sử dụng phương pháp tách biến fourier để giải bài tập phương trình truyền nhiệt

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC HOÀNG THỊ NHANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA - 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC HOÀNG THỊ NHANH SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER ĐỂ GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CHUYÊN NGÀNH: VẬT LÝ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: TS Khổng Cát Cương SƠN LA - 2013 LỜI CẢM ƠN Sau thời gian nghiên cứu, với hướng dẫn thầy giáo cô giáo tổ Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc em hoàn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới TS Khổng Cát Cương - Giảng viên Vật lý, Trường Đại học Tây Bắc tận tình giúp đỡ, động viên hướng dẫn em suốt q trình thực khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn tới thầy giáo, cô giáo tổ Vật lý, Ban Chủ nhiệm khoa Toán - Lý - Tin, phòng KHCN&HTQT, Thư viện trường Đại học Tây Bắc tạo điều kiện giúp đỡ em hồn thành khóa luận Tôi xin gửi lời cảm ơn tới bạn sinh viên lớp K50 ĐHSP Vật Lý, gia đình, bạn bè giúp đỡ, động viên đóng góp ý kiến để tơi hồn thành khố luận Sơn La, Tháng năm 2013 Sinh viên Hoàng Thị Nhanh MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ Đối tượng nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Giả thiết khoa học Phạm vi nghiên cứu Đóng góp khóa luận Bố cục khóa luận 10 Kế hoạch thực đề tài PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG 1: CƠ SỞ TOÁN HỌC 1.1 Phương trình vi phân tuyến tính 1.1.1 Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1.1.2 Phương trình vi phân cấp 1.1.2.1 Phương trình vi phân cấp tuyến tính thuấn có hệ số số 1.1.2.2 Phương trình vi phân tuyến tính bậc hai khơng với hệ số số 1.2 Chuỗi Fourier 1.2.1 Tổng quan phương pháp tách biến Fourier 1.2.1.1 Các tính chất chuỗi lượng giác Fourier 10 1.2.1.2 Tính chẵn lẻ chuỗi Fourier 11 1.2.2 Các dạng biểu diễn chuỗi Fourier 12 1.2.3 Tóm tắt tính chất phép biến đổi Fourier 16 1.3 Đại cương phương trình vật lý tốn 17 1.3.1 Đại cương phương trình vi phân đạo hàm riêng phương trình tốn lý 17 1.3.2 Phân loại phương trình tốn lý 18 1.3.2.1 Phương trình Hyperbolic 18 1.3.2.2 Phương trình Parabolic 19 1.3.2.3 Phương trình Eliptic 20 CHƯƠNG 2: SỬ DỤNG PHƯƠNG PHÁP TÁCH BIẾN FOURIER GIẢI BÀI TỐN CƠ BẢN CỦA PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 21 2.1 Thiết lập phương trình truyền nhiệt 21 2.2.Các điều kiện ban đầu điều kiện cho phương trình truyền nhiệt 24 2.3 Khái quát chung phương pháp tách biến Fourier 25 2.3.1 Ý tưởng chính: 25 2.3.2 Tóm tắt bước giải: 25 2.3.3 Nhận xét chung : 26 2.4 Phương trình truyền nhiệt chiều 27 2.4.1 Bài toán Cauchy chiều 27 2.4.1.1 Bài toán Cauchy chiều 27 2.4.1.2 Bài tốn Cauchy khơng 31 2.4.2 Bài toán hỗn hợp chiều 34 2.4.3 Phân loại toán hỗn hợp chiều 35 2.4.4 Một số lưu ý 35 2.5 Phương trình