Ứng dụng chuỗi fourier trong phương trình truyền nhiệt và truyền sóng

ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ ĐÔNG ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER TRONG PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VÀ TRUYỀN SÓNG LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Hà Nội - 2014 ĐẠI HỌC QUỐC GIA HÀ NỘI TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN - - - - - - - - - o0o - - - - - - - - - NGUYỄN THỊ ĐÔNG ỨNG DỤNG CHUỖI FOURIER TRONG PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT VÀ TRUYỀN SÓNG Chuyên ngành: TOÁN GIẢI TÍCH Mã số: 60460102 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS TS NGUYỄN MINH TUẤN Hà Nội - 2014 Mục lục Sơ lược phương trình đạo hàm riêng trường hợp hai biến 1.1 Mở đầu phương trình đạo hàm riêng 1.2 Phương trình truyền sóng 1.2.1 Giới thiệu phương trình truyền sóng 1.2.2 Công thức biểu diễn nghiệm toán Cauchy phương trình truyền sóng 1.3 Phương trình truyền nhiệt 1.3.1 Giới thiệu phương trình truyền nhiệt 1.3.2 Công thức biểu diễn nghiệm toán Cauchy phương trình truyền nhiệt 1.4 Phương trình Laplace 1.4.1 Giới thiệu phương trình Laplace 1.4.2 Công thức biểu diễn nghiệm cho phương trình Laplace hình tròn đơn vị Chuỗi Fourier tính chất 2.1 Chuỗi Fourier khai triển hàm thành chuỗi Fourier 2.2 Tính hội tụ chuỗi Fourier 2.3 Sự hội tụ điểm chuỗi Fourier 2.3.1 Tích chập 2.3.2 Nhân tốt, nhân Dirichlet, nhân Fejer nhân Poisson 2.3.3 Sự hội tụ chuỗi Fourier theo nghĩa bình phương khả tích 2.3.4 Nguyên lý địa phương tượng Gibbs 14 14 15 17 17 18 23 23 29 35 35 35 44 47 Ứng dụng chuỗi Fourier vào phương trình truyền sóng truyền nhiệt 3.1 Phương trình truyền sóng 3.1.1 Bài toán dao động sợi dây với điều kiện biên Dirichlet 3.1.2 Bài toán dao động sợi dây với điều kiện biên Neumann 3.2 Phương trình truyền nhiệt 3.2.1 Bài toán Dirichlet đĩa đơn vị 5 7 53 53 53 67 71 71 3.2.2 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên Dirichlet hữu hạn 72 Bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên Neumann hữu hạn 83 Mở đầu Giải tích Fourier hướng nghiên cứu quan trọng Toán học nói chung ngành Giải tích nói riêng Lý thuyết khởi đầu từ yêu cầu thực tế có nhiều ứng dụng lĩnh vực khác như: Vật lý, Cơ học, Số học, Xử lý tín hiệu, Mật mã, Âm học, Hải dương học, Quang học, Hình học Hiện giải tích Fourier lĩnh vực lớn Toán học nhiều người quan tâm Luận văn đề cập đến lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng việc giải lớp phương trình đạo hàm riêng cổ điển, cụ thể phương trình truyền nhiệt phương trình truyền sóng Bố cục luận văn gồm phần mở đầu, ba chương, phần kết luận danh mục tài liệu tham khảo Chương nhắc lại kiến thức mở đầu phương trình vi phân đạo hàm riêng Giới thiệu phương trình truyền nhiệt, truyền sóng phương trình Laplace, phương trình tiêu biểu cho lớp phương trình đạo hàm riêng cổ điển thường gặp thực tế Trình bày phương pháp tách biến để tìm nghiệm phương trình đó, từ dẫn đến vấn đề mở đầu việc hình thành nghiên cứu giải tích Fourier Chương hai trình bày lý thuyết chuỗi Fourier bao gồm khái niệm chuỗi đưa số định lý quan trọng liên quan đến hội tụ hội tụ điểm chuỗi Fourier Phần đầu, ta nghiên cứu hội tụ sở lí thuyết chuỗi hàm tính chất chuỗi Fourier Tiếp theo, ta giới thiệu khái niệm nhân Dirichlet, nhân Fejer, nhân Poisson tính chất nhân để nghiên cứu hội tụ điểm chuỗi theo nghĩa thông thường, Casero, Abel, bình phương khả tích Phần cuối chương ta