Nó có mối liên hệ vớicác ngành toán học khác như giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giảitích phức, giải tích số,… Vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng cũng n
Trang 1Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
LỜI NÓI ĐẦU
Lý thuyết đạo hàm riêng là một ngành của giải tích toán học nghiên cứu
về phương trình đạo hàm riêng và nghiệm của chúng Nó có mối liên hệ vớicác ngành toán học khác như giải tích hàm, lý thuyết hàm, tôpô đại số, giảitích phức, giải tích số,…
Vấn đề tìm nghiệm đúng của các phương trình đạo hàm riêng cũng nhưcác phương trình vi phân thường nói chung không thể thực hiện Bởi vậy đểtìm nghiệm của các phương trình đạo hàm riêng người ta thường phải sử dụngcác phương pháp giải gần đúng các phương trình đó
Một số phương pháp để giải gần đúng các phương trình như: Phươngpháp lưới, phương pháp đường thẳng,…
Trong đó phương pháp lưới là một trong các phương pháp số thông dụng
để giải các bài toán biên đối với phương trình vi phân đạo hàm riêng
Bước đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học và tìm hiều sâu về lý
thuyết đạo hàm riêng, em đã chọn đề tài: “Phương pháp lưới giải phương
trình truyền nhiệt’’ Khóa luận này nghiên cứu một vấn đề quan trọng của lý
thuyết đạo hàm riêng đó là: Sử dụng phương pháp lưới vào việc giải bài toánhỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt
Nội dung khóa luận bao gồm:
Chương 2 Công thức sai phân Các khái niệm cơ bản: Phần này đưa các
kiến thức ban đầu về công thức sai phân và phương pháp lưới bao gồm:
1) Chọn lưới
2) Thiết lập công thức sai phân
3) Khảo sát sự hội tụ của lược đồ sai phân
Trang 2Chương 3 Sự hội tụ và sự ổn định của lược đồ sai phân Phương pháp lưới trong giải bài toán hỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt:
Phần này nói về việc áp dụng phương pháp lưới vào việc giải bài toánhỗn hợp đối với phương trình truyền nhiệt
Do lần đầu làm quen với việc nghiên cứu khoa học, thời gian có hạn vàtrình độ non trẻ cho nên các vấn đề được trình bày không tránh khỏi nhữngthiếu sót nhất định Vì vậy em rất mong nhận được ý kiến đóng góp của thầy
cô và các bạn đọc để khóa luận hoàn thiện hơn
Em xin chân thành cảm ơn!
Sinh viên
05 năm 2011
Trang 3Phương trình đạo hàm riêng được phân thành các dạng phổ biến sau:
1.1 PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
(PHƯƠNG TRÌNH PARABOLIC)
Giả sử nhiệt độ của vật thể tại điểm x x1, x2,
x3
và tại thời điểm t
được xác định bởi hàm u(x,t) C2,1 0,T ta gọi vật thể là vật thểđẳng hướng, tức là vật truyền theo hướng nào cũng như nhau
Giả sử 1 là miền con tùy ý của với biên 1 trơn Ta xét sự thay đổinhiệt trong 1 sau một khoảng thời gian từ t1 đến t2
Theo định luận Newton, sau khoảng thời gian từ
1 , k(x) là hàm dương và được gọi là hệ số truyền nhiệt bên trong vật thể tại điểm x
Trong vật thể có thể tự sinh ra nhiệt (chẳng hạn do tác động của dòngđiện hay phản ứng hóa học) Khi đó lượng nhiệt sinh ra trong vật thể
khoảng thời gian từ t1 đến t2 là:
t2
t1
Trang 4Ở đó f (x,t) là mật độ nguồn nhiệt tại điểm x và thời điểm t Mặt khác
sự thay đổi lượng nhiệt bên trong 1 sau khoảng thời gian từ t1 đến t2 có thể
được xác định qua sự thay đổi nhiệt độ Sự thay đổi lượng nhiệt này bằng:
t2
u c(x) (x)
Trang 5Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Bởi vì 1 miền con tùy ý của và khoảng thời gian t
