phương pháp số giải bài toán ngược phương trình truyền nhiệt có nguồn nhiệt

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CÓ NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010  ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN * * * TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CÓ NGUỒN NHIỆT CHUYÊN NGHÀNH : GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI HƯỚNG DẪN KHOA HỌC: PGS.TS Đặng Đức Trọng Thành phố Hồ Chí Minh – Năm 2010    LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên tôi xin tỏ lòng biết ơn sâu sắc và chân thành đối với Thầy PGS.TS. Đặng Đức Trọng, Thầy đã tận tình giúp đỡ, hướng dẫn và truyền đạt nhiều ý kiến quý báu để tôi hoàn thành bản luận văn này. Tôi xin chân thành cảm ơn quý Thầy Cô trong hội đồng chấm luận văn đã dành thời gian đọc và đóng góp nhiều ý kiến quý giá, thiết thực cho bản luận văn . Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành đến quý Thầy Cô trong tổ Toán – Tin Học trường Đại Học Khoa Học Tự Nhiên Thành Phố Hồ Chí Minh đã trực tiế p giảng dạy và trang bị đầy đủ kiến thức cơ bản làm nền tảng cho tôi trong quá trình viết luận văn . Tôi xin tỏ lòng biết ơn đến gia đình tôi, quý thầy cô và bạn bè đã hỗ trợ, giúp đỡ và động viên tôi trong suốt quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Trần Hữu Lương   MỤC LỤC Lời cảm ơn……………………………………………………………………………… Mục lục…………………………………………………………………………………… 1.Phần 1- MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU……………………………………………………….1 1.1 Mở đầu………………………………………………………………………… 1 1.2 Ký hiệu…………………………………………………………………………… 3 2.Phần 2- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN…………………………………………… 4 2.1 Bài toán thuận. Bài toán ngược……………………………………………… 4 2.2 Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa…………………….4 2.3 Hàm nguyên……………………………………………………………………5 2.4 Bất đẳng thức Holder………………………………………………………… 5 2.5 Hệ trực giao, hệ trực chuẩn. Đẳng thức Parseval…………………………… 6 2.6 Bất đẳ ng thức Jensen………………………………………………………… 7 2.7 Công thức tích phân Cauchy. Thặng dư……………………………………….8 2.8 Định lý Beurling………………………………………………………………10 3.Phần 3- CÁC ĐỊNH LÝ………………………………………………………… 11 3.1 Bài toán……………………………………………………………………… 11 3.2 Các định lý …………………………………………………………………….13 3.2.1. Định lý 1. ………………………………………………………… 13 3.2.2. Định lý 2. ………………………………………………………… 13 3.3 Các bổ đề………………………………………………………………………14 3.3.1. Bổ đề 1…………………………………………………………… 14 3.3.2. Bổ đề 2…………………………………………………………… 16 3.3.3. Bổ đề 3…………………………………………………………… 19 3.3.4. Bổ đề 4…………………………………………………………… 22 3.3.5. Bổ đề 5…………………………………………………………… 27 3.3.6. Bổ đề 6…………………………………………………………… 29 3.4 Chứng minh các định lý ……………………………………………………… 32 3.4.1. Chứng minh định lý 1 …………………………………………… 32 3.4.2. Chứng minh định lý 2 …………………………………………… 34 3.5 Giải số………………………………………………………………………… 37 3.5.1. Thuật toán………………………………………………………….37 3.5.2. Ví dụ minh họa…………………………………………………….39 3.5.2.1. Ví dụ 1…………………………………………………….39 3.5.2.2. Ví dụ 2…………………………………………………….40 3.6 Kết