Chuỗi fourier và các loại hội tụ của nó

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ĐỖ THANH KHUYÊN CHUỖI FOURIER VÀ CÁC LOẠI HỘI TỤ CỦA NÓ Chuyên ngành: Giải tích Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SỸ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS NGUYỄN MINH TUẤN HÀ NỘI- 2014 Mục lục Lời nói đầu Chuỗi Fourier 1.1 1.2 Mở đầu giải tích Fourier 1.1.1 Nhắc lại phương trình đạo hàm riêng 1.1.2 Phương trình truyền sóng 1.1.3 Phương trình truyền nhiệt 14 1.1.4 Phương trình Laplace 17 Chuỗi Fourier 21 1.2.1 Chuỗi Fourier khai hàm thành chuỗi Fourier 22 1.2.2 Tính chuỗi Fourier 25 Hội tụ chuỗi Fourier 2.1 30 Hội tụ điểm chuỗi Fourier 30 2.1.1 Tích chập 30 2.1.2 Phương pháp trung bình cộng chuỗi Fourier 32 Hội tụ chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích 43 2.2.1 Tích 43 2.2.2 Chứng minh hội tụ bình phương khả tích 46 2.3 Hội tụ chuỗi Fourier 53 2.4 Trở lại hội tụ điểm chuỗi Fourier 57 2.2 2.5 Hiện tượng Gibbs 63 2.5.1 Ví dụ tượng Gibbs 63 2.5.2 Hiện tượng Gibbs hàm tổng quát 70 2.5.3 Khắc phục tượng Gibbs 77 Kết luận 81 Tài liệu tham khảo 82 LỜI NÓI ĐẦU Giải tích Fourier hướng nghiên cứu quan trọng Toán học nói chung Giải tích nói riêng Lý thuyết hình thành từ yêu cầu thực tế có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác Luận văn đề cập tới lý thuyết chuỗi Fourier hội tụ Việc nghiên cứu hội tụ chuỗi Fourier có ý nghĩa lớn ứng dụng chuỗi Fourier vào giải toán khác Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, hai chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương nhắc lại số khái niệm phương trình vi phân đạo hàm riêng Giới thiệu toán tiêu biểu cho phương trình đạo hàm riêng thường gặp phương trình truyền sóng, phương trình truyền nhiệt phương trình Laplace Qua dẫn ta tới vấn đề giải tích Fourier Tiếp theo, ta nghiên cứu khái niệm chuỗi Fourier tính chất Chương hai trình bày khái niệm tính chất tích chập, nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Poisson, nhân Fejer Từ xét hội tụ điểm chuỗi Fourier Tiếp sau nghiên cứu hội tụ chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích thông qua xác định không gian vecto với tích chuẩn tương ứng, hội tụ chuỗi Fourier Cuối ta nêu tượng Gibbs hàm có điểm gián đoạn cách khắc phục Luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Nguyễn Minh Tuấn Toàn thể ban lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên - Đại học Quốc Gia Hà nội giúp có thêm nhiều kiến thức để hoàn thành luận văn khóa học cách tốt đẹp Các thầy cô phòng Sau Đại học tạo điều kiện thuận lợi giúp hoàn thành thủ tục bảo vệ luận văn học tập Các thầy bạn seminar Toán Giải Tích góp ý để hoàn thành luận văn Tôi xin chân thành cảm ơn tất giúp đỡ đóng góp quý giá Tôi mong nhận ý kiến đóng góp quý thầy cô