phương pháp số giải bài toán ngược phương trình truyền nhiệt có nguồn nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN ---*--*--*--- TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CÓ NGUỒN NHIỆT LUẬN

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN

-* * * -

TRẦN HỮU LƯƠNG

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

CÓ NGUỒN NHIỆT

LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010

PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC

PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT

NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC:

PGS.TS Đặng Đức Trọng

Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010  

 

LỜI CẢM ƠN

Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đối với Thầy

PGS.TS Đặng Đức Trọng, Thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và truyền đạt

nhiều ý kiến quý báu để tôi hoàn thành bản luận văn này

Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý giá, thiết thực cho bản luận văn

Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong tổ Toán – Tin Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã trực tiếp giảng dạy và trang bị đầy đủ kiến thức cơ bản làm nền tảng cho tôi trong quá trình viết luận văn

Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình tôi, quý thầy cô và bạn bè đã hỗ trợ, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn

Trần Hữu Lương

 

 

MỤC LỤC

Lời cảm ơn………

Mục lục………

1.Phần 1- MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU……….1

1.1 Mở đầu……… 1

1.2 Ký hiệu……… 3

2.Phần 2- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN……… 4

2.1 Bài toán thuận Bài toán ngược……… 4

2.2 Bài toán chỉnh hóa Bài toán không chỉnh Sự chỉnh hóa……….4

2.3 Hàm nguyên………5

2.4 Bất đẳng thức Holder……… 5

2.5 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn Đẳng thức Parseval……… 6

2.6 Bất đẳng thức Jensen……… 7

2.7 Công thức tích phân Cauchy Thặng dư……….8

2.8 Định lý Beurling………10

3.Phần 3- CÁC ĐỊNH LÝ……… 11

3.1 Bài toán……… 11

3.2 Các định lý ……….13

3.2.1 Định lý 1 ……… 13

3.2.2 Định lý 2 ……… 13

3.3 Các bổ đề………14

3.3.1 Bổ đề 1……… 14

3.3.2 Bổ đề 2……… 16

3.3.3 Bổ đề 3……… 19

3.3.4 Bổ đề 4……… 22

3.3.5 Bổ đề 5……… 27

3.3.6 Bổ đề 6……… 29

3.4 Chứng minh các định lý ……… 32

3.4.1 Chứng minh định lý 1 ……… 32

3.4.2 Chứng minh định lý 2 ……… 34

3.5 Giải số……… 37

3.5.1 Thuật toán……….37

3.5.2 Ví dụ minh họa……….39

3.5.2.1 Ví dụ 1……….39

3.5.2.2 Ví dụ 2……….40

3.6 Kết luận………45

TÀI LIỆU THAM KHẢO………48

Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 1 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐   

( g, ϕ là hai hàm cho trước )

Khi đó, bài toán (1) được phát biểu như sau

Phương pháp được áp dụng ở đây là dùng phương pháp nội suy ta tìm các hệ số của chuỗi Fourier khai triễn của f, sau đó dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier ta sẽ xây dựng được nghiệm chỉnh hóa

Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 2 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐   

1 Bài toán thuận Bài toán ngược

2 Bài toán chỉnh hóa Bài toán không chỉnh Sự chỉnh hóa

được sử dụng để xây dựng nghiệm chỉnh hóa đó

Trong kết quả chính, phần xây dựng sơ đồ chỉnh hóa cho f được mô tả lại theo nội dung bài báo “Determine the spacial term of a two-dimensional heat source ” của nhóm tác giả Dang Duc Trong, Pham Ngoc Dinh Alain và Phan Thanh Nam

Ngoài ra, trên nội dung bài toán đó ta có thể giải được một bài toán khác được phát biểu sau khi chứng minh định lý chính

Cuối cùng là 2 ví dụ về giải số nhằm minh họa lại các kết quả trên

Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 3 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐   

Dưới đây là một số ký hiệu được dùng trong luận văn này

định chuẩn nào đó

nghĩa Lebesgue trên và Ω

tục và khả vi đến cấp k trên Ωvới chuẩn

5 C∞( )Ω :  không gian các hàm liên tục và khả vi mọi cấp trên Ω. 

6 Hp( ) (với p = 1, 2): không gian các hàm của LΩ 2(Ω) sao cho f và các đạo hàm

yếu của nó tới bậc p có chuẩn trong L2 hữu hạn với chuẩn

Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 4 

‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐   

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4 -

PHẦN 2

KIẾN THỨC LIÊN QUAN

2.1 Bài toán thuận Bài toán ngược

Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và f: X  Y là một ánh xạ Khi đó ta nói, Bài toán thuận là : cho f và x  X, ta cần tính giá trị của f(x),