luận…………………………………………………………………………45 TÀI LIỆU THAM KHẢO……………………………………………………………48 Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 1 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  PHẦN 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 1.1. Mở đầu. Các bài toán ngược đóng vai trò quan trọng trong chính vấn đề nội tại của toán học cũng như trong thực tiễn, trong luận văn này ta xét bài toán sau Giả sử T > 0, t ∈ (0, T), Ω = (0, 1) × (0, 1), (x, y) ∈ Ω , 11 (), (0,)gL L T ϕ ∈Ω ∈ ( g, ϕ là hai hàm cho trước ). Khi đó, bài toán (1) được phát biểu như sau Cho phương trình (x,y,t) = (x,y,t) + (x,y,t) + ()t ϕ .f(x,y), Với i. u(x, y, 0) = g(x, y), ii. u(1, y, t) = 0, iii. (0, y, t) = (1, y, t) = (x, 0, t) = (x, 1, t) = 0, Yêu cầu xác định cặp hàm ( u, f ) là nghiệm của hệ (1) . Vấn đề là, trong trường hợp tổng quát chúng ta có thể không tìm được chính xác u(x, y, t) và f(x, y) thỏa bài toán trên. Do vậy, ở đây, chúng ta cần xây dựng một hàm chỉnh hóa của f(x,y) trên cơ sở các dữ liệu xấp xỉ. Phương pháp được áp dụng ở đây là dùng phương pháp nội suy ta tìm các hệ số của chuỗi Fourier khai triễn của f, sau đó dùng phương pháp chặt cụt chuỗi Fourier ta sẽ xây dựng được nghiệm chỉnh hóa. ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng08/2010 Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 2 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  Nếu gọi ε là sai số giữa dữ liệu đã cho và dữ liệu chính xác thì sai số giữa nghiệm chính xác và nghiệm chỉnh hóa sẽ có bậc [ 1 ln( ) ε − ] -1 . Nội dung chính của luận văn gồm các phần sau Phần 1: MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU Phần2: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Phần3: CÁC ĐỊNH LÝ Mục đích của luận văn này là xây dựng nghiệm chỉnh hóa của f(x,y), do đó các kiến thức về 1. Bài toán thuận. Bài toán ngược. 2. Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa. 3. Hàm nguyên. 4. Bất đẳng thức Holder. 5. Hệ trực giao, hệ trực chuẩn. Đẳng thức Parseval. 6. Bất đẳng thức Jensen. 7. Công thức tích phân Cauchy. Thặng dư. 8. Định lý Beurling được sử dụng để xây dựng nghiệm chỉnh hóa đó. Trong kết quả chính, phần xây dựng sơ đồ chỉnh hóa cho f được mô tả lại theo nội dung bài báo “Determine the spacial term of a two-dimensional heat source ” của nhóm tác giả Dang Duc Trong, Pham Ngoc Dinh Alain và Phan Thanh Nam. Ngoài ra, trên nội dung bài toán đó ta có thể giải được một bài toán khác được phát biểu sau khi chứng minh định lý chính. Cuối cùng là 2 ví dụ về giải số nhằm minh họa lại các kết quả trên. ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng08/2010 Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 3 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  1.2. Ký hiệu. Dưới đây là một số ký hiệu được dùng trong luận văn này 1. . : chuẩn trong một không gian định chuẩn nào đó . 