùng Trong trường hợp này, đường cong tích phân xuất phát từ khu vực I II đến đoạn trùng dừng lại Một ví dụ minh họa đơn giản cho ta biết nhiều thông tin dáng điệu giới hạn đường cong tích phân Ví dụ đường cong hình chép hình 2, dấu hàm f g biểu diễn véc tơ đơn vị song song với trục Trong khu vực I, có f > g > đó, với thời gian ngày tăng, đường cong tích phân khu vực giới hạn góc phần tư xác định véc tơ đơn vị thể hình Để minh họa cụ thể, ta xét khu vực giới hạn điểm Q R; rõ ràng từ véc tơ ta thấy, Q điểm cân không ổn định R điểm cân ổn định Chú ý rằng, đường cong tích phân qua khu vực hình chữ nhật xq1 Q∞ cuối phải kết thúc điểm R Các đường cong tích phân qua khu vực hình chữ nhật yq2 Q∞ không đến R, đến D Dáng điệu đường cong tích phân khu vực lại góc phần tư thứ phải xác định cách phân tích chi tiết Kết luận, đường cong f = g = không giao nhau, loài tồn tại, cụ thể là, loài thứ tồn B > C loài thứ hai tồn B < C Khi đường cong f = g = cắt điểm, B > C có hai loài sống Footer Page 10 of 126 Header Page 33 of 126 Chương Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo ρ (k) = (−1)k , Bn = {τn λ Suy R2+ τn+1 } Cho λ (B) = Khi t ρ(1) −1 ρ(n+1) ρ(n) B πσn πσ1 πt−τn =0 (z) f (z) dz = ρ(n+1) ρ(n) ρ(1) −1 πσn πσ1 B πt−τn Bởi vậy, P {z (t) ∈ B, τn τn+1 } = 0, ∀n ∈ N t Do đó, ∞ P {z (t) ∈ B} = ∑ P {z (t) ∈ B, τn t τn+1 } = n=0 Điều có nghĩa phân phối z (t) liên tục tuyệt đối đến λ Bổ đề chứng minh Chú ý: D = { f ∈ L1 (m) : f 0; f = 1} Từ Bổ đề 2.3.1, với f ∈ D cần xác định P (t) f mật độ P (t) ν, ν (di, dz) = f (i, z) didz Mệnh đề 2.3.2 Cho giả thiết Định lý 2.2.7 thoả mãn Nếu ν ∗ phân phối dừng trình (ξt , z (t)), có nghĩa là, P (t) ν ∗ = ν ∗ , ∀t với ν ∗ E × intR2+ = 1, ν ∗ có hàm mật độ f ∗ m sup p ( f ∗ ) = E × S Chứng minh Chú ý S tập bất biến hệ (2.1) lim P {(z (t)) ∈ S} = t→∞ ν ∗ (E × S) = Hơn nữa, ν ∗ ({+} × S) = p, ν ∗ ({−} × S) = q Theo định lý khai triển Lebesgue, tồn hai độ đo xác suất νa∗ , νs∗ với θ ∈ [0, 1] cho ν ∗ = θ νs∗ + (1 − θ ) νa∗ , νa∗ liên tục tuyệt đối m νs∗ suy biến Do ν ∗ độ đo dừng nên ν ∗ = P (t) ν ∗ = θ P (t) νs∗ + (1 − θ ) P (t) νa∗ = θ νs∗ + (1 − θ ) νa∗ (2.16) Trường hợp θ = ta ν ∗ = νa∗ , suy ra, ν ∗ liên tục tuyệt m Giả sử θ = 0, theo Bổ đề 2.3.1 ta P (t) νa∗ liên tục tuyệt đối m Áp dụng Định lý khai triển Lebesgue lần với độ đo P (t) νs∗ có ∗ ∗ P (t) νs∗ = kν1s + (1 − k) ν1a , ∀0 k 1, ∗ liên tục tuyệt đối ν ∗ suy biến với m Thay khai triển vào (2.16) ta ν1a 1s ∗ ∗ ν ∗ = θ (kν1s + (1 − k) ν1a ) + (1 − θ ) P (t) νa∗ ∗ ∗ = θ kν1s + θ (1 − k) ν1a + (1 − θ ) P (t) νa∗ = θ νs∗ + (1 − θ ) νa∗ Footer Page 33 of 126 30 Header Page 34 of 126 Chương Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo ∗ = θ P (t) ν ∗ Do tính nên