nghiên cứu dáng điệu chuỗi Fourier điểm gián đoạn gọi tượng Gibbs Chương ba trình bày ứng dụng chuỗi Fourier vào việc tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt, truyền sóng đặt điều kiện biên điều kiện ban đầu cụ thể Bản luận văn thực hướng dẫn PGS TS Nguyễn Minh Tuấn Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy, người dành nhiều công sức thời gian để hướng dẫn, kiểm tra, giúp đỡ việc hoàn thành luận văn Tôi xin gửi lời cảm ơn đến lãnh đạo thầy cô khoa Toán - Cơ Tin học, trường Đại học Khoa học Tự nhiên Hà Nội kiến thức điều tốt đẹp mang lại cho thời gian học tập trường Tôi xin cảm ơn tới phòng Sau Đại học điều kiện thuận lợi việc hoàn thành thủ tục học tập bảo vệ luận văn Cảm ơn thầy bạn seminar Toán Giải Tích động viên ý kiến trao đổi quí báu thân thời gian qua Cuối muốn tỏ lòng biết ơn gia đình, người thân chỗ dựa tinh thần vật chất cho sống học tập Mặc dù có nhiều cố gắng luận văn khó tránh khỏi thiếu sót Vì vậy, mong nhận góp ý quý thầy, cô bạn Hà Nội, tháng 12 năm 2013 Chương Sơ lược phương trình đạo hàm riêng trường hợp hai biến 1.1 Mở đầu phương trình đạo hàm riêng Trong phần này, luận văn trình bày lại cách ngắn gọn kiến thức mở đầu phương trình vi phân đạo hàm riêng định nghĩa, phân loại đưa phương pháp giải cho số loại phương trình tiêu biểu Phương trình vi phân đạo hàm riêng hay ngắn gọn phương trình đạo hàm riêng xuất toán thực tế khoa học kỹ thuật, vật lý học chuyển động sóng âm thanh, xạ điện từ, chuyển động dòng chảy nói chung tượng biến đổi không gian thời gian Nhiều tượng thực tế quy phương trình hay hệ nhiều phương trình đạo hàm riêng khác nhau.Về mặt toán học, phương trình đạo hàm riêng định nghĩa sau ( [1]) Định nghĩa 1.1 Một phương trình liên hệ hàm ẩn u(x1 , x2 xn ), biến độc lập x1 , x2 , , xn đạo hàm riêng gọi phương trình vi phân đạo hàm riêng Cụ thể, có dạng F x1 , x2 , , xn , u, ∂u ∂u ∂k u , , , , k ∂x1 ∂xn ∂ x1 , , ∂ kn xn = 0, (1.1) hàm F hàm đối số Cấp cao đạo hàm riêng u có mặt phương trình gọi cấp phương trình Chẳng hạn, phương trình cấp hàm hai biến có dạng F x, y, u, ∂u ∂u , ∂x ∂y = Phương trình cấp hai hàm biến có dạng F x, y, u, ∂u ∂u ∂ u ∂ u ∂ u , , , , ∂x ∂y ∂x2 ∂x∂y ∂y = Định nghĩa 1.2 Phương trình đạo hàm riêng dạng (1.1) gọi tuyến tính tuyến tính ẩn hàm tất đạo hàm riêng Ví dụ, phương trình a(x, y) ∂2u ∂2u ∂2u ∂u + 2b(x, y) + c(x, y) + d(x, y) 2 ∂x ∂x∂y ∂y ∂x ∂u + f (x, y)u = g(x, y), +e(x, y) ∂y phương trình tuyến tính cấp hai trường hợp hàm hai biến số Luận văn tập trung nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, cụ thể phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt R2 , R2 Đối với phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp hai, phân loại chúng sau: Xét phương trình tuyến tính cấp hai với hệ số thực trường hợp hai biến a(x, y)uxx + 2b(x, y)uxy + c(x, y)uyy + F (x, y, u, ux, uy ) = 0, (1.2) điểm (x0 , y0 ) cố định R2 Định nghĩa 1.3 Phương trình (1.2) gọi a) Thuộc loại ellip điểm b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0)c(x0 , y0 ) < b) Thuộc loại hyperbol điểm b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0)c(x0 , y0 ) > c) Thuộc loại parabol điểm b2 (x0 , y0 ) − a(x0 , y0)c(x0 , y0 ) = Nếu điểm miền G ⊂ R2 phương trình (1.2) thuộc loại ta nói phương trình thuộc loại miền G Về sau ta thấy Phương trình Laplace thuộc loại phương trình ellip Phương trình truyền sóng thuộc loại phương trình hyperbol Phương trình truyền nhiệt thuộc loại phương