Phương pháp collocation với cơ sở B-spline bậc năm giải phương trình truyền nhiệt một chiều

Bài viết trình bày nghiên cứu cách giải phương trình truyền nhiệt một chiều bằng phương pháp collocation với cơ sở là các hàm B-spline bậc năm. Sự ổn định Von Neumann của lược đồ sai phân và so sánh kết quả giữa nghiệm đúng và nghiệm xấp xỉ cũng được trình bày.

128 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI PHƢƠNG PHÁP COLLOCATION VỚI CƠ SỞ B-SPLINE BẬC NĂM GIẢI PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT MỘT CHIỀU Nguyễn V n Tuấn1, Nguyễn Thị Thƣ Hịa Trường Đại học Thủ Hà Nội Tóm tắt: Trong báo nghiên cứu cách giải phương trình truyền nhiệt chiều phương pháp collocation với sở hàm B-spline bậc năm Sự ổn định Von Neumann lược đồ sai phân so sánh kết nghiệm nghiệm xấp xỉ trình bày Từ khóa: Phương pháp spline collocation, Quintic B – spline, phương pháp phần tử hữu hạn MỞ ĐẦU Xét phƣơng trình truyền nhiệt chiều dạng: (1) với điều kiện đầu: u(x,0) = f(x) (2) điều kiện biên: { Trong đó: (3) số, hàm số liên tục với Phƣơng trình (1) với điều kiện (2), (3) mơ tả dịng nhiệt vật dẫn khối trụ Cụ thể qua nghiên cứu ch ng ta biết đƣợc dòng nhiệt dẫn chiều dài L với khuếch tán dòng nhiệt , hệ số khuếch tán Nhận ngày 24.03.2016; gửi phản biện duyệt đăng ngày 10.05.2016 Liên hệ tác giả: Nguyễn Văn Tuấn; Email: nvtuan@daihocthudo.edu.vn TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 129 Ngoài ra, nhiều tƣợng vật lí lý giải giải phƣơng trình (1) với điều kiện khác Do vậy, nhà tốn học ngồi nƣớc quan tâm nghiên cứu toán (1) với điều kiện (2) (3) nhiều cách giải khác ([3], [4]) Trong báo này, ch ng ta nghiên cứu giải gần đ ng toán phƣơng pháp collocation với sở hàm B-spline bậc năm NỘI DUNG 2.1 Phƣơng pháp spline collocation Giả sử chia đoạn [a, b] thành N phân điểm n t: a = x0 < x1 < … < xN = b, h = (b – a)/N Xác định hàm B-spline sở bậc ([6]) nhƣ sau: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) ( ) ( ) { Tập hàm N tạo thành sở hàm B – spline bậc xác định [a, b] Giá trị đạo hàm bậc nhất, bậc hai xj đƣợc xác định theo bảng ( đạo hàm bậc nhất, bậc hai ngồi khoảng , Bảng Giá trị x 0 26 66 26 0 130 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI Ch ng ta tìm nghiệm xấp xỉ U(x, t) tốn (1), (2), (3) nghiệm đ ng u(x, t) dƣới dạng: ∑ U (4) Trong đó: U { U U U U (5) U Sử dụng điều kiện collocation cho (5) điểm xm, m = 0, …, N, ta có: U Thay (4) vào (6) ta có: ∑ Giả sử U N ∑ (6) N (7) nội suy tuyến tính hai mức thời gian n n + thì: ẩn mức thời gian n Sử dụng phƣơng pháp sai phân hữu hạn ta có: Thay (8) vào (7) chọn ∑ { = ½ ta nhận đƣợc: ∑ N (9) Sử dụng bảng 1, tính số hạng hệ phƣơng trình (9) điểm lƣới x m, ta có: (10) Trong đó: Hệ ( (5) ta có: { phƣơng trình (10) gồm N+1 phƣơng trình với N+5 ẩn , để tìm nghiệm ch ng ta cần phƣơng trình Sử dụng TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 131 ∑ ∑ ∑ { Thay (11) ∑ vào (11) có: (12) { với Giải hệ phƣơng trình (12) ch ng ta nhận đƣợc: (13) ( { Thay (13) vào hệ phƣơng trình (10) ta đƣợc hệ N+1 phƣơng trình với N + ẩn sau: (14) { Với: 132 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI Để giải hệ (14) trƣớc tiên ta giải hệ phƣơng trình (15) sau: U U U {U N (15) U Khử ẩn (16): hệ phƣơng trình (15) ta đƣợc hệ phƣơng trình A H với A ma trận đƣờng chéo 0   54 60    101 135 105 0   4   26 66 26      A     26 66 26    105 135 101   0  4   0 60 54   (16) TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 133 H 2.2 Sự ổn định Ch ng ta chứng minh hệ phƣơng trình sai phân (10) ổn định Von – Neumann Đặt n } với { √ số mode Khi phƣơng trình (10) trở thành: 1   exp 2ih  exp 2ih  exp ih  exp ih  2  2 2 2 exp 2ih  exp 2ih  exp ih  exp ih   2  21 cos (h)  1 cos(h)   1  2 22 cos (h)   cos(h)    2 1  1 Để tìm miền giá trị  ta xét hàm số: y   22 x  2 x   2 21x  1x  Với: 1  x  Đạo hàm y ta có: y,  120h t(2x  6x  7) [(h  10)x  (13h  10)x  16h  20t]2 Dễ thấy: y‟(x) > 0, với 1  x  Nên y đồng biến khoảng cho Mặt khác ta nhận đƣợc:  8h  40t  1  y(1)  8h  40t   y(1)   Do đó: 1  y(x)  1, x [-1, 1]    Vậy (10) ổn định vô điều kiện 2.3 Kết số Xét phƣơng trình truyền