θ kν1s s ∗ P (t) ν ∗ độ đo xác suất, k = nên suy ν ∗ phân phối dừng tồn Do ν1s s s ∗ tập đo K S cho λ (K) = νs (E × K) = Nếu (ξt , z (t)) có phân phối ban đầu νs∗ phân phối thời điểm t νs∗ Cho ϕ hàm xác định t0 , b số cho chứng minh + định lý 2.2.7 Chúng ta xác định hàm ψ(z,t) (s1 , s2 ) = πt−s ◦ πs−2 ◦ πs+1 (z) với −s2 ∗ , y∗ s1 , s2 > s1 + s2 < t Khi tồn T > lân cận Uε∗ z∗+ = x+ + cho P (T, +, z, E × (S \ K)) > 0, ∀z ∈ Uε∗ Chú ý ψz∗+ ,t (s1 , s2 ) = ϕ (s2 − t0 ,t − s1 − s2 ) Do đó, det ∂ ψz∗ ,T + ∂ s1 ∂ ψz∗ ,T + , ∂ s2 |( b ,t0 ) = T = t0 + b Suy ra, tồn ε > cho det ∂ ψz,T ∂ s1 , |( b ,t0 ) = 0, ∀z ∈ Uε∗ ∂ ψz,T ∂ s2 Với z ∈ Uε∗ , tồn lân cận mở W W := ψ (z, T ) (W ) Dễ dàng suy P T, +, z, E × W \ K b ,t0 cho ψz,T đồng phôi W −1 P (σ1 , σ2 ) ∈ W \ ψz,T (K) , τ2 < T < τ3 −1 Do ψz,T đồng phôi λ (K) = 0, nên suy λ ψz,T (K) = Nói cách khác, phân bố (σ1 , σ2 ) liên tục tuyệt đối λ , P −1 (σ1 , σ2 ) ∈ W \ ψz,T (K) = P {(σ1 , σ2 ) ∈ W } Do đó, P (T, +, z, (S \ K) × E) P T, +, z, E × W \ K P {(σ1 , σ2 ) ∈ W, τ2 < T < τ3 } > Tiếp theo, ta chứng minh νs∗ ({+} ×Uε∗ ) > Ta có, tồn tập compact H intR2+ cho νs∗ ({+} × H) > Theo Bổ đề 1.1.1, với z ∈ H, tồn T > cho πT+ (z) ∈ Uε∗ , kéo theo P (T , +, z, {+} ×Uε∗ ) P {σ1 > T } Hơn nữa, νs∗ ({+} ×Uε∗ ) = P T νs∗ ({+} ×Uε∗ ) {+}×H P T , +, z, {+} ×Uε∗ dνs∗ > Ta kết quả, P (T ) νs∗ (E × (S \ K)) {+}×Uε∗ P (T, i, z, E × (S \ K)) dνs∗ > Điều dẫn đến mâu thuẫn Do đó, θ = ν ∗ liên tục tuyệt đối m, với hàm mật độ f ∗ Footer Page 34 of 126 31 Header Page 35 of 126 Chương Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo Cuối cùng, ta chứng minh sup p f ∗ = E × S Tương tự chứng minh trên, ta cần chứng minh với δ > 0, có T = Tδ cho ν ∗ ({+} ×Uε∗ ) = P (T ) ν ∗ {+} ×Uδ∗ T , +, z, {+} ×Uδ∗ dν ∗ > Cho z¯ = πt−1 z∗+ Theo Định lý liên tục phụ thuộc vào điều kiện ban đầu, với ε, lân cận z¯, tồn δ > cho với z ∈ Uδ∗ , πt−1 (z) ∈ Wε kéo theo P (t1 , +, z, {+} ×Wε ) P {σ1 > t1 } > Hơn nữa, {+}×H P f ∗ dm = {+}×Wε {+}×Wε P (t1 ) f ∗ dm {+}×Uε∗ P (t1 , +, z, {+} ×Wε ) f ∗ dm > Áp dụng Định lý liên tục phụ thuộc vào điều kiện ban đầu lần nữa, tồn δ > cho ∀z ∈ Uδ∗ ,t1 − δ < s1 < t1 < t1 − δ < s1 < t1 , πt+1 −s1 πs−1 (z) ∈ Wε , kéo theo P (t1 , +, z, {−} ×Wε ) P {t1 − δ < σ1 < t1 , σ1 + σ2 > t1 } > Hơn nữa, f ∗ dm = {−}×Wε {−}×Wε P (t1 ) f ∗ dm {−}×Uε∗ P (t1 , +, z, {−} ×Wε ) f ∗ dm > Bằng phương pháp quy nạp, với z ∈ S ε- lân cận Wε nó, ta có Từ đó, ta v {i}×Wε f ∗ dm > f ∗ dm > với tập mở V ⊂ E × S, kéo theo sup p f ∗ = E × S Định lí 2.3.3 Cho giả thiết Định lý 2.2.7 thoả mãn Nếu nửa nhóm {P (t)}t có độ đo xác suất bất biến ν ∗ , ν ∗ có hàm mật độ f ∗ {P (t)}t tiệm cận ổn định nghĩa limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ D Chứng minh Theo Mệnh đề 2.3.2, {P (t)}t có tập bất biến không tầm thường ψ(x∗ ,y∗ ),T3 Hơn nữa, có det dτ có hàm bất biến khác không f ∗ không b ,t0 = Do đó, theo [17, Mệnh đề 2], {P (t)}t tiệm cận ổn định Đó điều phải chứng minh Footer Page 35 of 126 32 Header Page 36 of 126 Chương Ứng dụng Sau đây, áp dụng kết đạt chương để nghiên cứu quỹ đạo nghiệm hệ phương trình cạnh tranh cổ điển Xét hệ phương trình:   x˙ (t) = x (a (ξt ) − b (ξt ) x − c (ξt ) y) , (3.1)  y˙ (t) = y (d (ξt ) − e (ξt ) x − f (ξt ) y) , a (±) , b (±) , c (±) , d (±) , e (±) , f (±) số dương (xem [7]) Tiếng ồn (ξt ) can thiệp hầu khắp vào phương trình (3.1), tạo chuyển đổi hệ tất định   x˙+ (t) = x+ (a (+) − b (+) x+ − c (+) y+ ) , (3.2)  y˙+ (t) = y+ (d (+) − e (+) x+ − f (+) y+ ) , hệ   x˙− (t) = x− (a (−) − b (−) x− − c (−) y− ) , (3.3)  y˙− (t) = y− (d (−) − e (−) x− − f (−) y− ) ∗ , y∗ (tương tự hệ Với giả thiết b (±) f (±) − c (±) e (±) = 0, hệ (3.2) có trạng thái x+ + ∗ , y∗ ) (3.3) có trạng thái x− − ∗ x± = a (±) f (±) − c (±) d (±) ∗ b (±) d (±) − a (±) e (±) , y± = b (±) f (±) − c (±) e (±) b (±) f (±) − c (±) e (±) Chọn D = {(x, y) , x, y M} với M > maxi∈E max a(i) a(i) d(i) d(i) b(i) , c(i) , e(i) , f (i) D tập bất biến chung hai hệ (3.2) (3.3) Với mô hình này, λ1 , λ2 tính toán sau: Footer Page 36 of 126 33 Dễ dàng thấy Header Page 37 of 126 Chương Ứng dụng Từ hệ thức e (ξs ) e (ξs ) a (ξs ) + (a (ξs ) − b (ξs ) u (s)) b (ξs ) b (ξs ) e (+) e (−) e (ξs ) a (ξs ) + − = d (ξs ) − b (ξs ) b (+) b (−) e (−) u˙ (s) (a (ξs ) − b (ξs ) u (s)) 1{ξs =+} + , b (−) u (s) d (ξs ) − e (ξs ) u (s) = d (ξs ) − suy t t e (ξs ) a (ξs ) ds b (ξs ) t e (+) e (−) u˙ (s) + − + b (+) b (−) u (s) {ξs =+} + ln (u (t)) − ln (u (0)) (d (ξs ) − e (ξs ) u (s)) ds = d (ξs ) − Áp dụng (2.8) ta t→∞ t t lim t→∞ t e (ξs ) a (ξs ) ds b (ξs ) e (−) e (+) a (+) p + d (−) − a (−) q b (+) b (−) = d (+) − d (ξs ) − t lim u2 (a (ξs ) − b (ξs ) u (s)) 1{ξs =+} ds = p u1 = mini∈E a(i) b(i) a(i) b(i) , u2 = maxi∈E (h.c.c), (a (+) − b (+) u) µ + (u) du, u1 Theo (2.7),ta có α µ+ = θ a(+) −1 |a (+) − b (+) u| u −1 β |a (−) − b (−) u| a(−) α + β +1 a(+) a(−) , Với B (·, ·) hàm Beta α [a (+)] a(+) −1 β α [a (−)] a(−) (u2 − u1 ) a(+) θ= α (u1 u2 ) a(+) β + a(−) B β α a(+) , a(−) +1 β + a(−) Do đó, + e (+) e (−) a (+) p + d (−) − a (−) q b (+) b (−) e (+) e (−) a (+) a (−) − sign − b (+) b (−) b (+) b (−) d (+) − λ2 = p θ u2 u1 Footer Page 37 of 126 α β |a (+) − b (+) u| a(+) |a (−) − b (−) u| a(−) u α + β +1 a(+) a(−) 34 du Header Page 38 of 126 Chương Ứng dụng Bằng cách tương tự, ta + c (+) c (−) d (+) p + a (−) − d (−) q + f (+) f (−) d (+) d (−) c (+) c (−) − sign − f (+) f (−) f (+) f (−) a (+) − λ1 = p ζ |d (+) − f (+) v| d(+) |d (−) − f (−) v| d(−) α v1 v1 = mini∈E β α v2 v d(+) d(i) f (i) , v2 = maxi∈E α [d (+)] d(+) −1 β + d(−) +1 d(i) f (i) β α [d (−)] d(−) (v2 − v1 ) d(+) ζ= (v1 v2 ) dv β + d(−) B β α d(+) , d(−) +1 α + β d(+) d(−) Như vậy, công thức ta dễ dàng ước tính giá trị λ1 , λ2 Sau đây, ta xét ba trường hợp với giả thiết λ1 > 0, λ2 > 3.0.1 Trường hợp 1: Hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục Giả sử d (i) a (i) d (i) a (i) < ; > f (i) c (i) e (i) b (i) với i∈E (3.4) ∗ , y∗ Trong trường hợp này, hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận toàn cục với trạng thái x± ± ∗ , y∗ ,t > cho Bây chứng minh tồn (x¯0 , y¯0 ) = πt−0 x+ + a (−) − b (−) x¯0 − c (−) y¯0 a (+) − b (+) x¯0 − c (+) y¯0 = d (−) − e (−) x¯0 − f (−) y¯0 d (+) − e (+) x¯0 − f (+) y¯0 ∗ , y∗ = x∗ , y∗ tập tất điểm (x, y) thoả mãn hệ thức Thật vậy, x+ + − − a (−) − b (−) x¯ − c (−) y¯ a (+) − b (+) x¯ − c (+) y¯ = d (−) − e (−) x¯ − f (−) y¯ d (+) − e (+) x¯ − f (+) y¯ tạo thành đường conic Tuy nhiên, dễ dàng nhận quỹ đạo nghiệm phương trình (3.3) đường conic Do vậy, tồn điểm (x¯0 , y¯0 ) = ∗ , y∗ ,t > cho πt−0 x+ + a (−) − b (−) x¯0 − c (−) y¯0 a (+) − b (+) x¯0 − c (+) y¯0 d (−) − e (−) x¯0 − f (−) y¯0 d (+) − e (+) x¯0 − f (+) y¯0 Footer Page 38 of 126 35 = Header Page 39 of 126 Chương Ứng dụng Vì tập ω- giới hạn phương trình (3.1) tập S¯ mô tả (2.14) Hơn nữa, maxi∈E ymin Thật vậy, từ hệ thức a(i) b(i) d(i) e(i) < mini∈E x˙ (t) = x (a (ξt ) − b (ξt ) x − c (ξt ) y) maxi∈E x (a (ξt ) − b (ξt ) x) , m0 , ∀t Suy tồn T > cho x (t) a(i) b(i) , tồn ymin cho lim inft→∞ y (t) > < m0 < mini∈E T y (T ) d(i) e(i) lim sup y (t) > 0, t→∞ ε, ε < y∗+ , y∗− , limt→∞ sup y (t) chọn cho d (−) − e (−) x − f (−) ε > 0, Không tính tổng quát, giả sử a(+) b(+) a(−) b(−) ∀0 m0 x Cho (x+ (t) , y+ (t)) nghiệm (3.2) thoả mãn x+ (0) = m0 , y+ (0) = ε Đặt τ ∗ = inf {s > : d (+) − e (+) x+ (s) − f (+) y+ (s) > 0}, ymin = inf {y+ (t) : t > 0} Chúng ta có ε > ymin = y+ (τ ∗ ) > Cho Γ+ = {(x+ (t) , y+ (t)) : t τ ∗ } γ+ (x) hàm xác định [xτ ∗ , m0 ] có đồ thị Γ Dễ dàng nhận miền D = {x < xτ ∗ , ymin y {x M} xτ ∗ , γ+ (x) y M} tập bất biến chung hai hệ (3.2) (3.3), kéo theo y (t) > ymin , ∀t > T Nói cách khác, ln x (t) − ln x (0) = t t t Kéo theo limt→∞ inf 1t x˙ (s) ds = x (s) t t t (a (ξs ) − b (ξs ) x (s) − c (ξs ) y (s)) ds t (a (ξs ) − c (ξs ) y (s)) − t (b (ξs ) x (s)) ds > λ1 lim inf t→∞ t t t (b (ξs ) x (s)) ds, Hơn nữa, t x (s) ds λ3 = λ1 / max {b (+) , b (−)} h.c.c (3.5) Kết hợp với y (t) xmin hệ thức (3.5) ta thấy tồn phân phối dừng cho trình Markov (ξt , x (t) , y (t)) intR2+ (xem [15], Appendix) Theo Mệnh đề 2.3.2 Định lý 2.3.3, trình dừng có hàm mật độ f ∗ với độ đo m E × R2+ với sup p f ∗ ⊂ [0, M] × [ymin , M] limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ L1 , f = Chúng ta có kết tương a(i) tự trường hợp này, maxi∈E d(i) f (i) < mini∈E c(i) ∗ , y∗ = x∗ , y∗ = (x∗ , y∗ ) Bây xét trường hợp x+ + − − Trong trường hợp này, giả thiết maxi∈E mini∈E a(i) c(i) Footer Page 39 of 126 a(i) b(i) < mini∈E 36 d(i) e(i) tương đương với maxi∈E d(i) f (i) < Header Page 40 of 126 Chương Ứng dụng Trong giả thiết này, giả sử d(i) e(i) a(i) c(i) nhận giá trị nhỏ b(i1 ) c(i1 ) ε Bằng cách vẽ véc nhận giá trị nhỏ i1 ∈ E, 2) ∗ i2 ∈ E Với ε > 0, đặt Aε = [x∗ − ε, x∗ + ε] × y∗ − e(i f (i ) ε, y + tơ trường hai hệ (3.2) (3.3), thấy Aε tập bất biến chung hai hệ với ε đủ nhỏ Theo Định lý 2.2.7, (x∗ , y∗ ) ∈ Ω (x0 , y0 , ω) h.c.c Hơn nữa, τε < ∞ h.c.c, τε = inf {t > : (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) ∈ Aε } Kết hợp với tính bất biến Aε ta lim (x (t, x0 , y0 ) , y (t, x0 , y0 )) = (x∗ , y∗ ) t→∞ h.c.c Tóm lại ta có định lý sau Định lí 3.0.4 Giả sử cho trước (3.4) có maxi∈E a(i) b(i) < mini∈E d(i) e(i) a(i) maxi∈E d(i) f (i) < mini∈E c(i) Khi ∗ , y∗ = x∗ , y∗ , tồn phân phối dừng cho trình Markov (a) Nếu x+ − − + (ξt , x (t) , y (t)) Phân phối dừng có hàm mật độ f ∗ với độ đo m E × R2+ Hơn nữa, hàm mật độ dừng tiệm cận ổn định, có nghĩa là, limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ L1 , f = ∗ , y∗ = x∗ , y∗ = (x∗ , y∗ ), lim ∗ ∗ (b) Nếu x+ t→∞ (x (t) , y (t)) = (x , y ) h.c.c, với + − − giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ R2+ Để minh họa cho trường hợp này, ta lấy ví dụ sau Ví dụ 1: Cho a (+) = 1; b (+) = 1; c (+) = 0.1; d (+) = 7; e (+) = 6; f (+) = 1; a (−) = 3; b (−) = 1; c (−) = 0.1; d (−) = 7; e (−) = 2; f (−) = 1; x (0) = 2; y (0) = Trường hợp A: α = 3; β = 4; λ1 ≈ 1.157; λ2 ≈ −0.545 Trường hợp B: α = 0.3; β = 0.4; λ1 ≈ 1.157; λ2 ≈ 0.461 (xem Hình.3.) Trong ví dụ này, hai hệ (3.2) (3.3) ổn định tiệm cận Tuy nhiên, trường hợp A thấy limt→∞ y (t) = trường hợp B, limt→∞ supy (t) > 0; xmin > Điều có nghĩa dáng điệu nghiệm không phụ thuộc vào hệ số, mà phụ thuộc vào thời gian lại ξt trạng thái Hơn nữa, giả thiết λi > 0, i = 1, bị xoá bỏ, loại bị triệt tiêu ổn định tiệm cận toàn cục hai hệ Footer Page 40 of 126 37 Header Page 41 of 126 Chương Ứng dụng Hình n = 1000 3.0.2 Trường hợp 2: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục (3.3) song ổn định Giả sử d (+) a (+) d (+) a (+) < ; > f (+) c (+) e (+) b (+) Nhưng d (−) a (−) d (−) a (−) > ; < f (−) c (−) e (−) b (−) ∗ , y∗ ; hệ Trong trường hợp này, hệ (3.2) có nghiệm ổn định dương x+ + (3.3) song ổn định Tuy nhiên, điểm (u− , 0) (0, v− ) lại ổn định địa phương Nếu ∗ , y∗ = x∗ , y∗ tồn điểm (x¯ , y¯ ) = π − x∗ , y∗ ,t > cho x+ 0 t0 + − − + + a (−) − b (−) x¯0 − c (−) y¯0 a (+) − b (+) x¯0 − c (+) y¯0 = d (−) − e (−) x¯0 − f (−) y¯0 d (+) − e (+) x¯0 − f (+) y¯0 ∗ , y∗ = x∗ , y∗ , tập S đóng cho Theo định lý 2.2.7, λ1 > 0, λ2 > x+ + − − (2.14) hút tất nghiệm hệ (3.1) với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ intR2+ Footer Page 41 of 126 38 Header Page 42 of 126 Chương Ứng dụng Ví dụ 2: Cho a (+) = 11; b (+) = 2; c (+) = 1; d (+) = 9; e (+) = 1; f (+) = 3; a (−) = 10; b (−) = 4; c (−) = 3; d (−) = 8; e (−) = 2; f (−) = 4; x (0) = 3; y (0) = 4, α = 3; β = Ta có λ1 ≈ 6.445; λ2 ≈ 3.286 Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên Mô đưa hình Hình n = 300 3.0.3 Trường hợp 3: Hệ (3.2) ổn định tiệm cận toàn cục tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên Xét trường hợp d (+) a (+) d (+) a (+) < ; > f (+) c (+) e (+) b (+) d (−) f (−) a (−) d (−) a (−) ; < c (−) e (−) b (−) Với giả thiết này, tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới a(−) b(−) , Nếu λ1 > ∗ , y∗ = x∗ , y∗ , cho thấy tập đóng S cho (2.14) hút tất 0, λ2 > x+ + − − nghiệm hệ (3.1) với giá trị ban đầu (x0 , y0 ) ∈ intR2+ Theo lý đề cập Footer Page 42 of 126 39 Header Page 43 of 126 Chương Ứng dụng trường hợp 1, tồn phân phối dừng cho trình Markov (ξt , x (t) , y (t)) intR2+ Theo Mệnh đề 2.3.2 Định lý 2.3.3, phân phối dừng có hàm mật độ f ∗ độ đo m E × R2+ , sup p f ∗ ⊂ [xmin , M] × [0, M] limt→∞ P (t) f − f ∗ = 0, ∀ f ∈ L1 , f = Trong trường hợp d (−) a (−) > ; f (−) c (−) d (−) e (−) a (−) , b (−) thu kết tương tự Để minh hoạ cho trường hợp này, ta xét ví dụ sau Ví dụ 3: Cho a (+) = 6; b (+) = 5; c (+) = 2; d (+) = 11; e (+) = 3; f (+) = 7; a (−) = 5; b (−) = 3; c (−) = 2; d (−) = 9; e (−) = 4; f (−) = 2; x (0) = 3; y (0) = 4, α = 1; β = Chúng ta có λ1 ≈ 2.484; λ2 ≈ 6.644 Trong ví dụ này, hệ (3.2) ổn định tiệm cận tất nghiệm dương hệ (3.3) dần tới điểm biên Mô đưa hình Hình n = 300 Footer Page 43 of 126 40 Header Page 44 of 126 Kết luận Trong luận văn này, mô tả dáng điệu nghiệm hệ cạnh tranh Kolmogorov chuyển đổi ngẫu nhiên Đồng thời, việc chứng minh định lý, bổ đề với giả thiết hệ số, tập ω- giới hạn mô tả có tồn tập bất biến cho trước hút tất quỹ đạo dương mật độ dừng Điều kiện (2.15) cho biết, đại số Lie véc tơ trường không suy biến điểm Vì vậy, rõ ràng phân phối dừng, tồn tại, có mật độ với độ đo Lebesgue R2+ Theo (2.7),(2.9) (2.1), giá trị λ1 , λ2 dễ dàng ước tính Do đó, cách phân tích hệ số dự đoán dáng điệu tương lai hệ Nếu λi > 0, i ∈ E, thấy, limt→∞ sup x (t) > 0, limt→∞ sup y (t) > Theo nghiệm số, nghĩ trường hợp λ1 > 0, λ2 > 0, tồn mật độ dừng intR2+ Tuy nhiên, điều câu hỏi mở cho Hơn nữa, tất trường hợp, giả sử hai hệ (2.2) hệ (2.3) có