Bài toán ngược là : cho f và y  Y, ta cần giải phương trình f(x) = y theo ẩn x

2.2.Bài toán chỉnh hóa Bài toán không chỉnh Sự chỉnh hóa

Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và f: X  Y là một ánh xạ

Phương trình f(x) = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau đây

i Sự tồn tại: Với mỗi yY, tồn tại x X sao cho f(x) = y

ii Sự duy nhất: Với mỗi yY, tồn tại nhiều nhất một x X để f(x) = y

iii Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục trên dữ liệu y (tức là: với mỗi dãy (xn)

 X : f(xn)  f(x) thì kéo theo xn  x hay dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đến dãy dữ liệu chính xác thì nghiệm nhiễu sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác)

Nếu nghiệm x không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y thì khi f(xn)  f(x) có thể xn

không hội tụ đến x hoặc xn sẽ dần đến vô cùng

Để xét tính chỉnh của một bài toán, ta thường đưa nó về dạng phương trình f(x) = y rồi xét sự chỉnh hóa của bài toán này

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 5 -

Bài toán không chỉnh là bài toán không thỏa mãn ít nhất một trong ba điều kiện của bài

toán chỉnh

Sự chỉnh hóa là việc ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại) với nghiệm xấp

xỉ của bài toán nhiễu và đồng thời nghiệm xấp xỉ phải ổn định theo dữ liệu nhiễu

2.3 Hàm nguyên

Hàm f: C  C được gọi là hàm nguyên nếu nó giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức

Để f(z) là hàm nguyên, điều kiện cần và đủ là ta phải có

( ) 0( )

đối với ít nhất một điểm z0

Trong trường hợp đó chuỗi Taylor của hàm f(z) sẽ hội tụ khắp mặt phẳng phức

2.4 Bất đẳng thức Holder

Bất đẳng thức Holder là một bất đẳng thức cơ bản liên quan đến các không gian Lp Giả sử

i S là một không gian đo,

ii 1 ≤ p, q ≤ ∞ thỏa 1/p + 1/q = 1 ( p và q được gọi là liên hợp Holder lẫn nhau),

iii f  L p (S) và g  L q (S)

Khi đó

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 6 -

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 7 -

Và hệ trực chuẩn {gn} được gọi là đầy đủ trong L2 nếu

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 8 -

Ở đây, nếu f có đạo hàm cấp hai trên (a, b) thì

f là hàm lồi trên khoảng (a, b)  f ’’(x) 0,  x ( , )a b ,

f là hàm lõm trên khoảng (a, b)  f ’’(x) 0, x ( , )a b

2.7 Công thức tích phân Cauchy Thặng dư

2.7.1 Công thức tích phân Cauchy (1)

Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền n-liên, giới nội trên D và liên tục trên miền kín D

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 9 -

Giả sử

i a là điểm bất thường cô lập của hàm giải tích f(z) và

b) Nếu khai triển Laurent của f(z) quanh a có dạng

n

n n

Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 10 -

1

n

k k

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 11 -

PHẦN 3 CÁC ĐỊNH LÝ

3.1 Bài toán

Giả sử

T > 0, t(0, T), = (0, 1) (0, 1), (x, y) , gL1( ), L1(0, )T

( với g và  là hai hàm cho trước)

Khi đó, bài toán (1) được phát biểu như sau

Yêu cầu xác định cặp hàm ( u, f ) là nghiệm của hệ (1)

Đây là bài toán không chỉnh

Để xây dựng nghiệm chỉnh hóa của hệ (1) ta cần một số các ký hiệu sau đây

1  u u xx( , , )x y t u yy( , , )x y t ,

2 G( )( , )   ( , ) cosh(x y x c) os(y dxdy)



Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 12 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 13 -

tương ứng với các dữ liệu chính xác g 0 , 0,

iv  0,  L1(0, ),T g L1( ) sao cho

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 14 -

được xây dựng từ , g thỏa

2

2 0

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 15 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 16 -

r

ln G(ω)(z,nπ) lim sup -1

r

Chứng minh

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 17 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 18 -

Khi đó cùng với

với r > 0 và đủ lớn

Bây giờ ta sẽ chứng minh

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 19 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 20 -

Hơn nữa, nếu thỏa điều kiện (H) thì

2 2 2 θ+1 liminf (α - n π ) D(φ)(α, nπ) ] > 0 ,

2 2 2 (α -n π ) + 

với  trong (H) tương ứng với 

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 21 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 22 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 23 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 24 -

(ở đây ta kiểm chứng bằng cách dùng thặng dư tính ra vế phải sẽ bằng vế trái)

