sử dụng phương pháp tách biến fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC HOÀNG THỊ NHANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC

HOÀNG THỊ NHANH

SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC

Người hướng dẫn: TS Khổng Cát Cương

SƠN LA - 2013

LỜI CẢM ƠN

Sau một thời gian nghiên cứu, với sự hướng dẫn của các thầy giáo cô giáo trong tổ Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc em đã hoàn thành khóa luận này

Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Khổng Cát Cương - Giảng viên Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc đã tận tình giúp đỡ, động viên và hướng dẫn

em trong suốt quá trình thực hiện khóa luận

Em xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong tổ Vật lý, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng KHCN&HTQT, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận

Tôi xin gửi lời cảm ơn tới các bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật Lý, gia đình, bạn bè đã giúp đỡ, động viên và đóng góp ý kiến để tôi hoàn thành khoá luận này

Sơn La, Tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Hoàng Thị Nhanh

MỤC LỤC

PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích nghiên cứu 2

3 Nhiệm vụ 2

4 Đối tượng nghiên cứu 3

5 Phương pháp nghiên cứu 3

6 Giả thiết khoa học 3

7 Phạm vi nghiên cứu 3

8 Đóng góp của khóa luận 3

9 Bố cục của khóa luận 3

10 Kế hoạch thực hiện đề tài 4

PHẦN NỘI DUNG 5

CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 5

1.1 Phương trình vi phân tuyến tính 5

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 5

1.1.2 Phương trình vi phân cấp 2 6

1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số 7

1.1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai không thuần nhất với các hệ số là hằng số 8

1.2 Chuỗi Fourier 9

1.2.1 Tổng quan về phương pháp tách biến Fourier 9

1.2.1.1 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier 10

1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier 11

1.2.2 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier 12

1.2.3 Tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Fourier 16

1.3 Đại cương về các phương trình vật lý toán 17

1.3.1 Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý 17

1.3.2 Phân loại phương trình toán lý 18

1.3.2.1 Phương trình Hyperbolic 18

1.3.2.2 Phương trình Parabolic 19

1.3.2.3 Phương trình Eliptic 20

CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER GIẢI BÀI TOÁN CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 21

2.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt 21

2.2.Các điều kiện ban đầu và điều kiện cho phương trình truyền nhiệt 24

2.3 Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier 25

2.3.1 Ý tưởng chính: 25

2.3.2 Tóm tắt bước giải: 25

2.3.3 Nhận xét chung : 26

2.4 Phương trình truyền nhiệt một chiều 27

2.4.1 Bài toán Cauchy một chiều 27

2.4.1.1 Bài toán Cauchy một chiều thuần nhất 27

2.4.1.2 Bài toán Cauchy không thuần nhất 31

2.4.2 Bài toán hỗn hợp một chiều 34

2.4.3 Phân loại bài toán hỗn hợp một chiều 35

2.4.4 Một số lưu ý 35

2.5 Phương trình truyền nhiệt hai chiều 35

2.5.1 Bài toán Cauchy hai chiều và ba chiều 35

2.5.2 Bài toán hỗn hợp hai chiều 36

2.5.3 Một số lưu ý 39

CHƯƠNG 3: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 40

3.1 Bài toán phương trình truyền nhiệt thuần nhất 40

3.2 Bài toán phương trình truyền nhiệt không thuần nhất 59

3.3 Một số bài tập tự giải 68

PHẦN KẾT LUẬN 71

1 Kết quả thu được 71

2 Các vấn đề còn tồn tại và hướng nghiên cứu tiếp theo 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO

PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Toán học là một ngành khoa học không những phục vụ cho sự phát triển của chính

nó mà trở thành công cụ cho việc phát triển các ngành khoa học khác trong đó có Vật lý

Bộ môn Phương trình Vật lý - Toán là một môn khá khó đặc biệt về phần Phương trình Toán lý đối với các bạn sinh viên các khoa Vật lý và các ngành kỹ thuật có liên quan của các trường Đại học Khoa họcTự nhiên và các trường Đại học Kĩ thuật trong cả nước Mối liên hệ giữa các đại lượng vật lý trong tự nhiên là phức tạp nhưng có quy luật Do vậy, mục đích của chúng ta là tìm ra được các mối liên hệ có quy luật đó

