Tích chấp suy rộng đối với các phép biến đổi tích phân fourier sine fourier cosine và ứng dụng

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - Nguyễn Văn Sang TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TỐN HỌC Thái Ngun- 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC - Nguyễn Văn Sang TÍCH CHẬP SUY RỘNG ĐỐI VỚI CÁC PHÉP BIẾN ĐỔI TÍCH PHÂN FOURIER SINE, FOURIER COSINE VÀ ỨNG DỤNG Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60.46.36 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: TS NGUYỄN MINH KHOA Thái Nguyên- 2011 Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI CẢM ƠN Luận văn hoàn thành quan tâm hướng dẫn tận tình TS Nguyễn Minh Khoa Nhân dịp này, xin gửi tới thầy lời cảm ơn chân thành sâu sắc Tôi xin cảm ơn thầy, cơng tác khoa Tốn - trường Đại học Khoa Học - Đại học Thái Nguyên, khoa Công Nghệ Thông Tin - Đại học Thái Ngun, Viện tốn học Việt Nam nhiệt tình giảng dạy q trình tơi học tập Tơi xin bày tỏ lòng biết ơn tới thầy, Ban giám hiệu, Tổ Tốn - Tin Trường Trung học phổ thông Ba Bể, Sở Giáo dục Đào tạo tỉnh Bắc Kạn tạo điều kiện giúp đỡ tơi q trình học tập, nghiên cứu hồn thiện luận văn cao học Cuối cùng, tơi xin chân thành cảm ơn gia đình, anh chị em học viên lớp cao học toán K3A bạn bè đồng nghiệp động viên khích tơi q trình học tập, nghiên cứu làm luận văn Thái Nguyên, ngày .tháng 08 năm 2011 Tác giả luận văn Nguyễn Văn Sang 1Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Mục lục Mở đầu Danh mục ký hiệu Chương Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine 1.1 Phép biến đổi tích phân Fourier 1.1.1 Định nghĩa 1.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier 9 1.2 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine 13 1.2.1 Phép biến đổi tích phân Fourier cosine 1.2.2 Phép biến đổi tích phân Fourier sine 1.2.3 Các tính chất 13 15 16 Chương Tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân 19 2.1 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay) phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine-3 20 2.1.1 Định nghĩa tính chất tích chập suy rộng 20 2.2 Tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay)đối với phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine-4 31 2.2.1 Định nghĩa tính chất tích chập suy rộng 31 Chương Một số ứng dụng 40 3.0 Định lý Wiener-Lévy 40 3.1 Giải phương trình tích phân kiểu Toeplizt-Halken 41 3.1.1 Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.1.1) 3.1.2 Xét phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) 2Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 41 42 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.2 Giải hệ phương trình tích phân dạng chập 44 3.2.1 Xét hệ phương trình tích phân dạng chập ứng với tích chập (2.1.1) 3.2.2 Xét hệ phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1) 44 47 3.3 Giải gần phương trình tích phân dạng chập 50 3.3.1 Tích phân kỳ dị, tích phân dạng Cauchy, công thức Sokhotski 3.3.2 Lp hm tha iu kin Hăolder 3.3.3 Bài toán bờ Riemann 3.3.4 Giải gần phương trình tích phân dạng chập 50 51 52 53 Kết luận 58 Tài liệu tham khảo 59 3Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn LỜI MỞ ĐẦU Phép biến đổi tích phân nghiên cứu phát triển từ sớm có vai trị quan quan trọng giải tích tốn học số ngành khoa học tự nhiên khác Phép biến đổi tích phân cơng cụ hiệu việc giải toán điều kiện đầu, điều kiện biên phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng số lớp toán Vật lý toán Cùng với phát triển phép biến đổi tích phân, tích chập phép biến đổi tích phân xuất vào khoảng đầu kỷ 20 Các tích chập nghiên cứu tích chập phép biến đổi Fourier [15], [16], tích chập phép biến đổi Laplace [8], [ 16], tích chập phép biến đổi Mellin [8] sau đời tích chập phép biến đổi Hilbert [16], phép biến đổi Hankel [17], [18], phép biến đổi Kontorovich-Lebedev [17], phép biến đổi Stieltjes [7] tích chập phép biến đổi Fourier cosine [8], [15] Các tích chập có nhiều ứng dụng tính tốn tích phân, tính tổng chuỗi, tốn Vật lý tốn, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương trình hệ phương trình tích phân, lý thuyết xác suất xử lý ảnh Phép biến đổi Laplace L xác định [8] +∞ e−yx f (x)dx, y ∈ C (L f )(y) = (0.1) Tích chập hai hàm f g phép biến đổi tích phân Laplace L xác định theo [7] x ( f ∗ g)(x) = f (x − t)g(t)dt, x > L (0.2) thỏa mãn đẳng thức nhân tử hóa sau L( f ∗ g)(y) = (L f )(y)(Lg)(y), ∀y > L (0.3) Tuy nhiên trước năm 50 kỷ trước, tích chập biết tích chập khơng có hàm trọng nhiều phép biến đổi tích phân chưa xác định tích chập Số lượng tích chập phép biến đổi tích phân hạn chế gần không phát triển Những bế tắc khai thơng 4Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn lớp tích chập mở rộng hơn, tích chập có hàm trọng xuất Năm 1958 lần tích chập với hàm trọng đời Đó tích chập với hàm trọng π γ0 (x) = [Γ(p + ix + )]−2 phép biến đổi tích phân Mehler Fox [20] xsh(πx) tìm Vilenkin Y Ya Dẫu phải gần 10 năm sau, năm 1967 Kakichev V A.[17] tìm phương pháp kiến thiết để định nghĩa tích chập phép biến đổi tích phân K với hàm trọng γ(x) dựa đẳng thức nhân tử hóa γ K( f ∗ g)(x) = γ(x)(K f )(x)(Kg)(x) Với ý tưởng kỹ thuật phương pháp nhà toán học tìm số tích chập phép biến đổi tích phân khác Các tích chập hàm trọng tìm chẳng hạn tích chập phép biến đổi tích phân Hankel [17], [19], Meijer [19], Kontorovich Lebedev [17], Fourier sine [17], Somemerfeld [19] Nhờ tích chập với hàm trọng đời mà tranh tích chập phép biến đổi tích phân phong phú Tuy nhiên với bổ sung lớp tích chập suy rộng, nhiều điều lý thú lĩnh vực phát hiện, mở rộng phát triển Khởi xướng việc xây dựng tích chập hai hàm phép biến đổi tích phân Chuchill R V Năm 1941, lần tích chập suy rộng hai hàm hai phép biến đổi tích phân khác cơng bố Đó tích chập suy rộng hai hàm f g phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine [15] ( f ∗ g)(x) = √ 2π +∞ f (y)[g(|x − y|) − g(x + y)]dy, x > (0.4) với đẳng thức nhân tử hóa Fs ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fc g)(y), ∀y > (0.5) Nhưng tới tận năm 90 kỷ trước, vài trường hợp tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân cơng bố Năm 1998, Kakichev V.A Nguyễn Xuân Thảo đưa phương pháp thiết kế để xác định tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân với hàm trọng γ(y) mà chúng ln có đẳng thức nhân tử hóa γ K1 ( f ∗ g)(y) = γ(y)(K2 f )(y)(K3 f )(y) 5Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên (0.6) http://www.lrc-tnu.edu.vn Tư tưởng kỹ thuật phương pháp mở đường cho số tích chập suy rộng với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân Một số tích chập tiếp tục xuất Chẳng hạn tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine xác định ( f ∗ g)(x) = √ 2π +∞ f (y)[sign(y − x)g(|y − x|) + g(y + x)]dy, x > (0.7) với đẳng thức nhân tử hóa Fc ( f ∗ g)(y) = (Fs f )(y)(Fs g)(y), ∀y > (0.8) Như ta biết, tích chập đóng vai trị quan trọng lý thuyết phép biến đổi tích phân nhà toán học quan tâm nghiên cứu.Việc xây dựng nghiên cứu tích chập suy rộng thực có ý nghĩa khoa học lĩnh vực lý thuyết tích chập, phương trình hệ phương trình tích phân Vì chúng tơi chọn hướng nghiên cứu luận văn xây dựng nghiên cứu số tích chập suy rộng hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Qua ứng dụng thành công vào việc giải số lớp phương trình tích phân, hệ phương trình tích phân dạng chập nghiên cứu giải gần phương trình tích phân dạng chập Bố cục luận văn ngồi phần mở đầu kết luận gồm có ba chương Chương Chúng nghiên cứu ba phép biên đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Các tính chất ba phép biến đổi tích phân nói đề cập chương này, kèm theo số ví dụ minh họa cho tính chất Chương Xây dựng hai tích chập với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân nói Chương phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Các tích chập xây dựng chương là: tích chập suy rộng với hàm trọng γ(y) = sin(ay) hai phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Chương Chúng tập trung vào việc ứng dụng hai tích chập suy rộng xây dựng Chương để giải số lớp phương trình tích phân kiểu ToepliztHankel, hệ phương trình tích phân dạng chập Ngồi chúng tơi cịn nghiên cứu việc giải gần phương trình tích phân dạng chập 6Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Danh mục ký hiệu R C ∀x L(R) : Tập số thực : Tập số phức : Với x : Tập hợp tất hàm f xác định R cho: +∞ | f (x)|dx < +∞ −∞ L(R+ ) : Tập hợp tất hàm f xác định (0, +∞) cho: +∞ | f (x)|dx < +∞ L2 (R) : Tập hợp tất hàm f xác định R cho: +∞ f (x)dx < +∞ −∞ L(R+ , ex ) : Tập hợp tất hàm f xác định (0, +∞) cho: +∞ ex | f (x)|dx < +∞ C(R) : Tập hợp tất hàm f liên tục R cho: f = sup| f (t)| < +∞ t∈R f f f f (n) : Đạo hàm hàm f : Đạo hàm cấp hàm f : Đạo hàm cấp hàm f : Đạo hàm cấp n hàm f 7Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Chương Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Thơng qua phép biến đổi tích phân ta xây dựng đại số với phép toán nhân chập tương ứng Trong chương nghiên cứu ba phép biến đổi tích phân Đó phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Nội dung chương trình bày sau Mục 1.1 Trình bày phép biến đổi tích phân Fourier số tính chất Mục 1.2 Trình bày phép biến đổi tích phân Fourier cosine, Fourier sine số tính chất chúng Tài liệu tham khảo chương [1] 8Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên http://www.lrc-tnu.edu.vn Điều dẫn tới ∆2 ∆2 ∆2 = − (Fc l)(y) ∆ λ λ γ λ11 (Fc h)(y) − λ21 Fc (k ∗ ψ)(y) = λ (Fc g)(y) = γ − λ11 (Fc h)(y)(Fc l)(y) + λ21 Fc (k ∗ ψ)(y)(Fc l)(y) = γ λ11 (Fc h)(y) − λ21 Fc (k ∗ ψ)(y) λ γ − λ11 Fc (h ∗ l)(y) + λ21 Fc (k ∗ ψ) ∗ l (y) Fc Fc γ γ λ11 h(y) − λ21 (k ∗ ψ)(y) − λ11 (h ∗ l)(y) + λ21 (k ∗ ψ) ∗ l (y) Fc Fc 3 λ Rõ ràng f , g ∈ L(R+ ).Chứng minh hồnh thành Do g(y) = 3.2.2 Xét hệ phương trình tích phân ứng với tích chập (2.2.1)  +∞    f (y) + λ1 g(t)ϕ1 (y,t)dt = p(y) +∞   f (t)ψ1 (y,t)dt + g(y) = q(y) λ2 , y > (3.2.2) Ở λ1 , λ2 số phức; ϕ1 , ψ1 , p, q hàm cho; f , g ẩn hàm Hơn ϕ1 (y,t) = √ [sign(y − t)ϕ(|y − t|) + ϕ(y + t)], 2π ψ1 (y,t) = √ [ψ(|y + t − a|) + ψ(|y − t − a|) − ψ(y + t + a) − ψ(|y − t − a|)], 2π với ϕ, ψ ∈ L(R+ ) Ngoài giả thiết p, q ∈ L(R+ ) Định lý 3.2.2 Với điều kiện + λ1 λ2 sin(ay)(Fs ϕ)(y)(Fc ψ)(y) = 0, hệ (3.2.2) có nghiệm thuộc L(R+ ) xác định f (y) = p(y) − λ1 (ϕ ∗ q)(y) + (l ∗ p)(y) − λ1 l ∗ (ϕ ∗ q) (y), γ Fc Fc γ g(y) = q(y) − λ2 (ψ ∗ p)(y) + (q ∗ l)(y) − λ2 (ψ ∗ p) ∗ l (y) γ λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ψ)(y) Ở l ∈ L(R+ ) xác định (Fc l)(y) = γ − λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ψ)(y) 47Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 47 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Hệ (3.2.2) viết lại sau   f (y) + λ1 (ϕ ∗ g)(y) = p(y) λ2 ( f ∗γ ψ)(y) + g(y) = q(y) , y > Sử dụng đẳng thức nhân tử hóa (0.8) (2.2.2) ta có  (F f )(y) + λ (F ϕ)(y)(F g)(y) = (F p)(y) c s c s λ2 sin(ay)(Fc f )(y)(Fc ψ)(y) + (Fs g)(y) = (Fs q)(y) Ta xét định thức ∆= λ1 (Fs ϕ)(y) λ2 sin(ay)(Fc ψ)(y) = − λ1 λ2 sin(ay)(Fs ϕ)(y)(Fc ψ)(y) γ = − λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ϕ)(y) Từ suy γ λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ϕ)(y) 1 = = + γ ∆ − λ λ F (ϕ ∗ ϕ)(y) − λ λ F (ϕ ∗γ ϕ)(y) c c 3 Theo Định lý Wiener-Lévy, tồn hàm l ∈ L(R+ ) cho γ λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ϕ)(y) (Fc l)(y) = γ − λ1 λ2 Fc (ϕ ∗ ϕ)(y) điều dẫn tới = + (Fc l)(y) ∆ Tiếp tục xét định thức ∆1 = (Fc p)(y) λ1 (Fs ϕ)(y) (Fs q)(y) = (Fc p)(y) − λ1 (Fs ϕ)(y)(Fs q)(y) = (Fc p)(y) − λ1 Fc (ϕ ∗ q)(y) 48Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 48 http://www.lrc-tnu.edu.vn Do ∆1 = [1 + (Fc l)(y)].[(Fc p)(y) − λ1 Fc (ϕ ∗ q)(y)] ∆ = (Fc p)(y) − λ1 Fc (ϕ ∗ q)(y) + (Fc l)(y)(Fc p)(y) − λ1 (Fc l)(y)Fc (ϕ ∗ q)(y) (Fc f )(y) = 2 = (Fc p)(y) − λ1 Fc (ϕ ∗ q)(y) + Fc (l ∗ p) − λ1 Fc l ∗ (ϕ ∗ q) (y) Fc Fc Suy f (y) = p(y) − λ1 (ϕ ∗ q)(y) + (l ∗ p) − λ1 l ∗ (ϕ ∗ q) (y) ∈ L(R+ ) Fc Fc Tương tự ∆= (Fc p)(y) λ2 sin(ay)(Fc ψ)(y) (Fs q)(y) = (Fs q)(y) − λ2 sin(ay)(Fc ψ)(y)(Fc p)(y) γ = (Fs q)(y) − λ2 Fs (ψ ∗ p)(y) Điều dẫn tới (Fs g)(y) = γ ∆2 = [1 + (Fc l)(y)][(Fs q)(y) − λ2 Fs (ψ ∗ p)(y)] ∆ γ γ = (Fs q)(y) − λ2 Fs (ψ ∗ p)(y) + (Fc l)(y)(Fs q)(y) − λ2 (Fc l)(y)Fs (ψ ∗ p)(y) γ γ = (Fs q)(y) − λ2 Fs (ψ ∗ p)(y) + Fs (q ∗ l)(y) − λ2 Fs (ψ ∗ p) ∗ l (y) 4 Từ suy γ γ (g)(y) = (q)(y) − λ2 (ψ ∗ p)(y) + (q ∗ l)(y) − λ2 (ψ ∗ p) ∗ l (y) ∈ L(R+ ) 4 Định lý chứng minh 49Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 49 http://www.lrc-tnu.edu.vn 