truyền nhiệt hai chiều 35 2.5.1 Bài toán Cauchy hai chiều ba chiều 35 2.5.2 Bài toán hỗn hợp hai chiều 36 2.5.3 Một số lưu ý 39 CHƯƠNG 3: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 40 3.1 Bài tốn phương trình truyền nhiệt 40 3.2 Bài tốn phương trình truyền nhiệt khơng 59 3.3 Một số tập tự giải 68 PHẦN KẾT LUẬN 71 Kết thu 71 Các vấn đề tồn hướng nghiên cứu 71 TÀI LIỆU THAM KHẢO PHẦN MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Toán học ngành khoa học phục vụ cho phát triển mà trở thành cơng cụ cho việc phát triển ngành khoa học khác có Vật lý Bộ mơn Phương trình Vật lý - Tốn mơn khó đặc biệt phần Phương trình Tốn lý bạn sinh viên khoa Vật lý ngành kỹ thuật có liên quan trường Đại học Khoa họcTự nhiên trường Đại học Kĩ thuật nước Mối liên hệ đại lượng vật lý tự nhiên phức tạp có quy luật Do vậy, mục đích tìm mối liên hệ có quy luật Thực tế, nghiên cứu môn học học phần Vật lý lý thuyết sinh viên gặp nhiều khó khăn Với kiến thức tốn cao cấp kiến thức phổ thông học không đủ đáp ứng nhu cầu học tập nghiên cứu môn học học phần vật lý lý thuyết như: Cơ học lượng tử, điện động lực học, nhiệt đông lực học, vật lý thống kê… Khi học môn này, sinh viên thường xuyên phải thành lập giải phương trình vi phân đạo hàm riêng Vì vậy, yêu cầu đặt cho sinh viên phải nắm vững kiến thức đại số giải tích toán học với kiến thức cần thiết phương pháp tốn cho Vật lý, nghiên cứu sâu mơn học Do vậy, phương trình Vật lý - Tốn có vị trí vai trị quan trọng việc học tập nghiên cứu vật lý Để tìm hiểu lý thuyết cần có hỗ trợ lớn hệ thống tập Ngồi tập có tính chất áp dụng trực tiếp lý thuyết vào đối tượng cụ thể, cịn có tập tìm hiểu sâu nội dung mơn học, địi hỏi khơng có kĩ mà cịn phải có phương pháp, thói quen tư mới, có sáng tạo Trong tài liệu tham khảo có trình bày lời giải số toán Phương trình Tốn lý Tuy nhiên, số lượng ví dụ mẫu hạn chế, dẫn phương pháp giải cịn nặng tính khái qt, thiếu cụ thể Trong tập Phương trình Tốn lý phong phú đa dạng Vì thế, sinh viên cịn gặp nhiều khó khăn việc giải Phương trình Tốn lý Mặt khác trình độ kiến thức hạn chế, chưa biết cách vận dụng kiến thức vào tập, trình độ tư chưa cao… từ làm giảm khả tiếp nhận kiến thức vật lý sinh viên Trong đó, mơn Phương trình Tốn lý nói riêng mơn Vật lý nói chung ngồi việc nắm vững kiến thức lý thuyết, tập đóng vai trị quan trọng Mà học phần có nhiều dạng tập, lại có nhiều phương pháp giải, địi hỏi sinh viên phải lựa chọn phương pháp giải phù hợp với dạng Ví dụ tập phương trình truyền nhiệt có phương pháp sau: phương pháp tách biến Fourire, phương pháp biến đổi Laplace, phương pháp hàm Green, phương pháp hàm Bessel Mỗi phương pháp có ưu điểm hạn chế riêng Quá trình học tập trường Đại học Tây Bắc, sinh viên Sư phạm Vật lý học mơn Phương trình Vật lý – Tốn mơn tương đối khó sinh viên Sư Phạm Vật lý, có tốn phương trình truyền nhiệt Vì vậy, khơng để giải tốn mà cịn giúp cho sinh