Phương pháp lưới giải phương trình truyền nhiệt tổng quát

ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ LỆ PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn THÁI NGUYÊN, 2016 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC HOÀNG THỊ LỆ PHƯƠNG PHÁP LƯỚI GIẢI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT TỔNG QUÁT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Chuyên ngành: Toán ứng dụng Mã số: 60 46 01 12 NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC TS VŨ VINH QUANG Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Thái Nguyên 06/ 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC DANH MỤC CÁC BẢNG ii DANH MỤC HÌNH VẼ iii Lời nói đầu Chương Mô hình toán truyền nhiệt tổng quát 1.1 Phương trình truyền nhiệt 1.2 Phương pháp tách biến giải phương trình truyền nhiệt chiều Chương Phương pháp lưới giải toán truyền nhiệt 21 2.1 Phương trình vi phân thường (Bài toán truyền nhiệt dừng) 21 2.2 Sơ đồ sai phân cho phương trình parabolic chiều 28 Chương Một số kết tính toán 35 3.1 Bài toán truyền nhiệt dừng 35 3.2 Bài toán truyền nhiệt không dừng 1chiều 37 KẾT LUẬN 41 TÀI LIỆU THAM KHẢO 42 PHẦN PHỤ LỤC 43 i Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC CÁC BẢNG Bảng số 3.1: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm 33 Bảng số 3.2: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm 33 Bảng số 3.3: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm 36 Bảng số 3.4: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm 36 ii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn DANH MỤC HÌNH VẼ Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp tổng quát với vế phải điều kiện biên tùy ý 34 Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ toán với hệ điều kiện biên vế phải 37 iii Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn iv Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Lời nói đầu Lý chọn đề tài Trong toán môi trường liên tục, số toán nghiên cứu trình truyền nhiệt môi trường liên tục qua mô hình hóa đưa đến việc xác định nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng tuyến tính không gian chiều nhiều chiều với hệ điều kiện ban đầu điều kiện biên tương ứng Đối với hệ điều kiện biên đặc biệt (thuần không) toán (vế phải không) người ta xác định nghiệm xác toán phương pháp giải tích phương pháp tách biến, phương pháp hàm Green,… Còn đại đa số toán phức tạp điều kiện bên phức tạp người ta phải sử dụng phương pháp gần phương pháp lưới, phương pháp phần tử hữu hạn hay phương pháp phần tử biên… Mục đích nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu phương pháp, phương pháp lưới giải phương trình truyền nhiệt không gian chiều nhiều chiều mô tả trình truyền nhiệt thực tế, ổn định hội tụ sơ đồ không gian lưới Xây dựng sơ đồ tính toán lưới tương ứng cài đặt máy tính điện tử Thử nghiệm thông qua ví dụ cụ thể Các kết thực nghiệm thực máy tính điện tử Đối tượng phạm vi nghiên cứu Nghiên cứu sở lý thuyết phương trình truyền nhiệt tổng quát, phương pháp sai phân giải toán truyền nhiệt Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp lưới chuyển toán vi phân toán sai phân Nghiên cứu ổn định luộc đồ sai phân độ xác phương pháp Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Sử dụng