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 25 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 26 -

Tiếp theo ta có

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 27 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 28 -

Do đó, theo Bổ đề 3 thì tồn tại C(0) > 0 chỉ phụ thuộc vào 0 cho

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 29 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 30 -

Đó là điều phải chứng minh

( ) , 0

2 2

( ) , 0

( , )( ( , ) sin( ) os( ) ) ,( , )( ( , ) os( ) sin( ) )

2 ax{ , }>M

2

{ , }>M 2

( )

( , ) ( )( , )1

( ) ( , ) ( )( , )( 1)

K m n G im n

m n K m n G im n M

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 32 -

2

2 2 2 ax{ , }>M

2

2 2 2 { , }>M

( )(1 ( )) ( , ) ( )( , )

Vậy Bổ đề 6 đã được chứng minh

Với các kết quả từ bổ đề 1 đến bổ đề 6 đủ để chứng minh 2 định lý trên

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 33 -

2 0

( ) )

( ) 3

T

e u T n

C e

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 34 -

m T

n e

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 35 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 36 -

Như vậy, với ( > 0) đủ nhỏ ta có

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 37 -

Vậy định lý 2 được chứng minh xong

Từ nội dung định lý trên ta có thể xây dựng được sơ đồ giải số như sau

3.4 Giải số

3.4.1 Thuật toán

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 38 -

k, gk, k là các dữ kiện cho trước, fk là nghiệm chỉnh hóa

Từ định lý 2 ta có thuật toán để tính giá trị của fk như sau

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 39 -

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 40 -

Nếu chọn k = 100 thì  = 1/k = 1/100, khi đó từ thuật toán ta có

3.4.2.2 Ví dụ 2

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 41 -

Nên đây cũng là bài toán không chỉnh

Nếu chọn  = 1/100, thì từ thuật toán trên ta tìm được nghiệm chỉnh hóa là

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 42 -

Do đó sai số so với nghiệm chính xác sẽ là

2

f  f   Trong khi đó, sai số giữa nghiệm nhiễu và nghiệm chính xác ứng với k =100 lại là rất lớn, thật vậy

Điều này cho thấy nghiệm chỉnh hóa mà ta tìm được ở trên là rất tốt

Sau đây là đồ thị tương ứng của các hàm trong ví dụ 2

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 43 -

H1- Đồ thị của nghiệm chính xác f0(x, y)

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 44 -

H2 - Đồ thị của nghiệm nhiễu fk(nhieu)(x, y) ứng với k = 100

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 45 -

H3 - Đồ thị của nghiệm chỉnh hóa fk(x, y) ứng với k = 100

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 46 -

3.6.Kết luận

Với việc sử dụng linh hoạt các kiến thức liên quan đến hàm nguyên, bất đẳng thức Holder, đẳng thức Parseval, bất đẳng thức Jensen, thặng dư, định lý Beurling và phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier , chúng ta có thể xây dựng được f(x,y ) là hàm xấp xỉ của

[ ln( )]

, để dễ hình dung chúng ta có thể quan sát lại kỷ hơn ví dụ 2 ở trên

Và dựa vào kết quả bài toán trên, chúng ta có thể giải được bài toán (1’) sau đây

Giả sử

T > 0, t(0, T), = (0, 1) (0, 1), (x, y) , gL1( ), L1(0, )T

(g,  là hai hàm cho trước)

Khi đó, bài toán (1’) được phát biểu như sau

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 47 -

v Tồn tại đạo hàm theo x của các hàm vt, vxx, vyy, h(x,y,t) và các đạo hàm đó là liên tục

Yêu cầu ở đây là xây dựng hàm xấp xỉ của h(x, y, t) từ h1(y, t)

Thật vậy, đạo hàm theo x hai vế của phương trình

(x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + h(x, y, t), ta được (vt)x = (vxx)x+(vyy)x+( )t f(x,y)

Nếu đặt u(x,y,t) = vx(x,y,t) ta có

(x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + ( )t f(x,y), với

i u(x,y,0) = vx(x, y, 0) = g(x, y),

ii u(1,y,t) = vx(1, y, t) = 0,

iii ux(0,y,t) = (0, y, t) = 0, ux(1,y,t) = (1, y, t) = 0,

uy(x,0,t) = (x,0, t) = 0, uy(x,1,t) = (x, 1, t) = 0

Nên theo bài toán (1) trên ta có thể xây dựng được f là hàm xấp xỉ của f

Bây giờ ta xây dựng hàm xấp xỉ của h(x,y,t) từ h1(y, t) như sau

Từ hx(x,y,t) = ( )t f(x,y) ta suy ra

Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 48 -

H H