Biến đổi tích phân fourier và hiện tượng gibbs và dạy học tích hợp trong môn toán cao cấp

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HỒNG THỊ PHƯƠNG DUNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS, VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MƠN TỐN CAO CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN HỌC Hà Nội - Năm 2018 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HOÀNG THỊ PHƯƠNG DUNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS, VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MƠN TỐN CAO CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TỐN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Sinh viên thực khóa luận: Hồng Thị Phương Dung Hà Nội - Năm 2018 Lời cảm ơn Trước trình bày nội dung khóa luận, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn, người tận tình hướng dẫn để em hồn thành khóa luận Em xin bày tỏ lịng biết ơn chân thành tới tồn thể thầy cô giáo khoa Sư phạm, Đại học Giáo Dục khoa Toán - Cơ - Tin học, Đại học Khoa Học Tự Nhiên dạy bảo em tận tình suốt trình học tập trường Mặc dù cố gắng, nhiên khóa luận khơng tránh khỏi sai sót, em mong nhận góp ý nhận xét thầy Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày tháng năm 2018 Sinh viên Hoàng Thị Phương Dung Mục lục Danh sách hình vẽ Mở đầu Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.2 1.3 Không gian hàm 1.1.1 Các ký hiệu 1.1.2 Các không gian hàm Các hàm đặc biệt 1.2.1 Hàm Hermite 1.2.2 Hàm Heaviside Chuỗi Fourier Biến đổi tích phân Fourier 10 2.1 Định nghĩa 10 2.2 Biến đổi Fourier chuỗi Fourier khoảng vô hạn 15 2.3 Tính chất 21 2.4 Đặc trưng toán tử 31 2.5 Chập toán tử chập 39 2.6 Định lý Shannon 44 2.6.1 Phiên rời rạc 45 2.6.2 Phiên liên tục 46 Hiện tượng Gibbs 49 3.1 Ví dụ tượng Gibbs 49 3.2 Hiện tượng Gibbs hàm có khai triển Fourier 52 Dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp 57 4.1 Khái niệm dạy học tích hợp 57 4.2 Dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp 58 4.2.1 Giải phương trình vi phân 58 4.2.2 Giải phương trình vật lý tốn 62 Kết luận khuyến nghị 65 Tài liệu tham khảo 66 Danh sách hình vẽ 2.1 Hàm Gauss ảnh Fourier 11 2.2 Hàm Π ảnh Fourier 13 2.3 Dao động hàm sóng hertz 19 2.4 Phần thực hàm f hertz 19 2.5 Hàm số Π Λ tích chập 43 2.6 Hàm số f g tích chập 44 2.7 Hàm có dải hữu hạn ảnh Fourier 47 3.1 Hàm h(x) tổng riêng 50 3.2 Hiện tượng Gibbs hàm cưa 53 Mở đầu Lý chọn đề tài Biến đổi Fourier hướng nghiên cứu quan trọng toán học nói chung giải tích nói riêng Phép biến đổi Fourier lớp phép biến đổi tích phân phổ biến có nhiều ứng dụng khoa học, ví dụ vật lý, kỹ thuật điện tử, xác suất thống kê nhiều lĩnh vực khác Khóa luận trình bày biến đổi tích phân Fourier, tượng Gibbs kết hợp dạy học tích hợp biến đổi tích phân Fourier