Thực tế, khi nghiên cứu các môn học trong các học phần Vật lý lý thuyết của sinh viên gặp rất nhiều khó khăn Với kiến thức về toán cao cấp và kiến thức phổ thông đã học không đủ đáp ứng nhu cầu học tập và nghiên cứu các môn học trong các học phần vật lý lý thuyết như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, nhiệt đông lực học, vật lý thống kê… Khi học các môn này, sinh viên thường xuyên phải thành lập và giải các phương trình vi phân đạo hàm riêng Vì vậy, yêu cầu đặt ra cho mỗi sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số và giải tích toán học cùng với kiến thức cần thiết của phương pháp toán cho Vật lý, mới có thể nghiên cứu sâu hơn các môn học này Do vậy, phương trình Vật lý - Toán có vị trí và vai trò quan trọng đối với việc học tập và nghiên cứu vật lý

Để tìm hiểu được lý thuyết chúng ta cần có sự hỗ trợ rất lớn của một hệ thống bài tập Ngoài các bài tập có tính chất áp dụng trực tiếp lý thuyết vào các đối tượng cụ thể, còn có các bài tập là sự tìm hiểu sâu nội dung môn học, đòi hỏi chúng ta không chỉ có kĩ năng mà còn phải có phương pháp, thói quen tư duy mới,

có sáng tạo

Trong các tài liệu tham khảo hiện nay đã có trình bày lời giải của một số bài toán về Phương trình Toán lý Tuy nhiên, số lượng ví dụ mẫu còn hạn chế, những chỉ dẫn về phương pháp giải còn nặng tính khái quát, thiếu cụ thể Trong khi đó bài tập

nhiều khó khăn trong việc giải các Phương trình Toán lý Mặt khác do trình độ kiến thức còn hạn chế, chưa biết cách vận dụng kiến thức vào bài tập, trình độ tư duy chưa cao… từ đó làm giảm khả năng tiếp nhận kiến thức vật lý của sinh viên

Trong khi đó, đối với môn Phương trình Toán lý nói riêng và môn Vật lý nói chung ngoài việc nắm vững kiến thức lý thuyết, bài tập cũng đóng vai trò hết sức quan trọng Mà học phần này có nhiều dạng bài tập, lại có nhiều phương pháp giải, đòi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với mỗi dạng Ví dụ như bài tập phương trình truyền nhiệt có phương pháp như sau: phương pháp tách biến Fourire, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, phương pháp hàm Bessel Mỗi phương pháp đều có ưu điểm và hạn chế riêng

Quá trình học tập ở trường Đại học Tây Bắc, sinh viên Sư phạm Vật lý đã được học môn Phương trình Vật lý – Toán là môn tương đối khó đối với sinh viên Sư Phạm Vật lý, trong đó có các bài toán về phương trình truyền nhiệt Vì vậy, không chỉ để giải các bài toán này mà còn giúp cho sinh viên ôn tập và mở rộng thêm kiến thức và là điểm khởi đầu để dẫn dắt sinh viên đến với kiến thức mới, giúp rèn luyện

kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn và giúp cho sinh viên tư duy sáng tạo, giáo viên có thể kiểm tra được mức độ nắm vững kiến thức của sinh viên Chính

vì vậy , tôi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt”

2 Mục đích nghiên cứu

- Mong muốn cho sinh viên hiểu sâu về các Phương trình Vật lý - Toán và đặc biệt tìm lời giải cho các bài toán về phương trình truyền nhiệt nhằm phục vụ tốt cho học tập ở phần phương trình truyền nhiệt ở bậc Đại học

- Làm cơ sở cho các môn học Vật lý lý thuyết khác như: vật lý thống kê, cơ lượng tử, điện từ …

3 Nhiệm vụ

- Nhắc lại một số kiến thức quan trọng của phép biến đổi Fourier trong toán cho

Vật lý và một số kiến thức cơ bản biến đổi phương trình truyền nhiệt

- Ứng dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt

4 Đối tượng nghiên cứu

- Cơ sở toán học cho phương pháp Fourier

- Cơ sở lí luận về bài tập Vật lý

- Các bài tập về phương trình truyền nhiệt

5 Phương pháp nghiên cứu

- Do đặc thù môn học chúng tôi đã chọn cho mình phương pháp nghiên cứu lý thuyết và bài tập ứng dụng