3.3 Giải gần phương trình tích phân dạng chập 3.3.1 Tích phân kỳ dị, tích phân dạng Cauchy, cơng thức Sokhotski a Tích phân kỳ dị Định nghĩa 3.3.1 Giả sử f (t) hàm xác định hầu khắp đa tạp Γ Trên đa tạp Γ xác định metric lấy điểm t0 Lấy lân cận ε t0 Gọi Γε phần lại đa tạp Giả thiết f (t) khả tổng Γε với ∀ε > Nếu tồn giới hạn lim f (t)dt (3.3.1) ε→0 Γε giới hạn gọi tích phân kỳ dị f (t) Γ b Tích phân dạng Cauchy Định nghĩa 3.3.2 Giả sử Γ ≡ L đường cong Liapunôp Tức đường cong đơn với tiếp tuyến thay đổi liên tục theo Hăolder v f (t) = (t) t z ϕ(t) hàm khả tích tuyệt đối, z điểm mặt phẳng Khi ϕ(t) Φ(z) = dt (3.3.2) 2πi t − z L gọi tích phân dạng Cauchy Nhận xét Khi xét giá trị tích phân (3.3.2), điểm z nằm đường cong L tích phân (3.3.2) không tồn theo nghĩa thông thường Lúc ta quan niệm theo nghĩa tích phân kỳ dị nói mà trường hợp chiều gọi tích phân theo giá trị Cauchy c Các cơng thức Sokhotski 50Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 50 http://www.lrc-tnu.edu.vn Theo định nghĩa ta có Φ(t0 ) = 2πi L ϕ(t) dt = lim ε→0 2πi t − t0 Lε ϕ(t) dt t − t0 (3.3.3) Ký hiệu Φ+ (t0 ), Φ− (t0 ) giới hạn Φ(z) z → t0 tương ứng từ bên trái, bên phải(trong trường hợp đường cong đóng tương ứng miền miền ngồi) Khi ta nhận công thức Sokhotski sau: 1 Φ+ (t0 ) = ϕ(t0 ) + Φ(t0 ) = ϕ(t0 ) + 2 2πi L ϕ(t) dt, t − t0 1 Φ (t0 ) = − ϕ(t0 ) + Φ(t0 ) = − ϕ(t0 ) + 2 2πi (3.3.4) − L ϕ(t) dt t − t0 dùng cơng thức dạng tổ hợp sau Φ+ (t0 ) − Φ− (t0 ) = ϕ(t0 ), Φ+ (t0 ) + Φ− (t0 ) = 3.3.2 πi L (3.3.5) ϕ(t) dt t − t0 Lớp hàm thỏa iu kin Hăolder nh ngha 3.3.3 Gi s (t) hàm xác định Γ Hàm ϕ(t) gọi l tha iu kin Hăolder trờn vi bt kỳ cặp điểm t1 ,t2 ∈ Γ ta có |ϕ(t1 ) − ϕ(t2 )| ≤ A|t1 − t2 |µ (3.3.6) A số dương gọi hệ số, cịn < µ < c gi l ch s Hăolder Ta ký hiu lp cỏc hm tha iu kin Hăolder (3.3.6) vi cựng số µ H(µ) Định nghĩa 3.3.4 Chuẩn khơng gian H(µ) xác định sau ϕ(t) H(µ) |ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )| |t2 − t1 |µ t1 ,t2 ∈Γ = max |ϕ(t)| + sup t∈Γ (3.3.7) Nhận xét Dễ thấy tiên đề chuẩn thỏa mãn với (3.3.7) Định lý 3.3.1 Với việc xác định chuẩn theo cơng thức (3.3.7) H(µ) trở thành khơng gian tuyến tính định chuẩn đầy đủ, tức khơng gian Banach 51Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 51 http://www.lrc-tnu.edu.vn Chứng minh Giả sử ϕ1 , ϕ2 , dãy Cauchy H(µ) Ta có ϕn+p − ϕn ≤ εn , (3.3.8) với p = 1, 2, Trong εn không phụ thuộc vào p lim εn = n→∞ Do cách tính chuẩn (3.3.7) ta thấy ϕ1 , ϕ2 , dãy Cauchy không gian C(không gian hàm liên tục), nghĩa tồn hàm ϕ cho lim max |ϕ − ϕn | = n→+∞ Hơn nữa, ta lại có [ϕn+p (t2 ) − ϕn+p (t1 )] − [ϕn (t2 ) − ϕn (t1 )] ≤ εn µ t1 ,t2 ∈Γ |t2 − t1 | sup Vì εn khơng phụ thuộc p nên từ suy [ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )] − [ϕn (t2 ) − ϕn (t1 )] ≤ εn µ t1 ,t2 ∈Γ |t2 − t1 | sup Bất đẳng thức chứng tỏ giá trị |ϕ(t2 ) − ϕ(t1 )| |t2 − t1 | t1 ,t2 ∈Γ sup giới nội hàm ϕ(t) thuộc khơng gian H(µ) Mặt khác, lim ϕ − ϕn H(µ) = nên H(µ) khơng gian đầy đủ n→∞ 3.3.3 Bài tốn bờ Riemann Giả sử L đường cong kín Liapunơp chia mặt phẳng làm hai miền: miền (D+ ) miền (D− ) Hãy xác định hàm giải tích mảnh Φ(z) cho L ta có Φ+ (t) = G(t)Φ− (t) + g(t),t ∈ L (3.3.9) Φ+ (t), Φ− (t) hàm giải tích tương ứng D+ D− , cịn G(t) g(t) hai hàm xác định liên tục theo Hăolder trờn ng L Hm G(t) c gi l hệ số toán bờ Riemann g(t) khác khơng L 52Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 52 http://www.lrc-tnu.edu.vn Nếu g(t) ≡ 0, tốn bờ Riemann gọi Φ+ (t) = G(t).