mơn tốn cao cấp (đối với sinh viên khơng phải ngành tốn) Mục đích, đối tượng phạm vi nghiên cứu Mục đích khóa luận nghiên cứu định nghĩa, trình bày cách xây dựng biến đổi Fourier từ chuỗi Fourier, tính chất tốn tử, xây dựng tốn tử chập biến đổi Fourier Từ trình bày định lý Shannon phân tích tượng Gibbs Ngồi ra, khóa luận đề cập đến dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp Cụ thể tích hợp kiến thức tốn trình bày để xử lý số toán vật lý Phương pháp nghiên cứu Nghiên cứu tính chất đặc trưng tốn tử biến đổi tích phân Fourier Từ đó, phân tích định lý Shannon giải thích tượng Gibbs mặt toán học Đối với phần dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp, khóa luận sử dụng tính chất biến đổi Fourier phương trình vi phân để giải tốn ứng dụng Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, phần kết luận, bố cục khóa luận gồm bốn chương tài liệu tham khảo Chương phần kiến thức chuẩn bị trình bày ký hiệu khơng gian hàm Giải tích hàm liên quan đến biến đổi Fourier, nhắc lại hàm đặc biệt liên quan đến nội dung khóa luận Chương hai trình bày định nghĩa biến đổi Fourier, tính chất giải tích giải tích hàm, phân tích mối liên quan mật thiết biến đổi Fourier chuỗi Fourier định lý lấy mẫu Shannon Chương ba trình bày tượng tốn học thú vị có nguồn gốc từ giới tự nhiên cơng nghệ xử lý tín hiệu Đó tượng Gibbs Ta phân tích từ trường hợp đặc biệt sau mở rộng tượng Gibbs hàm không liên tục Chương bốn trình bày ứng dụng biến đổi Fourier tượng Gibbs việc dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp sinh viên Cụ thể sử dụng biến đổi Fourier để giải toán vật lý Chương Kiến thức chuẩn bị 1.1 1.1.1 Không gian hàm Các ký hiệu Ta số kí hiệu trình bày khóa luận N = {1, 2, } tập hợp tất số tự nhiên; R tập hợp số thực; C tập hợp số phức Đơn vị ảo √ −1 = i Không gian Euclid thực hữu hạn chiều Rd Với hai cặp vecto x, y ∈ Rd , ký hiệu xy :=< x, y > tích vơ hướng thơng thường chúng.|x| = gọi chuẩn Euclid x eixy = ei x, y ∈ Rd Hàm mũ biến eit , (t ∈ R) xác định công thức eit = cos t + i sin t p = (p1 , p2 , , pd ) (pk ∈ N, k = 1, 2, , d) gọi d- bó Với vecto x ∈ Rd , ký hiệu xp := xp11 xpdd đơn thức Dxp := ∂ |p| ∂xp11 ∂xpdd toán tử đạo hàm riêng theo biến x √ < x, x > 1.1.2 Các không gian hàm Rd ký hiệu không gian Euclid thực d chiều với độ đo Lebesgue Khơng gian tuyến tính hàm số ngầm hiểu không gian trường số phức Với số tự nhiên p ≥ 1, Lp (Rd ) := {f : Rd → C/ |f (x)|p dx < +∞} Rd không gian tất hàm số khả tích Lebesgue bậc p Rd Đây khơng gian Banach với chuẩn hàm f xác định đẳng thức: f p p := p |f (x)| dx d (2π) Rd Khi p = 1, khơng gian L1 (Rd ) có chuẩn: f 1 := |f (x)|dx d (2π) Rd C0 (Rd ) không gian tất hàm nhận giá trị phức, liên tục Rd triệt tiêu vô Với f ∈ C0 (Rd ) định nghĩa: f ∞ = sup |f (x)| x∈Rd