trình parabol Đây phương trình tiêu biểu cho loại phương trình nêu Sau ta giới thiệu hai loại phương trình chủ yếu quan tâm luận văn, phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt, loại phương trình đạo hàm riêng cổ điển thường gặp thực tế lý thuyết 1.2 1.2.1 Phương trình truyền sóng Giới thiệu phương trình truyền sóng Đầu tiên, ta xét hai ví dụ sau tượng lan truyền sóng không gian, cụ thể dao động sợi dây (trường hợp chiều) dao động màng (trường hợp hai chiều), tương ứng với ta có dạng phương trình truyền sóng a Phương trình dao động dây Xét sợi dây căng thẳng theo chiều trục Ox Bằng cách đó, ta làm sợi dây dao động xem xét quy luật dao động sợi dây Ta xét dao động ngang sợi dây, tức giả thiết dao động, phần tử vật chất sợi dây chuyển động thẳng góc với trục Ox Độ lệch phần tử vật chất so với vị trí cân ký hiệu u Rõ ràng u hàm phụ thuộc thời gian hoành độ phần tử vật chất ấy, tức u = u(x, t) Ta biết rằng, với số giả thiết lý tưởng phương trình dao động dây có dạng ρ(x) ∂2u ∂2u = T + p(x, t), ∂t2 ∂x2 (1.3) ρ(x) tỉ trọng dài sợi dây (mật độ phân bố vật chất theo chiều dài), T lực căng sợi dây định luật Hooke T số, p(x, t) ngoại lực tác động vào dây Nếu sợi dây đồng chất, ngoại lực tác động ρ = const p(x, t) = Khi phương trình (1.3) viết lại dạng ∂2u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 (1.4) a = T ρ Phương trình (1.4) có vô số nghiệm Vì vậy, để xác định nghiệm ta cần ấn định thêm điều kiện ban đầu điều kiện biên b Phương trình dao động màng Xét màng mỏng, cân nằm mặt phẳng xOy Bằng cách ta làm màng dao động xem xét quy luật dao động màng Ta giả thiết màng dao động ngang độ lệch điểm M(x, y) mặt phẳng xOy màng ký hiệu u Rõ ràng u = u(x, y, t) Tương tự ví dụ phần a, với giả thiết lý tưởng, ta thu phương trình dao động màng ∂2u ∂2u ∂2u ρ(x, y) = T ( + ) + p(x, y, t), ∂t ∂x ∂y (1.5) ρ(x, y) tỉ trọng màng (mật độ phân bố vật chất theo diện tích mặt), T suất căng màng p(x, y, t) ngoại lực tác dụng Nếu màng đồng chất, ngoại lực tác động ρ = const , p(x, y, t) = Khi phương trình (1.5) viết lại dạng ∂2u ∂2u ∂ u = a ( + ), ∂t2 ∂x2 ∂y a = (1.6) T ρ Cũng phương trình (1.4), phương trình (1.6) có vô số nghiệm, nên để xác định quy luật dao động màng ta cần bổ sung điều kiện điều kiện biên, điều kiện ban đầu Nhiều quy luật vật lý, học đưa đến phương trình tương tự (1.4) (1.6) Chẳng hạn, quy luật chuyển động dọc đàn hồi đồng chất biểu diễn (1.4), u(x, t) độ lệch phần tử dao động so với vị trí cân x, x hoành độ phần tử Quy luật dao động nhỏ chất khí lý tưởng với số giả thiết vật lý xác định tượng truyền âm biểu diễn phương trình ∂2u ∂2u ∂2u ∂ u = a ( + + ), ∂t2 ∂x2 ∂y ∂z (1.7) (x, y, z) tọa độ phần tử khí, u(x, y, z, t) độ lệch áp suất khí điểm (x, y, z) thời điểm t, so với áp suất lúc bình thường (x, y, z) Ta có, Cn xác định qua công thức (3.58) L Cn = L f (x) sin nπ xdx L Áp dụng tích phân phần ta nπ nπ Cn = f (x) cos x L L L L L L − nπ nπ f (x) cos xdx = L nπ L ′ f ′ (x) cos nπ xdx], L f (0) = f (L) = Từ ta có Cn = nπ L f ′ (x) cos nπ c xdx] = αn , L n αn hệ số Fourier khai triển Fourier hàm f ′ (x) khai triển chẵn theo {cos nπ L x} ′ Do hàm f (x) liên tục khúc [0, L] nên theo đẳng thức Paseval ta có chuỗi ∞ |αn |2 , n=1 chuỗi hội tụ Do chuỗi ∞ n=1 |αn | , n hội tụ, theo bất đẳng thức Cauchy |αn | 1 ≤ + |αn |2 n n2 Từ ta hội tụ chuỗi (3.57) Xét chuỗi ∂2u ≈ ∂x2 ∂u ≈ ∂t ∞ n=1 ∞ n=1 ∂ un π2 = − ∂x2 L2 π a2 ∂un =− ∂t L ∞ Cn n2 sin nπa nπ x × e−( L ) t L