Luận văn thạc sĩ về chuỗi fourier có trọng

ĐAI HOC QUOC GIA HÀ N®I TRƯèNG ĐAI HOC KHOA HOC TU NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - CHU TH± THƠM VE CHUŐI FOURIER CÓ TRONG LUắN VN THAC S TON HOC H Nđi - 2018 CHU TH± THƠM VE CHUŐI FOURIER CÓ TRONG Chuyên ngành: Mã so: Tốn giai tích 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NINH VĂN THU Lài cam ơn Đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna PGS.TS Ninh Văn Thu, sau m®t q trình làm vi¾c nghiêm túc, tơi hồn thành ban lu¾n văn Tơi xin bày to lịng biet ơn chân thành sâu sac nhat đen PGS.TS Ninh Văn Thu Thay t¾n tình hưóng dan, kiem tra giúp tơi hồn thành ban lu¾n văn Đưoc làm vi¾c dưói sn hưóng dan cna thay, tơi HQc hoi đưoc rat nhieu Tơi xin gui lịi cam ơn chân thành đen lãnh đao thay khoa Tốn - Cơ - Tin, trưòng Đai HQc Khoa HQ c Tn nhiên, Đai HQ c Quoc gia Hà N®i tao ieu kiắn HQc tắp, giỳp tụi lnh hđi tiep thu nhung kien thúc q báu thịi gian tơi HQ c t¾p tai Khoa.Tơi xin gui lịi cam ơn đen phòng Sau Đai HQc cna Nhà trưòng tao đieu ki¾n cho tơi hồn thành thn tuc q trình HQc t¾p bao v¾ lu¾n văn Cuoi cùng, tơi xin bày to lịng biet ơn đen gia đình, ngưịi thân ban bè, nhung ngưịi luụn đng viờn v nng hđ tụi ca ve vắt chat tinh than suot trình HQc cna tơi M¾c dù ban thân tơi có nhieu co gang ban lu¾n văn van khó tránh khoi nhung thieu sót Vì v¾y, tơi rat mong nh¾n đưoc sn đóng góp ý kien cna q thay ban Hà N®i, tháng 11 năm 2018 Chu Th% Thơm Mnc lnc Kien thÉc chuan b% 1.1 Ký hi¾u khơng gian 1.2 Hàm liên tuc tùng khúc, hàm kha vi tùng khúc 1.3 Bat ang thỳc Hăolder Bat thúc Minkowski 1.4 Tích ch¾p cna hai hàm L1 (Rn) 1.5 H¾ hàm lưong giác trnc giao 1.6 Chuoi Fourier Chuői Fourier có TRQNG 2.1 Nhân cna chuoi Fourier có TRQNG 2.2 Tính chat h®i tu tai tùng điem cna σ˜n (f, x) 2.3 Sn h®i tu cna chuan 2.4 Đ¾c trưng cna chuoi Fourier 2.5 M®t vài ví du bang so 5 6 18 18 26 29 32 34 Ma đau Trong Toán HQc, chuoi Fourier (đưoc đ¾t tên theo nhà tốn HQc Joseph Fourier) cna m®t hàm tuan hồn f m®t cách bieu dien hàm dưói dang tőng cna hàm tuan hồn có dang eikx , túc +∞ +∞ ck (cos kx + i sin kx) Σ ikx f ∼ Σ cke k=− = k=− ∞ ∞ Fourier ngưòi đau tiên nghiên cúu chuoi lưong giác theo công trình trưóc cna Euler, D’Alembert Daniel Bernoulli Fourier áp dung chuoi Fourier đe giai phương trình truyen nhi¾t Dirichlet Riemann dien đat lai cơng trình cna Fourier theo quan điem cna tốn HQc hi¾n đai Chuoi Fourier khơng phai lúc h®i tu.Vói hàm f bat kỳ thu®c khơng gian L ([−π; π]) ≡ L1, tőng riêng Fourier thú n cna f đưoc đ%nh nghĩa c eikx π∫ Dn (x − y) f (y)dy = (Dn ∗ f ) (x) , (0.1) Sn (f, x) = đó, Dn (x) = |Σk| ≤n k n eik Σ k=− n x 2π = −π nhân Dirichlet, Dn ∗ f tích ch¾p cna Dn f Có nhieu ket qua đoi vói tőng Sn (f, x) đưoc nghiên cúu tù trưóc đen Hơn nua, Sn (f, x) khơng h®i tu đoi vói m®t hàm liên tuc Tính chat h®i tu tot đat đưoc boi trung bình Cesàro Trung bình Cesàro đưoc đ%nh nghĩa sau n 1Σ σ (f, x) = n (f, x) (0.2) S n+1 k k=0 M¾c dù có nhieu thu¾n loi, toc đ® h®i tu cna trung bình Cesàro khơng nhanh tőng riêng Fourier đoi vói hàm trơn Vì v¾y, ngưịi ta quan tâm đen vi¾c tìm nhung tőng riêng Fourier có TRQNG khác, nhung tőng riêng có toc đ® h®i tu nhanh trung bình Cesàro Luắn ny trỡnh by lai mđt so ket qua ve sn h®i tu cna chuoi Fourier có TRQNG dna theo báo "A weighted Fourier series with signed good kernels" cna tác gia Sony Chan Kyung Soo Rim (Hn Quoc, xem ti liắu [3]) Nđi dung cna lu¾n văn đưoc trình bày chương: Chương 1: Kien thúc chuan b% Trong chương này, nhac lai m®t so đ%nh nghĩa, đ%nh lý sau: MUC LUC + Ký hi¾u khơng gian + Đ%nh nghĩa hàm liên tuc tùng khúc, kha vi tùng khúc + Bat ang thỳc Hăolder, Minkowski + Tớch chắp cna hai hàm L1 (Rn) + H¾ hàm lưong giác trnc giao + Đ%nh nghĩa chuoi Fourier + Đ%nh nghĩa tőng Dirichlet + Đ%nh nghĩa trung bình Cesàro + Đ%nh lý ve sn h®i tu cna chuoi Fourier + Khai trien Fourier [−π; π] + Nguyên lý Riemann đ%a phương Chương 2: Chuoi Fourier có TRQNG Trong chương này, chúng tơi trình bày lai m®t so ket qua ve sn h®i tu cna chuoi Fourier có TRQNG sau: + Nhân cna chuoi Fourier có TRQNG + Tính chat h®i tu theo tùng điem cna˜σn (f, x) + Sn hđi tu cna chuan + ắc trng cna chuoi Fourier + M®t vài ví du bang so Chương Kien thÉc chuan b% N®i dung chương se nhac lai mđt so khỏi niắm v %nh lý c ban se dùng chương sau N®i dung cna chương đưoc trích dan tù tài li¾u tham khao [1], [2] 1.1 Ký hi¾u khơng gian Đ%nh nghĩa 1.1.1 Cho p ∈ R, 1≤ p cho trưác bao già ton tai δ > (phn thu®c vào ε) cho vái MQI x ∈ {x ∈ A : |x − x0| < δ} ta đeu có |f (x) − f (x0)| < ε ta nói hàm f liên tnc tai điem x0 ii) Neu f liên tnc tai MQI điem x ∈ A ta nói f liên tnc A Đ%nh nghĩa 1.2.2 (Hàm liên tic đeu) Hàm so f : A → R đưac GQI liên tnc đeu A neu vái MQI ε > cho trưác bao già ton tai δ > (phn thu®c vào ε) cho vái MQI x, xJ ∈ A thóa mãn | x−xJ | < δ ta đeu có |f (x) − f (xJ )| < ε Đ%nh nghĩa 1.2.3 (Điem gián đoan loai m®t) Cho hàm so f : [a; b] → R Gia su x0 ∈ (a; b) Neu ton tai đong thài hai giái han huu han lim f (x) lim