1. Trang chủ
  2. » Luận Văn - Báo Cáo

Phương pháp lưới giải phương trình truyền nhiệt

49 289 0

Đang tải... (xem toàn văn)

Tài liệu hạn chế xem trước, để xem đầy đủ mời bạn chọn Tải xuống

THÔNG TIN TÀI LIỆU

Thông tin cơ bản

Định dạng
Số trang 49
Dung lượng 2,39 MB

Nội dung

Nó có mối liên hệ vớicác ngành toán học khác như giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giảitích phức, giải tích số,… Vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng cũng n

Trang 1

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

LỜI NÓI ĐẦU

Lý thuyết đạo hàm riêng là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu

về phương trình đạo hàm riêng và nghiệm của chúng Nó có mối liên hệ vớicác ngành toán học khác như giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giảitích phức, giải tích số,…

Vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng cũng nhưcác phương trình vi phân thường nói chung không thể thực hiện Bởi vậy đểtìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng người ta thường phải sử dụngcác phương pháp giải gần đúng các phương trình đó

Một số phương pháp để giải gần đúng các phương trình như: Phươngpháp lưới, phương pháp đường thẳng,…

Trong đó phương pháp lưới là một trong các phương pháp số thông dụng

để giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng

Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiều sâu về lý

thuyết đạo hàm riêng, em đã chọn đề tài: “Phương pháp lưới giải phương

trình truyền nhiệt’’ Khóa luận này nghiên cứu một vấn đề quan trọng của lý

thuyết đạo hàm riêng đó là: Sử dụng phương pháp lưới vào việc giải bài toánhỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt

Nội dung khóa luận bao gồm:

Chương 2 Công thức sai phân Các khái niệm cơ bản: Phần này đưa các

kiến thức ban đầu về công thức sai phân và phương pháp lưới bao gồm:

1) Chọn lưới

2) Thiết lập công thức sai phân

3) Khảo sát sự hội tụ của lược đồ sai phân

Trang 2

Chương 3 Sự hội tụ và sự ổn định của lược đồ sai phân Phương pháp lưới trong giải bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt:

Phần này nói về việc áp dụng phương pháp lưới vào việc giải bài toánhỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt

Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn vàtrình độ non trẻ cho nên các vấn đề được trình bày không tránh khỏi nhữngthiếu sót nhất định Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy

cô và các bạn đọc để khóa luận hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Sinh viên

05 năm 2011

Trang 3

Phương trình đạo hàm riêng được phân thành các dạng phổ biến sau:

1.1 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

(PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC)

Giả sử nhiệt độ của vật thể tại điểm x x1, x2,

x3

và tại thời điểm t

được xác định bởi hàm u(x,t) C2,1 0,T ta gọi vật thể là vật thểđẳng hướng, tức là vật truyền theo hướng nào cũng như nhau

Giả sử 1 là miền con tùy ý của với biên 1 trơn Ta xét sự thay đổinhiệt trong 1 sau một khoảng thời gian từ t1 đến t2

Theo định luận Newton, sau khoảng thời gian từ

1 , k(x) là hàm dương và được gọi là hệ số truyền nhiệt bên trong vật thể tại điểm x

Trong vật thể có thể tự sinh ra nhiệt (chẳng hạn do tác động của dòngđiện hay phản ứng hóa học) Khi đó lượng nhiệt sinh ra trong vật thể

khoảng thời gian từ t1 đến t2 là:

t2

t1

Trang 4

Ở đó f (x,t) là mật độ nguồn nhiệt tại điểm x và thời điểm t Mặt khác

sự thay đổi lượng nhiệt bên trong 1 sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 có thể

được xác định qua sự thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi lượng nhiệt này bằng:

t2

u c(x) (x)

Trang 5

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Bởi vì 1 miền con tùy ý của và khoảng thời gian t

1,t2 tùy ý,

còn các hàm dưới dấu tích phân là liên tục, nên từ (1.5) ta nhận được:

Trang 6

Trong thực tiễn, chế độ nhiệt ở trên biên của vật thể ảnh hưởng tới sựphân bố nhiệt bên trong nó Ngoài ra, nhiệt độ bên trong vật thể tại thời điểm

ban đầu t = 0 và nhiệt độ trên biên vật thể tại thời điểm bất kỳ t

đơn trị nhiệt độ vật thể khi t > 0

sau khoảng thời gian từ t1

đến t2 , thì theo định luận Newton đạo hàm theohướng pháp tuyến đối với biên được xác định đơn trị tại mỗi điểm của biên và tại một thời điểm bất kỳ Từ đó nảy sinh ra bài toán biên ban đầu thứ hai đốivới phương trình (1.6), tức là bài toán tìm nghiệm