Cn n2 sin nπa nπ x × e−( L ) t L n=1 ∞ n=1 Ta lấy số τ > tùy ý Khi đó, với t ≥ τ > 0, ta có |Cn n2 sin Ta ý chuỗi nπa nπa nπ x × e−( L ) t | ≤ |Cn |n2 e−( L ) τ L ∞ np e−n A , n=1 77 A > 0, (3.62) hội tụ với số p theo tiêu chuẩn D’Alembert, kết hợp với tính hội tụ chuỗi ∞ n=1 |Cn | nên ta thu hội tụ chuỗi (3.62) Như định lý chứng minh Ví dụ 3.4 Tìm nghiệm toán ∂u ∂2u = < x < π, t > 0, ∂t ∂t u(0, t) = u(π, t) = 0, u(x, 0) = f (x) =  x < x ≤ π2 , π − x π < x < π Do f (x) hàm lẻ nên hệ số Fourier f (x) bn = π = π π f (x) sin nxdx π π f (x) sin nxdx + f (x) sin nxdx π/2 π/2 π/2 2 + x cos nx sin nxdx − (π − x) cos nx nπ nπ nπ nπ nπ nπ nπ = − cos + sin − cos + sin n n π n n π nπ = sin n π =− π π/2 − nπ π cos nxdx π/2 Vậy toán có nghiệm u(x, t) = ∞ n=1 nπ −4n2 t sin e sin nx n π Bài toán 3.5 Bài toán không Tìm nghiệm phương trình truyền nhiệt không ∂2u ∂u = a2 + f (x, t) ∂t ∂x < x < L, < t < T, (3.63) thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = 0, (3.64) u(0, t) = 0, (3.65) điều kiện biên 78 (3.66) u(L, t) = Trước tiên, ta đưa định lý nghiệm toán (3.63), (3.64), (3.65), (3.66) Định lý 3.9 Bài toán 3.5 có nghiệm nghiệm nghiệm Chứng minh Cách chứng minh tương tự cách chứng minh Định lý 3.7, cụ thể Giả sử u1 (x, t), u2 (x, t) hai nghiệm toán ∂u 2∂ u =a + f (x, t), < x < L, < t < T, ∂t ∂x2 u(0, t) = u(L, t) = 0, t > 0, u(x, 0) = 0, < x < L Đặt v(x, t) := u1 (x, t) − u2 (x, t) Rõ ràng, v(x, t) nghiệm toán ∂v ∂2v = a2 , < x < L, ≤ t ≤ T, ∂t ∂x v(0, t) = v(L, t) = 0, t > 0, v(x, 0) = 0, < x < L Lặp lại chứng minh Định lý 3.7 ta thu kết Ta tìm nghiệm không tầm thường toán dạng tách biến ∞ u(x, t) = Tn (t) sin n=1 nπ x L (3.67) Ta phân tích hàm f (x, t) thành chuỗi Fourier theo hệ hàm sin ∞ f (x, t) = fn (t) sin k=1 fn (t) = L L f (x, t) sin nπ x, L (3.68) nπ xdx L (3.69) Đặt (3.67) vào phương trình (3.63) ta thu ∞ n=1 ′ Tn (t) + nπa L Tn (t) − fn (t) sin 79 nπ x = L Từ nπa L ′ Tn (t) + (3.70) Tn (t) = fn (t), n = 1, 2, Từ điều kiện ban đầu (3.64), ta có ∞ u(x, 0) = Tn (0) sin n=1 nπ x = L Do (3.71) Tn (0) = Kết hợp (3.71) với (3.70) ta nhận toán giá trị ban đầu phương tình vi phân cấp ẩn hàm Tn (t)  T ′ (t) + nπa Tn (t) = fn (t), n T (0) = n L Bài toán giá trị ban đầu nghiệm có dạng t Tn (t) = e−( nπa (t−τ ) L ) (3.72) fn (τ )dτ Kết hợp, (3.72) với (3.67) ta thu nghiệm hình thức toán dạng chuỗi u(x, t) = ∞ n=1 nπ x= Tn (t) sin L ∞ t n=1 e−( nπa (t−τ ) L ) fn (τ )dτ × sin nπ x L (3.73) Bây ta tìm điều kiện hàm f (x) để hàm u(x, t) xác định chuỗi (3.73) thực nghiệm toán Các điều kiện liệt kê sau: Để hàm u(x, t) xác định chuỗi (3.73) thỏa mãn điều kiện ban đầu điều kiện biên (3.64), (3.65), (3.66) ta cần hội tụ chuỗi (3.73) ∞ Tn (t) sin n=1 nπ x L Để hàm u(x, t) xác định chuỗi (3.73) thỏa mãn phương trình (3.63), ta cần chuỗi (3.73) đạo hàm hạng thức theo t lần theo x hai lần, tức cần chuỗi sau hội tụ ∂u ≈ ∂t ∞ n=1 ∂un = ∂t ∞ n=1 80 Tn ′′ (t) sin nπ x, L (3.74) ∂2u ≈ ∂x2 ∞ n=1 n2 π ∂ un = − ∂x2 L2 ∞ Tn (t) sin n=1 nπ x L (3.75) Qua phân tích trên, ta đưa định lý sau điều kiện hàm f để chuỗi (3.73) nghiệm toán Định lý 3.10 Giả sử f (x, t) hàm liên tục có đạo hàm riêng cấp liên tục khúc f (x, t) thỏa mãn f (0, t) = f (L, t), chuỗi (3.73) thực nghiệm toán Chứng minh Xét chuỗi (3.73) ∞ Tn (t) sin n=1 Ta thấy |Tn (t) sin nπ x L nπ x| ≤ |Tn (t)| L Tuy nhiên, theo (3.72) t Tn (t) = e−( nπa (t−τ ) L ) fn (τ )dτ, nên ta nhận t |Tn (t)| ≤ T |fn (τ )|dτ ≤ |fn (τ )|dτ, ta xét