bạn Hà Nội, tháng 10 năm 2014 Đỗ Thanh Khuyên Chương Chuỗi Fourier Trong chương này, luận văn nhắc lại số toán phương trình đạo hàm riêng tiêu biểu phương pháp tìm nghiệm chúng Trong trình xuất vài điều thú vị, khơi nguồn cho phát triển giải tích Fourier Qua ta đưa khái niệm chuỗi Fourier tính 1.1 1.1.1 Mở đầu giải tích Fourier Nhắc lại phương trình đạo hàm riêng Phương trình vi phân đạo hàm riêng (hay phương trình đạo hàm riêng) bắt nguồn từ toán thực tế chuyển động sóng âm thanh, xạ điện từ, lan truyền nhiệt, Định nghĩa 1.1.1 (Phương trình vi phân đạo hàm riêng, [1]) Phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình liên hệ hàm ẩn u (x1 , x2 , , xn ) đạo hàm riêng nó, x1 , x2 , , xn biến độc lập Cụ thể, phương trình đạo hàm riêng có dạng F (x1 , x2 , , xn , u, ∂u ∂u ∂ku ) = , , , , k1 ∂x1 ∂xn ∂ x1 ∂ kn xn (1.1) Cấp phương trình đạo hàm riêng cấp cao đạo hàm riêng hàm u có mặt phương trình (1.1) Ví dụ 1.1.1 • Phương trình cấp hàm hai biến F (x, y, u, ∂u ∂u , ) = ∂x ∂y • Phương trình cấp hai hàm hai biến F (x, y, u, ∂u ∂u ∂ u ∂ u ∂ u , , , , ) = ∂x ∂y ∂x2 ∂xy ∂y Định nghĩa 1.1.2 Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính phương trình đạo hàm riêng tuyến tính ẩn hàm tất đạo hàm riêng Ví dụ 1.1.2 a(x, y) ∂2u ∂2u ∂2u ∂u ∂u + 2b(x, y) + c(x, y) + d(x, y) + e(x, y) ∂x2 ∂x∂y ∂y ∂x ∂y + f (x, y)u = g(x, y), phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai trường hợp hàm hai biến Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trường hợp hai biến a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux , uy ) = (1.2) Trong luận văn, đề cập tới phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai dạng (1.2) Đối với phương trình này, ta nghiên cứu cụ thể phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt R2 Đây phương trình đạo hàm riêng mà ta thường gặp lý thuyết thực tế Định nghĩa 1.1.3 (Phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai) Xét phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai (1.2) điểm (x0 , y0 ) tập E thuộc R2 • Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình elliptic b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) < • Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình hyperbolic b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) > • Phương trình (1.2) thuộc loại phương trình parabolic b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0 )c(x0 , y0 ) = 1.1.2 Phương trình truyền sóng Để đơn giản việc tính toán, phần đề cập tới phương trình dao động dây trường hợp chiều a Phương trình dao động sợi dây Nghiên cứu chuyển động sợi dây căng thẳng theo chiều trục Ox Nhờ tác động làm cho sợi dây dao động mặt phẳng thẳng đứng Ta coi điểm dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox mặt phẳng (x, u) Gọi