- Sưu tầm, đọc tài liệu sách báo, internet, tập hợp các tài liệu liên quan đến khóa luận và sử dụng các công cụ toán học để tính toán và hệ thống hóa các bài tập một cách lôgic nhằm đạt mục đích đề ra

- Phương pháp phân tích

- Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên

6 Giả thiết khoa học

Từ những kiến thức và phương pháp giải toán cho bộ môn Toán lý nói chung và kiến thức, phương pháp giải toán cho phần bài toán của phương trình truyền nhiệt, chúng ta sẽ có một phương pháp đầy đủ và thông dụng, dễ nhớ mặc dù nó không phải

là một phương pháp mới

7 Phạm vi nghiên cứu

- Giáo trình Phương trình Toán lý

- Sử dụng phép biến đổi Fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt

8 Đóng góp của khóa luận

- Làm tài liệu tham thảo cho sinh viên

- Góp phần nghiên cứu kết quả học tập học phần Phương pháp Toán lý cho sinh viên

- Có triển vọng ứng dụng trong học tập môn Vật lý ở bậc đại học sẽ áp dụng phương pháp Fourier để giải một số bài toán về Phương trình truyền nhiệt

9 Bố cục của khóa luận

Khóa luận gồm ba phần :

Phần mở đầu

10 Kế hoạch thực hiện đề tài

+ Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu và viết đề cương

+ Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng cơ sở toán học

+ Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại theo từng chương và chia ra phương pháp giải cụ thể cho một số dạng bài tập

+ Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo

+ Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa và hoàn thiện khóa luận

+ Từ 05/2013 → 06/2013: Chấm khóa luận

PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC

Toán học có vai trò quan trọng, nó là công cụ không thể thiếu trong quá trình nghiên cứu Vật lý Như vậy, để cung cấp những kiến thức toán học cần thiết, phục vụ cho nghiên cứu ở hai chương sau, trong chương này phương trình vi phân tuyến tính, chuỗi Fourier, đại cương về các phương trình truyền nhiệt đã được chúng tôi trình bày chi tiết dưới đây

1.1 Phương trình vi phân tuyến tính

1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1

 Phương trình tuyến tính cấp 1 có dạng:

y + p(x)y = q(x) ' (1.1)

Ta giả thiết p(x), q(x) là những hàm liên tục

+ Nếu q(x)  0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp 1 thuần nhất + Nếu q(x)  0 thì (1.1) được gọi là phương trình vi phân tuyến tính cấp1 không thuần nhất

* Cách giải:

- Để tìm được nghiệm tổng quát của phương trình (1.1) ta xét q(x) = 0

 Phương trình vi phân cấp 1 thuần nhất có dạng:

dy

= - p(x).dx + ln C y

ln y - ln C = - p(x).dx

Nhận thấy y = 0 là nghiệm của phương trình (1.2)

Nghiệm tổng quát của (1.2) có dạng: y = C.e- p(x).dx , với C 

R

- Để tìm nghiệm của phương trình tuyến tính không thuần nhất

'

y + p(x).y = q(x)ta áp dụng phương pháp biến thiên hằng số

Đặt C = C(x) và tìm cách chọn C(x) sao cho biểu thức:

y = C (x)

- p(x).dx

e 

(1.4) Thay (1.4)vào phương trình (1.1) ta có:

'

- p(x).dx '

trong đó p(x), q(x), f(x) xác định trên [a, b]

+ Nếu f (x) = 0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính thuần nhất cấp 2 + Nếu f (x)  0 thì phương trình (1.5) được gọi là phương trình tuyến tính không thuần nhất cấp 2

1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp 2 tuyến tính thuấn nhất có hệ số là hằng số

Do đó nghiệm tổng quát của phương trình (1.6) có dạng:

y = (cosβx + isinβx).e , y = (cosβx - isinβx).e

Do y1,y2 là nghiệm riệng của (1.6) nên:

với α R, P (x)  n là đa thức bậc n

+ Nếu α là nghiệm kép của phương trình (1.6), khi đó ta tìm nghiệm của phương trình có dạng: y = x e Q (x)2 αx n (1.9) + Nếu α là nghiệm đơn của phương trình (1.6), khi đó chúng ta tìm nghiệm của phương trình có dạng:

αx n

y = x.e Q (x) (1.10) + Nếu α không là nghiệm của phương trình (1.6), khi đó khi đó chúng ta tìm nghiệm của phương trình có dạng:

y = e Q (x)αx n (1.11) trong đó Q (x)n là đa thức cùng bậc đa P (x)n

trong đó a , a , b0 n n gọi là các hệ số Fourier của chuỗi

Từ tính trực giao của tập 1, sinnπx, cosnπx

1.2.1.1 Các tính chất của chuỗi lượng giác Fourier

* Điều kiện Dirichlet để tồn tại một chuỗi Fourier là:

- Hàm f(x) phải đơn trị và tuần hoàn với chu kỳ 2L

- Hàm f(x) có một hữu hạn các cực đại và cực tiểu, một số hữu hạn các điểm gián đoạn trong khoảng (-L, L)

* Giả sử khoảng (-L, L) là khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x) Chuỗi Fourier xác định ở điểm x ngoài khoảng Fourier đầy đủ của hàm f(x), khi đó cho phép khai triển tuần hoàn hàm f(x) xác định ngoài khoảng Fourier đầy đủ

* Người ta có thể xác định hàm f(x) là hàm mở rộng của hàm f(x) bên ngoài khoảng Fourier đầy đủ Như vậy, f(x)là mở rộng tuần hoàn của f(x), -LxL có tính chất f(x)(x + 2L) = f(x)

* Hàm f(x) gọi là có một biểu diễn chuỗi Fourier khi hệ số a0, an,bn được tính cụ thể

* Hàm f(x) được gọi là bước nhảy gián đoạn tại điểm

- Tại điểm x0có bước nhảy gián đoạn hữu hạn thì biểu diễn chuỗi Fourier của

L + φn) được gọi là dao động điều hòa thứ n

1.2.1.2 Tính chẵn lẻ của chuỗi Fourier

Hàm f(x) được gọi là hàm chẵn của x nếu f(-x) = f(x) với mọi giá trị của x, hàm chẵn đối xứng dọc theo trục y Hàm f(x) được gọi là hàm lẻ của x nếu

f(-x) = -f(x) với mọi giá trị của x Các tính chất sau của hàm chẵn và hàm lẻ cho phép đơn giản biểu diễn Fourier



 , 0 < x < L trong đó: a = 0 n với mọi n

0

a = 1 L

f(x)

 cos nπx

1.2.2 Các dạng biểu diễn của chuỗi Fourier

a Biểu diễn Fourier dưới dạng lượng giác có dạng:

Đôi khi người ta còn biểu diễn dưới dạng đối xứng sau:

Ta có một số trường hợp xác định của f(x) sau:

 Trường hợp 1: Hàm f(x) xác định trong khoảng  x 2L

Với f x+2L = f x có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau:   

α

 Trường hợp 2: f(x) xác định trong khoảng  , 

Hàm f(x) có biểu diễn dưới dạng chuỗi lượng giác Fourier như sau :

1

π n -π

1

 Trường hợp 3: f(x) liên tục, khả vi, đơn trị trên khoảng -π,π

Hàm f(x) có thể phân tích thành tích phân Fourier như sau:

inπx inπx -

nπx e - esin =

L 2i ()

b Biểu diễn Fourier dưới dạng mũ có dạng:

Từ (*) ta có khai triển chuỗi Fourier dạng mũ

inπx inπx inπx inπx

f(x)= C e

trong đó:

L inπx

L -L

1

C = f(x)e dx2L

1.2.3 Tóm tắt các tính chất của phép biến đổi Fourier

Đạo hàm

2

-x 4β

πeβ

e-βλ2

f t





2 2

fx

1.3 Đại cương về các phương trình vật lý toán

1.3.1 Đại cương về phương trình vi phân đạo hàm riêng và phương trình toán lý

Phương trình đạo hàm riêng cấp m là phương trình có dạng:

Cấp của phương trình là cấp của đạo hàm cao cấp nhất trong phương trình

Phương trình đạo hàm riêng được gọi là tuyến tính nếu nó là bậc nhất đối với hàm chưa biết và các đạo hàm riêng của chúng

Phương trình Vật lý - Toán là các phương trình mô tả sự biến thiên của trường theo thời gian có dạng phương trình vi phân đạo hàm riêng Các Phương trình Vật lý - Toán cơ bản thường gặp đó là các phương trình dao động sóng, phương trình truyền nhiệt, phương trình Laplace

Trong các bài toán Vật lý, phương trình thường gặp là các phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai (m = 2) Phương trình vi phân đạo hàm riêng cấp hai với hai biến số độc lập x, y là hệ thức liên hệ giữa đạo hàm chưa biết u(x, y) và đạo hàm riêng của nó đến cấp hai:

trong đó A, B, C, D, E, F, G là các hàm chỉ phụ thuộc vào x, y

Nếu các hệ số của phương trình không phụ thuộc vào x, y thì nó là phương trình tuyến tính với hệ số hằng Phương trình gọi là tuyến tính thuần nhất khi: G(x,y) = 0

1.3.2 Phân loại phương trình toán lý

Nhờ phép biến đổi thích hợp ta có thể đưa phương trình (1.15) về một trong ba dạng sau

- Nếu g x, t = 0   dao động là dao động tự do

- Nếug x, t    0 dao động là dao động cưỡng bức

Để tìm nghiệm dưới dạng tường minh, cần phải có các điều kiện biên cho phương trình dao động Các dạng điều kiện biên cho phương trình dao động của dây thường có dạng sau:

a Điều kiện Dirichlet: Sự di chuyển của các đầu dây có dạng

x = 0 1

B(u) = u(0,t) = g (t)B(u) = u(l,t) = g (t)

b Điều kiện biên Neumann: Đạo hàm của các đầu dây có dạng

u(0,t)B(u) = = g (t)

xu(l,t)B(u) = = g (t)

c Điều kiện biên Robin: Còn được gọi là điều kiện biên hỗn hợp, là tổ hợp tuyến tính của hai điều kiện biên trên, tức là độ dịch chuyển và độ dốc trên các đầu dây có dạng:



 ; n là vectơ pháp tuyến đơn vị

Điều kiện ban đầu cho bài toán dao động của dây là hình dạng ban đầu và vận tốc ban đầu: u(x, 0) = f(x), u x, 0   

= F xt

2 2 2

Phương trình (1.20) được gọi là phương trình Eliptic Dạng đơn giản nhất của phương trình Eliptic là phương trình Laplace:

 Chú ý: Các phương trình vi phân đạo hàm riêng thường có vô số nghiệm, vì vậy

ta phải đặt thêm các điều kiện phụ sau để xác định nghiệm của chúng

+ Điều kiện ban đầu cho biết trạng thái lúc t = 0

+ Điều kiện biên cho biết quá trình xảy ra ở biên của không gian

Từ đây hình thành ba bài toán đối với các Phương trình Vật lý - Toán

+ Bài toán hỗn hợp là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu và điều kiện biên

+ Bài toán Cauchy là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện ban đầu

+ Bài toán dừng là bài toán tìm nghiệm của phương trình thỏa mãn điều kiện biên Trong các bài toán trên, ta phải đặt ra các điều kiện phụ sao cho nghiệm của bài toán đó tồn tại duy nhất và phụ thuộc liên tục vào các điều kiện này, nghĩa là sai số nhỏ của các điều kiện phụ (do sai số của các phép đo trong thực tế) chỉ kéo theo sai

số nhỏ của nghiệm

CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER GIẢI BÀI

TOÁN CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

2.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt

Ta xét một vật rắn G và gọi u(x, y, z, t) là nhiệt độ của nó tại điểm (x, y, z)  G, ở điểm t Nếu tại những điểm khác nhau của vật G có nhiệt độ khác nhau thì nhiệt sẽ truyền từ điểm nóng đến điểm ít nóng hơn