tài liệu liên quan đến phương trình truyền nhiệt, bao gồm báo khoa học, sách chuyên khảo phương pháp giải tích, phương pháp lưới, ổn định xác lược đồ Bố cục luận văn Ngoài phần mở đầu, phần kết luận, luân văn gồm chương:  Chương Mô hình toán truyền nhiệt tổng quát Trình bày kiến thức phương trình truyền nhiệt tổng quát, phương pháp giải tích giải số mô hình toán cụ thể  Chương Phương pháp lưới giải toán truyền nhiệt chiều Một số phương pháp giải số toán truyền nhiệt dựa phương pháp lưới, ổn định cấp xác lược đồ  Chương Một số kết tính toán Trình kết xác định nghiệm số số toán truyền nhiệt thông qua việc giải lược đồ sai phân Nhân dịp xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo hướng dẫn TS Vũ Vinh Quang, người thầy tận tình hướng dẫn, giúp đỡ suốt trình làm hoàn thiện luận văn Tôi xin kính gửi lời cảm ơn tới toàn thể thầy cô tham gia giảng dạy khóa học 2014 – 2016, người tâm huyết giảng dạy trang bị cho nhứng kiến thức sở Xin gửi lời cảm ơn tới Ban giám hiệu, phòng Đào tạo, Khoa Toán – Tin trường Đại học Khoa Học tạo điều kiện thuận lợi cho trình học tập trường Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn tới gia đình, bạn bè quan tâm, động viên, giúp đỡ thời gian học tập trình làm luận văn Thái nguyên, ngày 28 tháng 05 năm 2016 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN Tác giả http://www.lrc.tnu.edu.vn Hoàng Thị Lệ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN http://www.lrc.tnu.edu.vn Chứng minh Ta viết lại sơ đồ sai phân (2.22) – (2.24) dạng tắc sau: Ai y i 1  C i y i  B i y i 1  Fi , i  1, 2, 3, , N C 0y  B 0y  F0 , AN 1y N  C N 1y N 1  FN 1  k  ,i  ki 1    Ai   2  0.5 n 1    2kxxˆ ,i  ,   h i i    k  ,i  ki 1    B i   1  0.5 n 1   1kxxˆ ,i  ,   h i i   C i   Ai  B i  0, Fi  y   ,i   n 1i , Di  C i  Ai  B i  1, C0  k1 h1 C N 1  D N 1  1 k N 1  0, B   2 k1 h1  1 , F0  1, D0  C  B   1,  0, AN  hN  C N 1  A N 1   k N 1 hN  2 , FN 1  2 , Các hệ số B An1 đại lượng dương đủ lớn bất đẳng thức h1  2k1  1, hN 1  2k1  cố định đúng, tương ứng Ta xét hệ số Ai trường hợp hi  0, 1  0, 2  hi hi Hơn với k xxˆ ,i xác định dương biểu thức cho Ai ta thu Ai  hi  hi hi hi  0.5 n 1  0.5 n 1  hi   hi   hi  ki  ki 1  ki 1 hi  h i i   hi  hi   k     i   ki 1 h h i  i    h i i Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 32 http://www.lrc.tnu.edu.vn Từ hi hi  1, suy Ai  hi 1  hi 2 n 1k1  3hi  hi hi  hi 1  Xuất phát từ bất đẳng thức cuối cho thấy nếu:  n 1  hi21  hi2 6k   suy Ai  Các hệ số B i với trường hợp hi  tương tự Trên sở bổ đề 2.1 ta có đánh giá yˆ C   max yˆ C , F C  (2.32) Từ phép biến đổi, ta có hệ số  1,2  không âm bị chặn, bất đẳng thức F C (2.32) ta nhận yˆ C  y   max yˆ C C   n 1  , y C C xảy Thay đánh giá cuối vào   n 1  C   1  2 C   C  max  , , y    n 1  C C 2  1    k      n 1 2k C C        max  max  , , u     k  k C k n 1 C 2   1  k 1    Từ bất đẳng thức cuối ta thu đánh giá (2.31) Áp dụng đánh giá tiên nghiệm (2.31) cho toán xét phương pháp sai số z ta thu đánh giá: zn C    c1 h   , h  max hi ,   max  n , 1i N 1n N Như sơ đồ sai phân xét hội tụ Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 33 http://www.lrc.tnu.edu.vn Kết luận Trong chương 2, luận văn trình bày kết nghiên cứu số lược đồ sai phân giải số dạng toán truyền