Phương trình truyền nhiệt một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình truyền nhiệt một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình truyền nhiệt một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình truyền nhiệt một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình truyền nhiệt một chiều ( Luận văn thạc sĩ)Phương trình truyền nhiệt một chiều ( Luận văn thạc sĩ)
ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN KHẮC THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC THÁI NGUYÊN - 2014 ĐẠI HỌC THÁI NGUYÊN TRƯỜNG ĐẠI HỌC KHOA HỌC ĐOÀN KHẮC THÀNH PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU Chun ngành: TỐN ỨNG DỤNG Mã số: 60 46 01 12 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: TS NGUYỄN VĂN NGỌC THÁI NGUYÊN - 2014 Mục lục Mở đầu 1 Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt 1.1 Khái niệm nhiệt độ 1.2 Nhiệt năng-Nhiệt lượng 1.2.1 Nhiệt 1.2.2 Nhiệt lượng 1.2.3 Trao đổi nhiệt 1.3 Dòng nhiệt- Định luật Fourier 1.3.1 Dòng nhiệt 1.3.2 Định luật Fourier 1.4 Các nguyên lý nhiệt động lực học 1.4.1 Nguyên lý thứ 1.4.2 Nguyên lý thứ hai 1.4.3 Nguyên lý thứ ba 1.5 Phương trình truyền nhiệt tốn 1.5.1 Thành lập phương trình 1.5.2 Các điều kiện biên điều kiện đầu 1.5.3 Bài toán đặt chỉnh Chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville 2.1 Chuỗi Fourier thơng thường 2.1.1 Khái niệm chuỗi Fourier 2.1.2 Hội tụ chuỗi Fourier 2.2 Chuỗi Fourier - Cosin chuỗi Fourier- Sin 2.2.1 Khái niệm 2.2.2 Sự hội tụ 2.3 Hội tụ chuỗi Fourier L2 4 5 7 7 8 9 10 10 12 12 12 13 13 13 14 15 2.4 2.5 2.3.1 Dãy trực giao 2.3.2 Bất đẳng thức Bessel- Định lý Parseval Khái niệm toán Sturm-Liouville 2.4.1 Khái niệm 2.4.2 Tính chất Một số ví dụ hàm riêng trị riêng cho toán hai khoảng hữu hạn 2.5.1 Các ví dụ đơn giản 2.5.2 Các ví dụ phức tạp tử vi phân cấp 15 16 19 19 21 22 22 25 Phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn 3.1 Tích phân lượng tính nghiệm 3.1.1 Tích phân lượng 3.1.2 Tính nghiệm phương trình truyền nhiệt 3.2 Nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.2.1 Bài tốn Dirichlet cho phương trình truyền nhiệt 3.2.2 Nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.2.3 Một số kết khác liên quan đến nguyên lý cực trị phương trình truyền nhiệt 3.3 Phương trình (Truyền nhiệt hữu hạn) 3.4 Truyền nhiệt hình trụ tròn xoay 3.5 Nguyên lý Duhamel 3.5.1 Phương trình vi phân thường 3.5.2 Phương trình truyền nhiệt 3.6 Phương trình truyền nhiệt khơng khoảng hữu hạn với điều kiện biên 3.7 Trường hợp phương trình điều kiện biên khơng 3.8 Những thay đổi toán truyền nhiệt 3.8.1 Điều kiện biên 3.8.2 Giải toán truyền nhiệt với điều kiện biên không (độc lập thời gian) 30 30 30 31 31 31 32 34 37 43 45 45 46 46 52 54 54 56 Phương pháp biến đổi Fourier giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt 58 4.1 Định nghĩa biến đổi Fourier tính chất 58 4.2 4.3 4.4 4.1.1 Biến đổi Fourier L1 (R) 4.1.2 Các tính chất biến đổi Fourier 4.1.3 Biến đổi Fourier L2 (R) Tính nghiệm phương truyền nhiệt dài vô hạn Bài toán Cauchy cho phương truyền nhiệt dài vô hạn 4.3.1 Công thức Poisson 4.3.2 Nghiệm phương trình truyền nhiệt Bài tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt khơng 58 59 61 62 64 64 68 69 Kết luận 73 Tài liệu tham khảo 74 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ trực tiếp lý thuyết với tốn vật lý Q trình nghiên cứu phương trình đạo hàm riêng thường gặp vật lý dẫn tới việc hình thành ngành giải tích, phương trình vật lý tốn vào kỷ XVIII Các phương pháp nghiên cứu giải toán cụ thể vật lý tốn tốn phương trình truyền nhiệt có ảnh hưởng lớn đến phát