Giả sử  s là một mảnh mặt bất kỳ khá bé trong vật G Khi đó theo định luật

về sự truyền nhiệt, nhiệt lượng Q truyền qua mảnh mặt  s trong khoảng thời gian

Gọi q là dòng nhiệt, tức là nhiệt lượng đi qua một đơn vị diện tích trong một

đơn vị thời gian Khi đó từ (2.1) suy ra q = - k u

n



 (2.2)

k > 0 là hằng nếu vật đẳng hướng và đồng nhất

Ta xét một thể tích V bất kỳ trong vật rắn G giới hạn bởi một mặt kín trơn S

và tính sự thay đổi nhiệt lượng trong thể tích V trong khoảng không gian từ t1 đến 2

Do đó nhiệt lượng cần thiết để trong toàn bộ thể tích V có sự thay đổi nhiệt độ u(x, y, z, t1 ) đến u(x, y, z, t2) là

2

1

t 2

với n là pháp tuyến ngoài của mặt S

Gọi F(x, y, z, t) là mật độ nguồn nhiệt trong thể tích V tại điểm (x, y, z), ở thời điểm t, tức là nhiệt lượng sinh ra hay mất đi trong một đơn vị thể tích, thì

2

1

t 3

t V

Q = dt F(x,y,z)dxdydz (2.6)

Từ đẳng thức Q = Q + Q ta có: 1 2 3

chúng ta xét hai trường hợp riêng:

a Nếu nhiệt độ u chỉ phụ thuộc x, y, t chẳng hạn nếu ta xét sự truyền nhiệt trong một bản đẳng hướng, đồng chất rất mỏng đặt trên mặt phẳng xOy thì nhiệt độ u(x, y,

2.2.Các điều kiện ban đầu và điều kiện cho phương trình truyền nhiệt

Cho vật thể V với mặt S bao quanh, các điều kiện biên khác nhau có thể đặt trên mặt biên S như sau:

a) Điều kiện biên Dirichlet hay bài toán biên loại I

u( x, y, z, t) (x,y,z) S = f1(x, y, z, t) trong đó f1 là nhiệt độ được xác định

b) Điều kiện biên Zeuman hay bài toán biên loại II



 = grad u.nbiên= 0 c) Điều kiện Ronbin hay bài toán biên loại III

3 (x,y,z) S(x,y,z) S

Điều kiện biên hỗn hợp là kết quả của của các điều kiện biên loại I và loại II

2.3 Khái quát chung về phương pháp tách biến Fourier

2.3.1 Ý tưởng chính: Chuyển bài toán giải phương trình đạo hàm riêng thành bài

toán giải phương trình vi phân thường (dạng phương trình dễ giải hơn và đã được nghiên cứu đầy đủ hơn)

2.3.2 Tóm tắt bước giải:

Để tìm nghiệm u(x, y) thỏa mãn phương trình

A

2 2

ux

uy



ux



uy

ux(x, y) = X' (x)Y(y); uxx(x, y)= X''(x)Y(y) ; uxy= X'(x)Y'(y) ;

uy(x, y) = X(x) Y'(y); uyy=X(x)Y'' (y) Bước 2

Thế vào phương trình rồi thực hiện việc tách biến, nghĩa là đưa phương trình, nếu

có thể về dạng mà những hàm số ở cùng một vế thì chứa cùng một biến, ta được:

Φ(x,X(x),X'(x),X''(x)) = H(y,Y(y),Y'(y),Y''(y)) Bước 3

Với lập luận: Vế trái của phương trình chỉ phụ thuộc vào x, còn vế phải chỉ phụ thuộc

y nên hai vế chỉ có thể bằng nhau khi chúng cùng bằng một hằng số λ nào đó ( λ được gọi là hằng số tách biến) Ta đi đến hệ phương trình vi phân thường:

Φ(x,X(x),X'(x),X''(x)) = λ H(y,Y(y),Y'(y),Y''(y)) = λ Bước 4

Giải hai phương trình trên để tìm X(x), Y(y) từ đó tìm được u(x, y)

- F là hằng số hoặc chỉ phụ thuộc một biến x hoặc y

Ngoài ra ta còn có thể tách biến trong một số trường hợp đơn giản khác, chẳng hạn:

Qua những phân tích trên ta thấy

- Chỉ nên áp dụng trực tiếp phương pháp này đối với các phương trình đơn giản có những đặc điểm sau:

+Phương trình thuần nhất

+ Hệ số hằng hoặc chỉ phụ thuộc vào một biến hoặc có dạng tích của hai hàm trong đó mỗi hàm chỉ phụ thuộc vào một biến (các Phương trình Vật lý - Toán cơ bản thuần nhất đều có những đặc điểm trên)

- Khi giải các phương trình không thuần nhất nên kết hợp phương pháp tách biến với phương pháp đặt hàm phụ hoặc phương pháp tìm nghiệm dưới dạng chuỗi

để đạt hiệu quả cao hơn

Sau đây ta sẽ vận dụng phương pháp này vào việc giải bài toán của phương

trình truyền nhiệt

2.4 Phương trình truyền nhiệt một chiều

2.4.1 Bài toán Cauchy một chiều

2.4.1.1 Bài toán Cauchy một chiều thuần nhất (Hay bài toán Cauchy đối với

phương trình truyền nhiệt một chiều trong thanh vô hạn )

và các điều kiện ban đầu: u t = 0= g(x) (-< x <)

Điều kiện ban đầu g(x) cho ta sự phân bố nhiệt độ ở thời điểm ban đầu t = 0

Ta sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm nghiệm bài toán theo các bước sau:

Bước 1: Đặt u(x, t) = X(x)T(t)

Bước 3: Từ đẳng thức (2.16) ta thấy vế trái của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến t và

vế phải của đẳng thức chỉ phụ thuộc vào biến x nên đẳng thức (2.16) luôn xảy ra khi chúng cùng bằng nhau và bằng một hằng số c

2

T' X'' =

 Nghiệm của phương trình (2.17) là T(t) = Aeca t2 với A là hằng số tùy ý

Vì tại mỗi điểm của thanh nhiệt độ u(x,t) không thể tăng lên đến vô cùng khi

t  nên hằng số c phải dương

Đặt c = -λ ta được: T(t) = Ae2 2 2

-λ a t

Với c = -λ nghiệm của phương trình (2.18) viết dưới dạng: 2

X(x) = Bcos λ x + Csin λ x Bước 4:

Nghiệm của phương trình (2.15) có thể viết dưới dạng:

λ

u (x, t) = X(x)T(t) =( Bcos λ x + Csin λ x) Ae-λ a t2 2 = [ M(x)cos λ x + N(x)sin λ x ] e-λ a t2 2 d λ trong đó: M(x) = AB

N(x) = AC

t = 0

u = f(x) =



 [M(x)cos λ x + N(x)sin λ x] dλ Dùng phương pháp tích phân Fourier:

+ +

iλ(x-ξ)

-

-1f(x) = dλ f(ξ)e dξ

+ -z 0



+

2 μ

2

+ -z

e z.sinμ.z.dz



μ dμ

Vậy dJ(μ) = - μJ(μ)

μJ'(μ) + J(μ) = 0

4 + ln C;  lnJ(μ)

C =

2

μ-4

2 2

2

-(ξ-x) -μ

4a t 4

e cosλ(ξ - x)dλ



2 2

-(ξ-x) 4a t

πe2a tVậy hàm u(x,t) có dạng:

u(x,t) =

+ 0

1g(ξ)dξ.J(μ)π



+ -

1

g(ξ)2a πt







2 2

-(ξ-x) 4a t

e d

2.4.1.2 Bài toán Cauchy không thuần nhất

Bài toán: Tìm nghiệm phương trình:

2 2 2

t=0

u = f(x) Bài giải:

Ta có thể dùng phương pháp tìm nghiệm riêng hoặc phương pháp tách biến thiên hằng số để giải bài toán

Để giải bài toán bằng phương pháp biến thiên hằng số ta biểu diễn hàm





trong đó:

1 1P(λ,t) = g(ξ,t)cosλξdξ

2π cρ

1 1Q(λ,t) = g(ξ,t)sinλξdξ

Theo điều kiện ban đầu: f(x)= M(λ,0)cosλx + N(λ,0)sinλx dλ

U(x, t)= f ξ u x,t,ξ dξ + P λ, s cosλx + Q λ, s sinλx e dλ ds

nghĩa:    t t     t    

A t *B t = A s B t - s ds = A t - s B s ds 