nhiệt độ ổn định lược đồ cấp xác lược đồ Phần kết cài đặt lược đồ đưa để kiểm tra tính xác lược đồ đưa chương luận văn Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 34 http://www.lrc.tnu.edu.vn Chương Một số kết tính toán Trong phần này, luận văn trình bày kết xác định nghiệm số số toán truyền nhiệt thông qua việc giải lược đồ sai phân tương ứng đưa chương Trong tất thuật toán cài đặt để giải hệ phương trình sai phân thu được, luôn sử dụng thuật toán truy đuổi đường chéo để giải hệ đường chéo Ngôn ngữ sử dụng để cài đặt luận văn ngôn ngữ Matlab version 7.0 Trong kết cài đặt, để kiểm tra độ xác thuật toán, cho trước nghiệm toán kí hiệu u * (x ) toán truyền nhiệt dừng u * (x , t ) toán truyền nhiệt không dừng, áp dụng thuật toán để xác định nghiệm xấp xỉ kí hiệu u Khi sai số tính toán xác định e = u * - u sai số lớn không gian lưới Wh 3.1 Bài toán truyền nhiệt dừng Dạng toán ìï u '' + p(x )u ' + q(x )u = f (x ); (a £ x £ b) ïï ï a 0u (a ) + a 1u ' (a ) = A í ïï ïï b 0u (b) + b1u ' (b) = B î Sử dụng sơ đồ sai phân (2.12) – (2.13) với độ xác cấp 2, nghiệm xấp xỉ toán xác định từ Truyen_nhiet_1.m (Xem phần phụ lục trang 40) Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 35 http://www.lrc.tnu.edu.vn Bảng số 3.1: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm u * (x ) = x , p(x ) = 0, q(x ) = 0, a = 0, b = 1, a = a = b = b = Số điểm lưới Sai số Số điểm lưới Sai số 100 0.0013 700 2.7229e-5 200 3.3462e-4 800 2.0924e-5 300 1.4876e-4 900 1.6532e-5 400 8.3687e-5 1000 1.3391e-5 500 5.3562e-5 5000 5.3547e-7 600 3.7197e-5 10000 1.3383e-7 Bảng số 3.2: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm u * (x ) = s inx + cosx+ ex , p(x ) = 0, q(x ) = 0, a = 0, b = 1, a = 3, a = 1, b = 1, b1 = Số điểm lưới Sai số Số điểm lưới Sai số 100 9.5828e-4 700 1.9578e-5 200 2.3977e-4 800 1.9449e-5 300 1.0655e-4 900 1.1844e-5 400 5.9955e-5 1000 9.5834e-6 500 3.3872e-5 5000 3.8385e-7 600 2.6648e-5 10000 9.6644e-8 Nhận xét: + Các kết kiểm tra thuật toán chứng tỏ lược đồ sai phân ổn định sai số đảm bảo với độ xác tương đương với O (h ), h = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 36 b- a n http://www.lrc.tnu.edu.vn + Lược đồ cho nghiệm xấp xỉ toán truyền nhiệt dừng với vế phải điều kiện biên tùy ý tương ứng với toán thực tế Hình 3.1: Đồ thị nghiệm xấp xỉ trường hợp tổng quát với vế phải điều kiện biên tùy ý f (x ) = x + sin x - ex , p(x ) = 0, q(x ) = 0, a = 0, b = 10, a = 1, a = 2, b = 3, b = A = 3; B = 3.2 Bài toán truyền nhiệt không dừng chiều Trong phần thực nghiệm, xét dạng toán sau u  u a  f x, t , x, t  Q t x         u x,  u0 x , x   k1 u 0, t   1u 0, t   1 0, t , x k2       u l, t   2u l, t  2 l, t x       Sử dụng lưới sai phân N ´ M điểm với bước lưới k = T l , h= Ta M N có lược đồ sai phân: Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 37 http://www.lrc.tnu.edu.vn a2 (u - ui, j ) = h (ui - 1, j - 2ui , j + ui + 1, j ) + fi , j k i, j + i = 2, 3, , N - 1; j = 2, 3, , M - (3.1) u i ,0 = u (0), k1 h k2 (u -h 1, j (u - u 0, j ) - s 1u 0, j = - m1 (0, j ), (3.2) - u N , j ) - s 2u N , j = - m2 (N , j ) N - 1, j a 2k Từ hệ thức (3.1), đặt a = ta suy h u i , j + = a u i - 1, j - (2a + 1)u i , j + a u i + 1, j + hfi , j i = 1, 2, , N - 1; j = 0,1, , M - (3.3) Nhận