Khi đó, C0 (Rd ) khơng gian Banach Định nghĩa 1.1.1 Hàm số f ∈ C(Rd ) gọi giảm nhanh sup (1 + |x|)N |f (x)| < ∞ ∀N = 1, 2, x∈Rd Định nghĩa 1.1.2 (Không gian Schwartz) Không gian Schwartz hay không gian hàm giảm nhanh Rd không gian hàm f ∈ C∞ (Rd ) mà f với đạo hàm hàm giảm nhanh S := {f ∈ C∞ (Rd ) : Rd → C : sup (1 + |x|)N Dα f (x) < ∞ ∀N, α} Ví dụ 1.1.1 Hàm số f (x) = e−x , ∀x ∈ R hàm thuộc không gian Schwartz Nhận xét 1.1.1 Không gian Schwartz S không gian không gian Lp (Rd ) Hơn nữa, không gian Schwartz trù mật L2 (Rd ) Nhận xét 3.1.1 Chuỗi SN (h)(x) hội tụ đến khoảng [ε, π − ε] với ε > Điều chuỗi Fourier h(x) hội tụ khoảng đóng mà khơng chứa điểm gián đoạn x = kπ Như vậy, dao động cực đại tổng riêng không tiến dần đến ta tăng số số hạng chuỗi Fourier; trái lại độ lệch giá trị giá trị ban đầu hàm số tiến ổn định tới giá trị xấp xỉ 0, 1789797 bước nhảy, điểm cực đại tiến tới điểm gián đoạn Đây tượng Gibbs 3.2 Hiện tượng Gibbs hàm có khai triển Fourier Nhận xét 3.2.1 [4, tr 107] Hiện tượng Gibbs xảy điểm gián đoạn với hàm có khai triển Fourier Chứng minh Giả sử g hàm có điểm gián đoạn loại I t0 với bước nhảy − a = g(t+ ) − g(t0 ) = Giả thiết hàm g khả vi liên tục khúc tuần hồn với chu kì T > (nghĩa g thỏa mãn điều kiện định lý khai triển chuỗi Fourier lân cận t0 ) Xét hàm số f (t) = g(t) − ah(t − t0 ) , − với h hàm định nghĩa ví dụ (3.1.1) Dễ thấy f (t+ ) = f (t0 ) Đặt − g(t+ ) − g(t0 ) f (t0 ) = Hàm f liên tục t0 Chuỗi Fourier f biểu thị tổng chuỗi Fourier hàm liên tục f chuỗi hàm a h(t − t0 ) hàm gián đoạn t0 Chuỗi f hội tụ đến t0 , chuỗi hàm a h(t−t0 ) xảy tượng Gibbs chứng minh Vậy tượng Gibbs cho trường hợp tổng quát chứng minh Định lý 3.2.1 Giả sử f hàm khả vi liên tục khúc, tuần hồn với chu kì T > Giả sử x0 điểm gián đoạn f với bước nhảy a = − f (x+ ) − f (x0 ) = a 52 Hình 3.2: Hiện tượng Gibbs hàm cưa Với số tự nhiên N ≥ 1, ký hiệu SN (f ) tổng riêng thứ N chuỗi Fourier f : SN (f )(x) := f (n)e 2iπnx T N ≤n≤N = a0 + N an cos n=1 2πnx 2πnx + bn sin T T với f (n) := an := T bn := T T T f (x)e−2iπnx/T dx, T f (x) cos 2πnx dx, T f (x) sin 2πnx dx T T Khi lim SN f x0 + T 2N = f (x+ ) + a 0, 0894898 , lim SN f x0 − T 2N = f (x− ) − a 0, 0894898 N →∞ N →∞ 53 , Tuy − f (x+ ) + f (x0 ) lim SN f (x0 ) = N →∞ Hiện tượng tốn học có vai trị quan trọng khoa học, cơng nghệ, Khi xấp xỉ đối tượng chuỗi Fourier (xử lí tín hiệu, âm thanh, hình ảnh, ), người ta quan tâm đến việc xử lí riêng biệt điểm hàm số gián đoạn, mức mức hai điểm cực trị chuỗi gần điểm gián đoạn, điều gây tín hiệu bất thường Với tín hiệu f khơng có dải hữu hạn, ta xét tượng Gibbs xảy điểm gián đoạn sau ta xấp xỉ hàm số thông qua biến đổi Fourier chặt cụt Bổ đề 3.2.1 Giả sử hàm số f thỏa mãn điều kiện sau: i) f ∈ L1 (R) f ∈ L1 (R) ii) f ∈ L2 (R) Khi