khoảng thời gian hữu hạn ≤ t ≤ T Theo (3.69) ta có fn (t) = L L f (x, t) sin nπ xdx L Từ đó, tích phân phần ta có nπ L L fn (t) = −f (x, t) cos x + L nπ L nπ L ∂f (x, t) cos xdx = ∂x L nπ L f (0, t) = f (L, t) = 0, c fn (t) = n L nπ c ∂f (x, t) cos xdx = αn , ∂x L n 81 nπ ∂f (x, t) cos xdx, ∂x L αn hệ số Fourier khai triển Fourier hàm triển chẵn Từ ta nhận |fn (τ )|dτ ≤ t T t |Tn (t)| ≤ |fn (τ )|dτ ≤ 0 ∂f ∂x (x, t) dạng khai c Tc | αn | ≤ |αn | n n Tương tự đánh giá trên, αn hệ số Fourier khai triển Fourier hàm ∂f ∂x (x, t) nên ta có chuỗi ∞ n=1 Tc |αn |, n hội tụ, theo Định lý Weiertrass ta thu hội tụ chuỗi (3.73) Tiếp tục, ta xét hai chuỗi (3.74) ∂u ≈ ∂t ∞ n=1 ∂un = ∂t Ta thấy, |Tn ′′ (t) sin ∞ Tn ′′ (t) sin n=1 nπ x L nπ x| ≤ |Tn ′ (t)|, L nhiên theo (3.70) nπa L ′ Tn (t) + Tn (t) = fn (t), nên ta có nπa Tn (t) = − L ′ nπa Tn (t) + fn (t) = fn (t) − L t e−( nπa (t−τ ) L ) fn (τ )dτ, suy nπa L ′ |Tn (t)| ≤ |fn (t)| + t ≤|fn (t)| + cn2 e−( t e−( nπa (t−τ ) L ) fn (τ ) dτ nπa (t−τ ) L ) ≤|fn (t)| + cT n2 |fn (t)|e−n A T |fn (τ )dτ | ≤ |fn (t)| + cn2 −n A = |fn (t)| + cT |fn (t)|(n e Ta để ý rằng, hội tụ chuỗi ∞ n=1 |fn (t)| 82 ) e−n A |fn (τ )|dτ ta trên, mặc khác theo dấu hiệu D’Alembert chuỗi ∞ np e−n A , A > 0, n=1 hội tụ với số p Từ ta nhận hội tụ chuỗi ∞ n=1 |Tn ′ (t)|, hay hội tụ chuỗi (3.74) ta Cuối cùng, ta xét chuỗi (3.75) ∂2u ≈ ∂x2 ∞ n=1 ∂ un n2 π = − ∂x2 L2 ∞ Tn (t) sin n=1 nπ x L Tương tự đánh giá hội tụ chuỗi (3.74), ta có n2 π nπ | − Tn (t) sin x| ≤ cn2 |Tn (t)| = cn2 L L ≤ cn2 T |fn (t)|e−n A t e−( nπa (t−τ ) L ) |fn (τ )|dτ = cT |fn (t)|n2 e−n A Từ ta nhận hội tụ chuỗi (3.75) theo Định lý Weiertrass Như định lý chứng minh 3.2.3 Bài toán truyền nhiệt với điều kiện biên Neumann hữu hạn Bài toán 3.6 Xét phương trình truyền nhiệt ∂u ∂2u = a2 ∂t ∂x < x < L, t > 0, (3.76) thỏa mãn điều kiện ban đầu u(x, 0) = f (x) < x < L, (3.77) điều kiện biên ∂u ∂u (0, t) = 0, (L, t) = 0, ∂x ∂x t > Trước tiên, ta đưa định lý nghiệm toán 3.6 Định lý 3.11 Bài toán 3.6 có nghiệm nghiệm Chứng minh Chứng minh hoàn toàn tương tự Định lý 3.7 83 (3.78) Bây giờ, ta tìm nghiệm không tầm thường toán dạng tách biến (3.79) u(x, t) = X(x)T (t) Thay (3.79) vào phương trình (3.76), giải tương tự (3.1) thu X ′′ (x) + λX(x) = 0, T ′ (t) + λT (t) = 0, λ số thực Từ điều kiện biên (3.78) ta có ∂u ∂u (0, t) = X ′ (x)T (t) = 0, (L, t) = X ′ (L)T (t) = ∂x ∂x ∀t > 0, dẫn đến X ′ (x) = 0, X ′ (L) = Xét toán giá trị riêng  X ′′(x) + λX(x) = 0, X ′(0) = X ′ (L) = (3.80) Ta phân biệt ba trường hợp sau λ Nếu λ < phương trình vi phân có nghiệm √ X(x) = Ae −λx + Be− √ −λx , A, B số Điều kiện ban đầu (3.77) cho ta √ √ X ′ (0) = A −λ − B −λ = ⇒ A = B, √ √ √ √ X ′ (L) = A −λe −λL − A −λe− −λL = Khi đó, A = B = nên phương trình có nghiệm tầm thường u(x, t) = Nếu λ = phương trình vi phân có nghiệm X(x) = Ax + B, A, B số, thỏa mãn điều kiện biên X ′ (0) = A = 0, X ′ (L) = A = Từ phương trình có nghiệm X(x) = B Với λ = phương trình T ′ (t) + λT (t) = có nghiệm T (t) = C, C số khác 84 Như vậy, toán có nghiệm u(x, t) = a0 , với a0 = B.C Nếu λ > phương trình vi phân có nghiệm √ √ X(x) = A cos λx + B sin λx, A, B số bất kì, thỏa mãn điều kiện biên √ √ X ′ (0) = −A λ sin + B λ cos = ⇒ B = 0, √ √ X ′ (L) = −A λ sin λL = √ ⇔ λL = nπ, n = 1, 2, 3, n2 π , n = 1, 2, 3, L2 ⇔ λn = Vậy toán giá trị riêng có nghiệm không tầm thường Xn (x) = An cos Với λn = n2 π L2 nπ x, L n = 1, 2, 3, = phương trình T ′ (t) + λT (t) có nghiệm Tn (t) = Cn e− (nπa)2 t L2 , n = 1, 2, 3, Do nghiệm không tầm thường phương trình nhiệt với điều kiện biên Neumann có dạng un (x, t) = an e− (nπa)2 t L2 cos nπ x, L n = 1, 2, 3, (3.81) an = An Cn số tùy ý Bằng nguyên lý chồng chất ta thu nghiệm hình thức dạng chuỗi sau ∞ u(x, t) = a0 + an e− (nπa)2 t L2 cos n=1 nπ x L (3.82) Ta xác hệ số an cho hàm u(x, t) cho chuỗi (3.82) nghiệm toán Trước tiên, nghiệm toán thỏa mãn điều kiện ban đầu (3.77) nên u(x, 0) = a0 + ∞ an cos n=1 nπ x = f (x), L với an hệ số Fourier hàm f khai triển theo hệ {cos nπ L x} a0 = L L f (x)dx, an = L L cos 85 nπ xdx, L n = 1, 2, (3.83) Tương tự đánh giá trên, ta thấy hàm u(x, t) xác định chuỗi (3.82) với hệ số xác định (3.83) nghiệm toán ta chuỗi sau hội tụ Chuỗi (3.82) u(x, t) = a0 + ∞ an e− (nπa)2 t L2 nπ x L f (x) cos n=1 chuỗi ∂u ≈ ∂t ∞ n=1 ∂u ≈ ∂x ∂2u ≈ ∂x2 ∂un n2 π =− ∂t L ∞ n=1 ∞ n=1 nπ ∂un =− ∂x L ∞ an e− (nπa)2 t L2 cos n=1 ∞ an e− (nπa)2 t L2 sin n=1 ∂ un n2 π = − ∂x2 L2 ∞ an e− (nπa)2 t L2 nπ x, L nπ x, L cos n=1 nπ x, L (3.84) (3.85) (3.86) hội tụ Qua phân tích trên, ta đưa định lý sau Định lý 3.12 Giả sử hàm f (x) hàm liên tục, có đạo hàm riêng liên tục khúc [0, L] thỏa mãn f (0) = f (L) = 0, chuỗi (3.82) cho ta nghiệm Bài toán 3.6 Để chứng minh định lý, ta cần hội tụ chuỗi (3.82), (3.84), (3.85), (3.86) Điều chứng minh Định lý 3.8 Bài toán 3.4 Ví dụ 3.5 Tìm nghiệm toán  ∂u   = ∂∂xu2  ∂t  ∂u Ta khai triển (0, t) ∂x    u(x, 0) = ∂u ∂x (π, t) =0 = − sin x − sin x = a0 + a0 = < x < π, t > 0, ∞ t > 0, < x < π an cos nx n=1 π (1 − sin x)dx = π − 2, 86 π (1 − sin x) cos nxdx an = π π π = cos(nx)dx − sin x cos(nx)dx π 0 π [sin(n + 1)xdx − sin(1 − n)x]dx 0− = π π π =− sin(n + 1)xdx + sin(n − 1)xdx π 0 Ta có π sin(n + 1)xdx = − π sin(n − 1)xdx = Suy an = Bài toán có nghiệm  0 1 2n π n2 −1 π−2 + u(x, t) = (−1)n−1 − , n+1  − n−1 0 n = n = 1, (−1)n+1 − ∞ n=2 n > 1, (−1)n−1 − n > 2n (−1)n+1 − e−4n t cos nx πn −1 Vì (−1)n+1 − = nên π−2 u(x, t) = −  0 −2 n lẻ, n chẵn ∞ k=1 π(4k − 1) e−16k t cos 2kx Bây ta xét số ví dụ mà điều kiện ban đầu bị thay đổi; chẳng hạn xét mỏng có chiều dài 2, nhiệt độ điểm đầu điểm cuối số khác Ví dụ 3.6 ∂u ∂2u (x, t) = (x, t) < x < 2, t > 0, ∂t ∂x u(0, t) = 2, u(2, t) = 5, t > 0, u(x, 0) = − x2 , < x < 87 Ta tìm nghiệm toán dạng u(x, t) = v(x, t)+ϕ(x), ϕ(x) chọn cho v(x, t) nghiệm toán với điều kiện biên Thay vào phương trình đầu ta có ∂2v ∂v (x, t) + ϕ′′ (x) = (x, t), ∂x ∂t u(0, t) = v(0, t) + ϕ(0) = 2, < x < 2, t > 0, u(2, t) = v(2, t) + ϕ(2) = Từ đó, ta tìm hàm ϕ(x) thỏa mãn ϕ(x)′′ = 0, ϕ(0) = 2, ϕ(2) = Dễ dàng tìm ϕ(x) = 23 x + Khi đó, toán ban đầu tương đương với toán ∂2v ∂v (x, t) = (x, t) < x < 2, t > 0, ∂x ∂t v(0, t) = 0, v(2, t) = t > 0, 3 v(x, 0) = − x2 − x − = −x2 − x − 1, 2 < x < Bài toán có nghiệm ∞ v(x, t) = bn e−n n=1 π t/4 sin nπ x Từ điều kiện ban đầu ta tìm bn = 2 nπ 16(−1)n − 16(1 − (−1)n ) (−x2 − x − 1) sin xdx = + 2 nπ n3 π Như vậy, ta xác định u(x, t) = x + + ∞ n=1 16(−1)n − 16(1 − (−1)n ) −n2 π t/4 nπ + e sin x 3 nπ n π Tuy nhiên chuỗi u(x, t) xác định không thực nghiệm toán ta thấy với toán theo ẩn v(x, t) không thỏa mãn điều kiện biên v(0, 0) = v(2, 0) hay nói cách khác hai điểm đầu mút x = x = xảy tượng Gibbs Nhận xét 3.1 Khi giải toán biên hỗn hợp phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt (không thiết nhất) phương pháp tách biến, việc sử dụng điều kiện biên quan trọng Trong trường hợp điều kiện biên bốn trường hợp sau 