(1.7) thỏa mãn điều kiện biên dạng:

u(x,t) của phương trình

(1.9)

Trang 7

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

Phương trình (1.10) lần đầu được S Poisson đưa ra vào năm 1813 và

được gọi là phương trình Poisson Trong trường hợp f (x) 0 phương trình

(1.10) được gọi là phương trình Laplace Phương trình này được thấy trongcác công trình của L Euler và J Lagrange, nhưng lần đầu tiên nó được nghiêncứu một hệ thống trong các công trình của P Laplace vào năm 1782 và năm1787

Bài toán phân bố dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đãcho trên biên được gọi là bài toán Dirichlet theo tên của nhà toán học L.Dirichlet ông là người đầu tiên chứng minh được sự duy nhất nghiệm của bàitoán này

Phương trình này được gọi là phương trình truyền sóng Trường hợp

n = 1 phương trình (1.11) mô tả dao động của dây

Trang 8

Giả thiết vị trí ban đầu của sợi dây trùng với trục Ox và nó dao động

trong mặt thẳng đứng nhờ một tác động nào đó Để đơn giản ta coi mỗi điểm

của dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox và trong cùng một mặt phẳng (x,u) Tung độ u cho độ lệch của dây khỏi vị trí cân bằng Như vậy u là hàm của 2 biến x và t Giả thiết thêm rằng dây thuần nhất và có độ dày như nhau,

hơn nữa dây không giãn nhưng không cưỡng lại sự uốn và sau thời điểm banđầu không có ngoại lực nào đó tác động vào dây Khi đó hàm

mãn phương trình

u(x,t) thỏa

(1.12)

Ở đây a là hằng số phụ thuộc vào các tính chất vật lí của dây

Nếu tại vị trí cân bằng dây trùng với đoạn 0, l của trục ox và được cốđịnh ở hai đầu mút thì việc xác định lại hình dáng của dây tại một thời điểmbất kì dẫn đến bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.12) thỏa mãn các điềukiện biên:

Trang 9

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

f ,

f (h),

Giả sử cần tìm nghiệm của phương trình vi phân

trong miền D với chu tuyến Г.

Để giải phương trình (2.1) bằng phương pháp lưới trong miền D = D + Г

ta chọn tập điểm

trị h càng nhỏ càng nhiều số điểm trong tập D h ) Tập

D h

được gọi là lưới,

còn các điểm M h là nút lưới Hàm số được xác định trong các nút lưới đượcgọi là hàm số lưới

Giả sử có u h – là nghiệm chính xác của phương trình (2.1) trong nút của

lưới D h Theo quy tắc, việc xác

định

u h là không thể Do đó ta phải tìmhàm số lưới

(2.2)

u (h) u h và giải bài toán gần đúng, nghiệm của phương trình

xấp xỉ “gần” với nghiệm của phương trình (2.1) Phương trình (2.2) được gọi

là công thức sai phân

Ta ký hiệu không gian tuyến tính định chuẩn được hình thành bởi các hàm

số u (h) là U h , còn không gian tuyến tính được hình thành bởi f

(h)

là F h .Khi đó ta coi như trong không gian

Trang 11

thì có thể nói, hội tụ bậc k theo với h.

Tóm lại, khi giải bài toán (2.1) bằng phương pháp lưới cần:

1) Chọn lưới

2) Thiết lập công thức sai phân

3) Khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân

Việc khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân tiến hành theo 2 bước:1) Xác lập bài toán gần đúng của (2.1) bởi công thức sai phân (2.2)

2) Kiểm tra tính ổn định của công thức sai phân

Cho rằng công thức sai phân (2.2) gần đúng với (2.1) nếu như:

được gọi là sai số gần đúng Nếu f h

F h M h l , thì

có thể nói rằng công thức sai phân (2.2) gần đúng với phương trình (2.1) tại

nghiệm u h với bậc l tương ứng với h.

Công thức sai phân (2.2) được gọi là ổn định nếu như tồn tại giá trị

Trang 12

F U

h h trong đó K – là hằng số không phụ thuộc vào h và

Nếu công thức sai phân (2.2) xấp xỉ (2.1) với bậc l theo h thì sẽ thỏa mãn (2.4) khi k = l.