f (x+ ) + f (x− ) = lim λ→∞ π R sin λ(x − t) f (t) dt x−t Giả thiết hàm f liên tục điểm R trừ tập không đếm điểm gián đoạn loại I f thỏa mãn giả thiết tồn công thức biến đổi Fourier ngược Theo (2.6.2) fa (t) = π R sin s(t − τ ) f (τ ) dτ, ∀a > t−τ Cần xét dáng điệu tới hạn fa (t) t = (tại điểm khác dịch chuyển ẩn t) Với t=0 điểm liên tục: Áp dụng công thức (3.2.1) ta có lim fa (t) = lim a→∞ a→∞ π R sin a(t − τ ) f (τ ) dτ = f (t) t−τ Như vậy, hàm f liên tục t = dáng điệu tới hạn biến đổi Fourier chặt cụt giá trị ban đầu hàm số Với t=0 điểm gián đoạn: Đặt H(t) hàm Heaviside    1 t > H(t) =   0 t < 54 Xét hàm fl (t) := f (t) − f (0+ ) H(t) + f (t) − f (0− ) H(−t) Ta có lim fl (t) = lim fl (t) = t→0− t→0+ nên fl (t) hàm liên tục t = Vì H(t) + H(−t) = 1, ∀t = suy f (t) = fl (t) + f (0+ )H(t) + f (0− )H(−t) Thay vào (2.6.2), ta fa (t) = R sin a(t − τ ) fl (τ ) dτ + f (0+ ) π(t − τ ) + f (0− ) R sin a(t − τ ) H(−τ ) dτ π(t − τ ) = fl (t) + f (0+ ) + f (0+ ) R + f (0− ) R R sin a(t − τ ) H(τ ) dτ π(t − τ ) sin a(t − τ ) H(τ ) dτ π(t − τ ) sin a(t − τ ) H(−τ ) dτ π(t − τ ) +∞ = fl (t) + f (0+ ) +∞ + f (0− ) sin a(t − τ ) dτ π(t − τ ) sin a(t + τ ) dτ π(t + τ ) Bằng phép đổi biến ta có +∞ sin a(t − τ ) dτ = π(t − τ ) at −∞ +∞ = 0 sin τ dτ = πτ sin τ + πτ với t si(t) = −∞ at sin τ dτ + πτ at sin τ dτ πτ sin τ 1 = + si(at), πτ π sin x x Tương tự +∞ 1 sin a(t + τ ) dτ = − si(at) π(t + τ ) π Suy fa (t) = fl (t) + f (0+ ) 1 1 + si(at) + f (0− ) − si(at) π π 55 = fl (t) + f (0+ ) + f (0− ) f (0+ ) + f (0− ) + si(at) π Tương tự phần chứng minh cho phiên rời rạc tượng Gibbs, π π có giá trị nhỏ t = − a a Áp dụng khai triển Taylor hàm sin x, ta có hàm si(t) có giá trị lớn t = si(π) = π π sin x dx ≈ 0, 5894898 x Do fa π a ≈ fl (π/a) + f (0+ ) + f (0− ) + f (0+ ) + f (0− ) × 0, 5894898 ≈ fl (π/a) + f (0+ ) + f (0+ ) + f (0− ) × 0, 0894898 Suy lim fa (0+ ) ≈ f (0+ ) + f (0+ ) + f (0− ) × 0, 0894898, a→∞ lim fa (0− ) ≈ f (0− ) + f (0+ ) + f (0− ) × 0, 0894898 a→∞ Vậy, tượng Gibbs xảy xấp xỉ hàm biến đổi Fourier chặt cụt với chuỗi Fourier 56 Chương Dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp Để giúp sinh viên có hứng thú thấy ý nghĩa học toán cần cho sinh viên thấy ứng dụng hiệu toán học vấn đề thực tiễn sống môn khoa học khác Để việc tích hợp tốn học với môn khoa học khác cần phải xem xét thỏa đáng Chương ba khóa luận trình bày tích hợp kiến thức vật lý dạy học tốn cao cấp cho sinh viên (khơng thuộc ngành Tốn) 4.1 Khái niệm dạy học tích hợp Dạy học tích hợp tạo tình liên kết tri thức mơn học, hội phát triển lực học sinh Khi xây dựng tình vận dụng kiến thức, học sinh phát huy lực tự học, phát triển tư sáng tạo [5, tr 4] Theo D’Hainaut có bốn phương thức khác để tích hợp mơn học: Tích hợp đơn môn, đa môn, liên môn