xét: Hệ thức (3.3) kết hợp với hệ thức (3.2) cho phép xác định giá trị vector U j + = (u 0, j + i , u1, j + 1, , u N , j + ) vector nghiệm thông qua giá trị vector lớp j Vì xây dựng lược đồ tính toán sau: Bước 1: Xác định giá trị vector nghiệm lớp j = U = (u (0), u (1), , u (N )) Bước 2: Bước lặp, " j = 0,1, 2, , M - xác định giá trị vector lớp j + theo công thức u i , j + = a u i - 1, j - (2a + 1)u i , j + a u i + 1, j + hfi , j i = 1, 2, , N - 1; j = 0,1, , N - u 0, j + = uN , j + k1 h m1 (0, j ) , k1 + s h m2 (N , j ) k2 = u N - 1, j + + , k2 + s k2 + s k1 + s u1, j + - Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 38 http://www.lrc.tnu.edu.vn Sử dụng sơ đồ tính toán trên, nghiệm xấp xỉ toán xác định từ Truyen_nhiet_2.m (Xem phần phụ lục trang 40) Bảng số 3.3: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm u * (x , t ) = e ( x + 1) , m1(x ) = e t , m2 (x ) = e 1+ t , u (x ) = e x , k1 = k2 = 0, k (x ) = 1, s = s = 1, l = 1, T = M N Sai số M N Sai số 200 4.2695e-4 500 15 1.2345e-4 200 9.6481e-5 500 20 1.7223e-4 200 4.1616e-5 1000 10 6.7629e-5 200 10 8.6348e-5 1000 15 3.4317e-5 500 10 3.2850e-4 1000 20 1.5223e-4 Bảng số 3.4: Kết kiểm tra thuật toán với hàm nghiệm u * (x , t ) = sin(x + t ), m1(t ) = sin(t ), m2 (t ) = sin(1 + t ), u (x ) = sin(x ), k1 = k2 = 0, k (x ) = 1, s = s = 1, l = 1, T = M N Sai số M N Sai số 200 0.0175 500 15 0.0065 200 0.0150 500 20 0.0094 200 0.0133 1000 10 0.0070 200 10 0.0096 1000 15 0.0064 500 15 0.0095 1000 20 0.0049 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 39 http://www.lrc.tnu.edu.vn Nhận xét + Để đảm bảo lược đồ ổn định cần chọn số điểm lưới thỏa mãn điều kiện k < < h + Sơ đồ xác định nghiệm xấp xỉ toán truyền nhiệt với vế phải hệ điều kiện biên tùy ý Hình 3.2: Đồ thị nghiệm xấp xỉ toán với hệ điều kiện biên vế phải f (x , t ) = cos(x + t ) - sin(x + t ) + x - t ; m1(t ) = sin t + t , m2 (t ) = sin(1 + t ) + cos t , u (x ) = e x l = 1, T = 1, s = s = 1, k1 = k2 = Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 40 http://www.lrc.tnu.edu.vn KẾT LUẬN Nội dung luận văn trình bày kiến thức toán truyền nhiệt tổng quát, điều kiện tồn nghiệm, phương pháp sai phân giải toán truyền nhiệt số kết tính toán máy tính điện tử Các kết luận văn gồm: Nghiên cứu mô hình tổng quát toán truyền nhiệt lý thuyết phương pháp tách biến xác định nghiệm giải tích toán truyền nhiệt thông qua khai triển Fourier số toán cụ thể Dựa sở tài liệu [5, 8], luận văn trình bày sở phương pháp lưới xây dựng lược đồ sai phân giải toán truyền nhiệt, tính ổn định cấp xác lược đồ sai phân Trên sở lược đồ sai phân, luận văn đưa kết cài đặt thuật toán giải hệ phương trình sai phân toán truyền nhiệt, đánh giá độ xác lược đồ sai phân Hướng phát triển thời gian tới luận văn tiếp tục nghiên cứu lược đồ sai phân giải toán truyền nhiệt truyền sóng không gian nhiều chiều Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 41 http://www.lrc.tnu.edu.vn TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2000), Giải tích số, Nhà xuất Đại học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương (2001), Phương trình đạo hàm riêng, Nhà xuất giáo dục [3] Tạ Văn Đĩnh (2005), Phương pháp sai phân phương pháp phần tử hữu hạn, Nhà xuất Khoa học Kỹ thuật [4] Vũ Vinh Quang, Nguyễn Đình Dũng (2008), “Các kết ứng dụng phương pháp phân rã giải toán ô nhiễm môi trường”, Tạp chí Khoa học Công nghệ Đại học Thái Nguyên, T1(45), 48-54 Tiếng Anh [5] Hairer E., Norsett S P., Wanner G (1993), Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problem, Springer [6] Marchuk G I (1982), Methods of Numerical Mathematics, Springer, New York [7] Samarskij A., Nikolaev E (1989), Numerical Methods for Grid Equations, Vol 2, Birkhauser, Basel [8] Piotr M., Grigorii M (2004), “Monotone and economical difference schemes on nonuniform grids for a multidimensional parabonlic equation with a boundary condition of the third kind”, Computational methods in applied mathematics, (3), pp.350 – 367 Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 42 http://www.lrc.tnu.edu.vn PHẦN PHỤ LỤC Chương trình truyền nhiệt dừng function Truyen_nhiet_1 = qh2222(e,g,p,q,f,A,B,alpha0,alpha1,beta0,beta1,n) h=(g-e)/n; for i=2:n; c(i)=2*(q(i)*h^2-2)/(2+p(i)*h); a(i)=(2-p(i)*h)/(2+p(i)*h); b(i)=1; f(i)=2*h^2*f(i)/(2+p(i)*h); end; f(1)=f(2)*alpha1-2*h*A*b(2);f(n+1)=f(n)*beta1-B*a(n)*2*h; c(1)=a(2)*alpha1-alpha0*2*h*b(2)-3*b(2)*alpha1; b(1)=c(2)*alpha1+4*b(2)*alpha1; a(n+1)=c(n)*beta1+4*a(n)*beta1; c(n+1)=b(n)*beta1-beta0*2*h*a(n)-3*a(n)*beta1; u2=truyduoi(a,b,c,f,n+1); %%%%%%%%%%% function u=truyduoi(a,b,c,f,n) alpha(1)=-b(1)/c(1);beta(1)=f(1)/c(1); %Buoc xuoi for k=2:n-1; alpha(k)=-b(k)/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); beta(k)=(f(k)-a(k)*beta(k-1))/(a(k)*alpha(k-1)+c(k)); end; %Buoc nguoc u(n)=(f(n)-a(n)*beta(n-1))/(a(n)*alpha(n-1)+c(n)); for k=(n-1):-1:1; u(k)=alpha(k)*u(k+1)+beta(k); end; Phương trình truyền nhiệt không dừng chiều % chuong trinh test giai bai toan truyen nhiet chieu tu % bang phuong phap so diem % Ngay lap 20/4/2016 % Da kiem tra chinh xac % Truong hop biet truoc nghiem dung % Do chinh xac O(h) function truyen_nhiet_1=truyen_nhiet_1(L,T,m,n); clc; h=L/n;k=T/m;alpha=k/(h*h); for i=0:n; for j=0:m; uu(i+1,j+1)=0;%Nhiet tren toan mien ud(i+1,j+1)=udung(i*h,j*k); end; end; for i=1:n-1; u(i)=phi(i*h); end; y0=f0(0);y1=f1(0); Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 43 http://www.lrc.tnu.edu.vn for j=1:m; v(1)=alpha*y0+(1-2*alpha)*u(1)+alpha*u(2); v(n-1)=alpha*u(n-2)+(1-2*alpha)*u(n-1)+alpha*y1; for i=2:n-2; v(i)=alpha*u(i-1)+(1-2*alpha)*u(i)+alpha*u(i+1); end; t=j*k;y0=f0(t);y1=f1(t); for i=1:n-1; u(i)=v(i); uu(i+1,j+1)=u(i); end; end; for i=0:n; uu(i+1,1)=phi(i*h); end; for j=0:m; uu(1,j+1)=f0(j*k); uu(n+1,j+1)=f1(j*k); end; %xac dinh sai so saiso=0; for i=0:n; for j=0:m; if abs(ud(i+1,j+1)-uu(i+1,j+1))>saiso; saiso=abs(ud(i+1,j+1)-uu(i+1,j+1)); end; end; end; saiso uu % Ve thi nghiem %mesh(uu'); %%%%%%%%%%% function udung=udung(x,t); udung=exp(x+t); function f0=f0(t); f0=exp(t); function f1=f1(t); f1=exp(1+t); function phi=phi(x); phi=exp(x); Phương trình truyền nhiệt tổng quát % chuong trinh test giai bai toan truyen nhiet chieu tu % bang phuong phap so diem % Bai toan tong quat u't=au''+bu'+cu+f % Ngay lap 20/4/2016 % Da kiem tra chinh xac % Truong hop biet truoc nghiem dung % Do chinh xac O(h) % m luoi theo thoi gian Số hóa Trung tâm Học liệu – ĐHTN 44 http://www.lrc.tnu.edu.vn % n luoi theo truc x % Chu ý dieu kien n/m