Φ− (t) (3.3.10) Trường hợp đơn giản G(t) ≡ 1, tốn (3.3.9) có dạng Φ+ (t) = Φ− (t) + g(t) (3.3.11) Bài toán (3.3.11) giải dễ dàng nhờ công thức Sokhotski (3.3.5) Nếu đòi hỏi thêm điều kiện Φ(+∞) = 0, tốn (3.3.11) có nghiệm biểu diễn tích phân dạng Cauchy 2πi Φ(z) = L g(τ) dτ τ −z (3.3.12) Tính chứng minh nhờ Định lý Zuivin Nghiệm tổng quát (3.3.11) có dạng g(τ) dτ + Φ(+∞) Φ(z) = 2πi τ − z L Φ(+∞) số 3.3.4 Giải gần phương trình tích phân dạng chập Xét phương trình Kϕ ≡ ϕ(x) + √ 2π +∞ −∞ a1 (x − t)ϕ(t)dt + √ 2π +∞ a2 (x − t)signtϕ(t)dt −∞ (3.3.13) +∞ n(x,t)ϕ(t)dt = f (x), x ∈ R +λ −∞ Các hàm a1 , a2 , f lẽ dĩ nhiên phải giả thiết thuộc không gian L(R) Ký hiệu chữ hoa tương ứng biến đổi Fourier, chẳng hạn Φ(t) = √ 2π +∞ ϕ(x)eixt dx, x ∈ R (3.3.14) −∞ Theo lý thuyết biến đổi Fourier ϕ ∈ L(R) Φ(t) → t → ±∞ Các cơng thức Sokhotski có dạng: Φ = Φ+ − Φ− ; πi +∞ −∞ 53Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên Φ(x) dx = Φ+ − Φ− x−t 53 (3.3.15) http://www.lrc-tnu.edu.vn hàm Φ+ Φ− hàm giải tích tương ứng nửa mặt phẳng nửa mặt phẳng dưới, đồng thời theo Định lý Vine-Lêvin chúng hàm liên tục Giả thiết (1 + A1 )2 − A22 = 0, f ∈ L2 (R), +∞ |n(x,t)|dxdt < +∞, −∞ Aj = √ 2π +∞ −∞ a j (x)eixt dx, j = 1, λ giá trị riêng Thực phép biến đổi Fourier cho hai vế phương trình (3.3.13) ta A2 (x) KΦ ≡ (1 + A1 )Φ + πi +∞ −∞ Φ(t) dt t −x +∞ (3.3.16) N(x, −t)Φ(t)dt = F(x), +λ −∞ N(x, −t) = 2π +∞ n(u, v)ei(ux−vt) dudv (3.3.17) −∞ Nếu n(x,t) ≡ theo cơng thức Sokhotski (3.3.15) ta đưa phương trình (3.3.16) toán bờ Riemann cho nửa mặt phẳng ϕ(x) = RF(x) + A2 (x)Z(x) Pη−1 (x) , (x + 1)η 1 + A1 (x) − A2 (x) +∞ arg số phương trình (3.3.16) + A1 (x) + A2 (x) −∞ Để đảm bảo tính ta xét nghiệm riêng có dạng η = Φ(x) = RF(x), A2 Z RF = (1 + A1 )F − πi 54Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 54 +∞ −∞ F(t) dt, Z(t)(t − x) (3.3.18) http://www.lrc-tnu.edu.vn Γ(x) = 2πi +∞ ln[( −∞ X + (x) = eΓ + (x) t − i −η + A1 − A2 dt ] ) , t +i + A1 + A2 t − z , X − (x) = ( x − i −η Γ− (x) ) e , x+i Z(x) = (1 + A1 + A2 )X + (x) = (1 + A1 − A2 )X − (x) Từ sử dụng công thức sau √ 2π +∞ ϕn (y)eixy dy = (i)n ϕn (x), (3.3.19) −∞ d n −x2 ; Hn (x) = ϕn (x) = e e , Hn (x) đa thức Hermite dxn Trực chuẩn hóa hệ {ϕn (x)} cách đặt − 12 (−1)n e 2x2 2x ψn (x) = ϕn (x) √ (2n n! π)1/2 Lúc ψn (x) hệ trực chuẩn, tức  +∞ 1 ψm (x)ψn (x)dx = 0 −∞ m = n, m = n Từ (3.3.19) ta có √ 2π +∞ ψn (y)eixy dy = (i)n ψn (x) (3.3.20) −∞ Khai triển n(x,t) thành chuỗi dạng n(x,t) = ∑ αk j ψk (x)ψ j (t) k, j ý (3.3.17) ta N(x, −t) = ∑ ak j k, j √ 2π +∞ −∞ ψk (u)eiux dx √ 2π +∞ ψ j (v)eivt dt −∞ (3.3.21) = ∑ ak j (i)k− j ψk (x)ψ j (t) k, j 55Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 55 http://www.lrc-tnu.edu.vn Thế (3.3.21) vào (3.3.16) chuyển phần quy sang vế phải ta A2 (x) (1 + A1 )Φ(x) + πi +∞ −∞ Φ(t) dt = F(x) − λ ∑ c j a j (x), 1−t j (3.3.22) a j (x) = ∑ al j (i)l− j ψl (x) l +∞ cj = (3.3.23) Φ(t)ψ j (t)dt −∞ Sử dụng công thức (3.3.18) ta có Φ = RF − λ ∑ c j Ra j (3.3.24) j Nhân hai vế (3.3.23) với ψk (t) lấy tích phân từ −∞ đến +∞ ta hệ phương trình đại số tuyến c j : ck + λ ∑ a jk c j = Fk , (3.3.25) j +∞ aik = ψk Rai dx, −∞ +∞ Fk = ψk RFdx −∞ Chúng ta nhận nghiệm gần phương trình (3.3.13) cách trực tiếp Chú ý theo cơng thức (3.3.18) ta có ϕ(x) = √ 2π +∞ −ixt Φ(t)e −∞ dt = √ 2π +∞ RF(t)e−ixt dt (3.3.26) −∞ (n(x,t) ≡ 0) Giả thiết n(x,t) có dạng n(x,t) = ∑ αk (x)βk (t) k=1 56Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Ngun 56 http://www.lrc-tnu.edu.vn Phương trình (3.3.1) lúc viết dạng ϕ(x) = √ 2π +∞ −∞ a1 (x − t)ϕ(t)dt + √ 2π +∞ a2 (x − t)singtϕ(t)dt −∞ n = f (x) + λ ∑ ak (x)ck k=1 +∞ ck = −∞ αk (t)ϕ(t)dt Từ ta nhận hệ phương trình đại số tuyến tính để xác định ck nghiệm phương trình (3.3.13) xác định ϕ(x) = 2π +∞ −∞ λ RF(t)e−ixt dt − √ 2π +∞ N ∑ ck k=1 R∆k (t)e−ixt dt −∞ +∞ ak (x)eixt dt biến đổi Fourier αk (x) ∆k (t) = √ 2π −∞ 57Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 57 http://www.lrc-tnu.edu.vn Kết luận Những kết luận văn Xây dựng hai tích chập suy rộng hai hàm hai phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine tìm số tính chất chúng Ứng dụng thành cơng hai tích chập suy rộng xây dựng vào việc giải lớp phương trình tích phân kiểu Toeplizt-Halken, hệ phương trình tích phân dạng chập Nghiên cứu giải gần phương trình tích phân dạng chập Hướng nghiên cứu luận văn xây dựng nghiên cứu tích chập suy rộng ba phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier sine Fourier cosine ứng dụng chúng Đồng thời từ tích chập suy rộng nhận ta nghiên cứu phép biến đổi tích phân kiểu tích chập bất đẳng thức tích phân dạng chập 58Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 58 http://www.lrc-tnu.edu.vn Tài liệu tham khảo Tiếng Việt [1] Đặng Đình Ánh, Trần Lưu Cường, Huỳnh Bá Lân, Nguyễn Văn Nhân (2001), Biến đổi tích phân, Nhà xuất giáo dục [2] Nguyễn Văn Mậu (2006), Lý thuyết tốn tử phương trình tích phân kì dị, NXB Đại học quốc gia Hà Nội [3] Phan Văn Hạp (1974), Phương trình tích phân cách giải gần đúng, NXB Đại học Trung học chuyên nghiệp Tiếng Anh [4] F.D Garkhov and Yu I Cherski (1978), Equations of convolution type, Moscow Nauka, Russian [5] Gakhov F.D., Cherski Ju.I (1978), Integral equation of convolution type, Moscow "Nauka", Russian [6] H.-J Glaeske and Vu Kim Tuan (1995), "Some applications of the convolution theorem of Hilbert transform", Integr Trans Special Func, (3), pp 263-268 [7] H M Srivastava and Vu Kim Tuan (1995), "A new convolution theorem for the Stieltfes transform and its application to a class of singular equations", Arch Math, (64), pp.144-149 [8] I.N Sneddon (1941), Fourier Series and Boundary Value Problems, New York [9] N.I Achiezer (1965), Lectures on Approximation theory, Sciencen Publishing House, Moscow, pp.157-162 59Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 59 http://www.lrc-tnu.edu.vn [10] Nguyen Minh Khoa (2006), "On the generalized convolution with weightfunction for Fourier cosine, Fourier and Fourier sine transforms", Southeast Asian Bulletin of Mathematies [11] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2004), "On the generalized convolution with a weight-function for the Cosine-Fourier integral transform", Acta mathematica VietNamica, (Volum 29), (Number 2), pp.149-162 [12] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2004), "Generalized convolution for integral transform", Methods of complex and Clliford analysis, SAS Int Publ Delhi, pp.161-180 [13] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2005), "On the generalized convolution with weight function for Fourier, Fourier cosine and sine transform", Vietnam Journal of Mathematies, (33: 4), pp.421-436 [14] Nguyen Xuan Thao and Nguyen Minh Khoa (2006), "On the generalized convolution with weight function for the Fourier cosine and sine transform", Integral transform and special Functions, (Vol 9), September, pp.673-685 [15] R.V Churchill (1951), Fourier Transform, MC Gray Hill, New York [16] Titchmarch (1973), Introduction to the Theory of Fourier Integrals, Oxford Univ Press [17] V A Kakichev (1967), "On the convolution for integral transforms", Izv AN BSSR, Ser Fri Mat, (N2), pp.48-57, Russian [18] Vu Kim Tuan and M Saigo (1995), "Convolution of Hankel transform and its applications to an integral involing Bessel function of first kind", J Math and Math Sci, (18), pp.545-550 [19] V A Kakichev, Nguyen Xuan Thao and Nguyen Thanh Hai (1996),"Composition method to constructing convolutions for integral transform", Integr Trans Special Func, (4), pp.235-242 [20] Y Ya Vilenkin (1958), "Matrix elements of indecomposable unitary representations for motions group of the Laachekski’s space and generalized Mehler - Fox transforms", Dokl, Akad, Nauk USSR, (2), pp.219-222, Russian 60Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 60 http://www.lrc-tnu.edu.vn Một số báo tác giả liên quan đến luận văn [21] Nguyễn Minh Khoa Nguyễn Văn Sang (5-2011), "Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine", Kỷ yếu hội thảo khoa học số hướng nghiên cứu toán học đại ứng dụng, pp.166-173 [22] Nguyễn Minh Khoa Nguyễn Văn Sang, "Tích chập suy rộng với hàm trọng phép biến đổi tích phân Fourier sine Fourier cosine" (đã nhận đăng Tạp trí khoa học cơng nghệ lượng) 61Số hóa Trung tâm Học liệu – Đại học Thái Nguyên 61 http://www.lrc-tnu.edu.vn ... phép biến đổi tích phân Đó phép biến đổi tích phân Fourier, phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine Nội dung chương trình bày sau Mục 1.1 Trình bày phép biến đổi tích phân Fourier số... Chương Các phép biến đổi tích phân Fourier, Fourier cosine Fourier sine Thông qua phép biến đổi tích phân ta xây dựng đại số với phép toán nhân chập tương ứng Trong chương nghiên cứu ba phép biến đổi. .. đường cho số tích chập suy rộng với hàm trọng hai phép biến đổi tích phân Một số tích chập tiếp tục xuất Chẳng hạn tích chập suy rộng phép biến đổi tích phân Fourier cosine Fourier sine xác định