88 u(0, t) = a(t), u(L, t) = b(t) (Dirichlet), u(0, t) = a(t), ux (L, t) = b(t) (Dirichlet - Neumann), ux (0, t) = a(t), u(L, t) = b(t) (Neumann - Dirichlet), ux (0, t) = a(t), ux (L, t) = b(t) (Neumann) ta cần khử Cụ thể ta cần tìm hàm v(x, t) để ω(x, t) = u(x, t) − v(x, t) nghiệm toán biên với điều kiện biên Hàm v(x, t) tương ứng trường hợp có dạng v(x, t) = x L−x L a(t) + L b(t) v(x, t) = (L−x)2 L2 a(t) (Dirichlet), + xb(t) (Dirichlet - Neumann), v(x, t) = (x − L)a(t) + Lx b(t) (Neumann - Dirichlet), 2 x v(x, t) = − (x−L) 2L a(t) + 2L b(t) (Neumann) 89 Kết luận Luận văn trình bày cách chi tiết hệ thống lý thuyết chuỗi Fourier ứng dụng vào việc giải phương trình truyền sóng truyền nhiệt Nội dung luận văn bao gồm: Khai triển chuỗi Fourier hàm khả tích, tuần hoàn có chu kì 2π 2L dạng thực phức Đánh giá hội tụ chuỗi Fourier nêu số tính chất Áp dụng kết chuỗi Fourier để tìm nghiệm phương trình truyền sóng truyền nhiệt phương pháp tách biến, cụ thể: xây dựng công thức nghiệm toán dạng tách biến, từ đưa điều kiện để nghiệm toán trường hợp xác định Các trường hợp có ví dụ minh họa kèm Đóng góp luận văn Đưa định lý điều kiện để tồn nghiệm chứng minh chi tiết toán truyền sóng, truyền nhiệt Trình bày chi tiết ví dụ kèm Kết luận văn ta thu ứng dụng chuỗi Fourier vào việc giải phương trình truyền sóng truyền nhiệt điều kiện xác định Đây lớp phương trình đạo hàm riêng cổ điển tiêu biểu thường gặp có nhiều ứng dụng thực tế 90 Tài liệu tham khảo [1] Nguyễn Thừa Hợp, Giáo trình phương trình đạo hàm riêng, NXB Đại học Quốc gia Hà nội, (2001) [2] Đinh Thế Lục, Phạm Huy Điển, Tạ Duy Phượng Giải tích hàm nhiều biến, NXB Đại học Quốc gia Hà nội [3] Elias M.Stein and Rami Shakarchi, Fourier analysis an introduction, Princeton university Press, Princeton and Oxford (2003) [4] Anders Vretblad, Fourier analysis and its applications, Springer - Verlag NewYork, (2003) [5] Walter A.Strauss, Partial differential equations, John Wiley and Sons Inc, America, (1992) [6] Fritz John, Partial differential equations, Springer - Verlag NewYork, (1982) [7] Yehuda Pinchover and Jacob Rubinstein, An introduction to Partial differential equations, Cambridge university Press, NewYork, (2005) 91 [...]...Những phương trình (1.4), (1.6), (1.7) thường được gọi là phương trình truyền sóng Hệ số a trong các phương trình ấy là vận tốc truyền sóng Theo định nghĩa về phân loại phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp 2 thì phương trình truyền sóng thuộc loại phương trình parabol Trong phần tiếp theo ta sẽ đi xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng 1.2.2 Công thức biểu diễn... cho phương trình truyền sóng Trong phần tiếp theo ta sẽ xét tới trạng thái ổn định của phương trình truyền nhiệt, từ đó dẫn đến phương trình Laplace khi nhiệt độ của môi trường ổn định 1.4 1.4.1 Phương trình Laplace Giới thiệu về phương trình Laplace Xét phương trình truyền nhiệt trong môi trường đẳng hướng và không có nguồn nhiệt 2 ∂2u ∂u 2 ∂ u = a ( 2 + 2 ) ∂t ∂x ∂y 17 Giả sử sau một thời gian nhiệt. .. trường xung quanh Cũng tương tự như phương trình dao động của dây và của màng, muốn xác định quy luật truyền nhiệt trong vật thể thì ngoài phương trình (1.21) ta cần bổ sung thêm các điều kiện đầu tại t = 0 hoặc các điều kiện biên Theo phân loại, phương trình nhiệt thuộc loại phương trình parabol Dưới đây ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền nhiệt trong các điều kiện biên, điều kiện... n=1 