viên ôn tập mở rộng thêm kiến thức điểm khởi đầu để dẫn dắt sinh viên đến với kiến thức mới, giúp rèn luyện kỹ năng, kỹ xảo vận dụng lý thuyết vào thực tiễn giúp cho sinh viên tư sáng tạo, giáo viên kiểm tra mức độ nắm vững kiến thức sinh viên Chính , tơi mạnh dạn lựa chọn đề tài “Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để giải tập phương trình truyền nhiệt” Mục đích nghiên cứu - Mong muốn cho sinh viên hiểu sâu Phương trình Vật lý - Tốn đặc biệt tìm lời giải cho tốn phương trình truyền nhiệt nhằm phục vụ tốt cho học tập phần phương trình truyền nhiệt bậc Đại học - Làm sở cho môn học Vật lý lý thuyết khác như: vật lý thống kê, lượng tử, điện từ … Nhiệm vụ - Nhắc lại số kiến thức quan trọng phép biến đổi Fourier toán cho Vật lý số kiến thức biến đổi phương trình truyền nhiệt - Ứng dụng phép biến đổi Fourier để giải tập phương trình truyền nhiệt Đối tượng nghiên cứu - Cơ sở toán học cho phương pháp Fourier - Cơ sở lí luận tập Vật lý - Các tập phương trình truyền nhiệt Phương pháp nghiên cứu - Do đặc thù môn học chúng tơi chọn cho phương pháp nghiên cứu lý thuyết tập ứng dụng - Sưu tầm, đọc tài liệu sách báo, internet, tập hợp tài liệu liên quan đến khóa luận sử dụng cơng cụ tốn học để tính tốn hệ thống hóa tập cách lơgic nhằm đạt mục đích đề - Phương pháp phân tích - Phương pháp đàm thoại trao đổi ý kiến với giáo viên Giả thiết khoa học Từ kiến thức phương pháp giải tốn cho mơn Tốn lý nói chung kiến thức, phương pháp giải toán cho phần tốn phương trình truyền nhiệt, có phương pháp đầy đủ thơng dụng, dễ nhớ khơng phải phương pháp Phạm vi nghiên cứu - Giáo trình Phương trình Tốn lý - Sử dụng phép biến đổi Fourier để giải tập phương trình truyền nhiệt Đóng góp khóa luận - Làm tài liệu tham thảo cho sinh viên - Góp phần nghiên cứu kết học tập học phần Phương pháp Toán lý cho sinh viên - Có triển vọng ứng dụng học tập môn Vật lý bậc đại học áp dụng phương pháp Fourier để giải số toán Phương trình truyền nhiệt Bố cục khóa luận Khóa luận gồm ba phần : Phần mở đầu Phần nội dung Chương 1: Cở sở toán học Chương 2: Sử dụng phương pháp tách biến Fourier giải tốn phương trình truyền nhiệt Chương 3: Vận dụng phương pháp Fourier giải tập phương trình truyền nhiệt Phần kết luận 10 Kế hoạch thực đề tài + Từ 09/2012 → 11/2012: Đọc, sưu tầm tài liệu viết đề cương + Từ 11/2012 → 12/2012: Nghiên cứu tài liệu, xây dựng sở toán học + Từ 12/2012 → 02/2013: Phân loại theo chương chia phương pháp giải cụ thể cho số dạng tập + Từ 02/2013 → 04/2013: Viết khóa luận, xin ý kiến tham khảo + Từ 04/2013 → 05/2013: Chỉnh sửa hồn thiện khóa luận + Từ 05/2013 → 06/2013: Chấm khóa luận L3 2L k =-1 + k1π k1π Đặt: L x.cos  du = dx u=x dv = cos k1πx dx L v = L L3 2L L k πx k B= -1 + x.sin k1π k1π k1π L L3 2L2 L k πx k -1 - 2 cos =k1π k1 π k π L L   I = x(L - x) sin k1πx dx L L x=L =x=0 L k πx sin k1π L L k πx sin dx k1π L L3 2L3 k -1 - 3 k1 π k1 π -1 k1 -1 