Phương pháp lưới giải phương trình truyền nhiệt

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội LỜI NÓI ĐẦU Lý thuyết đạo hàm riêng ngành giải tích tốn học nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng nghiệm chúng Nó có mối liên hệ với ngành toán học khác giải tích hàm, lý thuyết hàm, tơpơ đại số, giải tích phức, giải tích số,… Vấn đề tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng phương trình vi phân thường nói chung khơng thể thực Bởi để tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng người ta thường phải sử dụng phương pháp giải gần phương trình Một số phương pháp để giải gần phương trình như: Phương pháp lưới, phương pháp đường thẳng,… Trong phương pháp lưới phương pháp số thông dụng để giải toán biên phương trình vi phân đạo hàm riêng Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học tìm hiều sâu lý thuyết đạo hàm riêng, em chọn đề tài: “Phƣơng pháp lƣới giải phƣơng trình truyền nhiệt’’ Khóa luận nghiên cứu vấn đề quan trọng lý thuyết đạo hàm riêng là: Sử dụng phương pháp lưới vào việc giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Nội dung khóa luận bao gồm: Chƣơng P riêng Chƣơng Công thức sai phân Các khái niệm bản: Phần đưa kiến thức ban đầu công thức sai phân phương pháp lưới bao gồm: 1) Chọn lưới 2) Thiết lập công thức sai phân 3) Khảo sát hội tụ lược đồ sai phân Nguyễn Thị Nhanh K33 A Khoa toán Chƣơng Sự hội tụ ổn định lƣợc đồ sai phân Phƣơng pháp lƣới giải toán hỗn hợp phƣơng trình truyền nhiệt: Phần nói việc áp dụng phương pháp lưới vào việc giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn trình độ non trẻ vấn đề trình bày khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! 05 năm 2011 Sinh viên Chƣơng Phương trình đạo hàm riêng phân thành dạng phổ biến sau: 1.1 PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT (PHƢƠNG TRÌNH PARABOLIC) Giả sử nhiệt độ vật thể xác định hàm u(x,t) điểm x x1, x2 , x3 C 2,1 0,T thời điểm t ta gọi vật thể vật thể đẳng hướng, tức vật truyền theo hướng Giả sử nhiệt miền tùy ý với biên sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 trơn Ta xét thay đổi Theo định luận Newton, sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 truyền qua mặt bằng: t2 dt k(x) t1 u v lượng nhiệt ds (1.1) Trong u / v đạo hàm theo hướng pháp tuyến mặt , k(x) hàm dương gọi hệ số truyền nhiệt bên vật thể điểm x Trong vật thể tự sinh nhiệt (chẳng hạn tác động dòng điện hay phản ứng hóa học) Khi lượng nhiệt sinh vật thể sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 là: t2 dt t1 f (x,t)dx (1.2) Ở f (x,t) mật độ nguồn nhiệt điểm x thời điểm t Mặt khác thay đổi lượng nhiệt bên sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 xác định qua thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi lượng nhiệt bằng: Ở điểm c(x) (x) u(x,t ) u(x,t1) dx (1.3) (x) hàm mật độ c(x) nhiệt dung riêng vật thể x Ta giả thiết k(x) f (x,t) C0 ( C( ) , 0,T ) , (x) C0 ( ) c(x) C0 ( ) Từ (1.1), (1.2), (1.3), theo định luận bảo toàn lượng ta nhận đẳng thức sau: t2 c(x) (x) u(x,t ) u(x,t1) dx = dt t1 k(x) u ds + v t2 + dt f (x,t)dx (1.4) t1 Theo công thức Gauss - Ostrogradsky ta có: t2 dt t1 k(x) u ds = v t2 i t1 dt k(x) xi u dx xi Bởi đẳng thức (1.4) viết dạng: t2 t1 dt c(x) (x) u = t dx t2 i t1 dt u k(x) xi dx + xi t2 + dt t1 f (x,t)dx (1.5) Bởi miền tùy ý khoảng thời gian t1,t