Phương pháp lưới giải phương trình truyền nhiệt

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đạo hàm riêng ngành giải tích toán học nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng nghiệm chúng Nó có mối liên hệ với ngành toán học khác giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giải tích phức, giải tích số,… Vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường nói chung thực Bởi để tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng người ta thường phải sử dụng phương pháp giải gần phương trình Một số phương pháp để giải gần phương trình như: Phương pháp lưới, phương pháp đường thẳng,… Trong phương pháp lưới phương pháp số thông dụng để giải toán biên phương trình vi phân đạo hàm riêng Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiều sâu lý thuyết đạo hàm riêng, em chọn đề tài: “Phƣơng pháp lƣới giải phƣơng trình truyền nhiệt’’ Khóa luận nghiên cứu vấn đề quan trọng lý thuyết đạo hàm riêng là: Sử dụng phương pháp lưới vào việc giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Nội dung khóa luận bao gồm: Chƣơng P riêng Chƣơng Công thức sai phân Các khái niệm bản: Phần đưa kiến thức ban đầu công thức sai phân phương pháp lưới bao gồm: 1) Chọn lưới 2) Thiết lập công thức sai phân 3) Khảo sát hội tụ lược đồ sai phân Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chƣơng Sự hội tụ ổn định lƣợc đồ sai phân Phƣơng pháp lƣới giải toán hỗn hợp phƣơng trình truyền nhiệt: Phần nói việc áp dụng phương pháp lưới vào việc giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn trình độ non trẻ vấn đề trình bày không tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 05 năm 2011 Sinh viên Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chƣơng Phương trình đạo hàm riêng phân thành dạng phổ biến sau: 1.1 PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT (PHƢƠNG TRÌNH PARABOLIC) Giả sử nhiệt độ vật thể điểm x xác định hàm u ( x, t ) C 2,1 0,T x1, x2 , x3 thời điểm t ta gọi vật thể vật thể đẳng hướng, tức vật truyền theo hướng Giả sử nhiệt 1 miền tùy ý với biên trơn Ta xét thay đổi sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 Theo định luận Newton, sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 lượng nhiệt truyền qua mặt bằng: t2 dt k ( x) t1 u ds v (1.1) Trong u / v đạo hàm theo hướng pháp tuyến mặt , k ( x) hàm dương gọi hệ số truyền nhiệt bên vật thể điểm x Trong vật thể tự sinh nhiệt (chẳng hạn tác động dòng điện hay phản ứng hóa học) Khi lượng nhiệt sinh vật thể sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 là: t2 dt t1 Nguyễn Thị Nhanh f ( x, t )dx (1.2) K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Ở f ( x, t ) mật độ nguồn nhiệt điểm x thời điểm t Mặt khác thay đổi lượng nhiệt bên sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 xác định qua thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi lượng nhiệt bằng: u ( x, t1) dx c ( x ) ( x ) u ( x, t ) (1.3) Ở điểm ( x) hàm mật độ c(x) nhiệt dung riêng vật thể x Ta giả thiết k(x) f ( x, t ) C ( C1 ( ) , 0, T ) , ( x) C ( ) c( x) C ( ) Từ (1.1), (1.2), (1.3), theo định luận bảo toàn lượng ta nhận đẳng thức sau: t2 c ( x ) ( x ) u ( x, t ) dt u ( x, t1) dx = k ( x) t1 u ds + v t2 dt + f ( x, t )dx (1.4) t1 Theo công thức Gauss - Ostrogradsky ta có: t t2 dt t1 u dt k ( x) ds = v i t1 xi k ( x) u dx xi Bởi đẳng thức (1.4) viết dạng: t t2 dt t1 u dt c( x) ( x) dx = t i t1 xi u dx + xi k ( x) t2 + dt t1 Bởi miền tùy ý f ( x, t )dx (1.5) khoảng thời gian t1, t2 tùy ý, hàm dấu tích phân liên tục, nên từ (1.5) ta nhận được: Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội u u c( x) ( x) = k ( x) t x xi i i với t 0,T x + f ( x, t ) , (1.6) Phương trình (1.6) với f ( x, t ) c( x), ( x), k ( x) số gọi phương trình truyền nhiệt Lần phương trình Fourier thiết lập vào năm 1882 Sau đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học kỷ 19 Trong thực tiễn, chế độ nhiệt biên vật thể ảnh hưởng tới phân bố nhiệt bên Ngoài ra, nhiệt độ bên vật thể thời điểm ban đầu t = nhiệt độ biên vật thể thời điểm t xác định đơn trị nhiệt độ vật thể t > Bài toán tìm nghiệm phương trình (1.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu: ut u0 ( x) (1.7) (1.8) Và điều kiện biên dạng: u 0,T Được gọi toán biên ban đầu thứ phương trình (1.6) Nếu biết lượng nhiệt truyền qua phần biên vật thể sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 , theo định luận Newton đạo hàm theo hướng pháp tuyến biên xác định đơn trị điểm biên thời điểm Từ nảy sinh toán biên ban đầu thứ hai phương trình (1.6), tức toán tìm nghiệm u ( x, t ) phương trình (1.7) thỏa mãn điều kiện biên dạng: u v Nguyễn Thị Nhanh 0,T (1.9) K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE 1.2 (PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC) Trong ví dụ xét nhiệt độ vật thể ổn định, tức không phụ thuộc vào thời gian hàm u ( x) cho phân bố dừng nhiệt độ thỏa mãn phương trình: u f ( x) i xi (1.10) Phương trình (1.10) lần đầu S Poisson đưa vào năm 1813 gọi phương trình Poisson Trong trường hợp f ( x) phương trình (1.10) gọi phương trình Laplace Phương trình thấy công trình L Euler J Lagrange, lần nghiên cứu hệ thống công trình P Laplace vào năm 1782 năm 1787 Bài toán phân bố dừng nhiệt độ bên vật thể theo nhiệt độ cho biên gọi toán Dirichlet theo tên nhà toán học L Dirichlet ông người chứng minh nghiệm toán 1.3 PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG (PHƢƠNG TRÌNH HYPERBOLIC) Có nhiều trình dao động mô tả phương trình: a n u i xi u t2 , a const (1.11) Phương trình gọi phương trình truyền sóng Trường hợp n = phương trình (1.11) mô tả dao động dây Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giả thiết vị trí ban đầu sợi dây trùng với trục Ox dao động mặt thẳng đứng nhờ tác động Để đơn giản ta coi điểm dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox mặt phẳng ( x, u ) Tung độ u cho độ lệch dây khỏi vị trí cân Như u hàm biến x t Giả thiết thêm dây có độ dày nhau, dây không giãn không cưỡng lại uốn sau thời điểm ban đầu ngoại lực tác động vào dây Khi hàm u ( x, t ) thỏa mãn phương trình u u x2 a2 t Ở a số phụ thuộc