1,t2 tùy ý,
còn các hàm dưới dấu tích phân là liên tục, nên từ (1.5) ta nhận được:
Trang 6Trong thực tiễn, chế độ nhiệt ở trên biên của vật thể ảnh hưởng tới sựphân bố nhiệt bên trong nó Ngoài ra, nhiệt độ bên trong vật thể tại thời điểm
ban đầu t = 0 và nhiệt độ trên biên vật thể tại thời điểm bất kỳ t
đơn trị nhiệt độ vật thể khi t > 0
sau khoảng thời gian từ t1
đến t2 , thì theo định luận Newton đạo hàm theohướng pháp tuyến đối với biên được xác định đơn trị tại mỗi điểm của biên và tại một thời điểm bất kỳ Từ đó nảy sinh ra bài toán biên ban đầu thứ hai đốivới phương trình (1.6), tức là bài toán tìm nghiệm
(1.7) thỏa mãn điều kiện biên dạng:
u(x,t) của phương trình
(1.9)
Trang 7Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
Phương trình (1.10) lần đầu được S Poisson đưa ra vào năm 1813 và
được gọi là phương trình Poisson Trong trường hợp f (x) 0 phương trình
(1.10) được gọi là phương trình Laplace Phương trình này được thấy trongcác công trình của L Euler và J Lagrange, nhưng lần đầu tiên nó được nghiêncứu một hệ thống trong các công trình của P Laplace vào năm 1782 và năm1787
Bài toán phân bố dừng của nhiệt độ bên trong vật thể theo nhiệt độ đãcho trên biên được gọi là bài toán Dirichlet theo tên của nhà toán học L.Dirichlet ông là người đầu tiên chứng minh được sự duy nhất nghiệm của bàitoán này
Phương trình này được gọi là phương trình truyền sóng Trường hợp
n = 1 phương trình (1.11) mô tả dao động của dây
Trang 8Giả thiết vị trí ban đầu của sợi dây trùng với trục Ox và nó dao động
trong mặt thẳng đứng nhờ một tác động nào đó Để đơn giản ta coi mỗi điểm
của dây dịch chuyển thẳng góc với trục Ox và trong cùng một mặt phẳng (x,u) Tung độ u cho độ lệch của dây khỏi vị trí cân bằng Như vậy u là hàm của 2 biến x và t Giả thiết thêm rằng dây thuần nhất và có độ dày như nhau,
hơn nữa dây không giãn nhưng không cưỡng lại sự uốn và sau thời điểm banđầu không có ngoại lực nào đó tác động vào dây Khi đó hàm
mãn phương trình
u(x,t) thỏa
(1.12)
Ở đây a là hằng số phụ thuộc vào các tính chất vật lí của dây
Nếu tại vị trí cân bằng dây trùng với đoạn 0, l của trục ox và được cốđịnh ở hai đầu mút thì việc xác định lại hình dáng của dây tại một thời điểmbất kì dẫn đến bài toán tìm nghiệm của phương trình (1.12) thỏa mãn các điềukiện biên:
Trang 9Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
f ,
f (h),
Giả sử cần tìm nghiệm của phương trình vi phân
trong miền D với chu tuyến Г.
Để giải phương trình (2.1) bằng phương pháp lưới trong miền D = D + Г
ta chọn tập điểm
trị h càng nhỏ càng nhiều số điểm trong tập D h ) Tập
D h
được gọi là lưới,
còn các điểm M h là nút lưới Hàm số được xác định trong các nút lưới đượcgọi là hàm số lưới
Giả sử có u h – là nghiệm chính xác của phương trình (2.1) trong nút của
lưới D h Theo quy tắc, việc xác
định
u h là không thể Do đó ta phải tìmhàm số lưới
(2.2)
u (h) u h và giải bài toán gần đúng, nghiệm của phương trình
xấp xỉ “gần” với nghiệm của phương trình (2.1) Phương trình (2.2) được gọi
là công thức sai phân
Ta ký hiệu không gian tuyến tính định chuẩn được hình thành bởi các hàm
số u (h) là U h , còn không gian tuyến tính được hình thành bởi f
(h)
là F h .Khi đó ta coi như trong không gian
Trang 11thì có thể nói, hội tụ bậc k theo với h.