triển tổng quát phương trình đạo hàm riêng vào cuối kỷ XIX Điển hình phương pháp biến đổi Fourier để giải tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt nhà toán học nhà vật lý tiếng người Pháp Joseph Fourier (21/3/1768 - 16/5/1830) Bên cạnh đó, lý thuyết phương trình đạo hàm riêng có mối quan hệ mật thiết với ngành toán học khác giải tích hàm lý thuyết hàm, tơ pơ, đại số, giải tích phức Một mặt lý thuyết phương trình đạo hàm riêng sử dụng rộng rãi khái niệm bản, phương pháp lĩnh vực tốn học này, mặt khác ảnh hưởng lại vấn đề hướng nghiên cứu chúng Phương trình truyền nhiệt phương trình quan trọng lý thuyết phương trình đạo hàm riêng vật lý tốn Phương trình truyền nhiệt mô tả tượng truyền nhiệt vật, khuếch tán phân tử khơng khí, truyền tải tạp chất khí quyển, v.v , thuộc dạng parabolic Các toán phương trình thuộc dạng parabolic thường khó với biến khơng gian chứa biến thời gian, phương trình nhiều chiều, hay phi tuyến Do tính phức tạp nói trên, nhiều tính chất quan trọng lý thú nghiệm phương trình truyền nhiệt chủ yếu phát phương trình truyền nhiệt cấp hai có số chiều thấp Một số tượng nhiệt có số chiều nghiên cứu cách tương tự trường hợp chiều Trong thực tế có nhiều tượng học vật lý mơ tả dạng phương trình truyền nhiệt tuyến tính cấp hai chiều Do việc tìm hiểu sâu phương trình truyền nhiệt thơng qua phương trình truyền nhiệt cấp hai chiều cần thiết Đó đề tài học tập nghiên cứu luận văn Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu, giáo trình nước quốc tế liên quan đến phương trình truyền nhiệt phương pháp giải phương trình truyền nhiệt Mục đích luận văn Mục đích luận văn học tập, nghiên cứu sâu phương trình truyền nhiệt trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều với vấn đề liên quan như: Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt; chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville; phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn phương pháp biến đổi Fourier giải toán Cauchy phương trình truyền nhiệt Bố cục luận văn Luận văn bao gồm phần mở đầu, bốn chương nội dung chính, kết luận tài liệu tham khảo Chương 1: Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt Chương trình bày khái niệm nhiệt độ, nhiệt năng, nguyên lý nhiệt động lực học; giới thiệu Định luật Fourier dòng nhiệt, sở thành lập phương trình truyền nhiệt; trình bày toán biên-giá trị ban đầu phương trình truyền nhiệt Chương 2: Chuỗi Fourier tốn Sturm-Liouville Chương trình bày kiến thức bổ trợ cần thiết cho vấn đề như: Chuỗi Fourier khai triển chuỗi Fourier theo hàm riêng tốn Sturm-Liouville có nhiều ứng dụng phương pháp tách biến giải toán biên phương trình đạo hàm riêng Chương 3: Phương trình truyền nhiệt khoảng hữu hạn Trong chương trình bày phương trình truyền nhiệt cấp hai chiều không Những vấn đề đề cập tích phân lượng ứng dụng vào chứng minh tính nghiệm phương trình truyền nhiệt, nguyên lý cực trị ứng dụng Nội dung chương trình bày phương pháp tách biến giải toán biên phương trình truyền nhiệt khơng khoảng hữu hạn Nội dung chương trình bày nhiều ví dụ cụ thể để minh họa Chương 4: Phương pháp biến đổi Fourier giải toán Cauchy phương trình truyền nhiệt Chương trình bày lý thuyết tóm lược biến đổi Fourier khơng gian L1 (R) L2 (R) Nội dung chương vận dụng biến đổi Fourier giải tốn Cauchy cho phương trình truyền nhiệt mà mấu chốt cơng thức Poisson Tiếp trình bày cơng thức nghiệm tính trơn nghiệm tốn Cauchy phương trình truyền nhiệt không Nội dung luận văn hình thành chủ yếu từ tài liệu [1] - [7] hướng dẫn tận tình nghiêm khắc Thầy Nguyễn Văn Ngọc, Viện Toán học, Viện Hàn lâm Khoa học Việt