vào tính chất vật lí dây (1.12) Nếu vị trí cân dây trùng với đoạn 0, l trục ox cố định hai đầu mút việc xác định lại hình dáng dây thời điểm dẫn đến toán tìm nghiệm phương trình (1.12) thỏa mãn điều kiện biên: u ( x,0) 0, u (l , t ) với điều kiện ban đầu: u t u0 ( x), u t t u1( x) Phương trình (1.12) phương trình đạo hàm riêng nghiên cứu chi tiết vào kỉ XVIII Nhiều quy luật vật lí học khác đưa đến phương trình tương tự với (1.12) Chẳng hạn quy luật dao động màng biểu diễn phương trình (1.11) với n = 2, quy luật dao động nhỏ chất khí lí tưởng mô tả nhờ (1.11) với n = Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giả sử cần tìm nghiệm phương trình vi phân Lu f, (2.1) miền D với chu tuyến Г Để giải phương trình (2.1) phương pháp lưới miền D = D + Г ta chọn tập điểm Dh M h (số điểm M h đặc trưng giá trị h : Giá trị h nhỏ nhiều số điểm tập Dh ) Tập Dh gọi lưới, điểm M h nút lưới Hàm số xác định nút lưới gọi hàm số lưới Giả sử có u h – nghiệm xác phương trình (2.1) nút lưới Dh Theo quy tắc, việc xác định u h Do ta phải tìm hàm số lưới u ( h) u h giải toán gần đúng, nghiệm phương trình (2.2) Lhu h f ( h) , (2.2) xấp xỉ “gần” với nghiệm phương trình (2.1) Phương trình (2.2) gọi công thức sai phân Ta ký hiệu không gian tuyến tính định chuẩn hình thành hàm số u ( h ) U h , không gian tuyến tính hình thành f ( h) Fh Khi ta coi không gian U h Fh không gian định chuẩn U h , Fh Nếu Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội u h u h h 0, (2.3) Uh nói công thức sai phân hội tụ Nếu với giá trị h h0 có bất đẳng thức: u u h h Ch k C const , (2.4) Uh nói, hội tụ bậc k theo với h Tóm lại, giải toán (2.1) phương pháp lưới cần: 1) Chọn lưới 2) Thiết lập công thức sai phân 3) Khảo sát tính hội tụ công thức sai phân Việc khảo sát tính hội tụ công thức sai phân tiến hành theo bước: 1) Xác lập toán gần (2.1) công thức sai phân (2.2) 2) Kiểm tra tính ổn định công thức sai phân Cho công thức sai phân (2.2) gần với (2.1) như: Lh u h P f ( h) PFh Giá trị f ( h) h f ( h) , f (h) gọi sai số gần Nếu f h M hl , Fh nói công thức sai phân (2.2) gần với phương trình (2.1) nghiệm u h với bậc l tương ứng với h Công thức sai phân (2.2) gọi ổn định tồn giá trị h0 cho với giá trị h h0 f (h) Fh thỏa mãn: 1) Công thức sai phân (2.2) có nghiệm Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp 2) Pu h PU h KPf Trường ĐHSP Hà Nội h PFh , K – số không phụ thuộc vào h f ( h) Nếu công thức sai phân (2.2) xấp xỉ (2.1) với bậc l theo h thỏa mãn (2.4) k = l Giả sử cho trước toán tử vi phân L tác động lên hàm số u Thay đạo hàm tương ứng Lu tỉ sai phân, ta thu lược đồ sai phân Lhu(h) tổ hợp tuyến tính hàm số lưới u(h) tập hợp nút lưới Lhu h x Ah x, u h , (2.5) xj (2.6) III x Lhu h xi Ah xi , x j u h x j III x j xi – nút lưới Ví dụ Giả sử cần xây dựng công thức sai phân để xác định đạo hàm u ( x, t ) thỏa mãn phương trình (2.7), u x, t t t ,t x u x, t x a f x, t , (2.7) thỏa mãn điều kiện ban đầu u x,0 x , x (2.8) Đạo hàm u / t thay tỉ sai phân sau: u x, t t Nguyễn Thị Nhanh u h x, t u 10 h x, t , (2.9) K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 r 4ar sin ( const ) r 0,1 h2 n um n um n um 1 n 2um h n Thay um const h2 n um 1 (1 ) n um n 2um h n um n i m e u0 1 )sin 4r (1 4r sin 1 2(1 )r sin 2 2.4.2 Phƣơng pháp Maximum : u ( x, t ) t u ( x, t ) x ( x, t ) , ( x u ( x,0) n um um Nguyễn Thị Nhanh n um ( xm ) , , t T ) , (2.21) ( x) n n um um h ( xm , tn ) , (2.22) (m 0, 1, ; n 0, N ) , 24 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội T N (2 : n um :r n Thay um h n (1 r )um n rum ( xm , tn ) , (2.23) n i m e : u0 rei r r 1, a) Giả sử r , ta áp dụng phương pháp Maximum đây: u h n max um , m, n Uh h f max m Fh ( xm ) max ( xm , tn ) m, n Từ (2.22) suy ra: n um n rum n (1 r )um xm , tn n r um (1 n r ) um xm , tn , tức n um n max um max ( xm , tn ) m m, n Tổng hợp vế bất đẳng thức max u 0m m Nguyễn Thị Nhanh max ( xm ) , m 25 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội max u1m max um max ( xm , tn ) , max um max u1m max ( xm , tn ) , m m m m, n m m, n n max um n max um n max um max m max ( xm , tn ) , m m, n ta thu m ( xm ) m n max ( xm , tn ) m, n Suy n max um m, n max ( xm ) m N max ( xm , tn ) m, n K (max m K max(1, T ), T ( xm ) max ( xm , tn ) ) , m, n N Như r ≤ lược đồ sai phân (2.22) th Tương tự, với toán: u u ( x, t ), ( x t x2 u ( x,0) ( x) ; t T ), Ta xét lược đồ sai phân: n um n um n um n 2um h um ( xm , tn ) , ( xm ), (m 0, 1, ; n 0, N 1) , r Nguyễn Thị Nhanh n um h2 const 26 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Thay r Trường ĐHSP Hà Nội : h2 n um n Thay um n rum n (1 2r )um ( xm , tn ) (2.24) n i m e u0 vào phương trình nhất, ta được: 4r sin Để n rum với ta phải có r Như r > 1/2 theo nghĩa Neumann, lược đồ sai phân không ổn định từ (2.24) suy ra: Nếu r n um n rum n (1 2r )um n rum n r um n max um m, n max m ( xm ) ( xm , tn ) n (1 2r ) um m, n m K max(1, T ), ( xm , tn ) N max ( xm , tn ) K (max n r um T ( xm ) max ( xm , tn ) ) , m, n N Nguyễn Thị Nhanh 27 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Chƣơng SỰ HỘI TỤ VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƢỢC ĐỒ SAI PHÂN PHƢƠNG PHÁP LƢỚI TRONG GIẢI BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 3.1 SỰ IT SAI PHÂN Giả sử phương trình vi phân có tham gia hàm số ψ Chọn điểm P tùy ý thuộc miền xác định hàm số cần tìm u Giả sử giá trị u ( P) phụ thuộc vào giá trị ψ điểm tập G G ( P) thuộc miền xác định hàm số ψ, tức thay đổi giá trị ψ lân cận nhỏ điểm Q thuộc miền G ( P) kéo theo thay đổi u ( P) Giả sử để xác định u ta sử dụng lược đồ sai phân Lhu (h) f ( h) , giá trị nghiệm u ( h ) nút lưới gần với điểm P xác định hoàn toàn giá trị hàm số ψ tập G ( h) Để thỏa mãn u ( h ) cho h u h G ( h) P 0, lược đồ sai phân cần xây dựng h0 lân cận tùy ý điểm thuộc miền G ( P) phải có điểm tập G h Điều kiện gọi điều kiện Curant, Fridxicxơ Levi Từ điều kiện xác định không chấp nhận lược đồ sai phân Cần lưu ý điều kiện Curant, Fridxicxơ Levi điều kiện cần cho hội tụ ổn định lược đồ sai phân Ví dụ Sử dụng điều kiện Curant, Fridxicxơ Levi khảo sát lược đồ sai phân sau: Nguyễn Thị Nhanh 28 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Lhu (h) n um Lhu n um f ( h) , n um n um 1, h um , h m 0, 1, 2, , n 0, 1, 2, , N 1, xm , tn , f h ( xm ), m 0, 1, 2, , n 0, 1, 2, , xm = mh, tn = nτ, Nτ = Biết lược đồ sai phân cho xấp xỉ toán vi phân với sai số h toán Cauchy u t u x ( x, t ), u ( x,0) x , ( x), t 1, x Bài giải Nghiệm phương trình vi phân điểm xP , tP phụ thuộc vào giá trị hàm số x t C C ( x, t ) ( x ) tất điểm mà đường thẳng const , xuất phát từ điểm A trục Ox qua điểm P Thật vậy: dx dt 1, du dt u t u dx x dt x, t , tP u xP , t P x(t ), t dt ( A) Nguyễn Thị Nhanh 29 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Giả sử xP Trường ĐHSP Hà Nội 0, tP Khi C = 1, tức nghiệm phương trình vi phân phụ thuộc vào giá trị hàm số t ≤ 1) giá trị ( x, t ) đường thẳng x t (0 ≤ (1) Dễ thấy, u0N thu lược đồ với sai phân phụ thuộc vào giá trị với x thuộc [ Nh, 0] Suy ra, thay đổi giá trị ( x) , (1) giữ nguyên giá trị ( x ) x thuộc [ Nh, 0] dẫn tới thay đổi nghiệm phương trình vi phân, giữ nguyên nghiệm phương trình sai phân Tức không đảm bảo tính hội tụ Khi khảo sát lược đồ sai phân với hệ số không đổi ta áp dụng dấu hiệu phổ ổn định (dấu hiệu Neumann) Cũng giống điều kiện Curant, Fridxicxơ Levi, dấu hiệu phổ điều kiện cần ổn định Bản chất làm rõ ví dụ khảo lược đồ sai phân sau: n um n um n um n um xm , tn , h um xm , m 0, 1, 2, , n 0,1,2, , N 1, xấp xỉ toán (2.7), (2.8) lưới mh, n a = với sai số h Theo định nghĩa ổn định, nghiệm toán sai phân Lhu (h) f (h) phải thỏa mãn điều kiện u h K f Uh h f (h) bất Fh kỳ Suy ra, điều kiện phải thỏa mãn với 0, m 0, 1, f1( h) 2, , n 0, 1, 2, , eim , m 0, 1, 2, , đó, i – đơn vị ảo Nguyễn Thị Nhanh 30 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bài toán sai phân Lhu h f1( h) viết thành dạng: n n um rum n (1 r )um , um m 0, 1, r / h, (3.1) eim , 2, , n 0, 1, 2, n Nghiệm phương trình (3.1) tìm dạng um n im e Nếu |λ| ≤ + Cτ, C = const, nghiệm (3.1) có giới hạn tiếp tục tiến hành khảo sát Trường hợp ngược lại kết luận lược đồ sai phân không ổn định Trong trường hợp um im eim e n Thế um vào (3.1), ta thu n i m e r n i (m 1) e (1 r ) n im e , từ rei (1 r ) Giá trị λ nằm đường tròn bán kính r với tâm (1 r, 0) Nếu r ≤ λ ≤ Trường hợp r > tìm giá trị α tương ứng cho |λ| > >1 Như vậy, r > lược đồ sai phân không ổn định Khi r ≤ thỏa mãn điều kiện cần ổn định ta tiếp tục khảo sát Giả sử u h Uh f h max Fh m n max um , m, n ( xm ) max ( xm , tn ) (3.2) m, n Từ (3.1) r ≤ ta có Nguyễn Thị Nhanh 31 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp n um n rum Trường ĐHSP Hà Nội n (1 r )um xm , tn n r um n r um xm , tn tức n um n max um max ( xm , tn ) m m, n Tổng hợp vế bất đẳng thức max um ( xm ) , max m m max u1m max um max ( xm , tn ) , max um max u1m max ( xm , tn ) , m m m m, n m m, n n max um m n max um m max ( xm , tn ) , m, n ta thu n max um m max m ( xm ) n max ( xm , tn ) (3.3) m, n Suy n max um m, n max m ( xm ) N max ( xm , tn ) (3.4) m, n K (max m K max(1, T ), T ( xm ) max ( xm , tn ) ) , m, n N Như r ≤ 