một số thuật toán d-gap giải bài toán cân bằng và bât đẳng thức biến phân

ĐẠI HỌC QUỐC GIA THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC TỰ NHIÊN CAO NGHI THỤC MỘT SỐ THUẬT TOÁN D-GAP GIẢI BÀI TOÁN CÂN BẰ NG VÀ BẤT ĐẲNG THỨC BIẾN PHÂN LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÀNH PHỐ HỒ CHÍ MINH - 2010 Lời cảm ơn Tôi xin gửi lời cám ơn chân thành và sâu sắc nhất đến GS.TSKH Phan Quốc Khánh, người đã tận tình giảng dạy và dìu dắt, giúp đỡ tôi rất nhiều trong quá trình học tập và hoàn thành luận văn. Tôi xin trân trọng cảm ơn thầy trưởng khoa PGS. TS Đặng Đức Trọng, các thầy cô khoa Toán- tin học và đặc biệt là các thầy cô, đồng nghiệp trong bộ môn tối ưu và hệ thống đã tạo điều kiện thuận lợi cho tôi hoàn thành khóa học. Cuối cùng, tôi xin cảm ơn gia đình, bạn bè đã tin tưởng và động viên tôi trong suốt thời gian qua. TP HCM tháng 4 năm 2010. Cao Nghi Thục Mục lục Lời cảm ơn 1 Lời nói đầu 4 1 Các kiến thức cơ bản 6 1.1 Tập lồi và hàm lồi . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 1.1.1 Tập lồi trong không gian tuyến tính . . . . . . . . . . 6 1.1.2 Hàm lồi trên không gian tuyến tính . . . . . . . . . . 7 1.2 Hàm liên tục trên không gian định chuẩn . . . . . . . . . . . 10 1.2.1 Tính liên tục của hàm trên không gian định chuẩn . . 10 1.2.2 Tính liên tục của hàm lồi trong không gian định chuẩn 11 1.2.3 Hàm nửa liên tục trong không gian định chuẩn . . . . 14 1.3 Tính đơn điệu của ánh xạ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 1.4 Đạo hàm . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.1 Đạo hàm theo hướng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 1.4.2 Đạo hàm Gâteaux và đạo hàm Fréchet . . . . . . . . . 17 2 Bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 20 2.1 Phát biểu bài toán . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 2.1.1 Bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 20 MỤC LỤC 3 2.1.2 Bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng . . . . . . . . . . . . . . . . 21 2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23 2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân . 24 3 Một số thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 26 3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 26 3.2 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng . . . . . . . 34 3.2.2 Thuật toán D-gap giải bài toán bất đẳng thức biến phân 40 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời nói đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) ra đời vào thập niên 60 của thế kỷ XX với những đóng góp to lớn của G. Stampacchia, J. L. Lions Đến nay, bài toán đã được phát triển thành nhiều dạng khác nhau như bất đẳng thức biến phân vec tơ, bất đẳng thức biến phân suy rộng, tựa bất đẳng thức biến phân Mô hình bài toán này chứa đựng rất nhiều bài toán quan trọng của các lĩnh vực khác như tối ưu hóa, lý thuyết trò chơi, cân bằng Nash, Do đó bài toán thu hút sự quan tâm của nhiều nhà toán học trên thế giới cũng như trong nước trong đó phải kể đến N. D. Yen, G. T. Chen, P. Q. Khanh, L. M. Luu, N. X. Hai. Gần đây bài toán mở rộng của bài toán bất đẳng thức biến phân là bài toán cân bằng cũng thu hút sự quan tâm của nhiều tác giả, chẳng hạn I. V. Konnov [4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13 ], O. Chadli [7], J. C. Yao [7], M. S. S. Ali [11], O.V. Pinyagina [6], G. Mastroeni [14, 15, 16, 17], J. M. Peng [15], M.Fukushima [3], Mô hình bài toán như sau. Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống và f : S×S → R là hàm cân bằng. Khi đó bài toán tìm x ∗ ∈ S sao cho f(x ∗ , y)  0, ∀y ∈ S. (1) được gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem). Lời nói đầu 5 Trong luận văn này, chúng tôi hệ thống lại các phương pháp giải bài toán cân bằng dưới dạng các thuật toán sử dụng hàm gap, hàm D-gap. Luận văn gồm ba chương. • Chương 1: trình bày các kiến thức về tập lồi, hàm lồi, tính liên tục, nửa liên tục của hàm trên không gian tuyến tính, và một số vấn đề liên quan. • Chương 2: hệ thống lại mô hình bài toán cân bằng, bất đẳng thức biến phân. • Chương 3: trình bày thuật toán sử dụng hàm D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân. Chương 1 Các kiến thức cơ bản 1.1 Tập lồi và hàm lồi 1.1.1 Tập lồi trong không gian tuyến tính Định nghĩa 1.1.1 Giả sử X là không gian tuyến tính. M ⊆ X được gọi là tập lồi nếu ∀x, y ∈ S, ∀α ∈ [0, 1] : αx + (1 −α)y ∈ S. Mệnh đề 1.1.2 (i) Giao họ bất kỳ các tập lồi là tập lồi. (ii) Nếu C ⊆ X, D ⊆ X là hai tập lồi và α ∈ R thì C + D := {c + d : c ∈ C, d ∈ D}, αC := {αx : x ∈ C} cũng là tập lồi. Do đó C − D := C + (−1)D cũng là tập lồi. Định nghĩa 1.1.3 Giả sử X là không gian tuyến tính. x ∈ X được gọi là tổ hợp tuyến tính lồi của x 1 , x 2 , , x m ∈ X nếu tồn tại α 1 , α 2 , , α m > 0 thỏa mãn m  i=1 α i = 1 và x = m  i=1 α i x i . 1.1 Tập lồi và hàm lồi 7 Định lý 1.1.4 Giả sử X là không gian tuyến tính. Tập S ⊆ X được gọi là lồi nếu và chỉ nếu S chứa mọi tổ hợp tuyến tính lồi của các điểm của S. Định nghĩa 1.1.5 Giả sử X là không gian tuyến tính và S ⊆ X. Tập lồi nhỏ nhất chứa S được gọi là bao lồi của S, kí hiệu là coS. Nhận xét Tập S lồi khi và chỉ khi coS = S. 1.1.2 Hàm lồi trên không gian tuyến tính Giả sử X là không gian tuyến tính, S ⊂ X và f : S → R ∪{±∞}. Định nghĩa 1.1.6 (i) Miền hiệu quả (domain) của f là tập domf := {x ∈ S : f(x) < +∞}. (ii) Trên đồ thị (epigraph) của f là tập epif := {(x, γ) ∈ S ×R : f (x) ≤ γ}. Định nghĩa 1.1.7 Hàm f được gọi là chính thường (proper) trên S nếu domf =  và f(x) > −∞, ∀x ∈ S. Định nghĩa 1.1.8 Hàm f được gọi là lồi nếu epif là tập lồi (trong X ×R). Mệnh đề 1.1.9 (i) Nếu f là hàm lồi thì domf là tập lồi và tập mức S α := {x ∈ X : f(x) ≤ α} là tập lồi , ∀α ∈ R. (ii) f là hàm lồi chính thường khi và chỉ khi với bất kỳ x, y ∈ domf và α ∈ [0, 1] ta có f [αx + (1 −α)y] ≤ αf(x) + (1 − α)f(y). Định lý 1.1.10(Bất đẳng thức Jensen) Giả sử f là hàm chính thường trên S. Khi đó, f là lồi trên S khi và chỉ khi ∀x 1 , x 2 , , x m ∈ S, ∀α 1 , α 2 , , α m ≥ 0; m  i=1 α i = 1, f( m  i=1 α i x i ) ≤ m  i=1 α i f(x i ). 1.1 Tập lồi và hàm lồi 8 Định nghĩa 1.1.11 Giả sử S ⊂ X là tập lồi và f : S → R ∪ {±∞}. (i) Hàm f được gọi là lồi (convex)tại x ∗ ∈ S nếu ∀x ∈ S, ∀α ∈ [0, 1] ta có f[αx + (1 − αx ∗ )] ≤ αf(x) + (1 − α)f(x ∗ ). f được gọi là lồi trên S nếu nó lồi tại mọi x ∈ S. (ii) Hàm f được gọi là lồi chặt (strictly convex) tại x ∗ ∈ S nếu ∀x ∈ S, x = x ∗ , ∀α ∈ (0, 1) ta có f[αx + (1 − αx ∗ )] < αf(x) + (1 − α)f(x ∗ ). fđược gọi là lồi chặt trên S nếu nó lồi chặt tại mọi x ∈ S. (iii) Hàm f được gọi là lõm (concave) tại x ∗ ∈ S nếu −f là lồi tại x ∗ ∈ S. (iv) Hàm f được gọi là lõm chặt (strictly concave) tại x ∗ ∈ S nếu −f là lồi chặt tại x ∗ ∈ S. (v) Hàm f được gọi là lồi mạnh (strongly convex) tại x ∗ ∈ S nếu ∀x ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], ∃ρ > 0 thỏa mãn f[αx + (1 − αx ∗ )] ≤ αf(x) + (1 − α)f(x ∗ ) −ρα(1 − α)x − x ∗  2 . Hàm f được gọi là lồi mạnh trên S nếu nó lồi mạnh tại mọi x ∈ S. Nhận xét Nếu f lồi chặt tại x ∗ ∈ S hoặc trên tập S thì f cũng lồi tại x ∗ ∈ S hoặc trên tập S. Trong mệnh đề, chiều ngược lại không đúng. Chẳng hạn, hàm f : R −→ R xác định bởi f(x) = x 3 có tập mức S α = {x ∈ R : f(x) ≤ α} = {x ∈ R : x 3 ≤ α} = (−∞, 3 √ α)} là tập lồi ∀x ∈ R nhưng f không lồi. Tuy nhiên tính chất mọi tập mức lồi cũng là một tính chất quan trọng nên người ta đã đưa ra thuật ngữ sau Định nghĩa 1.1.12 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪ {+∞}. Nếu ∀α ∈ R tập mức S α của f là tập lồi thì hàm f được gọi là tựa lồi (quasiconvex) trên S. 1.1 Tập lồi và hàm lồi 9 Mệnh đề 1.1.13 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪{+∞}. Khi đó f là tựa lồi khi và chỉ khi ∀x, y ∈ S, ∀α ∈ [0, 1], f[αx + (1 − α)y] ≤ max{f(x), f(y)}. Công thức trên là đặc trưng hoàn toàn cho tính tựa lồi của hàm trên một tập lồi. Do vậy, nếu dùng nó làm định nghĩa sẽ thuận lợi hơn khi xét từng điểm và để phát triển thêm khái niệm như sau Định nghĩa 1.1.14 Giả sử S ⊆ X là tập lồi và f : S −→ R ∪{+∞}. (i) Hàm f được gọi là tựa lồi tại x ∗ ∈ S nếu với mọi x ∈ S sao cho f(x) ≤ f(x ∗ ) và α ∈ [0, 1] ta có f[αx + (1 − αx ∗ )] ≤ f(x ∗ ). f được gọi là tựa lồi trên S nếu nó tựa lồi tại mọi x ∈ S. (ii) Hàm f được gọi là tựa lồi chặt (strictly quasiconvex) tại x ∗ ∈ S nếu ∀x ∈ S sao cho f(x) < f(x ∗ ) và α ∈ (0, 1) ta có, f[αx + (1 − αx ∗ )] < f(x ∗ ). f được gọi là tựa lồi chặt trên S nếu nó tựa lồi chặt tại mọi x ∈ S. (iii) Hàm f được gọi là tựa lõm (quasiconcave) tại x ∗ ∈ S hoặc trên S nếu −f là tựa lồi tại x ∗ ∈ S hoặc trên S. (iv) Hàm f được gọi là tựa lõm chặt (strictly quasiconcave) tại x ∗ ∈ S hoặc trên S nếu −f là tựa lồi chặt tại x ∗ ∈ S hoặc trên S . [...]... Chương 3 Một số thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân Trong chương hai ta thấy rằng có thể chuyển bài toán cân bằng thành bài toán tối ưu có ràng buộc bằng cách sử dụng hàm gap Trong chương này, với việc sử dụng hàm D-gap (hiệu của hai hàm gap) người ta có thể chuyển bài toán bất đẳng thức biến phân thành bài toán. .. hằng số L Với α > 0, bài toán tìm x∗ ∈ S sao cho ∀y ∈ S, f (x∗ , y) + αH(x∗ , y) ≥ 0 được gọi là bài toán cân bằng bổ trợ (AEP) Mệnh đề 2.3.2 (AEP) nhận hàm gα (x) = sup(−f (x, y) − αH(x, y)) y∈S làm hàm gap (2.4) 2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 24 2.4 Nghiệm của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân Mệnh đề 2.4.1 Giả sử (H1)-(H3) thỏa mãn Khi đó Hy (x, y) = 0 khi và. .. và tính xác định dương của F (x) cho ta yβ (x) − yα (x) = 0 (3.17) 3.2 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 34 Do đó, theo (3.16) ta có 0 = βHx (x, yβ (x)) − αHx (x, yα (x)) = (β − α)Hx (x, yα (x)) Kết hợp (H4) cho ta Hy (x, yα (x)) = 0 Theo mệnh đề 2.4.1, ta có x = yα (x) Do đó theo bổ đề 3.1.12, x là nghiệm của bài toán (VI) 3.2 3.2.1 Thuật toán D-gap giải bài toán cân. .. Fukushima[3, 18 ] và Zhu-Marcotte[20, 21] đã chính quy hóa bài toán (VI) bằng việc thêm hàm H và sử dụng hàm gap (2.3) cho bài