Sự tồn tại và duy nhất nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt

Bài viết Sự tồn tại và duy nhất nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của một lớp phương trình truyền nhiệt trình bày sự tồn tại và duy nhất nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn của phương trình truyền nhiệt với vế phải chứa hàm tiệm cận hầu tuần hoàn. Lớp phương trình này đã được giới thiệu trong bài viết, ở đó tác giả đã nghiên cứu sự tồn tại và duy nhất nghiệm giả tuần hoàn có trọng.

Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 SỰ TỒN TẠI VÀ DUY NHẤT NGHIỆM TIỆM CẬN HẦU TUẦN HỒN CỦA MỘT LỚP PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT Nguyễn Thị Vân Trường Đại học Thuỷ lợi, email: van@tlu.edu.vn Ký hiệu AP  , X  :  h :   X , h hầu GIỚI THIỆU CHUNG Trong báo này, chúng tơi trình bày tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn phương trình truyền nhiệt với vế phải chứa hàm tiệm cận hầu tuần hồn Lớp phương trình giới thiệu báo [3], tác giả nghiên cứu tồn nghiệm giả tuần hồn có trọng Lớp hàm tiệm cận hầu tuần hoàn chứa lớp hàm hầu tuần hoàn lớp hàm tuần hoàn mà biết tuần hoàn} Trước đề cập tới định nghĩa tiếp theo, đưa thêm không gian C0   , X  :    :   X ,  liên tục PHƯƠNG PHÁP NGHIÊN CỨU cho f  h   Dựa ngun lí Massera [2], chúng tơi thu kết thông qua việc xét hai bước sau: Bước chứng minh tồn toán tử nghiệm cho phương trình tuyến tính tốn tử nghiệm bảo tồn tính chất tiệm cận hầu tuần hồn hàm đầu vào; Bước sử dụng nguyên lí ánh xạ co để chứng minh tính tồn nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn phương trình phi tuyến t gọi hầu tuần hoàn tiệm cận tồn hàm h  AP  , X    C0   , X  Ký hiệu AAP    , X  :   f :    X , f hầu tuần hoàn}, với chuẩn xác định sau: f  : h AP ,X  t   X C0   ,X    sup  t t X 3.2 Phương trình truyền nhiệt a) Trường hợp tuyến tính  u  u t, x  t, x   G t v t, x ,  x  t u t,0  u t,   0,              3.1 t , x  0,     Trong số   0, v  AAP L2 0,   , dài l chứa số T thoả mãn    G t  sint  sin   2t   e Xét X  L2  0,   , sup h t  T  h t   t AAP  , X   sup h t 3.1 Kiến thức chuẩn bị: gọi hầu tuần hoàn với   , tồn l  cho với khoảng có độ  Định nghĩa 3.2 Hàm số f C   , X  KẾT QUẢ NGHIÊN CỨU Chúng nhắc lại định nghĩa 3.1 trình bày [1]: Định nghĩa 3.1 Hàm số h Cb  , X   lim  t  54 t , t   Đặt: Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8  u L2 0,   ,u'' L2 0,   ,  D A :    u  u         Do [0, ] compact nên  A sinh nửa etA tA   nghiệm u  AAP  , L2 0,   Au . :   u   u '' . , u .  D  A  nhóm bị chặn e 3.1 tồn Định lý 3.1 Phương trình L2 0,  thoả mãn:  et L2  ,  Từ nay, để ngắn gọn trình bày, chúng tơi quy ước: AAP  ;L2 0,  :  AAP L2 0,        v  AAP  , L  0,   Chứng minh Sử dụng Bổ đề 3.1, cần chứng minh tốn tử nghiệm bảo tồn tính chất tiệm cận hầu tuần hoàn Đặt F(t, x) :   G(t)v(t, x) Dễ thấy   F  AAP  , L2  0,     Do  tồn H  AP , L2 0,   C0  , L2 0,   Nghiệm mạnh đủ tốt phương trình cho F  H   Khi  3.1 định nghĩa công