f (x) nhat m®t hai giái han khác f (x0) + x→x0 x0 đưac GQI x→x0 − điem gián đoan loai m®t Đ%nh nghĩa 1.2.4 (Hàm liên tic tÙng khúc) Cho hàm f xác đ%nh đoan [a; b] Neu ta có the chia đoan [a; b] thành huu han đoan [ai; bi], (i = 1, 2, , k) bái điem chia: a = a1 < b1 < < ak < bk = b cho mői khoang (ai; bi) hàm f liên tnc ton tai giái han huu han limx→a+0 if (x) = f (ai + 0) limx→bi−0 f (x) = f (bi − 0) vái MQI i = 1, 2, , k ta nói hàm f liên tnc tùng khúc [a; b] Đ%nh nghĩa 1.2.5 (Hàm kha vi tÙng khúc) Neu MQI hàm f liên tnc tùng khúc [a; b] f có đao hàm f J liên tnc tùng khúc [a; b] ta nói f hàm kha vi tùng khúc trờn oan [a; b] 1.3 Bat ang thẫc Hoălder Bat thÉc Minkowski Đ%nh lí 1.3.1 (Bat thÚc Holder) Cho f ∈ Lp (R), g ∈ Lq (R) so thnc + p, q vái < p < ∞, < q 1< ∞, = Khi fg ∈ L (R) p q |f|p Σ1q ∫ |fg| ≤ Σ1p q |g| ∫R ∫ R Đ¾c bi¾t, p = q = ta có bat thúc Cauchy-Schwarz 2Σ ∫ |fg| ≤ |f| ∫ ∫R R Σ CHƯƠNG KIEN THÚC CHUAN B± |g| R Chú ý rang 2.4 e−2 hang so dương Do đó, (n + 1)2A → ∞ n → ∞ −2+ 103 2e e−4+1 Đ¾c trưng cua chuői Fourier Đ%nh lý đ¾c trưng cna Fejér khang đ%nh rang trung bình Cesàro cna chuoi lưong giác ∞ ∞ Σ Σ ckeikx b% ch¾n Lp đieu ki¾n can đn đe chuoi ckeikx tro thành k=− ∞ chuoi Fourier cna hàm f ∈ Lp, (1 < p ≤ ∞).Trong |k| Σc ikx σ (x) = Σ − k e n n+ k=− ∞ |k|≤n Trong muc 2.4 này, ta se chúng minh rang σn b% ch¾n Lp, σ˜n (x) = |Σk|≤n 1− ˜ (x) b% ch¾n Lp chi (x) σn k2 (n + ikx 1)2 Σcke Đ%nh lí 2.4.1 Gia su < p ≤ ∞ Khi đóΣ cneinx chuői Fourier cua m®t hàm f ∈ Lp chs ton tai C < ∞ cho ǁσ˜n ǁp ≤ C Trong trưàng hap này, ǁfǁp ≤ C Chúng minh Su dung Bő đe 2.1.6 o trang 22 H¾ qua 2.1.3 o trang 20, ta có ∫ π ǁσ˜n ǁp ǁf (· − t)ǁp |Fn (t)| 2π dt −π ∫ π ≤ (2n + 1) dt ≤ ǁfǁp 2π −π (2n + 1) = ǁfǁ p V¾y, đieu ki¾n can đưoc chúng minh Su dung tính compact yeu không gian Lp (1 < p ≤ ∞),∞ton tai dãy nk → ∞ −int f ∈ Lp cho σ˜ h®i tu yeu đen f n → ∞ Do e ∈ L nên ta có k k n Σ ∫ lim π (t) −intdt = lim σn e − n2 c n nk→∞ 2π π −˜ (n + 1)2 k = cnn →∞ ∫ π = f (t) −intdt e 2π −π = cn (f ) k k Chú ý 2.4.2 Đ%nh lý 2.4.1 khơng vái p = Th¾t v¾y, cho cn = vái MQi n.ǁ˜ Khi σn = Fn b% ch¾n đeu theo Bő đe 2.1.6 M¾t khác, einx Σ khơng chuői Fourier cua bat kỳ hàm thu®c L Do đó, ǁ ǁ khơng thóa mãn bő đe Riemann Đoi vái đ o huu han trờn [; ], ta %nh nghĩa ∫ e−int dµ (t) vái MQI n ǁ π cn (µ) = Σ 2π chuői Fourier cua µ rõ ràng ta có ∫ π σ˜n (µ, x) Fn (x − t) dµ (t) −π = 2π ton tai C cho ∫ π C |dà (t)| n (à)1 Thắt vắy, tự thúc (2.21), ta có Neu cne −π int σ˜n (µ, x) = |Σk|≤n 