trạng thái dương ổn định toàn cục Thật khó để mô tả xác tập ω- giới hạn nghiệm dương mà hệ có trạng thái dương ổn định toàn cục Lưu ý tính dương λi không bao hàm tồn trạng thái dương hai hệ tất định (2.2), (2.3) Xét ví dụ sau: Cho a (+) = 6; b (+) = 3; c (+) = 2; d (+) = 12; e (+) = 4; f (+) = 3; a (−) = 12; b (−) = 4; c (−) = 2; d (−) = 9; e (−) = 4; f (−) = 2; x (0) = 3; y (0) = 4, α = 5; β = Trong ví dụ này, nghiệm dương (3.2) dần tới (0, 4) nghiệm dương (3.3) dần tới (3, 0) λ1 ≈ 0.5 > 0; λ2 ≈ 0.346 > Động học nghiệm minh hoạ hình Luận văn "Động học phương trình Kolmogorov chịu nhiễu Markov" tập trung nghiên cứu vấn đề sau: Nghiên cứu quỹ đạo chuyển động nghiệm dương hệ phương trình cạnh Footer Page 44 of 126 41 Header Page 45 of 126 Chương Ứng dụng Hình n = 2000 tranh Kolmogorov chịu tác động nhiễu Markov Ứng dụng vào nghiên cứu quỹ đạo chuyển động nghiệm hệ cạnh tranh cổ điển Mặc dù cố gắng, vấn đề đề cập luận văn tương đối phức tạp thời gian có hạn, luận văn không tránh khỏi thiếu sót Tác giả luận văn mong muốn nhận góp ý kiến thầy cô bạn đồng nghiệp để luận văn hoàn chỉnh Tôi xin chân thành cảm ơn! Hà nội, tháng 12 năm 2012 Người làm luận văn Lê Thị Minh Thu Footer Page 45 of 126 42 Header Page 46 of 126 Tài liệu tham khảo [1] L.J.S Allen,An Introdution to Stochastic Processes with Applications to Biology, Pearson Education Inc, Upper Saddle River, NJ, 2003 [2] L.J.S Allen, E.J Allen,(2003),A comparison of three differentiable stochastic population models with regard to persistence time, Theoret Population Biology, 68, pp 439449 [3] E.J Allen, L.J.S Allen, H Schurz,(2005),A comparison of persistence - time estimation for discrete and continuous population models that include demographic and environmental variability, J Math Biosci, 196,pp 14-38 [4] L Arnold,Random Dynamical Systems, Springer- Verlag, Gerlin- Heidelberg- New York, 1998 [5] L Arnold, W Horsthemke, J.W Stucki,(1979),The influence of external real and white noise on the Lotka- Volterra model, Biom.J 21 (5) ,pp 451-471 [6] Z Brzeniak, M Capifiski, F Flandoli,(1993),Pathwise global attractors for stationary random dynamical systems, Probab Theory, Related Fields, 95,pp 87-102 [7] N.H.Du, R Kon, K Sato, Y Takeuchi,(2004),Dynamical behavior of Lotka- Volterra competition systems: Non autonomous bistable case and the effect of telegraph noise, J Comput Appl Math 170 (2),pp 399-422 [8] A Bobrowski, T.Lipniacki, K Pichor, R Rudnicki,(2007),Asymptotic behavior of distributions of mRNA and protein levels in a model of stochastic gene expression, J Math, Anal Appl 333,pp 753- 769 [9] H Crauel, F Flandoli,(1994),Attractors for random dynamical systems, Probab Theory Related Fields ,100,pp 