u độ lệch phần tử vật chất so với vị trí cân bằng, u = u(x, t), tức là, u hàm phụ thuộc thời gian t hoành độ phần tử vật chất x Xét sợi dây đồng chất, ngoại lực tác động vào dây sau thời điểm ban đầu Khi hàm u(x, t) thỏa mãn phương trình ∂2u 2∂ u = a ∂t2 ∂x2 (1.3) Phương trình (1.3) gọi phương trình truyền sóng Và thuộc vào loại phương trình hyperbolic Hệ số a gọi vận tốc truyền sóng, a = T ρ, T lực căng sợi dây ρ mật độ phân bố vật chất theo chiều dài sợi dây b Công thức nghiệm phương trình truyền sóng Nghiên cứu nghiệm phương trình dao động sợi dây phần ta xét Bài toán Cauchy phương trình ∂2u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 −∞ < x < +∞ (1.3) thỏa mãn điều kiện ban đầu: u(x, 0) = f (x), (1.4) ut (x, 0) = g(x) (1.5) Ta xây dựng công thức nghiệm cho toán Đầu tiên, ta sử dụng phương pháp đổi biến để tìm nghiệm toán Cauchy Đặt η = x − at, ξ = x + at; ∂2u ∂2u ∂2u ∂2u = + + , ∂x2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η 2 ∂2u ∂2u ∂2u ∂ u = a ( − + ) ∂t2 ∂ξ ∂ξ∂η ∂η Thế vào (1.3) ta ∂2u = ∂ξ∂η Lấy tích phân hai lần ta u(ξ, η) = F (ξ) + G(η), hay nghiệm phương trình truyền sóng u(x, t) = F (x + at) + G(x − at) Kết hợp với (1.4) (1.5) ta có   F (x) + G(x) = u(x, 0) = f (x)  aF (x) − aG (x) = ut (x, 0) = g(x) Lấy đạo hàm phương trình thứ nhất, sau nhân hai vế với a, ta thu   aF (x) + aG (x) = af (x)  aF (x) − aG (x) = g(x) Do    F (x) =  G (x) = 2a (af 2a (af (x) + g(x)), (x) − g(x)) Lấy tích phân hai vế hai phương trình với cận từ đến x ta được: F (x) = [af (x) + 2a G(x) = [af (x) − 2a x g(y)dy] + C1 , x g(y)dy] + C2 , đó, C1 , C2 số Theo ta có F (x) + G(x) = f (x) nên C1 + C2 = Do đó, nghiệm toán truyền sóng (1.3) với điều kiện ban đầu (1.4), (1.5) có dạng u(x, t) = 1 (f (x + at) + f (x − at)) + 2a x+at g(y)dy x−at (1.6) Đầu tiên, xét chuỗi N EN (x) = e inx n=1 eix (1 − eiN x ) = − eix Bổ đề 2.5.1 ([7]) Với < x < 2π |EN (x)| ≤ = |1 − eix | sin x2 Xét chuỗi N n=j N En (x) − En−1 (x) einx = n n n=j N = n=j N En (x) Ej−1 (x) EN (x) En (x) − − + n n + j N + n=j Áp dụng Bổ đề 2.5.1 N n=j e  inx n ≤  N  1 1  ( − ) + + = sin x2 n=j n n + j N +1 j sin x2 Chú ý SN (h)(x) phần ảo chuỗi phức Bổ đề 2.5.2 Cho < α < β < 2π Chuỗi N einx n=1 n N sin(nx) n=1 n hội tụ với x khoảng [α, β] không hội tụ [0, 2π] Chứng minh Ta xét |S2N (h)(x) − SN (h)(x)| = Với N bất kỳ, xét dãy xN = N, sin(N + 1)x sin(2N x) + + N +1 2N ta có sin NN+1 sin |S2N (h)(xN ) − SN (h)(xN )| = + + N +1 2N ≥N· 68 (2.17) sin sin = 2N Như vậy, tồn = sin cho với N , tồn p = N , tồn xN = |S2N (h)(xN ) − SN (h)(xN )| = S2N (h)( Theo nguyên lý hội tụ Cauchy chuỗi 1 ) − SN (h)( ) ≥ N N ∞ sin(nx) n=1 n N > không hội tụ [−π, π] Nhưng chuỗi hội tụ trong [α, β] theo dấu hiệu Dirichlet Điều chuỗi Fourier h(x) hội tụ khoảng đóng mà không