1− ck (µ) e k (2.21) (2.22) ikx (n + 1)2 Σ k2 = Σ − |k|≤n = (n + 1)2 ∫π Σ − 2π = −π |k|≤n ∫π 2π Σ ∫ 2π k π e−iktdµ (t) eikx −π Σe (n + 1)2 F (x − t) dµ (t) Tù (2.21), ta suy −π ǁσ˜n (µ)ǁ1 = = 2π −π ∫π |σ˜n (µ, x)| dx ik(x−t) dµ (t) 21 π ∫ π 2π ∫ F π (x − t) dµ (t) dx ≤ ≤ π ∫− π 2π ∫−π C π 2π −π 2π ∫− ππ |F (x − t)| |dµ (t)| dx −π |d (µ (t))| Do đó, bat thúc (2.22) đưac chúng minh Đ%nh lí 2.4.3 Σ cneinx l chui Fourier cua đ o huu han chs ton tai C < ∞ cho ∫π ǁσ˜n ǁ1 ≤ C −π |dµ| ≤ C Trong trưàng hap này, ∫ (x) = x Chúng minh Tù (2.22) ta suy đieu ki¾n đn đưoc chúng minh Lay hn −π σ ˜ (t) dt n Dãy {hn } có bien phân h®i tu đeu [−π; π] Tù hn (−π) = vói MQI n, ta suy dãy {|hn |} không the tien đen ∞ [−π; π] Su dung bő đe Helly, ta suy ton tai dãy nk → ∞ hàm h b% ch¾n [−π; π] cho ∫ π lim σ˜nk (t) dt = h (x) , x∈ n →∞ − [−π; π] π Co đ%nh n, vói nk > |n|, ta có n (t) −intdt − Σ ∫π e σ cn = ˜ k n (nk + 1)2 k 2π in ∫ π −π = Cho nk → ∞, ta đưoc 2π cn = hnk h (π) + 2π (π) + hn (t) eintdt 2π −π in k ∫ h (t) −intdt e π Do ú, dà = dh 2.5 Mđt vi ví dn bang so Trong phan cuoi này, ta so sánh σ˜n (f, x) vói σn (f, x) Sn (f, x) m®t vài mơ hình so Hai ví du đien hình sau xét [−π; π] Ví dn 2.5.1 Cho f (x) = −1 neu ≤ x ≤ π neu − π ≤ x < Ta ý rang f có điem gián đoan loai m®t tai x = x = π Chuan L2 ǁf − Sn (f ) ǁ2 ǁf − σn (f ) ǁ2 ǁf − σ˜n (f n = 10 n = 20 n = 30 0, 2538 0, 1272 0, 0848 0, 4642 0, 2427 0, 1643 0, 3112 0, 1620 0, n = 40 0, 0636 0, 1242 0, 0828 )ǁ2 Ví dn 2.5.2 Cho g (x) = 1096 − x π neu ≤ x ≤ π −1 − π x neu − π ≤ x < Ta ý rang g có điem gián đoan loai m®t tai x = hàm so tuan hoàn R Chuan L2 ǁg − Sn (g)ǁ2 ǁg − σn (g)ǁ2 ǁg − σ˜n (g)ǁ2 n = 10 n = 20 n = 30 n = 40 0, 1211 0, 0620 0, 0417 0, 0314 0, 2263 0, 1198 0, 0814 0, 0617 0, 1546 0, 0808 0, 0547 0, 0414 Trong không gian đ%nh chuan L2, m¾c dù sn khác giua giá tr% ǁf − Sn (f )ǁ2 nho nhat {einx} h¾ trnc chuan, các˜giá tr% ǁf − σn (f )ǁ2 nhoǁhơn theo − nhieu ǁso vói f σn (f ) (xem Bang 1,2) Khi so sánh sn h®iǁtu− ˜ tùng ǁ ) nho nhat, đ¾c bi¾t lân c¾n gan cna điem gián đoan điem f σn (f (tham khao Hình 2.1, Hình 2.2, Hình 2.3, Hình 2.4) Hình 2.1: Khi n = 20, đưòng màu xanh, màu đo, màu đen lan lưot bieu th% cho S20 (f, x), σ20 (f, ˜ x), σ20 (f, x) Tai điem ket thúc, g liên tuc m®t hàm tuan hồn R Tù Hình 2.3 Hình 2.4 ta thay |g (x) − σ˜n (g, x)| nho nhat lân c¾n cna π −π Hình 2.2: M®t phan cna hình 2.1 Đưòng màu xanh, màu đo, màu đen lan lưot bieu th% cho S20 (f, x), σ20 (f, x), σ˜20 (f, x) Hình 2.3: Khi n = 