thức sau: t  e u t  t S  F  t   e  tA u0   e G( )v( ) d  Từ Bổ đề 3.1, đặt  S  H  t  :  Bổ đề 3.1 Tồn nghiệm mạnh đủ tốt u Cb , L2 0,  phương trình  3.1  t L2 0,     t A e   G( )v( )   t   e d v  t Cb     Tốn tử nghiệm viết lại:  t   A  C0    , L2  0,   Điều dẫn đến tốn tử nghiệm bảo tồn tính hầu tuần hồn tiệm cận b) Trường hợp nửa tuyến tính G   v( )d  u 2 u t, x  t, x   G t u t, x ,  x  t u t,0  u t,   0, t ,           e tA t u0    e  t  A  G  v( ) d  Trong u0 :  u     e  t , x   0,   , A G ( )v( )d AP  , L2  0,   , chứng minh Do định nghĩa toán tử nghiệm sau: e    d  t   A Sử dụng tính chất nửa nhóm bị chặn hàm thuộc không gian AP  , L2  0,   C0    , L2  0,   , ;L 0,  Vậy tồn nghiệm mạnh đủ tốt u  Cb  , L2  0,   t H   d , d Suy u C  ;L2 0,   3 v C  ;L2 0,  b b S  v  t  :    t   A L2 0 ,  t  3 e S   t  :   e Chứng minh:  t  Hơn u C  ; L2 0,   C v C  ;L2 0,  với điều b b kiện C  3 u t  H     d  t  A   t   A  số  3  55     3.2 Tuyển tập Hội nghị Khoa học thường niên năm 2020 ISBN: 978-604-82-3869-8 Định lý 3.2 Tồn nghiệm mạnh đủ tốt với chuẩn đủ nhỏ u  AAP  , L2 0,    phương trình  3.2   Chứng minh v  AAP    ; L2  0,   :   AAP Đặt B :     v AAP L2 0,     AAP Lấy v  B Xét phương trình:   u t    nghiệm t e     t   A G   v( )d  AAP  ánh xạ  : B  BAAP Xét xác định  (v)(t) :  u(t) Chúng ta chứng minh  ánh xạ co Thật vậy, áp dụng Bổ đề 3.1, ta có u AAP L2 0,   3 v AAP L2 0,           Trong báo này, chúng tơi thiết lập tính đặt chỉnh nghiệm tiệm cận hầu tuần hồn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần hồn Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phân rã nghiệm TÀI LIỆU THAM KHẢO u 2 u t, x  t, x   G t v t, x t x Theo Định lý 3.1, phương trình có   KẾT LUẬN  [1] D N Cheban, 2009, Asymptotically Almost Periodic Solutions of Differential Equations, Hindawi Publishing Corporation [2] J Massera, 1950, The existence of periodic solutions of systems of differential equations, Duke Math J 17, 457 - 475 [3] Toka Diagana, 2008, Weighted pseudoalmost periodic solutions to some differential equations, Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications, Volume 68, Issue 8, Pages 2250-2260 Hơn nữa,  (v1 )   (v2 )  v1  v2  AAP L2 0,   AAP L2  0,    3 v1  v2  AAP L2 0,    Vì vậy,  : BAAP  BAAP ánh xạ co Theo nguyên lí ánh xạ co, tồn u cho   u   u Tức là:   u  t   t e  t   A  G   u   d  Do tồn nghiệm mạnh đủ tốt với chuẩn đủ nhỏ u  AAP  ; L2  0,     56 ... tính đặt chỉnh nghiệm tiệm cận hầu tuần hoàn cho phương trình truyền nhiệt với vế phải thỏa mãn điều kiện tiệm cận hầu tuần hồn Tiếp theo, chúng tơi nghiên cứu tính ổn định phân rã nghiệm TÀI LIỆU... chất tiệm cận hầu tuần hoàn Đặt F(t, x) :   G(t)v(t, x) Dễ thấy   F  AAP  , L2  0,     Do  tồn H  AP , L2 0,   C0  , L2 0,   Nghiệm mạnh đủ tốt phương trình cho F... tử nghiệm viết lại:  t   A  C0    , L2  0,   Điều dẫn đến tốn tử nghiệm bảo tồn tính hầu tuần hồn tiệm cận b) Trường hợp nửa tuyến tính G   v( )d  u 2 u t, x  t, x   G t