Giả sử cho trước toán tử vi phân L tác động lên hàm số u Thay thế các đạo hàm tương ứng trong Lu bởi các tỉ sai phân, ta thu được lược đồ sai phân

L h u (h) là tổ hợp tuyến tính của hàm số lưới u (h) trong tập hợp nút lưới

Ví dụ 1 Giả sử cần xây dựng công thức sai phân để xác định đạo hàm u(x,t)

thỏa mãn phương trình (2.7), khi x , t 0

Trang 13

Khóa luận tốt nghiệp u x,t h h Trường ĐHSP Hà Nội 2

Trang 14

(2.14)

Trong vai trò lưới, ta lấy tất cả các điểm (x m , t n ) , trong đó x m = mh,

t n n , u

,t n , được ký hiệu là u n Thay thế (2.9) – (2.11) cho

và (2.12) – (2.14) cho u / x ta có thể thu được 9 lược đồ sai phân khác nhau

Trang 15

Sau đó thay thế các đạo hàm theo (2.9)

các đạo hàm bởi các dạng khác mà không nhất thiết là (2.9)

Khi xây dựng các công thức sai phân, thường sử dụng một phương phápkhác, đó là phương pháp hệ số bất định Theo phương pháp này, trong lân cậncác nút lưới ta chọn tất cả các điểm, giá trị của hàm số lưới tại đó sẽ được gáncho các giá trị gần đúng với nút lưới của phương trình vi phân, của biên hoặc

Trang 16

của điều kiện ban đầu Sau đó lập phương trình dạng (2.6) Các hệ số

A h (x i , y j ) được lựa chọn sao cho thỏa mãn phương trình

R h u x i

Trong quá trình đó, sử dụng khai triển nghiệm chính xác của phương

trình (2.1) tại nút x j theo công thức Taylor trong lân cận điểm x i

Cần lưu ý rằng việc chọn hệ số A h (x i , x j

)

có thể xuất hiện ẩn số có cùng

bậc tương ứng với h đại lượng R h (u(x i )) Từ lược đồ sai phân khả dĩ, lựa chọn

trong đó lược đồ có bậc hội tụ lớn nhất và tiện nhất cho tính toán

Ví dụ 2 Trên lưới (x i , t j ), trong đó x i = ih, t j = jτ, xây dựng lược đồ sai phân

xấp xỉ với phương trình vi phân

Trang 17

u x i ,t j

h u x i ,t j

h u x i ,t j

h2 2u x i ,t j

h2 2u x i ,t j

h3 3u x i ,t j

h3 3u x i ,t j

, ,

u x i ,t j

1

u x i ,t j

u x i ,t j

2 2u x i ,t j

Trang 18

a2hu i 1j 1 u ij a2hu i 1j 1 u ij 1 (x ,t ).ij

Trang 19

Trong đó u – là nghiệm chính xác của bài toán vi phân tại các nút h

Ví dụ 1 Đánh giá sai số của phép xấp xỉ của phương trình (2.7), (

sai phân (2.15)

Trang 20

u x m ,t n

h u x m ,t n

Trang 21

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

u xm ,tn

t a u xxm ,tn x ,t ,m n

xm ,

u x m ,t0

Trang 22

Ví dụ 2 Đánh giá sai số của phép xấp xỉ của phương trình (2.7), (2.8) bởi

Trang 23

u / t,2u / t2, u / x,2u / x2, 3u / x3 ,

: 2

Giả sử rằng tồn tại các đạo hàm liên tục

với x , t 0 Khi đó ta có thể viết

u x m ,t n

1

u x m ,t n

u x m ,t n

(h)

ta thu được

Trang 24

Để lược đồ sai phân ổn định ta phải có

sao

sup u n 0csup , ( n 0, N )

Trang 25

un 1 un un un

2h(un m 1 2unm um 1n ) (x ,t ),m n2h2

(xm ), (m 0, 1, ; n 0, 1, , N 1) ,

: h

Nếu không phụ thuộc vào h và l thì điều này được thỏa mãn khi

ước hai vế cho n

e i m u0 ( 0) , ta được 1 r re i dễ thấy với mọi r

> 0, không nằm trong vòng tròn đơn vị, vậy lược đồ sai phân không ổnđịnh

Trang 27

nên 2 1 khi và chỉ khi 1 r2

0 hay r 1 Như vậy với r > 1 thì lược đồ

sai phân không ổn định

Trang 28

b) Nếu r

h2 const thì

Trang 30

2(1

1 2

(2.22)