chứa điểm gián đoạn x = 2kπ, k = 0, ±1, ±2, Tiếp theo tổng riêng SN (h)(x) bị chặn với x với N Do đó, tồn nhảy mức gần điểm gián đoạn, nhảy mức bị chặn hoàn toàn Từ bổ đề vừa chứng minh biết tổng riêng bị chặn khoảng đóng không chứa điểm gián đoạn Hơn nữa, SN (h)(0) = Sn (−x) = −Sn (x) với n, nên ta coi < x < Chúng ta sử dụng π ≤ sin x x ≤ với < x ≤ π π Bất đẳng thức bên phải phép tính bất đẳng thức bên trái thu cách giải toán tìm cực tiểu sin x x khoảng (0, π/2) Chú ý N | sin(nx) |≤| n n=1 1≤n từ điều kiện suy f (x) = 0, tức f số Do đó, ta xét với α ≤ Xét giới hạn trái giới hạn phải − hàm f (x) x0 Khi f (x+ ) (tương ứng f (x0 )) tồn tại, thỏa mãn điều kiện định nghĩa với x > x0 (x < x0 ), f gọi thỏa mãn điều Lipschitz phải (trái) Ta chứng minh bổ đề Bổ đề 2.5.3 ([7]) Cho f ∈ L1 [−π, π] hàm tuần hoàn h ∈ C1[α,β] cho [α, β] ∈ [−π, π] Khi β f (x − u)h(u) sin(λu)du, α 70 hội tụ đến λ → ∞ Chứng minh Do tính trù mật C1 [−π, π] L1 [−π, π] nên ta tìm hàm g ∈ C1 [−π, π] hội tụ tới f theo L1 −chuẩn Hay nói cách khác π ||f − g||L1 = |f (x) − g(x)|dx < −π Đặt β g(x − u)h(u) sin(λu)du I= α Tích phân phần ta cos(λu) I = −g(x − u)h(u) λ β β + α α d cos(λu) (g(x − u)h(u)) du du λ I hội tụ đến λ → ∞ g(x − u)h(u) d (g(x − u)h(u)) bị chặn du Khi β f (x − u)h(u) sin(λu)du α β ≤ [f (x − u) − g(x − u)]h(u) sin(λu)du + |I| α β ≤ max |h(u)| α≤u≤β |f (x − u) − g(x − u)|du + |I| α ≤ max |h(u)| + |I| α≤u≤β Do I dần tới λ → ∞ nên ta thu kết cần tìm Định lý 2.5.1 ([7]) Cho f thoản mãn điều kiện Lipschitz phải trái x0 Khi − f (x+ ) + f (x0 ) SN (f )(x0 ) → n→∞ Hơn nữa, f thỏa mãn điều kiện Lipschitz lân cận x0 SN (f ) hội tụ đến f lân cận x0 n → ∞ Chứng minh Giả sử x0 = ±π Ta biết SN (f )(x) = (f ∗ DN )(x) = 71 2π π f (x − u)DN (u)du −π 2π π −π DN (u)du = Do SN (f )(x) − f (x) = Đặt 2π π [f (x − u) − f (x)]DN (u)du −π − f (x+ ) + f (x0 ) ¯ f (x0 ) = , π 2π[SN (f )(x0 ) − f¯(x0 )] = [f (x0 − u) − f¯(x0 )]DN (u)du −π π π f (x0 − u)DN (u)du − = π − 0 − −π π f (x+ 0) DN (u)du + f (x+ 0) DN (u)du − f (x− 0) DN (u)du− f (x0 − u)DN (u)du −π −π f (x− 0) DN (u)du π [f (x0 − u) − f (x− )]DN (u)du + = 0 π − f (x+ 0) 0 + −π DN (u)du + f (x+ 0) f (x− 0) DN (u)du −π [f (x0 − u) − f (x+ )]DN (u)du DN (u)du − −π f (x− 0) DN (u)du = I1 + I2 + I3 + I4 + I5 + I6 Do nhân Dirichlet DN (x) hàm chẵn nên với phép đổi biến y = −u hai tích phân I5 , I6 ta f (x+ f (x− 0) 0) DN (y)dy + DN (y)dy 2 π π π π f (x+ f (x− 0) 0) = DN (y)dy − DN (y)dy 2 0 I5 + I6 = − = −I2 − I3 Do 2π[SN (f )(x0 ) − f¯(x0 )] = I1 + I4 π [f (x0 − u) − f (x− )]DN (u)du + = 72 −π [f (x0 − u) − f (x+ )]DN (u)du Với < δ < π ta có −δ 2π[SN (f )(x0 ) − f¯(x0 )] = −π + −δ δ + 0 + δ f (x0 − u) − f (x+ 0) uDN (u)du u f (x0 − u) − f (x+ 0) uDN (u)du u f (x0 − u) − f (x− 0) uDN (u)du+ u f (x0 − u) − f (x− 0) uDN (u)du u = J1 + J2 + J3 + J4 Ta biết nhân Dirichlet có phân tích DN (x) = sin(N +1/2)x sin(x/2) nên ta viết J1 sau −δ J1 = −π −δ = −π [f (x0 − u) − f (x+ )] sin(N + 1/2)u du sin(u/2) [f (x0 − u) − f (x+ )] [sin(N u) cos(u/2) sin(u/2) + cos(N u) sin(u/2)]du] −δ [f (x0 − u) − f (x+ )] = −π cos(u/2) sin(N u)du sin(u/2) −δ [f (x0 − u) − f (x+ )] cos(N u)du + −π −δ [f (x0 − u) − f (x+ )] = −π cos(u/2) χ[−π,−δ] (u) sin(N u)du sin(u/2) −δ + −π [f (x0 − u) − f (x+ )]χ[−π,−δ] (u) cos(N u)du π = π g(x0 , u) sin(N u)du + −π h(x0 , u) cos(N u)du −π = A + B g(x0 , u) = [f (x0 − u) − f (x+ )] cos(u/2) χ[−π,−δ] (u), sin(u/2) h(x0 , u) = [f (x0 − u) − f (x+ )]χ[−π,−δ] (u) 73 Do f ∈ L1 (−π, π) sin(u/2) bị chặn [−π, −δ] nên g h thuộc L1 (−π, π) Từ đó, áp dụng bổ đề ta thu A → B → N → ∞ Vì vậy, tích phân J1 → N → ∞ Tương tự, J4 → N → ∞ Xét tích phân J2 |J2 | = −δ ≤ −δ f (x0 − u) − f (x+ u 0) sin((N + 1/2)u)du u sin(u/2) f (x0 − u) − f (x+ u 0) sin((N + 1/2)u) du u sin(u/2) Do f thỏa mãn điều kiện Lipschitz |f (x)−f (x0 )| ≤ C1 |x−x0 |α |x−x0 | < δ nên |f (x0 − u) − f (x0 )| ≤ C|x0 − u − x0 |α = C1 |u|α Mà | sin((N + 1/2)u)| ≤ limu→0 u sin(u/2) = nên |u| < δ |u/ sin(u/2)| ≤ C3 Do 0 α−1 |J2 | ≤ C3 C1 |u| |u|α−1 du du ≤ C −δ −δ Tương tự J3 δ |J3 | = u f (x0 − u) − f (x+ 0) sin((N + 1/2)u)du u sin(u/2) δ δ C2 |u|α−1 du ≤ C ≤ C3 |u|α−1 du, 0 C = max{C3 C1 , C3 C2 } Vì δ |J2 | + |J3 | ≤ C ≤ = C C |u| α−1 |u|α−1 du du + C −δ 0 |u|α−1 du + −δ δ C δ |u|α−1 du |u|α−1 du −δ δ α−1 |u| =C 74 |u|α du = C α δ = C α δ α Với cho trước, ta chọn δ N0 cho C α αδ < π |J1 | + |J4 | < π với N ≤ N0 Khi ta thu |SN (f )(x0 ) − f¯(x0 )| < (π + π ) = 2π Với trường hợp x0 = ±π, lập luận tương tự ta chứng minh SN (f )(x − π) → f¯(x − π) x = Định lý 2.5.2 ([7]) Giả sử f thỏa mãn điều kiện Lipschitz bậc < α < (a, b) Khi SN (f ) hội tụ đến f khoảng đóng [c, d] ⊂ (a, b) Chứng minh Lấy δ < min{c − a, b − d} Theo chứng minh Định lý 2.5.1, ta có |J2 | + |J3 | ≤ C α δ α Ta viết lại J1 −δ f (x0 − u) J1 = −π −δ − −π f (x+ 0) 1 u sin((N + )u)du sin 2 1 u sin((N + )u)du sin 2 = K1 − K2 Do sin(u/2) λ=N+ ∈ C[−π,−δ] nên áp dụng Bổ đề 2.5.3 với α = −π, β = −δ cho tích phân K1 K1 hội tụ đến λ → ∞ Tích phân K2 hội tụ Do vậy, J1 hội tụ đến N → ∞ Tương tự J4 Từ ta suy điều phải chứng minh Bây giờ, ta chứng minh tồn tượng Gibbs điểm gián đoạn hàm trơn khúc g Xét hàm g(x) trơn khúc với bước nhảy cho g(0+ ) = lim+ g(x) = ±∞ x→0 75 g(0− ) = lim− g(x) = ±∞ x→0 Khi đó, loại điểm gián đoạn xác định hàm h(x) sau h(x) = g(x) − g(0+ ) − g(0− ) π f (x), f hàm xác định Ví dụ 2.5.1 Cho x → 0+ ta g(0+ ) − g(0− ) lim h(x) = lim g(x) − π x→0+ x→0+ g(0+ ) − g(0− ) π = g(0+ ) − π g(0+ ) + g(0− ) = lim f (x) x→0+ Tương tự, x → 0− lim− h(x) = x→0 g(0+ ) + g(0− ) Bây giờ, ta xác