nπ nπa Bn sin x = g(x) L L Đây chính là câu hỏi mở đầu cho việc nghiên cứu giải tích Fourier, từ đó đưa đến các ứng dụng của giải tích Fourier trong việc giải các lớp phương trình đạo hàm riêng khác nhau, chẳng hạn như phương trình truyền nhiệt và phương trình truyền sóng mà luận văn sẽ tập trung nghiên cứu Trong các phần tiếp theo của luận văn ta sẽ đưa ra các điều kiện chính xác để bài toán trên... mπ x L (1.20) Trong phần tiếp theo, khi xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền nhiệt bằng phương pháp tách biến ta cũng thấy xuất hiện câu hỏi tương tự như Bài toán 1.1 1.3 1.3.1 Phương trình truyền nhiệt Giới thiệu về phương trình truyền nhiệt Xét một vật thể rắn mà nhiệt độ của nó tại điểm (x, y, z) vào tại thời điểm t là một hàm u(x, y, z) Nếu các phần tử của vật thể có nhiệt độ khác... giới thiệu định nghĩa của chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier 2.1 Chuỗi Fourier và khai triển hàm thành chuỗi Fourier Xét chuỗi hàm đã được chỉ ra trong Chương 1 ∞ +∞ inx cn e n=−∞ inx = cn e = (an sin nx + bn cos nx) (2.1) n=0 n∈Z và gọi chuỗi hàm có dạng ở vế phải (2.1) là chuỗi hàm lượng giác Giả sử rằng chuỗi hàm lượng giác (2.1) hội tụ đều trên [−π, π] và +∞ (2.2) cn einx f (x)... ta sẽ xây dựng công thức nghiệm cho phương trình truyền sóng bằng phương pháp tách biến Cách 2 Sử dụng phương pháp tách biến Bây giờ, ta tìm nghiệm không tầm thường (tức là nghiệm khác không) của phương trình sóng (1.4) dưới dạng tách biến u(x, t) = X(x)T (t), trong đó X(x) là hàm chỉ phụ thuộc vào x, T (t) là hàm chỉ phụ thuộc vào t Khi đó thay nghiệm vào phương trình (1.4) ta có X(x)T ′′ (t) = a2... sóng 1.2.2 Công thức biểu diễn nghiệm của bài toán Cauchy đối với phương trình truyền sóng Để đơn giản cho việc trình bày, trong phần này ta chỉ xét phương trình truyền sóng thuần nhất trong trường hợp một chiều (1.4) hay còn gọi là bài toán Cauchy đối với phương trình dây rung tự do 2 ∂2u 2∂ u = a , ∂t2 ∂x2 (1.4) với điều kiện ban đầu và vận tốc ban đầu lần lượt xác định bởi u(x, 0) = f (x), −∞ < x... vậy, qua hai ví dụ ta thấy chuỗi Fourier của hàm f có thể hội tụ trên [−π, π] nhưng tổng chuỗi hàm có thể không hội tụ tới hàm f Trong phần tiếp theo ta sẽ chỉ ra điều kiện để chuỗi Fourier hội tụ đều tới hàm f 2.2 Tính duy nhất và sự hội tụ đều của chuỗi Fourier Trước khi trình bày định lý về sự hội tụ đều của chuỗi Fourier ta sẽ giới thiệu định lý về sự duy nhất của chuỗi Fourier 29 1.5 1.5 1 1 0.5... gian nhiệt độ trong môi trường ổn định nghĩa là u(x, y, t) không còn phụ thuộc vào thời gian, ta có ∂u = 0 ∂t Khi đó, phương trình nhiệt ổn định có dạng ∂2u ∂2u + = 0 ∂x2 ∂y 2 Định nghĩa 1.4 Trong không gian hai chiều (x, y), phương trình dạng ∂2u ∂2u + = 0 ∂x2 ∂y 2 (1.32) được gọi là phương trình Laplace Ta thường ký hiệu vế trái của phương trình là ∆u ∆u := ∂2u ∂2u + , ∂x2 ∂y 2 (1.33) và toán tử ∆u ... Nguyên lý địa phương tượng Gibbs 14 14 15 17 17 18 23 23 29 35 35 35 44 47 Ứng dụng chuỗi Fourier vào phương trình truyền sóng truyền nhiệt 3.1 Phương trình truyền sóng ... phương trình truyền sóng phương trình truyền nhiệt, loại phương trình đạo hàm riêng cổ điển thường gặp thực tế lý thuyết 1.2 1.2.1 Phương trình truyền sóng Giới thiệu phương trình truyền sóng Đầu... nhắc lại kiến thức mở đầu phương trình vi phân đạo hàm riêng Giới thiệu phương trình truyền nhiệt, truyền sóng phương trình Laplace, phương trình tiêu biểu cho lớp phương trình đạo hàm riêng cổ