Trang 31

N

.h

rrei .1

Trang 32

m max

m (xm ) ,

m

Trang 33

m m

2u

x2

utu(x,0)

(x,t), ( x ; 0 t T ),(x)

Ta xét lược đồ sai phân:

0

m

r

Trang 34

Nếu r 1 thì từ (2.24) suy ra:

Trang 35

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

f (h) ,

Chương 3 SỰ HỘI TỤ VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN PHƯƠNG PHÁP LƯỚI TRONG GIẢI BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

Giả sử trong phương trình vi phân có sự tham gia của hàm số ψ nào đó

Chọn một điểm P tùy ý thuộc miền xác định của hàm số cần tìm u Giả sử rằng giá trị u(P) phụ thuộc vào giá trị ψ tại các điểm của tập nào đó

G G (P) thuộc miền xác định của hàm số ψ, tức là nếu thay đổi giá trị của ψ trong lân cận nhỏ của điểm Q bất kỳ thuộc miền G (P) thì có thể kéo theo sự thay đổi của u(P)

Giả sử rằng để xác định u ta sử dụng lược đồ sai phân L h u (h)

trong đó giá trị nghiệm

u (h) tại nút lưới gần nhất với điểm P được xác định

hoàn toàn bởi giá trị của hàm số ψ trên tập

trong lân cận tùy ý của điểm bất kỳ thuộc miền G (P) phải

có điểm của tập G h Điều kiện đó được gọi là điều kiện Curant, Fridxicxơ

và Levi Từ các điều kiện đó có thể xác định được sự không chấp nhận của lược đồ sai phân

Cần lưu ý rằng điều kiện Curant, Fridxicxơ và Levi là điều kiện cần cho

sự hội tụ cũng như sự ổn định của lược đồ sai phân

Trang 36

sau:

Trang 37

Biết rằng lược đồ sai phân đã cho xấp xỉ bài toán vi phân với sai số

0 h bài toán Cauchy

u(x,0)

Bài giải.

Nghiệm của phương trình vi phân tại điểm x P

,t P

phụ thuộc vào giá trị

của hàm số (x,t) và tất cả các điểm mà đường thẳng

x t C C const , xuất phát từ điểm A của trục Ox và đi qua điểm P.

Thật vậy:

dx dt

u x P ,t P

Trang 38

Dễ thấy, N thu được lược đồ với sai phân phụ thuộc vào giá trị

với x thuộc [ Nh, 0] Suy ra, nếu thay đổi giá trị (1) và giữ nguyên giá trị (x) đối với x thuộc [ Nh, 0] sẽ dẫn tới thay đổi nghiệm của phương trình

vi phân, giữ nguyên nghiệm của phương trình sai phân Tức là không đảm bảotính hội tụ

Khi khảo sát lược đồ sai phân với các hệ số không đổi ta áp dụng dấuhiệu phổ về sự ổn định (dấu hiệu Neumann) Cũng giống như điều kiệnCurant, Fridxicxơ và Levi, dấu hiệu phổ là điều kiện cần của sự ổn định Bảnchất của nó sẽ được làm rõ trong ví dụ khảo lược đồ sai phân sau:

Theo định nghĩa về sự ổn định, nghiệm của bài toán sai phân

L h u (h) f (h) phải thỏa mãn điều kiện u h K f h đối với f (h) bất

Trang 39

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

trong đó, i – là đơn vị ảo

Trang 40

Nghiệm của phương trình (3.1) sẽ tìm dưới dạng u n

Nếu |λ| ≤ 1 + Cτ, C = const, thì nghiệm của (3.1) có giới hạn và tiếp tục

tiến hành khảo sát Trường hợp ngược lại thì kết luận lược đồ sai phân không

Trang 41

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

(3.2)

Từ (3.1) khi r ≤ 1 ta có

Trang 42

Như vậy khi r ≤ 1đối với lược đồ sai phân (3.1) thỏa mãn điều kiện về

sự ổn định và do lược đồ sai phân xấp xỉ với bài toán Cauchy (2.7), (2.8) nênnghiệm của nó hội tụ với nghiệm của bài toán (2.7), (2.8)

Trang 43

0 (t), u(1,t) 1(t), 0 t T ,(x), 0 x 1

1(0) các phương trình (3.5) (3.7) được coi như

có nghiệm đủ trơn và duy nhất

Chọn lưới là tất cả các điểm có tọa độ là x m = mh, t n = nτ, (m = 0, 1, ,

M, n = 0, 1, , N), h = 1/M, τ = T/N Để xác lập lược đồ sai phân, có thể sử

dụng một trong các phương pháp được trình bày ở chương 2 Trường hợp

riêng có thể tiếp nhận lược đồ sai phân sau:

m

Trang 44

n

Sai số của phép xấp xỉ bài toán (3.5) – (3.7) bởi lược đồ sai phân

(3.8) (3.10) theo tiêu chuẩn (2.20) được đánh giá bởi giá trị:

Trang 45

M (2)

A h M (4) .Trong đó

Kết quả tính toán theo lược đồ sai phân được trình bày trong bảng 1.Giá trị

u0 và n (n = 0, 1, , N) được tìm theo (3.9), 0 – theo (3.10), cácgiá trị còn lại n

tính theo thứ tự khi n = 1, , N, theo biểu thức (3.8)

Điều kiện τ/h 2 ≤ 1/(2A) là điều kiện cần để hội tụ của lược đồ sai phân

có thể dẫn tới một số lớn các bước theo τ.

Trong trường hợp này có thể sử dụng lược đồ sai phân ẩn dạng:

Sai số của xấp xỉ của phương trình (3.5) – (3.7) được đánh giá bởi lược

đồ sai phân ẩn cũng được đánh giá như trên (3.8) – (3.10)

Trang 46

n theo lược đồ sai phân ẩn (3.11) (3.13) tiến hành thứ

tự theo từng lớp Ở mỗi lớp cần giải hệ phương trình đại số tuyến tính Để áp dụng việc này ta thường dùng phương pháp khử lặp

Ví dụ Với x

trình:

0,02m ; =

m 0, 1, 2, ,5 ; t = 0,08 Tìm nghiệm của phương

Thỏa mãn các điều kiện:

u(0,t)

u(x,0) 1) Theo lược đồ sai phân hiện, lấy h 0, 2 ; τ = 0,02.

2) Theo lược đồ sai phân ẩn, lấy h 0, 2 ; τ = 0,08.

Trang 47

u u

Trang 49

Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2

TÀI LIỆU THAM KHẢO

1 Phạm Kì Anh 2002 , Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.

2 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn

Tuấn, Nguyễn Văn Tường 2009 , Giải tích số, NXB Giáo Dục.

3 V S Bladimirov [1981], Phương trình vật lí toán, NXB Giáo Dục.

4 Itogi Nauka i tekhniki 1988 , Các vấn đề hiện đại của toán học, NXB

Giáo Dục

5 V P Mikhailov 1976 , Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục.

6 S G Mikhlin [1977], Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Giáo

Dục

7 O A Oleinik [1979], Các bài giảng phương trình đạo hàm riêng, NXB

Giáo Dục

Ngày đăng: 12/05/2018, 10:24

Nguồn tham khảo

Tài liệu tham khảo Loại Chi tiết
1. Phạm Kì Anh 2002 , Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội Sách, tạp chí
Tiêu đề: Giải tích số
Nhà XB: NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội
2. Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Văn Tường 2009 , Giải tích số, NXB Giáo Dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Giải tích số
Nhà XB: NXB Giáo Dục
3. V. S. Bladimirov [1981], Phương trình vật lí toán, NXB Giáo Dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Phương trình vật lí toán
Nhà XB: NXB Giáo Dục
4. Itogi Nauka i tekhniki 1988 , Các vấn đề hiện đại của toán học, NXB Giáo Dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Các vấn đề hiện đại của toán học
Nhà XB: NXBGiáo Dục
5. V. P. Mikhailov 1976 , Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Phương trình đạo hàm riêng
Nhà XB: NXB Giáo Dục
6. S. G. Mikhlin [1977], Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Giáo Dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính
Nhà XB: NXB GiáoDục
7. O. A. Oleinik [1979], Các bài giảng phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục Sách, tạp chí
Tiêu đề: Các bài giảng phương trình đạo hàm riêng
Nhà XB: NXBGiáo Dục

TỪ KHÓA LIÊN QUAN

TÀI LIỆU CÙNG NGƯỜI DÙNG

TÀI LIỆU LIÊN QUAN

w