nhiệt: 134 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ HÀ NỘI u xx  u t  0,  x  1, (17) Với điều kiện đầu: u(x,0)  sin(x), (18) Các điều kiện biên: u(0, t)  u(1, t)  0, t  0,  u x (0, t)  exp - t  u x (1, t)  exp - t  u xx (0, t)  u xx (1, t)  (19)   Bài tốn (17), (18), (19) có nghiệm đ ng: u(x, t)  exp -2 t sin x Kết số cho theo bảng sau: Bảng So sánh kết số với t  0,0001;h  0,0125 x 0,3 0,6 0.9 t 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 0,8 0,9 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 Nghiệm xấp xỉ 0,30302 0,11315 0,04218 0,01574 0,00588 0,00221 0,00084 0,00033 0,00014 0,35725 0,13302 0,04958 0,01849 0,00691 0,00259 0,00098 0,00038 0,00016 0,11628 0,04322 0,01612 0,00602 0,00226 Nghiệm 0,30153 0,11238 0,04186 0,01561 0,00582 0,00217 0,00081 0,00030 0,00011 0,35446 0,13211 0,04924 0,01835 0,00684 0,00255 0,00095 0,00035 0,00014 0,11519 0,04293 0,01600 0,00596 0,00222 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 0,6 0,7 0,8 0,9 135 0,00086 0,00033 0,00014 0,00007 0,00083 0,00031 0,00012 0,00004 Bảng So sánh kết với t = 0,5 v t  0, 0001 Nghiệm xấp xỉ Nghiệm x h = 0,05 h = 0,025 h = 0,1667 h = 0,0125 0,1 0,00230 0,00228 0,00226 0,00226 0,00222 0,2 0,00430 0,00429 0,00428 0,00428 0,00423 0,3 0,00589 0,00589 0,00589 0,00588 0,00582 0,4 0,00691 0,00692 0,00691 0,00691 0,00684 0,5 0,00726 0,00727 0,00727 0,00726 0,00719 0,6 0,00691 0,00692 0,00691 0,00691 0,00684 0,7 0,00589 0,00589 0,00589 0,00588 0,00582 0,8 0,00430 0,00429 0,00428 0,00428 0,00423 0,9 0,00230 0,00228 0,00227 0,00226 0,00223 Hình Đồ thị h m sở B-spline bậc 136 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ HÀ NỘI Hình Đồ thị đạo h m B – spline bậc Hình Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ KẾT LUẬN Bài báo trình bày phƣơng pháp collocation sử dụng hệ sở B – spline bậc năm giải xấp xỉ phƣơng trình truyền nhiệt chiều Sự ổn định hệ phƣơng trình sai phân tƣơng ứng đƣợc chứng minh Đồng thời qua ví dụ khẳng định tính hiệu phƣơng pháp TÀI LIỆU THAM KHẢO G Arora, R C Mittal, B K Singh (2014), “Numerical solution of BBM – Burger equation with quartic B – spline collocation method”, J of Engineering, Special issue on ICMTEA 2013 conference, December, pp.104-116 TẠP CHÍ KHOA HỌC  SỐ 4/2016 137 Behnam Sepehrian, Mahmood Lashami (2008), “A numerical solution of the Burgers equation using quintic B – spline”, Proceeding of the World Congress on Engineering, Vol III, WCE 2008, London, U.K Duygu Dӧnmer Demiz, Necdet Bildik (2012), “The numerical solution of Heat problem using cubic B – spline”, Applied Mathematics, 2(4), pp.131-135 Joan Goh, Ahmad Abd Majid, and Ahmad Jzani Md Ismail (2012), “Cubic B – spline collocation method for one – dimensional Heat and advection – diffusion equations”, J of Applied Mathematics, Vol., Article IO 458710 A A Karawia, “Two algorithms for solving a general backward pentadiagonal linear systems”, http://arxiv.org/abs/0803.2319 P M Prenter (2008), “Spline and variational methods”, Dover Publications, New York QUINTIC B – SPLINE COLLOCATION METHOD FOR ONE – DIMESIONAL HEAT EQUATION Abstract: This paper discusses solving one the dimensional heat equation Numerical solutions are obtained by collocation method based on quintic B – spline The stability analysis of the scheme is examined by the Von Neumann approach On the other hand, a comparative study between the numerical and the exact is illustrated Keywords: Collocation method, B – spline, Finite element method ... ([3], [4]) Trong báo này, ch ng ta nghiên cứu giải gần đ ng toán phƣơng pháp collocation với sở hàm B-spline bậc năm NỘI DUNG 2.1 Phƣơng pháp spline collocation Giả sử chia đoạn [a, b] thành N... sở B-spline bậc 136 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐƠ HÀ NỘI Hình Đồ thị đạo h m B – spline bậc Hình Đồ thị mặt nghiệm xấp xỉ KẾT LUẬN Bài báo trình bày phƣơng pháp collocation sử dụng hệ sở B – spline bậc. .. { với Giải hệ phƣơng trình (12) ch ng ta nhận đƣợc: (13) ( { Thay (13) vào hệ phƣơng trình (10) ta đƣợc hệ N+1 phƣơng trình với N + ẩn sau: (14) { Với: 132 TRƯỜNG ĐẠI HỌC THỦ ĐÔ HÀ NỘI Để giải