Nam Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến Thầy! Em xin chân thành cảm ơn thầy cô trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, thầy cô giảng dạy lớp cao học Toán K6D trường Đại học Khoa học Thái Nguyên, Phòng đào tạo trường Đại học Khoa học Thái Nguyên tận tình giảng dạy giúp đỡ chúng em q trình học tập, nghiên cứu hồn thành luận văn này! Thái Nguyên, ngày 15 tháng năm 2014 Tác giả Đoàn Khắc Thành Chương Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt Chương trình bày sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt Các kiến thức chương chủ yếu trích từ tài liệu [5] 1.1 Khái niệm nhiệt độ Nhiệt phát sinh từ nhiều nguồn, thí dụ như, lửa, ánh sáng, điện hay va chạm, cọ xát vật Nhiệt độ khái niệm vật lý dùng để mô tả cảm nhận nhiệt vật tiếp xúc với nguồn nhiệt, dùng để đo mức độ nhiệt Thí dụ, buổi trưa ta cảm thấy ấm thể hấp thụ lượng nhiệt từ ánh sáng mặt trời Nhiệt độ đơn vị đo lường cho biết mức độ nhiệt đo đơn vị độ (o ) Có ba hệ thống đo lường nhiệt độ: nhiệt độ C(Celsius), nhiệt độ K (Kelvin) nhiệt độ F (Farenheit) Các hệ thống nhiệt độ chuyển đổi sau: 1K = 1o C, K =o C + 273, o F =o C ì 1, + 32 Vo nm 1742, nhà thiên văn học người Thụy Điển Anders Celsius đề xuất thang nhiệt độ, băng tan Oo nước sôi 100o Người ta gọi thang nhiệt độ thang bách phân có 100 độ chia hai điểm cố định nói Nhiệt độ thang độ o C Nhược điểm thang nhiệt Celsius nhiệt độ thấp nhiệt độ đóng băng lý thuyết nước có giá trị âm • Độ Fahrenheit nghĩ vào đầu Thế kỷ XVIII Trên thang đo này, điểm băng 32o điểm nước 212o Thang đo Farenheit sử dụng tin thời tiết Mĩ, khoa học thuộc lịch sử • Vào năm 1846, William Thomson (sau huân tước Kelvin, nước Anh) đề xuất thang đo nhiệt độ bắt đầu nhiệt độ thấp có lý thuyết, độ không tuyêt đối Thang đo nhiệt gọi nhiệt giai tuyệt đối, hay nhiệt giai Kelvin Các độ chia thang đo gọi Kelvin ký hiệu K (không phải o K ) Một độ chia Kelvin cỡ với độ chia Celsius, tức K =o C 1.2 1.2.1 Nhiệt năng-Nhiệt lượng Nhiệt Nhiệt năng, hay gọi nhiệt, dạng lượng dự trữ vật chất nhờ vào chuyển động hỗn loạn hạt vật chất cấu tạo nên vật Trong vật chất, phân tử chuyển động hỗn loạn không ngừng, chúng có động Động bao gồm động chuyển động khối tâm phân tử, cộng với động dao động nguyên tử cấu tạo nên phân tử quanh khối tâm chúng Nhiệt có quan hệ chặt chẽ với nhiệt độ Nhiệt độ vật cao phân tử cấu tạo nên vật chuyển động nhanh, nên nhiệt vật lớn Nhiệt trao đổi vật, hay hệ thống khác biệt nhiệt độ Nhiệt giống công, gắn liền với q trình biến đổi Vì coi nhiệt đại lượng trình, khác với đại lượng trạng thái 1.2.2 Nhiệt lượng Nhiệt tạo thay đổi Lượng nhiệt dự trữ hay chuyển tải vật gọi nhiệt lượng thường ký hiệu tính tốn chữ Q Nhiệt lượng truyền từ nơi có nhiệt độ cao sang nơi có nhiệt độ thấp Giả sử vật đồng chất có nhiệt độ To , hấp thụ nhiệt, nhiệt độ vật T Thay đổi nhiệt độ vật ∆T = T − To Nếu khối lượng vật m(kg), nhiệt dung riêng chất làm vật c(J/kgK) Khi vật hấp thụ nhiệt lượng là: Q = cm∆T (J) (1.1) Dạng vi phân nhiệt lượng dQ = cmdT (1.2) ... luận văn Phương pháp nghiên cứu Sưu tầm đọc tài liệu, giáo trình nước quốc tế liên quan đến phương trình truyền nhiệt phương pháp giải phương trình truyền nhiệt Mục đích luận văn Mục đích luận văn. .. dạng phương trình truyền nhiệt tuyến tính cấp hai chiều Do việc tìm hiểu sâu phương trình truyền nhiệt thơng qua phương trình truyền nhiệt cấp hai chiều cần thiết Đó đề tài học tập nghiên cứu luận. .. tập, nghiên cứu sâu phương trình truyền nhiệt trình bày lý thuyết phương trình truyền nhiệt khơng gian chiều với vấn đề liên quan như: Cơ sở nhiệt học phương trình truyền nhiệt; chuỗi Fourier