Phương pháp collocation với cơ sở b spline bậc năm giải phương trình truyền nhiệt một chiều

(16): hệ phƣơng trình (15) ta đƣợc hệ phƣơng trình A H với A ma trận đƣờng chéo 0   54 60    101 135 105 0   4   26 66 26      A     26 66 26    105 135 101   0  4   0 60 54   (16) TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 133 H 2.2 Sự ổn định Ch ng ta chứng minh hệ phƣơng trình sai phân (10) ổn định Von – Neumann Đặt n } với { √ số mode Khi phƣơng trình (10) trở thành: 1   exp 2ih  exp 2ih  exp ih  exp ih  2  2 2 2 exp 2ih  exp 2ih  exp ih  exp ih   2  21 cos (h)  1 cos(h)   1  2 22 cos (h)   cos(h)    2 1  1 Để tìm miền giá trị  ta xét hàm số: y   22 x  2 x   2 21x  1x  Với: 1  x  Đạo hàm y ta có: y,  120h t(2x  6x  7) [(h  10)x  (13h  10)x  16h  20t]2 Dễ thấy: y‟(x) > 0, với 1  x  Nên y đồng biến khoảng cho Mặt khác ta nhận đƣợc:  8h  40t  1  y(1)  8h  40t   y(1)   Do đó: 1  y(x)  1, x [-1, 1]    Vậy (10) ổn định vô điều kiện 2.3 Kết số Xét phƣơng trình truyền nhiệt: 134 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI u xx  u t  0,  x  1, (17) Với điều kiện đầu: u(x,0)  sin(x), (18) Các điều kiện biên: u(0, t)  u(1, t)  0, t  0,  u x (0, t)  exp - t  u x (1, t)  exp - t  u xx (0, t)  u xx (1, t)  (19)   Bài toán (17), (18), (19) có nghiệm đ ng: u(x, t)  exp -2 t sin x Kết số cho theo bảng sau: Bảng So sánh kết số với t  0,0001;h  0,0125 x 0,3 0,6 0.9 t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Nghiệm xấp xỉ 0,30302 0,11315 0,04218 0,01574 0,00588 0,00221 0,00084 0,00033 0,00014 0,35725 0,13302 0,04958 0,01849 0,00691 0,00259 0,00098 0,00038 0,00016 0,11628 0,04322 0,01612 0,00602 0,00226 Nghiệm 0,30153 0,11238 0,04186 0,01561 0,00582 0,00217 0,00081 0,00030 0,00011 0,35446 0,13211 0,04924 0,01835 0,00684 0,00255 0,00095 0,00035 0,00014 0,11519 0,04293 0,01600 0,00596 0,00222 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 0,6 0,7 0,8 0,9 135 0,00086 0,00033 0,00014 0,00007 0,00083 0,00031 0,00012 0,00004 Bảng So sánh kết với t = 0,5 v t  0, 0001 Nghiệm xấp xỉ Nghiệm x h = 0,05 h = 0,025 h = 0,1667 h = 0,0125 0,1 0,00230 0,00228 0,00226 0,00226 0,00222 0,2 0,00430 0,00429 0,00428 0,00428 0,00423 0,3 0,00589 0,00589 0,00589 0,00588 0,00582 0,4 0,00691 0,00692 0,00691 0,00691 0,00684 0,5 0,00726 0,00727 0,00727 0,00726 0,00719 0,6 0,00691 0,00692 0,00691 0,00691 0,00684 0,7 0,00589 0,00589 0,00589 0,00588 0,00582 0,8 0,00430 0,00429 0,00428 0,00428 0,00423 0,9 0,00230 0,00228 0,00227 0,00226 0,00223 Hình Đồ thị h m sở B-spline bậc 136 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI Hình Đồ thị đạo h m B – spline bậc Hình Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ KẾT LUẬN Bài báo trình bày phƣơng pháp collocation sử dụng hệ sở B – spline bậc năm giải xấp xỉ phƣơng trình truyền nhiệt chiều Sự ổn định hệ phƣơng trình sai phân tƣơng ứng đƣợc chứng minh Đồng thời qua ví dụ khẳng định tính hiệu phƣơng pháp TÀI LIỆU THAM KHẢO G Arora, R C Mittal, B K Singh (2014), “Numerical solution of BBM – Burger equation with quartic B – spline collocation method”, J of Engineering, Special issue on ICMTEA 2013 conference, December, pp.104-116 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 137 Behnam Sepehrian, Mahmood Lashami (2008), “A numerical solution of the Burgers equation using quintic B – spline”, Proceeding of the World Congress on Engineering, Vol III, WCE 2008, London, U.K Duygu Dӧnmer Demiz, Necdet Bildik (2012), “The numerical solution of Heat problem using cubic B – spline”, Applied Mathematics, 2(4), pp.131-135 Joan Goh, Ahmad Abd Majid, and Ahmad Jzani Md Ismail (2012), “Cubic B – spline collocation method for one – dimensional Heat and advection – diffusion equations”, J of Applied Mathematics, Vol., Article IO 458710 A A Karawia, “Two algorithms for solving a general backward pentadiagonal linear systems”, http://arxiv.org/abs/0803.2319 P M Prenter (2008), “Spline and variational methods”, Dover Publications, New York QUINTIC B – SPLINE COLLOCATION METHOD FOR ONE – DIMESIONAL HEAT EQUATION Abstract: This paper discusses solving one the dimensional heat equation Numerical solutions are obtained by collocation method based on quintic B – spline The stability analysis of the scheme is examined by the Von Neumann approach On the other hand, a comparative study between the numerical and the exact is illustrated Keywords: Collocation method, B – spline, Finite element method ... sở B-spline bậc 136 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ HÀ NỘI Hình Đồ thị đạo h m B – spline bậc Hình Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ KẾT LUẬN Bài báo trình bày phƣơng pháp collocation sử dụng hệ sở B – spline bậc. .. sở B – spline bậc năm giải xấp xỉ phƣơng trình truyền nhiệt chiều Sự ổn định hệ phƣơng trình sai phân tƣơng ứng đƣợc chứng minh Đồng thời qua ví dụ khẳng định tính hiệu phƣơng pháp TÀI LIỆU THAM...  Vậy (10) ổn định vô điều kiện 2.3 Kết số Xét phƣơng trình truyền nhiệt: 134 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI u xx  u t  0,  x  1, (17) Với điều kiện đầu: u(x,0)  sin(x), (18) Các điều kiện