k1πx L3 2L3 L3 k k k -1 - 3 -1 -1 -1 + dx = k1 π k1 π k1π L 1 2L3 k 1- -1 3 k1 π = M 2M k πy k Tương tự I =  y(M - y) sin dy = 3 1- -1 k2π M   a k1 ,k =   k1 =1 k =1   u(x,y,t)=   k1 =1 k =1  16AL2 M k 1-  -1 3 π k1 k 2 16AL M π k1 k 2  1- -1  k2 1-  -1  1- -1  e k1 k2  k2 k2  -  + 22 a π t  L2 M    sin k πy k1πx sin M L 3.2 Bài tốn phương trình truyền nhiệt khơng Bài Tìm nhiệt độ u (x) dẫn nhiệt dài L mét có chứa nguồn nhiệt (cho hàm số g (x), biết hai đầu giữ nhiệt độ ban đầu điểm M (x) cho hàm số f (x) với  x  L Áp dụng kết tìm u (x, t) biết dài mét với g (x, t) = x  x với  x  , nhiệt độ ban đầu điểm M (x) 59 Bài giải: Phương trình truyền nhiệt: Điều kiện biên: u x=0 =u Ta xét nghiệm: u (x, t) = 0  x  u  2u = a 2 + g(x, t) với  t x t  x=L = với t  +  T (t)sin k k=1 kπx L + Điều kiện ban đầu: u t=0 = f(x) =  T (0)sin k k=1 kπx với x [0; L] L L kπx  Tk (0) =  f(x)sin (*) L0 L + Ta viết: g(x,t) =  G k (t)sin k=1 L kπx kπx  G k (t) =  g(x, t) sin dx L L0 L Phương trình truyền nhiệt: + + kπx kπx +  kπx  kπ  T (t)sin = a  -   Tk (t)sin +  G k (t)sin  L L L k=1 k=1  L  k=1 ' k 2  kπx   kπx  '  T (t) = -   Tk (t) + G k (t)  Tk (t) +   Tk (t) = G k (t)  L   L  ' k Nghiệm phương trình vi phân: Tk (t) = C.e  kπx  - t  L  +TR (t) với TR (t) nghiệm riêng Từ điều kiên (*):  Tk (t) = C + TR (0)  C = Tk (0) - TR (0)  - kπx  t    kπx Suy ra: u(x, t) =  C.e  L  + TR (t)  sin L  k=1    + Áp dụng: Tk (0) =  0.sin kπx dx = 1 kπx 2(2x - x ) kπx G k (t) =  (x - 2x)sin dx = cos +  (x-1)cos dx kπ kπ 2 60 2  2(x-1) kπx kπx   2 kπx  16 =0+  sin sin dx  = cos  coskπ -1 0 +    kπ  kπ kπ  kπ kπ   kπ 3  kπ    k 16  -1 - 1  =   kπ  k 16  -1 - 1 kπx     Ta có: Tk' (t) +   Tk (t) =    kπ  Nghiệm phương trình vi phân: Tk (t) = C.e  kπx  -  t   + TR (t)  TR (t) = D = const k k 16  -1 -1 64  -1 -1  kπx    D=   0+   D =    kπ   kπ  a k 64  -1 -1   =0 Ngồi ra, ta có: Tk (0) = C +  kπ  a  kπ  Nếu k chẵn  C = (loại) Suy k phải lẻ  C = Vậy Tk (t) =  kπ  ae 128  kπx  -    - a2 64 1-(-1)k    =  kπ  a2 128 128  kπ  a2    kπx   (kπ) a e-   t 128  kπx +   sin Đáp số: u(x, t) =    128 (kπ)5a  L k=1     BÀI 2: Tìm nghiệm phương trình u  u -a = f(x) t x (1) 0  x  l 0  t  + miền D =  61 u x = = A  điều kiện ban đầu  u =B  x  x=l với điều kiện biên: u t =0 = g(x) Bài giải: Giả sử ngiệm phương trình u(x, t) = v(x, t) + v (x) + w (x) + w (x) (2) Thay (2) vào phương trình (1) ta v d v d w1 d w  2 v -a   = f(x) t dx dx dx   x (3) Từ phương trình (3) điều kiện nghiệm u(x,t) ta tìm nghiệm v(x,t), v (x), w (x), w (x) chúng thỏa mãn điều kiện sau:  Hàm v(x, t) nghiệm phương trình v  v -a =0 t x (4) điều kiện ban đầu v t=0 = g(x) - v (x) - w1 (x) - w (x) = G(x) (5) v x = =  điều kiện biên  v =0  x  x=l (6)  Hàm v (x) nghiệm phương trình d v0 -a = f x dx 2 (7)  v0 x = =  điều kiện biên  dv =0  dx  x=l (8)  Hàm w (x) nghiệm phương trình 62 d w1 -a =0 dx 2 (9)  w1 x = = A  điều kiện biên  