định h(0) h(0) = g(0+ ) + g(0− ) Khi h liên tục thỏa mãn giả thiết Định lý 2.5.1 Do SN (h) hội tụ Thực ra, hội tụ lân cận ta g xảy tượng Gibbs điểm gián đoạn Giả sử g có điểm gián đoạn nhảy x = x0 trơn khúc nơi trừ x0 Ta xác định h(x)  − g(x+  ) − g(x0 )  f (x − x0 ) x = x0  g(x) − π h(x) = −  g(x+  ) + g(x0 )  x = x0 Thì lim+ h(x) = lim− h(x) = h(x0 ) = x→x0 x→x0 (2.18) − g(x+ ) + g(x0 ) Vì vậy, h liên tục x0 dó SN (h) hội tụ lân cận x0 Do hàm g xảy tượng Gibbs x0 f (x − x0 ) 76 Nếu g(x) có số điểm gián đoạn nhảy hữu hạn x1 , , xj trơn khúc nơi trừ điểm ta xác định h  −   g(x) − [g(x+  j ) − g(xj )]f (x − xj ) x = xj  π j h(x) = −   g(x+ j ) + g(xj )   x = xj (2.19) Khi lập luận tương tự ta chứng minh tượng Gibbs cho hàm g 2.5.3 Khắc phục tượng Gibbs Để khắc phục tượng Giibbs ta sử dụng họ nhân xác định dương ( nhân Fejer ) Định lý suy từ Định lý 2.1.2 tích chập với nhân xác định dương loại bỏ hiệu ứng Gibbs Định lý 2.5.3 Cho {Kn }∞ n=1 họ nhân xác định dương m ≤ f (x) ≤ M với x ∈ (a, b) Khi đó, với > < δ < b−a , tồn số nguyên dương N cho với n > N x ∈ (a + δ, b − δ) ta có m − ≤ σn (f )(x) ≤ M + , σN (f )(x) = (f ∗ Kn )(x) Bây giờ, ta sử dụng tổng Cesàro tổng Abel để khắc phục tượng Gibbs Ta xét ví dụ sau để thấy rõ điều Ví dụ 2.5.2 Xét hàm h(x) ví dụ 2.5.1 Ta biết hàm có điểm gián đoạn xảy tượng Gibbs mô tả hình 2.2 Bây giờ, sử dụng tổng Cesàro hàm để khắc phục tượng Ta có SN (h)(x) = N sin(nx) n=1 n Do tổng Cesàro thứ N N −1 1− σN (h)(x) = n=1 77 n N sin(nx) n Hình 2.3: Đồ thị hàm h(x), tổng riêng S50 (h)(x) tổng Cesàro σ50 (h)(x) Ví dụ 2.5.3 Xét hàm f (x) tuần hoàn chu kỳ 2π, cho    π−x , ≤ x ≤ π f (x) =   −π−x , π ≤ x < Dễ dàng tính được, an = với n bn = n Do ∞ f (x) ∼ sin(nx) , n n=1 −π ≤ x ≤ π Hiện tượng Gibbs hàm f (x) khắc phục tượng Gibbs 78 Hình 2.4: Đồ thị hàm f(x), tổng riêng S50 (f )(x) tổng Cesàro σ50 (f )(x) Ví dụ 2.5.4 Xét hàm bước nhảy f xác định   −1, −π < x < f (x) =  1, ≤ x < π Ta có an = bn = π π f (x) sin(nx)dx −π = − sin(nx)dx + π −π 2(1 − (−1)n ) = nπ 79 π sin(nx)dx Do N 2(1 − (−1)n ) sin(nx) SN (f )(x) = nπ n=1 Và tổng Cesaro thứ N N −1 1− σN (f )(x) = n=1 n N 2(1 − (−1)n ) sin(nx) nπ Ta quan sát tượng Gibbs khắc phục tổng Cesàro Hình 2.5: Đồ thị hàm f , tổng riêng S50 (f )(x) tổng Cesàro σ50 (f )(x) 80 KẾT LUẬN Luận văn trình bày cách chi tiết hệ thống lý thuyết chuỗi Fourier hội tụ Nội dung luận văn bao gồm: Khai triển chuỗi Fourier hàm khả tích, tuần hoàn có chu kỳ 2π 2L dạng chuỗi phức chuỗi lượng giác Trình bày tính Nêu tính chất xét hội tụ chuỗi Fourier (hội tụ đều, hội tụ điểm hội tụ theo nghĩa bình phương khả tích) Cùng với nêu tượng Gibbs hàm số điểm gián đoạn, cách khắc phục ví dụ minh họa cụ thể kèm Đóng góp luận văn Chứng minh tồn tượng Gibbs điểm gián đoạn hàm số