365- 393 [10] S.F Ellermeyer, S.S Pilyugin, R Redheffer,(2001),Persistence criteria for a chemostat with variable nutrient input, J Differential Equations ,171 Footer Page 46 of 126 43 Header Page 47 of 126 TÀI LIỆU THAM KHẢO [11] H.I Freedman, S Ruan,(1995),Uniform persistence in functional differential equations , J Differential Equations ,115,pp 173- 192 [12] I.I Gihman, A.V Skorohod,The Theory of Stochastic Processes, Springer- Verlag, Berlin- Heidelberg- New York, 1979 [13] X Han, Z Teng,(2006),On the average persistence and extinction in nonautonomous predator- prey Kolmogorov systems , Dyn contin Discrete Imputs Syst Ser A Math Anal 13 (3-4),pp 367-385 [14] X Mao,(2001),Attraction, stability and boundednees for stochastic differential delay equations, Nonlinear Anal 47 (7),pp 4795- 4806 [15] L Michael,(1970) ,Conservative Markov processes on a topological space, Israel J Math 8, pp 165-186 [16] Q Luo, X Mao,(2007),Stochastic population dynamics under regime switching, J Math Anal Appl 334, pp 69-84 [17] K Pichor, R Rudnicki,(2000),Continuous Markov semigroups and stability of transport equations, J Math Anal Appl 249, pp 668- 685 [18] S.Sathananthan,(2003),Stability analysis of a stochastic logistic model, Math Comput Modelling ,8, pp 585- 593 [19] W Shen, Y Wang,(2008),Carrying simplices in nonautonomous and random competitive Kolmogorov systems , J Differential Equations ,245, pp 1-29 [20] Z Teng,(2000),The almost periodic Kolmogorov competitive systems, Nonlinear Anal 42 , pp 1221- 1230 [21] A.D Ventcel,Course of the Theory of the Stochastic Processes, Nauka, Moscow, 1975 (in Russian) [22] C Yuan, X Mao, (2006),Attraction and stochastic asymptotic stability and boundednees of stochastic functional differential equations with respect to semimartingales, Stoch Anal Appl 24, pp 1169- 1184 [23] N.H.Du, N.H.Dang, (2011),Dynamics of Kolmogorov systems of competition type under the telegraph noise, J Differential Equations, 250, pp 386- 409 [24] A Rescigno, Irvin W Richardson, (1967),The struggle for life: I Two species, 29, pp 381- 384 Footer Page 47 of 126 44 ... of 126 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN LÊ THỊ MINH THU ĐỘNG HỌC CỦA PHƯƠNG TRÌNH KOLMOGOROV CHỊU NHIỄU MARKOV Chuyên ngành : Lý thuyết xác suất thống kê toán học Mã số:... nghiệm phương trình đại số ∑ j φ (i) = 0, φ ( j) j∈J 1.2.3.1 0, với j ∈ J, ∑ φ (i) = i∈J Quá trình Markov nghiệm phương trình vi phân Xét phương trình dXt = f (Xt , ξt ) (1.10) dt Trong ξt trình Markov. .. Tính chất tiệm cận hệ phương trình cạnh tranh Kolmogorov chịu nhiễu điện báo 2.1 Tính bền vững hệ Cho (ξt ) trình Markov trạng thái nhận giá trị tập E = {+, −} Xét phương trình Kolmogorov:   x˙