dw =0  dx  x=l (10) d2w =0  Hàm w (x) nghiệm phương trình: - a dx (11) w x = =  điều kiện biên  dw =B  dx  x=l (12) d v0 = f(x)  Xét phương trình (7) -a dx 2 dv0 = -  f(x)dx + a1 dx a  v0 (x) = -    f(x)dx dx + a1x + a  a   (13) a1 , a số tích phân Đặt P(x) = Q(x) = f(x)dx a2       - a f(x)dx     w(x) = Q(x) + a1x + a (14) Theo điều kiện biên (8) ta có: v x = = -Q(0) + a =  a = Q(0)     v = -P(l) + a1 =  a1 = P(l)  x  x=l 63 (15)  v0 (x) = - Q(x) + P(l)x + Q(0)  Xét phương trình (9) ta có: - a (16) d w1 =0 dx dw1 = b1 dx  w1 (x) = b1x + b   w1 x = = A b =A   Theo điều kiện biên (10)  dw =  b1 =  dx  x=l  w1 (x) = A d2w =0  Xét phương trình (11) ta có: - a dx 2 dw = c1 dx  w (x) = c1x + c  w x = = c =0   Theo điều kiện biên (12)  dw = B  c1 = B  dx  x=l  w (x) = B Thay hàm v(x, t), v (x), w (x), w (x) vào phương trình (4) điều kiện ban đầu nghiêm v(x,t) hồn tồn xác định ta có: Giải phương trình số (4) phương pháp tách biến Fourier Giả sử nghiệm tìm dạng: v (x, t) = X(x)T(t) Ta có: v't = XT ' v''xx = X X '' T 64 v  v -a = thực việc tách biến ta được: Thay vào phương trình t x XT ' - a X '' T = Hay (17) T' X'' = aT X Từ đẳng thức ta thấy vế trái đẳng thức phụ thuộc vào biến t vế phải đẳng thức phụ thuộc vào biến x nên đẳng thức xảy chúng số c T' X'' = const = c = aT X  T' - c a2T = (18) X '' - c X = (19) Các nghiệm cần phải tìm thỏa mãn điều kiện biên với t ta có: v(0, t) = X(0).T(t) v = X(L).T(t) x x = L Để tìm nghiệm khơng đồng khơng ta có: X(0) = X ' (L) = với T(t)   Nghiệm phương trình (18) T(t) = Ae ca t với A số tùy ý  Ta biện luận nghiệm phương trình: X '' - c X = + Nếu c = phương trình (19) cho nghiệm: X(x) = A1 x + A (20) đó: A1 , A số tích phân Theo điều kiện biên ta có: v x = = X x = = A =     X   v =0 =0 A1 =  x  x  x=l  x=l Thay A1 , A vào phương trình (20) ta được: X(x) =  v(x, t) = 65 + Nếu c > 0, nghiệm phương trình (19) có dạng: X(x) = B e cx + B2e - cx (21) B , B hệ số tích phân Theo điều kiện biên ta có: v x = = X x = =     X   v =0 =0  x  x  x=l  x=l (B1 + B2 ) =   cl  c(B1e - B2e  cl )=0 B1 =  B2 =   Thay B , B vào phương trình (21) ta được: X(x) =  v(x, t) = + Nếu c < 0, đặt c = - λ nghiệm phương trình (19) có dạng: X(x) = Bsin λ x + Ccos λ x (22) B, C số tích phân Theo điều kiện biên ta có:  v x=0 =    v  x =  x=l X x=0 = C =    X   λ (Bcosλl - Csinλl) =  x =  x=l C = B cosλ.l =   Để hệ có nghiệm khơng tầm thường thì: cos λl =  λl = (2k+1)π  λ = (2k+1)π 2l Thay C = λ = (k  Z) (2k+1)π vào phương trình (22) ta thu nghiệm riêng 2l X k (x) có dạng: 66 X k (x) = B sin Với λ = (2k+1)π x 2l (23) (2k+1)π  Nghiệm riêng phương trình (17) có dạng: 2l Tk (x) = Ne - a (2k+1)2 π t 4l2 (24) Từ phương trình (23), (24) ta có nghiệm riêng v k (x, t) có dạng: (2k+1)π v k (x, t) = X k (x) Tk (x) = B sin x.Ne 2l = ak e - a (2k+1)2 π t 4l2 sin a (2k+1)2 π2 t 4l2 (2k+1)π x 2l Trong a k =BN Vậy nghiệm v(x, t) chồng chập nghiệm riêng