toán chính quy Định nghĩa 2.2.6 Giả sử S ⊆ X Hàm p : X → R được gọi là hàm gap cho bài toán (VI) nếu và chỉ nếu (i) p(x) 0, ∀x ∈ S (ii) p(x) = 0 và x ∈ S khi và chỉ khi x là nghiệm của (VI) 2.3 Bài toán cân bằng bổ trợ 2.3 23 Bài toán cân bằng bổ trợ Bài toán bổ trợ đã được... toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng Mệnh đề 3.2.1 Giả sử f là hàm cân bằng, f (x, ·) là hàm lồi khả vi, ∀x ∈ Rn , f là đơn điệu mạnh với modulus δ trên Rn và Hy (·, ·) liên tục Lipschitz với hằng số Lf trên Rn × Rn Hơn nữa (H1), (H2), (H3) và (H5) thỏa Khi đó tồn tại c > 0 sao cho, x∗ là nghiệm duy nhất của (EP) và với mọi x ∈ Rn , x − x∗... chuẩn và hàm f : X → R Nếu x∗ ∈ X là điểm cực tiểu của f trên X và f khả vi Gâteaux tại x∗ thì, ∀h ∈ X, f (x∗ )(h) = 0 (1.10) Hệ thức (1.10) là điều kiện cần để x∗ là điểm cực tiểu của hàm f Chương 2 Bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 2.1 2.1.1 Phát biểu bài toán Bài toán cân bằng Định nghĩa 2.1.1 Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống Hàm f : S × S → R được gọi là hàm cân. .. → R được gọi là hàm cân bằng (equilibrium function) nếu f (x, x) = 0, ∀x ∈ S Định nghĩa 2.1.2 Giả sử X là không gian định chuẩn, S ⊂ X là tập khác trống và f : S × S → R là hàm cân bằng Khi đó bài toán tìm x∗ ∈ S sao cho f (x∗ , y) 0, ∀y ∈ S (2.1) được gọi là bài toán cân bằng (equilibrium problem) viết tắt (EP) 2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng 2.1.2 21 Bất đẳng thức biến phân Định nghĩa 2.1.3 Giả... 3.1.12, x là nghiệm của bài toán (VI) Để chứng minh chiều ngược lại, giả sử x là nghiệm của bài toán (VI) Khi đó, theo bổ đề 3.1.12, ta có x = yα (x) Theo (H2) H(x, yα (x)) = 0 Vì gαβ không âm, theo mệnh đề 3.1.11, ta được gαβ = 0 Định lý này cho thấy bài toán tối ưu không ràng buộc min gαβ (x) tương n x∈R đương bài toán (VI) 3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 33 Bổ đề 3.1.14... trong việc giải quyết các bài toán tối ưu Sau đó Mastroeni G[17] cũng sử dụng nó vào bài toán cân bằng Ý tưởng của việc áp dụng là cộng thêm hàm chính quy vào bài toán gốc mà không làm thay đổi nghiệm của bài toán ban đầu song việc giải bài toán mới này lại thuận tiện hơn Định nghĩa 2.3.1 Giả sử H : Rn × Rn → R thỏa các điều kiện sau: (H1) H khả vi liên tục; (H2) H(x, y) 0 và H(x, y) = 0 khi và chỉ khi... Rn và ·, · là tích trong trong Rn Bài toán tìm vectơ x∗ ∈ X sao cho F (x∗ ), y − x∗ 0, ∀y ∈ X (2.2) được gọi là bài toán bất đẳng thức biến phân (variational inequality) viết tắt (VI) Ta nhận thấy rằng trong (EP) nếu xét f (x, y) := F (x), y − x thì ta nhận được bài toán (VI) 2.2 Hàm Gap của bài toán cân bằng Định nghĩa 2.2.1 Giả sử S ⊆ X Hàm p : X → R được gọi là hàm gap cho bài toán (EP) nếu và . của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân . 24 3 Một số thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân 26 3.1 Hàm D-gap của bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân. phân 26 3.2 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng và bất đẳng thức biến phân . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 3.2.1 Thuật toán D-gap giải bài toán cân bằng . . 34 3.2.2 Thuật toán D-gap giải bài toán bất đẳng thức biến phân 40 Kết luận 46 Tài liệu tham khảo 47 Lời nói đầu Bài toán bất đẳng thức biến phân (Variational Inequality Problem) ra đời vào thập