Trình bày chi tiết ví dụ kèm Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp (2001), Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [2] Nguyễn Mạnh Hùng (2009), Phương trình vi phân đạo hàm riêng, NXB Đại học Sư phạm, Hà Nội [3] Trần Đức Long, Nguyễn Đình Sang, Hoàng Quốc Toàn (2008), Giáo trình Giải tích, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội, Hà Nội [4] Anders Vretblad (2003), Fourier analysis and its applications, SpingerVerlag, New York [5] Elias M Stein and Rami Shakarchi (2003), Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford [6] H-T Shim (1994), On Gibbs’ phenomenon in wavelet subspaces and summability, Ph.D thesis, The University of Wisconsin-Milwaukee, Milwaukee [7] Kourosh Raeen (2008), A study of the Gibbs phenomenon in Fourier series and wavelets, M.A thesis, The University of New Mexico, Albuquerque, New Mexico [...]... Chương 2 Hội tụ của chuỗi Fourier Ta có thể xây dựng lại hàm số ban đầu từ chuỗi Fourier của nó không? Câu trả lời là rất khó do chuỗi Fourier của hàm số liên tục không nhất thiết phải hội tụ tại mỗi điểm Trong phần đầu của chương này, ta sẽ đưa ra một số khái niệm mới mà một cách gián tiếp qua chuỗi Fourier, việc xây dựng lại hàm số của ta là hoàn toàn có thể Cùng với đó, chúng ta sẽ xem xét cụ thể các. .. xét cụ thể các kiểu hội tụ của chuỗi Fourier Đặc biệt hơn, ta sẽ xét một hiện tượng thú vị về dáng điệu của tổng riêng của chuỗi Fourier tại điểm gián đoạn của hàm số được trình bày ở cuối chương này 2.1 2.1.1 Hội tụ điểm của chuỗi Fourier Tích chập Trong phần này, ta đưa ra khái niệm tích chập của hai hàm khả tích trên R, tuần hoàn chu kỳ 2π nhằm mục đích biểu diễn tổng riêng của hàm dưới dạng tích... này thông qua chuỗi Fourier 1.2 Chuỗi Fourier Trong phần này chúng ta bắt đầu nghiên cứu kỹ hơn về chuỗi Fourier Đầu tiên ta sẽ định nghĩa thế nào là một chuỗi Fourier, khai triển một hàm số thành chuỗi, Cùng với đó ta sẽ trả lời các câu hỏi độc đáo như nếu hai hàm có cùng khai triển Fourier thì chúng có nhất thiết phải bằng nhau không? 21 1.2.1 Chuỗi Fourier và khai trển hàm thành chuỗi Fourier Trước... các hệ số Fourier của u và v triệt tiêu hết Khi đó Do fˆ f = 0 tại các điểm mà f liên tục Hệ quả 1.2.1 Nếu f liên tục trên [−π, π] và fˆ(n) = 0 với mọi n ∈ Z thì f = 0 Kết hợp các kết quả trên ta được định lý về tính duy nhất của chuỗi Fourier Định lý 1.2.2 Nếu f, g là hai hàm liên tục trên [−π, π], tuần hoàn chu kỳ 2π và hệ số Fourier lần lượt là fˆ(n), gˆ(n) xác định theo (1.43) Khi đó f =g khi và. .. để có thể thiết lập lại hàm số ban đầu khi biết chuỗi Fourier của nó Trước tiên, ta sẽ đi vào khái niệm nhân tốt, từ đó dựa vào tổng riêng của chuỗi để xây dựng tổng Cesàro (hoặc tổng Abel) hội tụ đến hàm số cần xác định Định nghĩa 2.1.2 Một