1đối với lược đồ sai phân (3.1) thỏa mãn điều kiện ổn định lược đồ sai phân xấp xỉ với toán Cauchy (2.7), (2.8) nên nghiệm hội tụ với nghiệm toán (2.7), (2.8) Nguyễn Thị Nhanh 32 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Giả sử cần tìm u ( x, t ) nghiệm phương trình u t u a ( x, t ) ( x, t ), x2 x 1, t T, (3.5) thỏa mãn điều kiện: u(0, t ) (t ), u ( x,0) Trong với (0) ( x, t ), (0), ( x), o (t ), (1) u(1, t ) 1(t ), 1(0) 1(t ), x t T, ( x), a( x, t ) (3.6) (3.7) hàm số biết phương trình (3.5) (3.7) coi có nghiệm đủ trơn Chọn lưới tất điểm có tọa độ xm = mh, tn = nτ, (m = 0, 1, , M, n = 0, 1, , N), h = 1/M, τ = T/N Để xác lập lược đồ sai phân, sử dụng phương pháp trình bày chương Trường hợp riêng tiếp nhận lược đồ sai phân sau: n um n n sm um (1 u0n n n sm )um n uM (tn ), um n n sm um ( xm , tn ) , 1(tn ) , (3.9) ( xm ) , (3.10) m 1, M 1, n sm n (3.8) n 1, , N 1, a ( xm , tn ) Sai số phép xấp xỉ toán (3.5) – (3.7) lược đồ sai phân (3.8) (3.10) theo tiêu chuẩn (2.20) đánh giá giá trị: Nguyễn Thị Nhanh 33 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 h2 (4) A Mx 12 M t(2) Trong M t(2) u max ( x,t ) 0,1 t2 0,T A , u max ( x,t ) 0,1 0,T t4 , a ( x, t ) max ( x,t ) 0,1 M x(4) 0,T Lược đồ ổn định τ/h2 ≤ 1/(2A) trường hợp này: n um u ( xm , tn ) T M t(2) h2 (4) A Mx 12 Kết tính toán theo lược đồ sai phân trình bày bảng n Giá trị u0 uM (n = 0, 1, , N) tìm theo (3.9), um – theo (3.10), n giá trị lại um tính theo thứ tự n = 1, , N, theo biểu thức (3.8) Điều kiện τ/h2 ≤ 1/(2A) điều kiện cần để hội tụ lược đồ sai phân dẫn tới số lớn bước theo τ Trong trường hợp sử dụng lược đồ sai phân ẩn dạng: n n sm um n n sm um n n sm um ( xm , tn ) n , um (3.11) m 1, , M 1, n 1, , N , u0 (tn ), um n uM 1(tn ), n 0, 1, 2, , N , ( xm ), m 1, M (3.12) (3.13) Sai số xấp xỉ phương trình (3.5) – (3.7) đánh giá lược đồ sai phân ẩn đánh (3.8) – (3.10) Nguyễn Thị Nhanh 34 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội n u0n u1n … 0 (t0 ) ( x1) … (t1) u11 … u1M … … … … … N 1(t N ) u1N …… n uM xM N uM n uM 1(t0 ) 1(t1) …… 1(t N ) Tuy nhiên, lược đồ sai phân ẩn ổn định với giá trị hữu hạn τ/h2 Trong đó: n um u ( xm , tn ) T M t(2) A h2 (4) Mx 12 n Việc xác định um theo lược đồ sai phân ẩn (3.11) (3.13) tiến hành thứ tự theo lớp Ở lớp cần giải hệ phương trình đại số tuyến tính Để áp dụng việc ta thường dùng phương pháp khử lặp Ví dụ Với x 0,02m ; = m 0, 1, 2, ,5 ; t = 0,08 Tìm nghiệm phương trình: u t u x2 , x 1, t 0,08 Thỏa mãn điều kiện: u (0, t ) t, u (1, t ) u ( x,0) x / 2, 1) Theo lược đồ sai phân hiện, lấy h 2) Theo lược đồ sai phân ẩn, lấy h Nguyễn Thị Nhanh 0,5 t, 0 t x 0,08, 0,2 ; τ = 0,02 0,2 ; τ = 0,08 35 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội Bài giải Lược đồ sai phân toán viết dạng: n um n 0,5 um u0n tn , u5n um n um , 0,5 tn , xm / 2, m 1, ,5, n 0, 1, 2, Kết tính toán trình bày bảng 2 u0n n u1n u2n u3n u4n u5n 0,00 0,02 0,08 0,18 0,32 0,50 0,02 0,04 0,10 0,20 0,34 0,52 0,04 0,06 0,12 0,22 0,36 0,54 0,06 0,08 0,14 0,24 0,38 0,56 0,08 0,10 0,16 0,26 0,40 0,58 