vk (x,t) có dạng:  v(x,t) =  ak e - a (2k+1)2 π t 4l2 sin k=0 (2k+1)π x, 2l a k = BN Theo điều kiện ban đầu ta có:  v t=0 = G(x) =  a k sin k=0 (2k+1)π x 2l Theo lý thuyết chuỗi Fourier tìm thấy hệ số a k theo công thức sau: (f, X k ) ak = Xk 2 = l l  G(x) sin (2k+1)π xdx 2l a 2 l (2k+1)πx   v(x,t) =   G(x)sin dx  e 2l k=0  l   (2k+1)2 π t 4l2 Vậy nghiệm tổng quát có dạng: u(x, t) = - Q(x) + P(l)x - Q(0) + A + Bx 67 (2k+1)π sin x 2l a 2 l (2k+1)πx  +    G(x)sin dx  e 2l k=0  l   (2k+1)2 π t 4l2 sin (2k+1)π x 2l 3.3 Một số tập tự giải Bài Giải phương trình: u 't - a u ''xx = u x=0 =  u x=l =  Điều kiện biên:  Điều kiện ban đầu: u t=0 x2 =5 L Bài toán tương ứng với việc tìm phân bố nhiệt độ thời điểm t > đồng chất có đầu mút x= giữ nhiệt độ 0oC , đầu mút x = L giữ nhiệt độ 5oC Ở thời điểm ban đầu t = phân bố nhiệt độ có dạng x2 u(x, 0) = L Đáp số: 5x  20  k -  3 1-  -1  e U(x, t) =  L k=1 k π  k π 2a t L2 sin kπx L Bài Tìm nhiệt độ u(x, t) dẫn nhiệt dài l mét không chứa nguồn nhiệt, biết đầu x = có nhiệt đọ cho u(0, t) = 3t,  t  0 , đầu giữ nhiệt độ 0, nhiệt độ ban đầu điểm M(x) u(x, 0) = với  x  l Đáp số: + u(x, t) = - kπa t e   -1 sinkπx + 3t - 3tx  (kπ)3a     k=1 68 Bài Tìm nhiệt độ u(x, t) dẫn nhiệt dài l mét không chứa nguồn nhiệt, biết đầu x = giữ nhiệt độ 0, đầu có nhiệt độ cho u(l, t) = , nhiệt độ ban đầu điểm M(x) et u(x, 0) = x với  x  l k k   2  -1  -1 -  kπa  t -t   Đáp số: u(x, t) = e + e sinkπx + e-t x 2  k=1 kπ  kπa  -1 kπ 1-  kπa           Bài Tìm phân bố nhiệt độ thời điểm t > đồng chất có độ dài L, thành bên cách nhiệt, khơng có ngồn nhiệt Nhiệt độ đầu mút x = giữ cân khơng cịn đầu mút x = L cách nhiệt Tại thời điểm ban đầu t = phân bố nhiệt độ có dạng: u(x, 0) = A.x  Đáp số: u(x, t) = 8AL   -1  2k+1 k k=0 π e -  2k+12 π2a t 4L sin  2k+1 πx 2L Bài ( a = const; t > 0; x, y, z  R ) Giải phương trình: u 't - a (u ''xx - u ''yy ) = Với điều kiện biên:  u x=0 =    u y=0 =   u x=L =    u y=M =  Điều kiện ban đầu u t = = f(x, y) = B sin 2πx 3πy sin (B = const) L M Đáp số: U(x, y, t) = B e - 4π 2a t L2 2πx sin e L 9π 2a t L2 sin 69 3πx M Bài Giải tốn Cauchy phương trình tryền nhiệt: u 't = a  u ''xx + u ''yy + u ''zz  ( a = const; t > 0; x, y, z  R) Với điều kiện ban đầu: u t=0 = sinx + cos y + cosz Đáp số: u(x, y, z, t) = sinx e-a t + 2 1 + cos2y.e- 4a t + cos 2z.e- 4a t 2 Bài Giải phương trình sau u 't - u ''xx = cos3πx  u x (0, t) = u(L, t) = u(x, 0) =  Đáp số: u(x, t) = +  -9π2t  1-e cos3πx  9π2  70 PHẦN KẾT LUẬN Kết thu Đề tài nghiên cứu khoa học thu kết sau: 1.1 Trình bày tổng quan sở tốn học: Phương trình vi phân tuyến tính cấp 1, phương trình vi phân tuyến tính cấp nhất, khơng Chúng tơi trình bày cách có hệ thống logic tổng quan phương pháp tách biến Fourier, tính chất chuỗi Fourier, tính chẵn lẻ chuỗi Fourier, dạng biểu diễn chuỗi Fourier, tóm tắt tính chất phép biến đổi Fourier Đại cương Phương trình Vật lý - Tốn 1.2 Phương trình truyền nhiệt - Thiết lập phương trình truyền nhiệt - Các điều kiện biên điều kiện ban đầu phương trình truyền nhiệt - Phân tích dạng phương trình truyền nhiệt + Bài tốn Cauchy + Bài tốn Cauchy khơng 1.3 Áp dụng lý thuyết để giải tập phương trình truyền nhiệt Từ đặc điểm nội dung tập, đặc điểm cách cho điều kiện toán, đề tài đưa phương pháp giải dạng tập phương trình truyền nhiệt Soạn số tập mẫu số tập tự giải Các vấn đề tồn hướng nghiên cứu Do thời gian nghiên cứu, tài liệu tham khảo lực thân hạn chế Bởi vậy, đề tài đề cập đến trình truyền nhiệt tự số tốn phương trình truyền nhiệt chiều với điều kiện biên tương đối đặc biệt Nếu có điều kiện nghiên cứu tiếp, em phát triển đề tài theo hướng giải mẫu thêm tập đưa thêm số lượng tập vào để xây dựng đề tài thành tài liệu tham khảo cho bạn sinh viên khoa vật lý Đề tài hoàn thành nhờ giúp đỡ tận tình TS Khổng Cát Cương bạn K50 Đại học Sư phạm Vật lý Do thời gian nghiên cứu hạn 71 chế, tài liệu nghiên cứu chưa đầy đủ, kiến thức chưa sâu rộng Mặc dù, em có nhiều cố gắng thực đề tài cho nội dung mang tính khoa học thực tiễn cao Tuy nhiên đề tài khơng thể tránh khỏi thiếu sót Chúng tơi mong nhận đóng góp ý kiến quý thầy cô bạn để đề tài đầy đủ hoàn thiện 72 TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Thính Cương (2002), Phương pháp tốn lý, Trường Đại học Sư phạm Hà Nội, khoa Vật lý Đặng Đức Dũng (chủ biên) – Lê Đức Thơng, Phương pháp tốn dùng cho vật lý tập 2, Phương trình truyền nhiệt, Nhà xuất đại học Quốc gia TPHCM Nguyễn Thị Hạnh (2011), Phương pháp giải tập phương pháp giải tập Phương trình Tốn lý, Khóa luận tốt nghiệp đại học, Trường Đại Học Thái Nguyên, Thái Nguyên Đổng Thị Kiên (2011), Sử dụng chuỗi tách biến Fourier giải tập dao động sợi dây, Đề tài nghiên cứu khoa học, Trường Đại học Tây Bắc, Sơn La Th.s Phạm Hữu Kiên, Đề cương giảng điện tử môn toán cho Vật lý Nguyễn Thị Minh (2010), Sử dụng phương pháp tách biến Fourier để tìm dao động màng: Vng, chữ nhật, trịn quạt, Đề tài nghiên cứu khoa học, Đại học Thái Nguyên Nguyễn Cơng Tâm, Phương trình Vật lý – Tốn nâng cao, NXB đại học quốc gia TP HỒ CHÍ MINH Đỗ Đình Thanh (2002), Phương pháp tốn lý, NXBGD Phan Huy Thiện(2010), Phương trình tốn lý, NXBGD 10 Phan Huy Thiện(2010), Tuyển tập tập phương trình tốn lý, NXBGD 73 ... DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 40 3.1 Bài toán phương trình truyền nhiệt 40 3.2 Bài tốn phương trình truyền nhiệt khơng 59 3.3 Một số tập tự giải. .. Cở sở toán học Chương 2: Sử dụng phương pháp tách biến Fourier giải tốn phương trình truyền nhiệt Chương 3: Vận dụng phương pháp Fourier giải tập phương trình truyền nhiệt Phần kết luận 10 Kế... CHƯƠNG 3: VẬN DỤNG PHƯƠNG PHÁP FOURIER GIẢI BÀI TẬP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 3.1 Bài tốn phương trình truyền nhiệt Bài 1.Tìm nhiệt độ u(x, t) dài vô hạn không chứa nguồn nhiệt, biết nhiệt độ ban