20, đưịng màu xanh, màu đo, màu đen lan lưot bieu th% cho S20 (g, x), σ20 (g, ˜ x), σ20 (g, x) Cuoi cùng, so sánh ba nhân Dn (x) , Kn (x) , Fn (x) Hình 2.5, Hình 2.6 n = 10 Chúng ta lưu ý rang Fn (x) khơng phai m®t hat nhân dương Hình 2.4: M®t phan cna Hình 2.3 Đưịng màu xanh, màu đo, màu đen lan lưot bieu th% cho S20 (g, x), σ20 (g, x), σ˜20 (g, x) Hình 2.5: Khi n = 10, đưịng màu xanh, đo, đen lan lưot bieu dien cho D10 (x) , K10 (x) , F10 (x) Hình 2.6: M®t phan cna Hình 2.5 Các đưịng màu xanh, đo, đen lan lưot bieu dien cho D10 (x) , K10 (x) , F10 (x) Ket lu¾n Lu¾n văn h¾ thong lai m®t so kien thúc ban ve chuoi Fourier, trình bày m®t so ket qua ve sn h®i tu cna chuoi Fourier có TRQNG Lu¾n văn làm sáng to tőng riêng có TRQNG có toc đ® h®i tu nhanh trung bình Cesàro M®t so đ%nh lý đưoc chúng minh lu¾n văn là: +)Đ%nh lý 2.3.5 ve so sánh toc đ® h®i tu cna tőng riêng có bình Cesàro TRQNG vói trung +)Đ%nh lý 2.4.1, 2.4.3 (Chi chuoi Fourier có TRQNG vói chuan b% ch¾n đeu đieu ki¾n can đn đe chuoi khơng TRQNG tương úng chuoi Fourier cna m®t hàm hay mđt đ o) Luắn ó a mđt so ví du minh HQA đ%nh lý 41 Tài li¾u tham khao [1] Tran Đúc Long, Nguyen Đình Sang, Hồng Quoc Tồn (2010), Giáo Trình Giai Tích t¾p 2, Nhà Xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [2] Tran Đúc Long, Pham Kỳ Anh (2001), Giáo Trình Hàm thnc Giai Tích Hàm, Nhà Xuat ban Đai HQc Quoc Gia Hà N®i [3]S Chan and K S Rim (2017), A Weighted Fourier Series with signed good kernels, Bull Korean Math Soc 54(2017), No 3, pp 935-952 [4]G Kvernadze (1998), Detection of the jumps of a bounded function by its Fourier series, J Approx Theory 92, 167–190 [5]A J Jerri (1998), The Gibbs Phenomenon in Fourier Analysis, Splines and Wavelet Approximations, Kluwer Academic Publ., London [6]K S Rim and B I Yun (2013), Gibbs phenomenon removval by adding Heaviside functions, Adv Comput Math 38, no 4, 683–699 42 ... CHUŐI FOURIER CÓ TRONG Chuyên ngành: Mã so: Tốn giai tích 8460101.02 LU¾N VĂN THAC SĨ TOÁN HOC NGƯèI HƯéNG DAN KHOA HOC: PGS.TS NINH VĂN THU Lài cam ơn Đưoc sn hưóng dan t¾n tình cna PGS.TS Ninh Văn. .. Chương Chuői Fourier có TRQNG Trong chương này, tìm hieu đ%nh nghĩa m®t so tính chat ve sn h®i tu cna tőng riêng Fourier có TRQNG, đong thịi chúng minh sn h®i tu cna tőng riêng Fourier có TRQNG tot... phương Chương 2: Chuoi Fourier có TRQNG Trong chương này, chúng tơi trình bày lai m®t so ket qua ve sn h®i tu cna chuoi Fourier có TRQNG sau: + Nhân cna chuoi Fourier có TRQNG + Tính chat h®i tu