họ các hàm {Kn (x)}∞ n=1 xác định bởi Kn : [−π, π] → R được gọi là các nhân tốt (good kernels) nếu nó thỏa mãn các tính chất sau (a) Với mọi n ≥ 1, π 1 2π Kn (x)dx... −π và được gọi là hệ số Fourier của hàm f Định nghĩa 1.2.1 ([5]) Xét hàm f khả tích tuần hoàn trên đoạn [−π, π] Hệ số Fourier của hàm f (x) là các hệ số được xác định bởi 1 fˆ(n) = 2π Và chuỗi hàm π f (x)e−inx dx, n ∈ Z (1.43) −π ∞ fˆ(n)einx , −∞ được gọi là chuỗi Fourier của hàm f (x) 22 (1.44) Để đơn giản, ta thường ký hiệu cn thay cho fˆ(n) và ta viết ∞ cn einx , f (x) ∼ (1.45) −∞ để biểu thị chuỗi. .. (1.45) −∞ để biểu thị chuỗi Fourier của hàm f (x) Ở trên, ta đưa ra định nghĩa về hệ số Fourier và chuỗi Fourier của hàm số f (x) khả tích và tuần hoàn trên [−π, π] Bây giờ,ta sẽ xét trường hợp tổng quát, cho hàm số f (x) : [a, b] → C khả tích và tuần hoàn chu kỳ L = b − a Khi đó, bằng cách làm tương tự ta xác định hệ số Fourier của hàm f b 1 cn = L f (x)e−2πinx/L dx, a và ∞ cn e2πinx/L f (x) ∼ −∞... trong (1.13) là nghiệm đúng của bài toán? Giả sử rằng u(x, t) là tất cả các nghiệm của bài toán Do điều kiện (1.5) nên 12 chuỗi trong biểu thức (1.13) có các số hạng khả vi Khi đó thay vào biểu thức (1.4) và (1.5) ta được ∞ u(x, 0) = An sin n=1 ∞ ut (x, 0) = nπx L = f (x), nπa nπx Bn sin L L n=1 = g(x) Vậy các hàm f (x) và g(x) của ta phải có điều kiện gì để ta có các hệ số An và Bn sao cho ∞ nπx = f (x),... phát biểu định nghĩa về chuỗi Fourier theo cách khác 23 Định nghĩa 1.2.2 ([3]) Cho f (x) là hàm khả tích và tuần hoàn trên đoạn [−π, π] Khi đó, các hệ số an , bn xác định bởi π 1 π 1 bn = π an = f (x) cos(nx)dx, −π π (1.46) f (x) sin(nx)dx, n = 0, 1, 2, , −π được gọi là hệ số Fourier của hàm f Và chuỗi ∞ a0 + (an cos(nx) + bn sin(nx)), 2 n=1 (1.47) được gọi là chuỗi Fourier của hàm f Đặc biệt, nếu... Ví dụ 1.2.2 Tìm chuỗi Fourier của hàm f (x) = x với −π ≤ x ≤ π và hàm f tuần hoàn chu kỳ 2π Tương tự như ví dụ trên Nếu n = 0 thì 1 fˆ(n) = 2π π xe−inx dx = −π (−1)n+1 in Và nếu n = 0 thì 1 fˆ(0) = 2π π xdx = 0 −π Vậy ∞ f (x) ∼ n=0 1.2.2 sin(nx) (−1)n+1 inx e =2 (−1)n+1 in n n=1 Tính duy nhất của chuỗi Fourier Trước hết, ta định nghĩa thế nào là tổng riêng thứ N của chuỗi Fourier của hàm f 25 Định ... 17 Chuỗi Fourier 21 1.2.1 Chuỗi Fourier khai hàm thành chuỗi Fourier 22 1.2.2 Tính chuỗi Fourier 25 Hội tụ chuỗi Fourier 2.1 30 Hội tụ điểm chuỗi Fourier. .. tiêu chí cho hội tụ điểm chuỗi Fourier, ta nghiên cứu hội tụ theo nghĩa bình phương khả tích trước Kiểu hội tụ nêu phần sau, trước ta trình bày loại hội tụ khác chuỗi Fourier - hội tụ theo nghĩa... điểm liên tục x f ta có Ar (f )(x) →r→1 f (x) (ii) Hơn nữa, f liên tục [−π, π] Ar (f )(x) hội tụ đến f r → Trong trình bày chưa nhắc tới hội tụ điểm chuỗi Fourier, mà nói đến hội tụ chuỗi Fourier