tùy ý, hàm dấu tích phân liên tục, nên từ (1.5) ta nhận được: c(x) (x) với 0,T x u t = (1.6) u i xi + f (x,t) , k(x) x i t Phương trình (1.6) với f (x,t) c(x), (x), k (x) số gọi phương trình truyền nhiệt Lần phương trình Fourier thiết lập vào năm 1882 Sau đối tượng nghiên cứu nhiều nhà toán học kỷ 19 Trong thực tiễn, chế độ nhiệt biên vật thể ảnh hưởng tới phân bố nhiệt bên Ngồi ra, nhiệt độ bên vật thể thời điểm ban đầu t = nhiệt độ biên vật thể thời điểm t xác định đơn trị nhiệt độ vật thể t > Bài tốn tìm nghiệm phương trình (1.6) thỏa mãn điều kiện ban đầu: ut u0(x) (1.7) Và điều kiện biên dạng: u 0,T (1.8) Được gọi toán biên ban đầu thứ phương trình (1.6) Nếu biết lượng nhiệt truyền qua phần biên vật thể sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 , theo định luận Newton đạo hàm theo hướng pháp tuyến biên xác định đơn trị điểm biên thời điểm Từ nảy sinh tốn biên ban đầu thứ hai phương trình (1.6), tức tốn tìm nghiệm u(x,t) phương trình (1.7) thỏa mãn điều kiện biên dạng: u v 0,T (1.9) 1.2 PHƢƠNG TRÌNH LAPLACE (PHƢƠNG TRÌNH ELLIPTIC) Trong ví dụ xét nhiệt độ vật thể ổn định, tức khơng phụ thuộc vào thời gian hàm u(x) cho phân bố dừng nhiệt độ thỏa mãn phương trình: u x i i f (x) (1.10) Phương trình (1.10) lần đầu S Poisson đưa vào năm 1813 gọi phương trình Poisson Trong trường hợp f (x) phương trình (1.10) gọi phương trình Laplace Phương trình thấy cơng trình L Euler J Lagrange, lần nghiên cứu hệ thống cơng trình P Laplace vào năm 1782 năm 1787 Bài toán phân bố dừng nhiệt độ bên vật thể theo nhiệt độ cho biên gọi toán Dirichlet theo tên nhà toán học L Dirichlet ông người chứng minh nghiệm toán 1.3 PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG (PHƢƠNG TRÌNH HYPERBOLIC) Có nhiều q trình dao động mơ tả phương trình: a2 n u u, i xi t a const (1.11) Phương trình gọi phương trình truyền sóng Trường hợp n = phương trình (1.11) mơ tả dao động dây Giả thiết vị trí ban đầu sợi dây trùng với trục Ox dao động mặt thẳng đứng nhờ tác động Để đơn giản ta coi điểm dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox mặt phẳng (x,u) Tung độ u cho độ lệch dây khỏi vị trí cân Như u hàm biến x t Giả thiết thêm dây có độ dày nhau, dây không giãn không cưỡng lại uốn sau thời điểm ban đầu khơng có ngoại lực tác động vào dây Khi hàm u(x,t) thỏa mãn phương trình 2u 2u t a2 x2 (1.12) Ở a số phụ thuộc vào tính chất vật lí dây Nếu vị trí cân dây trùng với đoạn 0, l trục ox cố định hai đầu mút việc xác định lại hình dáng dây thời điểm dẫn đến tốn tìm nghiệm phương trình (1.12) thỏa mãn điều kiện biên: u(x,0) 0, u(l,t) với điều kiện ban đầu: u u x u x 0( ), t 1( ) t Phương trình (1.12) phương trình đạo hàm riêng đầu t tiên nghiên cứu chi tiết vào kỉ XVIII Nhiều quy luật vật lí học khác đưa đến phương trình tương tự với (1.12) Chẳng hạn quy luật dao động màng biểu diễn phương trình (1.11) với n = 2, quy luật dao động nhỏ chất khí lí tưởng mơ tả nhờ (1.11) với n = Lhu (h) u n 1u n m Lhu m f (h) , u nu n mm , h h u0 , m m 0, 1, 2, , n f 0, 1, 2, , N 1, xm ,tn , h (xm ), m 0, 1, 2, , n 0, 1, 2, , xm = mh, tn = nτ, Nτ = Biết lược đồ sai phân cho xấp xỉ toán vi phân với sai số h toán Cauchy u t u x (x,t), u(x,0) x (x), , x x , Nghiệm phương trình vi phân điểm P tP (x) x t C C (x,t) 1, Bài giải hàm số t phụ thuộc vào giá trị tất điểm mà đường thẳng const , xuất phát từ điểm A trục Ox qua điểm P Thật vậy: dx dt 1, du dt u t u dx x dt x,t , tP u xP ,tP ( A) x(t),t dt Giả sử xP 0, tP Khi C = 1, tức nghiệm phương trình vi phân phụ thuộc vào giá trị hàm số t ≤ 1) giá trị Dễ thấy, (x,t) t (0 ≤ đường thẳng x (1) u0 thu lược đồ với sai phân phụ thuộc vào giá trị N (x) , với x thuộc [ Nh, 0] Suy ra, thay đổi giá trị (1) giữ nguyên giá trị (x) x thuộc [ Nh, 0] dẫn tới thay đổi nghiệm phương trình vi phân, giữ nguyên nghiệm phương trình sai phân Tức khơng đảm bảo tính hội tụ Khi khảo sát lược đồ sai phân với hệ số không đổi ta áp dụng dấu hiệu phổ ổn định (dấu hiệu Neumann) Cũng giống điều kiện Curant, Fridxicxơ Levi, dấu hiệu phổ điều kiện cần ổn định Bản chất làm rõ ví dụ khảo lược đồ sai phân sau: u nm unm m un m un xm ,t n , h um xm , m 0, 1, 2, , n 0,1, 2, , N 1, xấp xỉ toán (2.7), (2.8) lưới mh,n a = với sai số h Theo định nghĩa ổn định, nghiệm toán sai phân (h) Lhu f (h) phải thỏa mãn điều kiện u h K f Uh h f Fh kỳ Suy ra, điều kiện phải thỏa mãn với f (h) 0, m 0, 1, n 2, , 0, 1, 2, , (h) bất m đó, i – đơn vị ảo im e , 0, 1, 2, , Bài toán sai phân L u h h n um (h) f viết thành dạng: n rum n /h, (1 r )um , (3.1) r eim , um m 0, 1, 2, , n 0, 1, 2, n Nghiệm phương trình (3.1) tìm dạng u m neim Nếu |λ| ≤ + Cτ, C = const, nghiệm (3.1) có giới hạn tiếp tục tiến hành khảo sát Trường hợp ngược lại kết luận lược đồ sai phân không ổn định Trong trường hợp 0eim um eim n Thế u m vào (3.1), ta thu n 1ei m r nei(m 1) (1 r) neim , từ rei (1 r ) Giá trị λ nằm đường tròn bán kính r với tâm (1 r, 0) Nếu r ≤ λ ≤ Trường hợp r > tìm giá trị α tương ứng cho |λ| > >1 Như vậy, r > lược đồ sai phân không ổn định Khi r ≤ thỏa mãn điều kiện cần ổn định ta tiếp tục khảo sát Giả sử u max m h n (xm max ) umax m m,n m,n , Uh (x m ,t n ) f h Fh (3.2) Từ (3.1) r ≤ ta có n n um n (1 r) um rum xm ,tn r umn tức un max max un m 1 r umn xm ,tn ,t ) (x nm m m m,n Tổng hợp vế bất đẳng thức max um max m (xm ) , m max u1mmax u 0m max (x m,t n) , max ummax u1m max (x m,t n) , m m m,n m m m,n n max u nm max um m m (x m,t n) , max m,n ta thu n max um m max (xm ) m (3.3) n max (xm ,t n ) m,n Suy n max um m,n max (xm ) m m,n K (max m K max(1, T ), T (3.4) N max (xm ,tn N (xm ) max m,n (xm ,tn ) ) , Như r ≤ 1đối với lược đồ sai phân (3.1) thỏa mãn điều kiện ổn định lược đồ sai phân xấp xỉ với toán Cauchy (2.7), (2.8) nên nghiệm hội tụ với nghiệm toán (2.7), (2.8) Giả sử cần tìm u(x,t) nghiệm phương trình u t a (x,t) (x,t), x 1, t T, (3.5) u x2 thỏa mãn điều kiện: (t), u(0,t) u(x,0) Trong (x,t), o (t), với (0) (0), 1(0) u(1,t) (x), x 1(t), 1(t), t T, (3.6) (3.7) hàm số biết (x), a(x,t) phương trình (3.5) (3.7) coi (1) có nghiệm đủ trơn Chọn lưới tất điểm có tọa độ xm = mh, tn = nτ, (m = 0, 1, , M, n = 0, 1, , N), h = 1/M, τ = T/N Để xác lập lược đồ sai phân, sử dụng phương pháp trình bày chương Trường hợp riêng tiếp nhận lược đồ sai phân sau: n um n n sm um (1 um n sm ) n n n n smum n u0 0 um (t ), uM (xm ) , 1(tn ) , (xm ,tn ) , (3.8) (3.9) (3.10) m 1, M 1, n sm n 1, , N 1, n a (xm ,tn ) Sai số phép xấp xỉ toán (3.5) – (3.7) lược đồ sai phân (3.8) (3.10) theo tiêu chuẩn (2.20) đánh giá giá trị: M (2) A t h2 12 Mx(4) Trong (2) Mt 2u t , M (4) x max ( x,t)0,10,T A (x,t) max 0,1 0,T 4u t , max ( x,t)0,10,T a (x,t) Lược đồ ổn định τ/h ≤ 1/(2A) trường hợp này: n um u(xm,tn ) T M (2) t A