Tóm lại, khi giải bài toán (2.1) bằng phương pháp lưới cần:
1) Chọn lưới
2) Thiết lập công thức sai phân
3) Khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân
Việc khảo sát tính hội tụ của công thức sai phân tiến hành theo 2 bước:1) Xác lập bài toán gần đúng của (2.1) bởi công thức sai phân (2.2)
2) Kiểm tra tính ổn định của công thức sai phân
Cho rằng công thức sai phân (2.2) gần đúng với (2.1) nếu như:
được gọi là sai số gần đúng Nếu f h
F h M h l , thì
có thể nói rằng công thức sai phân (2.2) gần đúng với phương trình (2.1) tại
nghiệm u h với bậc l tương ứng với h.
Công thức sai phân (2.2) được gọi là ổn định nếu như tồn tại giá trị
Trang 12F U
h h trong đó K – là hằng số không phụ thuộc vào h và
Nếu công thức sai phân (2.2) xấp xỉ (2.1) với bậc l theo h thì sẽ thỏa mãn (2.4) khi k = l.
Giả sử cho trước toán tử vi phân L tác động lên hàm số u Thay thế các đạo hàm tương ứng trong Lu bởi các tỉ sai phân, ta thu được lược đồ sai phân
L h u (h) là tổ hợp tuyến tính của hàm số lưới u (h) trong tập hợp nút lưới
Ví dụ 1 Giả sử cần xây dựng công thức sai phân để xác định đạo hàm u(x,t)
thỏa mãn phương trình (2.7), khi x , t 0
Trang 13Khóa luận tốt nghiệp u x,t h h Trường ĐHSP Hà Nội 2
Trang 14(2.14)
Trong vai trò lưới, ta lấy tất cả các điểm (x m , t n ) , trong đó x m = mh,
t n n , u
,t n , được ký hiệu là u n Thay thế (2.9) – (2.11) cho
và (2.12) – (2.14) cho u / x ta có thể thu được 9 lược đồ sai phân khác nhau
Trang 15Sau đó thay thế các đạo hàm theo (2.9)
các đạo hàm bởi các dạng khác mà không nhất thiết là (2.9)
Khi xây dựng các công thức sai phân, thường sử dụng một phương phápkhác, đó là phương pháp hệ số bất định Theo phương pháp này, trong lân cậncác nút lưới ta chọn tất cả các điểm, giá trị của hàm số lưới tại đó sẽ được gáncho các giá trị gần đúng với nút lưới của phương trình vi phân, của biên hoặc
Trang 16của điều kiện ban đầu Sau đó lập phương trình dạng (2.6) Các hệ số
A h (x i , y j ) được lựa chọn sao cho thỏa mãn phương trình
R h u x i
Trong quá trình đó, sử dụng khai triển nghiệm chính xác của phương
trình (2.1) tại nút x j theo công thức Taylor trong lân cận điểm x i
Cần lưu ý rằng việc chọn hệ số A h (x i , x j
)
có thể xuất hiện ẩn số có cùng
bậc tương ứng với h đại lượng R h (u(x i )) Từ lược đồ sai phân khả dĩ, lựa chọn
trong đó lược đồ có bậc hội tụ lớn nhất và tiện nhất cho tính toán
Ví dụ 2 Trên lưới (x i , t j ), trong đó x i = ih, t j = jτ, xây dựng lược đồ sai phân
xấp xỉ với phương trình vi phân
Trang 17u x i ,t j
h u x i ,t j
h u x i ,t j
h2 2u x i ,t j
h2 2u x i ,t j
h3 3u x i ,t j
h3 3u x i ,t j
, ,
u x i ,t j
1
u x i ,t j
u x i ,t j
2 2u x i ,t j
Trang 18a2hu i 1j 1 u ij a2hu i 1j 1 u ij 1 (x ,t ).ij