xuyên môn Trong tích hợp “đơn mơn” việc tích hợp khai thác mối liên hệ phân môn hay phần phân môn cụ thể Trong tích hợp “đa mơn” có kết nối mơn để thu kiến thức hồn chỉnh Trong tích hợp “liên mơn”, nội dung học tập thiết kế thành tình 57 mà muốn giải học sinh phải huy động kiến thức, kĩ nhiều mơn học khác Tích hợp "xun mơn" hướng tới việc phát triển kĩ mà học sinh sử dụng tất mơn học Việc dạy học tích hợp đề cập khóa luận sử dụng dạy học tích hợp đa mơn, cụ thể khai thác mối liên hệ môn tốn cao cấp mơn vật lý 4.2 Dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp Đối với sinh viên ngồi khoa Tốn, sau tìm hiểu biến đổi Fourier (định nghĩa, tính chất bản, ), giảng viên đưa số tập vật lý yêu cầu sinh viên giải Để xử lí tập, sinh viên cần có kiến thức tảng biến đổi Fourier, phương trình vi phân kiến thức vật lý Đầu tiên, ta nhắc lại công thức biến đổi Fourier (T f )(x) = √ 2π +∞ f (x)e−ixy dy −∞ Đặc biệt, hàm f ∈ S ta tìm hàm f (x) thơng qua biến đổi Fourier f (x) = √ 2π +∞ (T f )(x)eixy dy −∞ Khi giải phương trình vi phân phương trình vật lý tốn, ta dùng biến đổi Fourier ( trình bày chi tiết thơng qua ví dụ) Tuy nhiên, SV cần ý việc áp dụng biến đổi Fourier gặp số hạn chế địi hỏi hàm f ∈ S 4.2.1 Giải phương trình vi phân Tính chất 4.2.1 [3, tr.42] Nếu biến đổi Fourier (T f )(x) phân thức thực sự, tức (T f )(x) = 58 N (x) M (x) đó, N (x) M (x) đa thức x với bậc đa thức N (x) thấp bậc M (x) ngồi phương trình M (x) = có nghiệm đơn xk hàm f (x) xác định theo cơng thức m f (x) = k=1 iN (xk ) ixk y e M (xk ) (4.2.1) đó, tổng lấy theo nghiệm phương trình M (x) = Vì kĩ thuật điện tử kĩ thuật vô tuyến, cường độ dịng điện thường kí hiệu chữ i, nên để tránh nhầm lẫn sau ta kí hiệu đơn vị ảo chữ j Ví dụ 4.2.1 Mắc suất điện động không đổi vào mạch gồm có cuộn cảm ứng điện trở Cuộn cảm ứng với hệ số tự cảm L điện trở r mắc nối tiếp Tại thời điểm t = mạch có mắc suất điện động không đổi E giả sử thời điểm ban đầu mạch khơng có dịng điện, tức i(0) = Hãy xác định dòng điện i(t) chế độ vận hành Hình 4.1 Lời giải Khi dịng điện i(t) phát sinh mạch có cuộn tự cảm L điện trở r, điện áp toàn biết gồm điện áp bù cho suất điện động tự cảm L điện áp (r.i) gây nên điện trở mạch Do đó, ta có phương trình L di + r.i = E dt Lấy đạo hàm hai vế phương trình trên, ta L d2 i di +r = dt dt 59 di dt Áp dụng biến đổi Fourier, gọi I(ω) ảnh Fourier i(t), ta L (jω)2 I(ω) − i (0) + jωr.I(ω) = Vì i (0) = E nên L L −ω I(ω) − E + jωr I(ω) = L Suy I(ω) = E −ω L + jωr Coi M (ω) = −ω L + jωr, ta thấy ω1 = 0, ω2 = jr M = −2ωL + jr L Áp dụng cơng thức (4.1.1) ta tìm i(t) = r E − e− L t r Ví dụ 4.2.2 Mắc điện áp E e−αt vào mạch nối tiếp gồm cuộn tự cảm điện trở Tại thời điểm t = 0, mạch có mắc suất điện động E e−αt với α > Hãy xác định cường độ i(t) chế độ vận hành biết i(0) = Lời giải Cường độ i(t) phải tìm nghiệm phương trình L di + r.i = E e−αt dt Gọi I(ω) ảnh Fourier i(t) Áp dụng biến đổi Fourier ta có jωL.I(ω) + r.I(ω) = E jω + α Do I(ω) = E (jω + α) (jωL + r) Đặt N (ω) = E M (ω) = (jω + α) (jωL + r), ta có ω1 = αj, ω2 = rj M (ω) = −2ωL + (r + αL)j L Áp dụng công thức (4.1.1), ta thu i(t) = r E e−αt − e− L t r − αL 60 Ví dụ 4.2.3 (Phóng điện từ tụ điện vào mạch gồm cuộn tự cảm điện trở) Một tụ điện với điện dung C tích điện đến điện áp E, phóng điện vào mạch gồm cuộn tự cảm L điện trở mắc nối tiếp Hãy tìm cường độ i(t) với điều kiện i(0)=0 Hình 4.2 Lời giải Cường độ i(t) nghiệm phương trình t di L + r.i + dt C i(s) ds = E Lấy đạo hàm hai vế phương trình L d2 i di i + r + = dt dt C Gọi I(ω) ảnh Fourier i(t), áp dụng biến đổi Fourier ta L (jω)2 I(ω) − i (0) + jωr.I(ω) + Vì i (0) = E nên L E I(ω) = −ω L + jωr + C I(ω) = C Đặt N (ω) = E, M (ω) = −ω L + jωr + C1 , áp dụng công thức (4.1.1) ta i(t) = E −αt βt e − e−βt , e 2βL với α= r ,β= 2L 61 α2 − LC Ví dụ 4.2.4 Mắc suất điện động vào mạch gồm cuộn cảm ứng L, tụ điện với điện dung C điện trởr = L C mắc nối tiếp Tại thời điểm t = mạch mắc suất điện động không đổi E lúc ban đầu khơng có dịng điện mạch tụ điện chưa nạp điện Hãy xác định cường độ i(t) dòng điện chế độ vận hành Hình 4.3 Lời giải Trong vơ tuyến điện tử, cường độ i(t) phải tìm nghiệm phương trình vi tích phân sau t di L + r.i + dt C với r = i dt = E, L C Gọi I(p) ảnh Fourier i(t), áp dụng biến đổi Fourier vào phương trình ta E I(p) = L p+ √ LC Vậy cường độ i(t) dòng điện chế độ vận hành E i(t) = L t −√ e i√ LC e LC dx t E − √LC = e L 4.2.2 t−x x t t E − √LC dx = t e L Giải phương trình vật lý tốn Để làm rõ ví dụ vai trị biến đổi Fourier giải phương trình vật lý tốn, ta xét ví dụ sau 62 Ví dụ 4.2.5 Giả sử trục tọa độ Ox ta đặt sắt, đầu gốc O đầu điểm xa (xem ∞) Gọi u(x, t) nhiệt độ điểm x ≥ sắt thời điểm t ≥ Giả thiết nhiệt độ khởi đầu điểm biết trước u(x, 0) = f (x) với t ≥ 0, biết nhiệt độ truyền theo phương trình ∂u(x, t) ∂ u(x, t) =k , ∂t ∂x2 với k hệ số truyền nhiệt Lời giải Xét hàm số U (ξ, t) = √ 2π u(x, t)e−ixξ dx R Giả thiết hàm số triệt tiêu vô ta có ∂U =√ ∂t 2π √ 2π R ut (x, t) e−ixξ dx R ∂ u −ixξ e dx = (iξ) √ ∂x 2π = (iξ)2 √ 2π R ∂u −ixξ e dx ∂x u e−ixξ dx R = −ξ U Thay vào phương trình ban đầu, ta có Ut = −kξ U Nghiệm phương trình vi phân U (ξ, t) = e−ξ kt A(ξ) Với t = ta có A(ξ) = √ 2π u(x, 0) e−ixξ dx = √ 2π R f (x) e−ixξ dx = (T f ) (ξ) R Suy U (ξ, t) = e−ξ kt (T f ) (ξ) Vậy nghiệm toán ban đầu u(x, t) = √ 2π (T f ) (ξ)e−ξ R 63 kt e−ixξ dξ Ví dụ (2.3.3) ví dụ (2.3.4) minh họa cho việc giải phương trình vật lý tốn dùng biến đổi Fourier Trên ứng dụng đơn giản (nhưng không tầm thường chút nào) biến đổi Fourier việc giải toán nảy sinh kỹ thuật Những ứng dụng phức tạp sâu sắc tìm thấy nhiều ngành xử lý tín hiệu, điều khiển tự động, Ngồi ra, khóa luận đề cập đến tượng Gibbs Hiện tượng Gibbs phản ánh khó khăn vốn có việc xấp xỉ hàm gián đoạn chuỗi hữu hạn sóng sin cosin liên tục Vì vậy, thực tế, người ta thường để ý việc xử lí riêng biệt điểm hàm số gián đoạn, mức mức hai điểm cực trị chuỗi gần điểm gián đoạn, điều gây tín hiệu bất thường Từ đó, rút lưu ý với SV xấp xỉ hàm số chuỗi Fourier ln có sai số định xung quanh điểm gián đoạn 64 Kết luận khuyến nghị Khóa luận trình bày cách chi tiết hệ thống lại biến đổi tích phân Fourier, tượng Gibbs dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp Nội dung khóa luận bao gồm: Trình bày lại số kiến thức chuẩn bị liên quan đến biến đổi Fourier Trình bày lại định nghĩa, đặc trưng tốn tử tính chất biến đổi Fourier Phân tích tượng Gibbs hàm có khai triển Fourier, từ mở rộng hàm khơng có dải hữu hạn Tích hợp nội dung kiến thức khóa luận để dạy học mơn tốn cao cấp Cụ thể, khóa luận đề cập đến số ứng dụng biến đổi Fourier vật lý phương trình đạo hàm riêng Để sinh viên có hứng thú nghiên cứu sâu biến đổi Fourier, trình nghiên cứu định nghĩa, tính chất biến đổi Fourier cần ứng dụng ngành khoa học khác Điều giúp sinh tiếp thu giảng tốt vận dụng kiến thức học 65 Tài liệu tham khảo [1] Đặng Đình Áng, Biến đổi tích phân, NXB Giáo Dục, 2007 [2] Nguyễn Thừa Hợp, Giải tích tập I, II, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2008 [3] Lê Văn Trực, Giải tích tốn học tập III, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2008 [4] Nguyễn Minh Tuấn, Biến đổi tích phân dạng Fourier phương trình tích phân dạng chập, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội, 2014 [5] Ngô Minh Đức, "Quan điểm tích hợp dạy học mơn Tốn", Tạp chí khoa học Đại Học Sư Phạm TP Hồ Chí Minh, 2017 [6] A Vretblad, Fourier Analysis and its Applications, Spring - Verlag, New York - Berlin - Heidelberg, 2003 [7] E.C Tichmarsh, Introdution to the theory and Fourier integrals, Chelsea, New York, 1986 [8] T Edition, Integral transforms and their applications, A chapman and hall book, 2015 66 ... HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC GIÁO DỤC HỒNG THỊ PHƯƠNG DUNG BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER VÀ HIỆN TƯỢNG GIBBS, VÀ DẠY HỌC TÍCH HỢP TRONG MƠN TỐN CAO CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP NGÀNH SƯ PHẠM TOÁN... luận trình bày biến đổi tích phân Fourier, tượng Gibbs kết hợp dạy học tích hợp biến đổi tích phân Fourier mơn tốn cao cấp (đối với sinh viên khơng phải ngành tốn) Mục đích, đối tượng phạm vi... 46 Hiện tượng Gibbs 49 3.1 Ví dụ tượng Gibbs 49 3.2 Hiện tượng Gibbs hàm có khai triển Fourier 52 Dạy học tích hợp mơn tốn cao cấp 57 4.1 Khái niệm dạy học tích hợp