h M (4) x 12 Kết tính tốn theo lược đồ sai phân trình bày bảng Giá trị un u0 (n = 0, 1, , N) tìm theo (3.9), u0 M giá trị lại – theo (3.10), m n um tính theo thứ tự n = 1, , N, theo biểu thức (3.8) Điều kiện τ/h ≤ 1/(2A) điều kiện cần để hội tụ lược đồ sai phân dẫn tới số lớn bước theo τ Trong trường hợp sử dụng lược đồ sai phân ẩn dạng: n n n smum n sm um n n smum n (xm,tn ) um , (3.11) m 1, , M 1, n 1, , N 1, u0 (tn ), um uM n 1(tn ), n 0, 1, 2, , N , (xm ), m 1, M (3.12) (3.13) Sai số xấp xỉ phương trình (3.5) – (3.7) đánh giá lược đồ sai phân ẩn đánh (3.8) – (3.10) n u 0n u1n … 0 (t0 ) (x1) … (t1) u11 … … … … … N 1(tN ) u1N …… n uM xM uM n uM 1 … N uM 1(t0 ) 1(t1) …… 1(tN ) Tuy nhiên, lược đồ sai phân ẩn ổn định với giá trị hữu hạn τ/h Trong đó: n um u(x m,t n) T 2 A h M (4) x 12 M (2) t n Việc xác định um theo lược đồ sai phân ẩn (3.11) (3.13) tiến hành thứ tự theo lớp Ở lớp cần giải hệ phương trình đại số tuyến tính Để áp dụng việc ta thường dùng phương pháp khử lặp Ví dụ Với x 0,02m ; = m 0, 1, 2, ,5 ; t = 0,08 Tìm nghiệm phương trình: 2u u t x2 , x 1, t 0,08 t, t x Thỏa mãn điều kiện: u(0,t) t, u(1,t) 0,5 u(x,0) 1) Theo lược đồ sai phân hiện, lấy h x2 / 2, 0,08, 0, ; τ = 0,02 2) Theo lược đồ sai phân ẩn, lấy h 0, ; τ = 0,08 Bài giải Lược đồ sai phân toán viết dạng: n n um 0,5 um n tn , u5n u0 n um 0,5t , n, x2 / , m um m 1, ,5, n 0, 1, 2, Kết tính tốn trình bày bảng 2 n u 0n u1n u 2n u3n u 4n u5n 0,00 0,02 0,08 0,18 0,32 0,50 0,02 0,04 0,10 0,20 0,34 0,52 0,04 0,06 0,12 0,22 0,36 0,54 0,06 0,08 0,14 0,24 0,38 0,56 0,08 0,10 0,16 0,26 0,40 0,58 Khi giải toán theo lược đồ sai phân ẩn, ta thu 2um u0 1 5u 2um um , m 0,08, u51 0,58, um x2 / 2, m m 1, 2, 3, Giải hệ ta tìm : u10 0,88, u11 0,10, u21 0,16, u31 0, 26, u41 0, 40, u51 0,58 KẾT LUẬN Trong em trình bày phương pháp lưới giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Trong chương em trình bày phân loại phương trình đạo hàm riêng, phân phương pháp lưới giải toán hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Tuy nhiên thời gian có hạn, trình độ non trẻ nên vấn đề trình bày khơng tránh khỏi thiếu sót định Vì em mong nhận ý kiến đóng góp thầy bạn đọc để khóa luận hồn thiện TÀI LIỆU THAM KHẢO Phạm Kì Anh 2002 , Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Văn Tường 2009 , Giải tích số, NXB Giáo Dục V S Bladimirov [1981], Phương trình vật lí tốn, NXB Giáo Dục Itogi Nauka i tekhniki 1988 , Các vấn đề đại toán học, NXB Giáo Dục V P Mikhailov 1976 , Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục S G Mikhlin [1977], Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Giáo Dục O A Oleinik [1979], Các giảng phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục ... định lƣợc đồ sai phân Phƣơng pháp lƣới giải tốn hỗn hợp phƣơng trình truyền nhiệt: Phần nói việc áp dụng phương pháp lưới vào việc giải tốn hỗn hợp phương trình truyền nhiệt Do lần đầu làm quen... PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN SĨNG (PHƢƠNG TRÌNH HYPERBOLIC) Có nhiều q trình dao động mơ tả phương trình: a2 n u u, i xi t a const (1.11) Phương trình gọi phương trình truyền sóng Trường hợp n = phương trình. .. (x) (1.10) Phương trình (1.10) lần đầu S Poisson đưa vào năm 1813 gọi phương trình Poisson Trong trường hợp f (x) phương trình (1.10) gọi phương trình Laplace Phương trình thấy cơng trình L Euler