Trang 19Trong đó u – là nghiệm chính xác của bài toán vi phân tại các nút h
Ví dụ 1 Đánh giá sai số của phép xấp xỉ của phương trình (2.7), (
sai phân (2.15)
Trang 20u x m ,t n
h u x m ,t n
Trang 21Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
u xm ,tn
t a u xxm ,tn x ,t ,m n
xm ,
u x m ,t0
Trang 22Ví dụ 2 Đánh giá sai số của phép xấp xỉ của phương trình (2.7), (2.8) bởi
Trang 23u / t,2u / t2, u / x,2u / x2, 3u / x3 ,
: 2
Giả sử rằng tồn tại các đạo hàm liên tục
với x , t 0 Khi đó ta có thể viết
u x m ,t n
1
u x m ,t n
u x m ,t n
(h)
ta thu được
Trang 24Để lược đồ sai phân ổn định ta phải có
sao
sup u n 0csup , ( n 0, N )
Trang 25
un 1 un un un
2h(un m 1 2unm um 1n ) (x ,t ),m n2h2
(xm ), (m 0, 1, ; n 0, 1, , N 1) ,
: h
Nếu không phụ thuộc vào h và l thì điều này được thỏa mãn khi
ước hai vế cho n
e i m u0 ( 0) , ta được 1 r re i dễ thấy với mọi r
> 0, không nằm trong vòng tròn đơn vị, vậy lược đồ sai phân không ổnđịnh
Trang 27nên 2 1 khi và chỉ khi 1 r2
0 hay r 1 Như vậy với r > 1 thì lược đồ
sai phân không ổn định
Trang 28b) Nếu r
h2 const thì
Trang 302(1
1 2
(2.22)
Trang 31N
.h
rrei .1
Trang 32m max
m (xm ) ,
m
Trang 33m m
2u
x2
utu(x,0)
(x,t), ( x ; 0 t T ),(x)
Ta xét lược đồ sai phân:
0
m
r
Trang 34Nếu r 1 thì từ (2.24) suy ra:
Trang 35Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
f (h) ,
Chương 3 SỰ HỘI TỤ VÀ SỰ ỔN ĐỊNH CỦA LƯỢC ĐỒ SAI PHÂN PHƯƠNG PHÁP LƯỚI TRONG GIẢI BÀI TOÁN HỖN HỢP ĐỐI VỚI PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT
Giả sử trong phương trình vi phân có sự tham gia của hàm số ψ nào đó
Chọn một điểm P tùy ý thuộc miền xác định của hàm số cần tìm u Giả sử rằng giá trị u(P) phụ thuộc vào giá trị ψ tại các điểm của tập nào đó
G G (P) thuộc miền xác định của hàm số ψ, tức là nếu thay đổi giá trị của ψ trong lân cận nhỏ của điểm Q bất kỳ thuộc miền G (P) thì có thể kéo theo sự thay đổi của u(P)
Giả sử rằng để xác định u ta sử dụng lược đồ sai phân L h u (h)
trong đó giá trị nghiệm
u (h) tại nút lưới gần nhất với điểm P được xác định
hoàn toàn bởi giá trị của hàm số ψ trên tập
trong lân cận tùy ý của điểm bất kỳ thuộc miền G (P) phải
có điểm của tập G h Điều kiện đó được gọi là điều kiện Curant, Fridxicxơ
và Levi Từ các điều kiện đó có thể xác định được sự không chấp nhận của lược đồ sai phân
Cần lưu ý rằng điều kiện Curant, Fridxicxơ và Levi là điều kiện cần cho
sự hội tụ cũng như sự ổn định của lược đồ sai phân
Trang 36sau:
Trang 37Biết rằng lược đồ sai phân đã cho xấp xỉ bài toán vi phân với sai số
0 h bài toán Cauchy
u(x,0)
Bài giải.
Nghiệm của phương trình vi phân tại điểm x P
,t P
phụ thuộc vào giá trị
của hàm số (x,t) và tất cả các điểm mà đường thẳng
x t C C const , xuất phát từ điểm A của trục Ox và đi qua điểm P.