2. L p ( Ω ): tập các hàm đo được theo nghĩa Lebesgue trên và Ω p | f(t) | dt < + Ω ∞ ∫ với chuẩn 1/ (()) p p . p L ffx Ω = ∫ 3. C( Ω ): không gian các hàm liên tục trên Ω với chuẩn  { } () sup ( ) : . C ffxx Ω = ∈Ω  4. C k ( Ω ): không gian các hàm liên tục và khả vi đến cấp k trên Ω với chuẩn {} () () 0 sup ( ) : . k p k C k ffx Ω = x = ∈Ω ∑  5. :không gian các hàm liên tục và khả vi mọi cấp trên  ()C ∞ Ω .Ω 6. H p ( ) (với p = 1, 2): không gian các hàm của L Ω 2 ( Ω ) sao cho f và các đạo hàm yếu của nó tới bậc p có chuẩn trong L 2 hữu hạn với chuẩn ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng08/2010 Phần 1 MỞ ĐẦU VÀ KÝ HIỆU 4 ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐  2 () 1/2 () 0 (() p p k H k ). f fxdx Ω = Ω = ∑ ∫ ‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐‐ Tháng08/2010 Phần 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 4 Tháng 08/2010 PHẦN 2 KIẾN THỨC LIÊN QUAN 2.1. Bài toán thuận. Bài toán ngược. Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và f: X  Y là một ánh xạ. Khi đó ta nói, Bài toán thuận là : cho f và x  X, ta cần tính giá trị của f(x), Bài toán ngược là : cho f và y  Y, ta cần giải phương trình f(x) = y theo ẩn x. 2.2.Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa. Cho X , Y là hai không gian định chuẩn và f: X  Y là một ánh xạ. Phương trình f(x) = y được gọi là chỉnh nếu thỏa các điều kiện sau đây i. Sự tồn tại: Với mỗi y  Y, tồn tại x  X sao cho f(x) = y. ii. Sự duy nhất: Với mỗi y  Y, tồn tại nhiều nhất một x  X để f(x) = y. iii. Tính ổn định: Nghiệm x phụ thuộc liên tục trên dữ liệu y (tức là: với mỗi dãy (x n )  X : f(x n )  f(x) thì kéo theo x n  x hay dãy dữ liệu nhiễu hội tụ đến dãy dữ liệu chính xác thì nghiệm nhiễu sẽ hội tụ đến nghiệm chính xác). Nếu nghiệm x không phụ thuộc liên tục vào dữ liệu y thì khi f(x n )  f(x) có thể x n không hội tụ đến x hoặc x n sẽ dần đến vô cùng . Để xét tính chỉnh của một bài toán, ta thường đưa nó về dạng phương trình f(x) = y rồi xét sự chỉnh hóa của bài toán này. [...]... Bài toán không chỉnh là bài toán không thỏa mãn ít nhất một trong ba điều kiện của bài toán chỉnh Sự chỉnh hóa là việc ta xét sự xấp xỉ giữa nghiệm chính xác (nếu tồn tại) với nghiệm xấp xỉ của bài toán nhiễu và đồng thời nghiệm xấp xỉ phải ổn định theo dữ liệu nhiễu 2.3 Hàm nguyên Hàm f: C  C được gọi là hàm nguyên nếu nó giải tích trên toàn bộ mặt phẳng phức... 3.1 Bài toán Giả sử T > 0, t(0, T),  = (0, 1)  (0, 1), (x, y)   , g  L1 (),   L1 (0, T ) ( với g và  là hai hàm cho trước) Khi đó, bài toán (1) được phát biểu như sau Cho phương trình (x,y,t) = i u(1, y, t) = 0, iii (0, y, t) = (x,y,t) +  (t ) f(x,y), với u(x, y, 0) = g(x, y), ii (x,y,t) + (1, y, t) = (x, 0, t) = (x, 1, t) = 0, Yêu cầu xác định cặp hàm ( u, f ) là nghiệm của hệ (1) Đây là bài. .. kiện ux(1,y,t) = ux(0,y,t) = 0 ta có = Nhân hai vế của phương trình với = , ta được Hay Tháng 08/2010 Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 16 [ ]= Lấy tích phân 2 vế của phương trình trên theo biến t từ 0 đến T, ta có = = g(x,y) ta có điều phải chứng minh Thay u 3.3.2 Bổ đề 2 Nếu đặt... 2(1) Giả sử hàm f(z) giải tích