Khi giải toán theo lược đồ sai phân ẩn, ta thu 2u1m u10 5u1m 0,08, u15 2u1m 0,58, um , um xm / 2, m 1, 2, 3, Giải hệ ta tìm : u10 0,88, u11 Nguyễn Thị Nhanh 0,10, u12 0,16, u13 36 0,26, u14 0,40, u15 0,58 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội KẾT LUẬN Trong em trình bày phương pháp lưới giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Trong chương em trình bày phân loại phương trình đạo hàm riêng, phân phương pháp lưới giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Tuy nhiên thời gian có hạn, trình độ non trẻ nên vấn đề trình bày không tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy cô bạn đọc để khóa luận hoàn thiện Nguyễn Thị Nhanh 37 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kì Anh 2002 , Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Văn Tường 2009 , Giải tích số, NXB Giáo Dục V S Bladimirov [1981], Phương trình vật lí toán, NXB Giáo Dục Itogi Nauka i tekhniki 1988 , Các vấn đề đại toán học, NXB Giáo Dục V P Mikhailov 1976 , Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục S G Mikhlin [1977], Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Giáo Dục O A Oleinik [1979], Các giảng phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục Nguyễn Thị Nhanh 38 K33 A Khoa toán [...]... thường sử dụng một phương pháp khác, đó là phương pháp hệ số bất định Theo phương pháp này, trong lân cận các nút lưới ta chọn tất cả các điểm, giá trị của hàm số lưới tại đó sẽ được gán cho các giá trị gần đúng với nút lưới của phương trình vi phân, của biên hoặc Nguyễn Thị Nhanh 12 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 của điều kiện ban đầu Sau đó lập phương trình dạng (2.6) Các... (2.18) 2, ; n 0, 1, 2, Tập nút lưới giải áp dụng vào xấp xỉ phương trình (2.7), có thể biểu diễn dưới dạng sau: (xm,tn+1) * * * (xm-1,tn) (xm,tn) * (xm, tm+1) * * (xm,tn) (xm+1,tn) * (xm-1,tn) * (xm,tn+1) * * (xm,tn) (xm+1,tn) Sử dụng (2.9) (xm,tn) (xm+1,tn) * * * (xm,tn-1) (2.14) có thể thu được các lược đồ sai phân khác cho phương trình (2.7) và (2.8) Ta viết phương trình (2.7) dưới dạng: u t 1 u... m, n N Nguyễn Thị Nhanh 27 K33 A Khoa toán Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 Chƣơng 3 SỰ HỘI TỤ VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƢỢC ĐỒ SAI PHÂN PHƢƠNG PHÁP LƢỚI TRONG GIẢI BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 3.1 SỰ IT SAI PHÂN Giả sử trong phương trình vi phân có sự tham gia của hàm số ψ nào đó Chọn một điểm P tùy ý thuộc miền xác định của hàm số cần tìm u Giả sử rằng giá trị u ( P) phụ thuộc... A h2 (4) Mx 12 n Việc xác định um theo lược đồ sai phân ẩn (3.11) (3.13) tiến hành thứ tự theo từng lớp Ở mỗi lớp cần giải hệ phương trình đại số tuyến tính Để áp dụng việc này ta thường dùng phương pháp khử lặp Ví dụ Với x 0,02m ; = m 0, 1, 2, ,5 ; t = 0,08 Tìm nghiệm của phương trình: 2 u t u x2 , 0 x 1, 0 t 0,08 Thỏa mãn các điều kiện: u (0, t ) t, u (1, t ) u ( x,0) x 2 / 2, 1) Theo lược đồ sai... là nghiệm của phương trình vi phân phụ thuộc vào giá trị của hàm số t ≤ 1) và giá trị ( x, t ) trên đường thẳng x t 1 (0 ≤ (1) Dễ thấy, u0N thu được lược đồ với sai phân phụ thuộc vào giá trị với x thuộc [ Nh, 0] Suy ra, nếu thay đổi giá trị ( x) , (1) và giữ nguyên giá trị ( x ) đối với x thuộc [ Nh, 0] sẽ dẫn tới thay đổi nghiệm của phương trình vi phân, giữ nguyên nghiệm của phương trình sai phân... tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2 của điều kiện ban đầu Sau đó lập phương trình dạng (2.6) Các hệ số Ah ( xi , y j ) được lựa chọn sao cho thỏa mãn phương trình Rh u xi Lh u xi L u xi 0 khi h 0 Trong quá trình đó, sử dụng khai triển nghiệm chính xác của phương trình (2.1) tại nút x j theo công thức Taylor trong lân cận điểm xi Cần lưu ý rằng việc chọn hệ số Ah ( xi , x j ) có thể xuất hiện ẩn số có cùng... khả dĩ, lựa chọn trong đó lược đồ có bậc hội tụ lớn nhất và tiện nhất cho tính toán Ví dụ 2 Trên lưới (xi, tj), trong đó xi = ih, tj = jτ, xây dựng lược đồ sai phân xấp xỉ với phương trình vi phân u t Lu x, t sử dụng tập nút lưới Ш xi , t j a u x x, t , xi , t j , xi 1, t j , xi 1, t j , xi , t j 1 Bài giải Giả sử rằng Lhu h xi , t j A xi , t j uij 1 B xi , t j uij C xi , t j uij 1 D xi , t j uij 1... cần tìm u ( x, t ) là nghiệm của phương trình u t 2 u 2 a ( x, t ) ( x, t ), 0 x2 x 1, 0 t T, (3.5) thỏa mãn các điều kiện: u(0, t ) 0 (t ), u ( x,0) Trong đó với (0) ( x, t ), 0 (0), ( x), 0 o (t ), (1) u(1, t ) 1(t ), 1(0) 1(t ), x 0 t T, 1 ( x), a( x, t ) (3.6) (3.7) là các hàm số đã biết các phương trình (3.5) (3.7) được coi như có nghiệm đủ trơn và duy nhất Chọn lưới là tất cả các điểm có tọa độ... Nội 2 không phụ thuộc vào h và l thì điều này được thỏa mãn khi ( ) 1 với mọi Để bạn đọc làm quen với phương pháp phổ Neumann, tôi xin được trình bày những ví dụ từ đơn giản đến phức tạp Ví dụ 1 n 1 um 0 um n Thay um n um n um n um 1 h ( xm , tn ), ( xm ), ( m 0, 1, ; n 0, 1, , N 1) n i m u0 vào phương trình thuần nhất, đặt r : e n i m ước hai vế cho u0 ( 0) , ta được e 1 r re i h và giản dễ thấy với... Ta có , t 2 u t M t(2) , 2 3 u x M x(3) , 3 thì với chuẩn (2.20) ta thu được f h Fh 2 M t(2) h2 (3) a Mx 6 mann Phương pháp này cho điều kiện cần để lược đồ sai phân ổn định theo các giá trị ban đầu Ta gọi phổ của bài toán sai phân là tập hợp các giá trị ( , h) sao cho nghiệm của phương trình sai phân thuần nhất tương ứng có dạng: n um ,h n 0 i m um e (m 0, 1, , n 0, 1, , N ) Để lược đồ sai phân ổn ... em trình bày phương pháp lưới giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Trong chương em trình bày phân loại phương trình đạo hàm riêng, phân phương pháp lưới giải toán hỗn hợp phương trình truyền. .. PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN SÓNG (PHƢƠNG TRÌNH HYPERBOLIC) Có nhiều trình dao động mô tả phương trình: a n u i xi u t2 , a const (1.11) Phương trình gọi phương trình truyền sóng Trường hợp n = phương trình. .. định lƣợc đồ sai phân Phƣơng pháp lƣới giải toán hỗn hợp phƣơng trình truyền nhiệt: Phần nói việc áp dụng phương pháp lưới vào việc giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Do lần đầu làm quen