Thật vậy:
dx dt
u x P ,t P
Trang 38Dễ thấy, N thu được lược đồ với sai phân phụ thuộc vào giá trị
với x thuộc [ Nh, 0] Suy ra, nếu thay đổi giá trị (1) và giữ nguyên giá trị (x) đối với x thuộc [ Nh, 0] sẽ dẫn tới thay đổi nghiệm của phương trình
vi phân, giữ nguyên nghiệm của phương trình sai phân Tức là không đảm bảotính hội tụ
Khi khảo sát lược đồ sai phân với các hệ số không đổi ta áp dụng dấuhiệu phổ về sự ổn định (dấu hiệu Neumann) Cũng giống như điều kiệnCurant, Fridxicxơ và Levi, dấu hiệu phổ là điều kiện cần của sự ổn định Bảnchất của nó sẽ được làm rõ trong ví dụ khảo lược đồ sai phân sau:
Theo định nghĩa về sự ổn định, nghiệm của bài toán sai phân
L h u (h) f (h) phải thỏa mãn điều kiện u h K f h đối với f (h) bất
Trang 39Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
trong đó, i – là đơn vị ảo
Trang 40Nghiệm của phương trình (3.1) sẽ tìm dưới dạng u n
Nếu |λ| ≤ 1 + Cτ, C = const, thì nghiệm của (3.1) có giới hạn và tiếp tục
tiến hành khảo sát Trường hợp ngược lại thì kết luận lược đồ sai phân không
Trang 41Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
(3.2)
Từ (3.1) khi r ≤ 1 ta có
Trang 42Như vậy khi r ≤ 1đối với lược đồ sai phân (3.1) thỏa mãn điều kiện về
sự ổn định và do lược đồ sai phân xấp xỉ với bài toán Cauchy (2.7), (2.8) nênnghiệm của nó hội tụ với nghiệm của bài toán (2.7), (2.8)
Trang 430 (t), u(1,t) 1(t), 0 t T ,(x), 0 x 1
1(0) các phương trình (3.5) (3.7) được coi như
có nghiệm đủ trơn và duy nhất
Chọn lưới là tất cả các điểm có tọa độ là x m = mh, t n = nτ, (m = 0, 1, ,
M, n = 0, 1, , N), h = 1/M, τ = T/N Để xác lập lược đồ sai phân, có thể sử
dụng một trong các phương pháp được trình bày ở chương 2 Trường hợp
riêng có thể tiếp nhận lược đồ sai phân sau:
m
Trang 44n
Sai số của phép xấp xỉ bài toán (3.5) – (3.7) bởi lược đồ sai phân
(3.8) (3.10) theo tiêu chuẩn (2.20) được đánh giá bởi giá trị:
Trang 45M (2)
A h M (4) .Trong đó
Kết quả tính toán theo lược đồ sai phân được trình bày trong bảng 1.Giá trị
u0 và n (n = 0, 1, , N) được tìm theo (3.9), 0 – theo (3.10), cácgiá trị còn lại n
tính theo thứ tự khi n = 1, , N, theo biểu thức (3.8)
Điều kiện τ/h 2 ≤ 1/(2A) là điều kiện cần để hội tụ của lược đồ sai phân
có thể dẫn tới một số lớn các bước theo τ.
Trong trường hợp này có thể sử dụng lược đồ sai phân ẩn dạng:
Sai số của xấp xỉ của phương trình (3.5) – (3.7) được đánh giá bởi lược
đồ sai phân ẩn cũng được đánh giá như trên (3.8) – (3.10)
Trang 46n theo lược đồ sai phân ẩn (3.11) (3.13) tiến hành thứ
tự theo từng lớp Ở mỗi lớp cần giải hệ phương trình đại số tuyến tính Để áp dụng việc này ta thường dùng phương pháp khử lặp
Ví dụ Với x
trình:
0,02m ; =
m 0, 1, 2, ,5 ; t = 0,08 Tìm nghiệm của phương
Thỏa mãn các điều kiện:
u(0,t)
u(x,0) 1) Theo lược đồ sai phân hiện, lấy h 0, 2 ; τ = 0,02.
2) Theo lược đồ sai phân ẩn, lấy h 0, 2 ; τ = 0,08.
Trang 47u u
Trang 49Khóa luận tốt nghiệp Trường ĐHSP Hà Nội 2
TÀI LIỆU THAM KHẢO
1 Phạm Kì Anh 2002 , Giải tích số, NXB Đại Học Quốc Gia Hà Nội.
2 Nguyễn Minh Chương, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn
Tuấn, Nguyễn Văn Tường 2009 , Giải tích số, NXB Giáo Dục.
3 V S Bladimirov [1981], Phương trình vật lí toán, NXB Giáo Dục.
4 Itogi Nauka i tekhniki 1988 , Các vấn đề hiện đại của toán học, NXB
Giáo Dục
5 V P Mikhailov 1976 , Phương trình đạo hàm riêng, NXB Giáo Dục.
6 S G Mikhlin [1977], Phương trình đạo hàm riêng tuyến tính, NXB Giáo
Dục
7 O A Oleinik [1979], Các bài giảng phương trình đạo hàm riêng, NXB
Giáo Dục