trong toàn mặt phẳng, trừ một số hữu hạn điểm bất thường a1, a2, a3, …, an n  Re s[f(z), a Khi đó k ]  R es[f(z), ] = 0 k 1 2.8 Định lý Beurling(2) Cho f(z) là hàm giải tích trong miền D  { z   arg z   } ,   Đặt Mf(r) = sup f ( rei ) ,      , ( r = /z/ ) Khi đó ta có định lý sau Với mọi hàm nguyên f(z) và với mọi  [0,2 ] , ta có lim sup[ (1) ln M... (bằng cách tính toán trực tiếp) Tháng 08/2010 Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 25 Với r ta xét hàm số V(x) = , với x Ta có V’(x) = > 0, x , r nên hàm số đồng biến trên Và V’’(x) = - < 0, = nên hàm V(x) lõm trên x Do đó, áp dụng bất đẳng thức Jensen với r  55, ta có 20 r 4 kr 5... Giả sử i a là điểm bất thường cô lập của hàm giải tích f(z) và ii C là một đường cong kín, liên tục, không có điểm bội và trơn từng khúc giới hạn một miền D chứa a, f(z) giải tích trong miền D trừ a iii Khi đó, a) Thặng dư của f(z) tại a là Res[f(z), a] : = 1 2 i  f ( z)dz , C với chiều đi trên C là chiều dương b) Nếu khai triển Laurent của f(z) quanh a có dạng n  f ( z)   k ( z  a) n n n ... cos( ) cosh = Điều này cho thấy (iz) là hàm nguyên và do đó (z) cũng là hàm nguyên Ta có , x [0,1], Tiếp theo, giả sử 0, ta thấy rằng = Mà { sin(m ) cos C d n ( z ) = dz z  im (x,y)sin(m ) cos }m ≥ 1, n ≥ 0 là hệ trực giao trong L2( ) nên vế phải của phương trình trên không đồng nhất bằng 0 Suy ra, tồn tại một số các giá trị nguyên n để không là hàm hằng ... (α,n) , ta có - Tháng 08/2010 Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 15 = Chứng minh , ta có Từ W(x,y) = cosh(αx)cos(n , Và từ - = Nhân hai vế với W ta có - = Lấy tích phân trên  của hai vế ta được - = Dùng tích phân từng phần cùng với điều kiện ux(1,y,t) = ux(0,y,t) = 0 ta có = Nhân... với mọi a1, a2, …, an  (a, b), ta có f (a1 )  f (a2 )   f (an ) 1  f [ ( a1  a2   an )] n n Ở đây, nếu f có đạo hàm cấp hai trên (a, b) thì f là hàm lồi trên khoảng (a, b)  f ’’(x)  0, x  (a, b) , f là hàm lõm trên khoảng (a, b)  f ’’(x)  0, x  (a, b) 2.7 Công thức tích phân Cauchy Thặng dư 2.7.1 Công thức tích phân Cauchy (1) Giả sử hàm f(z) giải tích trong miền n-liên, giới nội... ta có với r > 0 và đủ lớn Bây giờ ta sẽ chứng minh Nếu Xét 0 thì kết quả là hiển nhiên e r 0 < ln , ta có er < 0 và 1 < = r +ln Nên 1 ln M  (r ) Do đó ln n (r ) ln M  (r ) Hay Suy ra Tháng 08/2010 Phần 3 CÁC ĐỊNH LÝ 19 sup[ sup[ Mà theo định lý Beurling, ta có . HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CÓ NGUỒN NHIỆT CHUYÊN NGHÀNH : GIẢI TÍCH Mã số : 60 46 01 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC NGƯỜI. * * * TRẦN HỮU LƯƠNG PHƯƠNG PHÁP SỐ GIẢI BÀI TOÁN NGƯỢC PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT CÓ NGUỒN NHIỆT LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Thành phố Hồ Chí. 2.Phần 2- CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN…………………………………………… 4 2.1 Bài toán thuận. Bài toán ngược …………………………………………… 4 2.2 Bài toán chỉnh hóa. Bài toán không chỉnh. Sự chỉnh hóa…………………….4 2.3 Hàm nguyên……………………………………………………………………5