Giải số phương trình truyền nhiệt 2D

Báo cáo Giải số phương trình truyền nhiệt 2D trình bày nghiên cứu về phương pháp giải số để giải phương trình truyền nhiệt hai chiều, một trong những phương trình toán học có nhiều ứng dụng, và đề xuất kĩ thuật đưa thuật toán vào máy tính để xây dựng chương trình mô phỏng quá trình truyền nhiệt theo thời gian.

KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 GIẢI SỐ PHƢƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIỆT 2D Nguyễn Thị Trà My, Lớp K60E, Khoa Toán – Tin GVHD: TS Nguyễn Hùng Chính Tóm tắt: Mơ tốn học ngành phát triển mạnh mẽ giới có vai trị quan trọng hầu hết lĩnh vực đời sống xã hội Cùng với phát triển công nghệ thơng tin nói chung cơng nghệ tính tốn nói riêng, mơ hình tốn học phức tạp (xuất phát từ khoa học thực tiễn) số hóa thành cơng nghệ đem lại hiệu kinh tế cao Báo cáo trình bày nghiên cứu phương pháp giải số để giải phương trình truyền nhiệt hai chiều, phương trình tốn học có nhiều ứng dụng, đề xuất kĩ thuật đưa thuật tốn vào máy tính để xây dựng chương trình mơ q trình truyền nhiệt theo thời gian Từ khóa: Phương pháp xấp xỉ sai phân, lược đồ tường minh, ổn định lược đồ, phương trình truyền nhiệt, điều kiện biên Dirichlet I MỞ ĐẦU Tại phải giải số (xấp xỉ nghiệm) phƣơng trình toán học? Nhƣ biết, phần lớn mơ hình tốn học thực tế khơng giải đƣợc nghiệm đúng, cần xấp xỉ nghiệm điều khiển đƣợc sai số nghiệm gần Hơn nữa, việc giải số đƣa đến thuật toán, tức ta lệnh cho máy tính thực phép tính để tìm kết Phƣơng trình truyền nhiệt phƣơng trình đạo hàm riêng quan trọng xuất phát từ mơ hình vật lí có giá trị thực tiễn định Việc giải phƣơng trình truyền nhiệt cho ta khảo sát phân bố nhiệt lƣợng theo thời gian vùng chất điểm, nhƣ kim loại (với trƣờng hợp chiều) mảnh kim loại (với trƣờng hợp chiều) Phƣơng pháp phổ biến để giải phƣơng trình truyền nhiệt đƣợc biết đến phƣơng pháp Fourier (đƣợc phát triển từ năm 1822 nhà toán học Joseph Fourier) Tuy nhiên, thực hành thí nghiệm, việc cần thay đổi kiện toán, nhƣ việc số liệu thực hành phải tính tốn lớn làm cho việc giải gặp khó khăn, mà ngƣời ta cần đến phƣơng pháp số để giải phƣơng trình truyền nhiệt Phƣơng pháp số lĩnh vực toán học chuyên nghiên cứu phƣơng pháp giải gần toán dựa số liệu cụ thể cho kết dƣới dạng số Với hỗ trợ máy tính, phƣơng pháp số cơng cụ khơng thể thiếu cho phép thực tính tốn với tốc độ tính tốn nhanh khối lƣợng tính tốn lớn Báo cáo tập trung vào việc xây dựng phƣơng pháp giải số, thuật toán để giải toán truyền nhiệt, ổn định, điều kiện ổn định đề xuất kĩ thuật số hóa lƣợc đồ, lập chƣơng trình máy tính mơ số MATLAB II NỘI DUNG Phƣơng pháp số thuật toán 1.1 Bài tốn Xét phƣơng trình truyền nhiệt miền Ω = [a,b]×[c,d] với nguồn nhiệt f(x,y,t) thay đổi theo thời gian: KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 với số dƣơng đặc trƣng cho vận tốc truyền nhiệt Giả sử trạng thái ban đầu là: điều kiện biên xác định bởi: , 1.2 Giải số (xấp xỉ nghiệm) phương trình Ta phân hoạch miền Ω lƣới hình chữ nhật (xem Hình 1) có đỉnh xác định điểm với i = 1,2, ,Nx j = 1,2, ,Ny đó: Đồng thời, ta xét phân hoạch thời gian t điểm , kí hiệu: Để giải gần phƣơng trình (1), trƣớc tiên ta xấp xỉ đạo hàm [1] bậc theo biến thời gian đạo hàm bậc hai theo biến khơng gian bởi: Áp dụng vào phƣơng trình (1), ta đƣợc: Biểu diễn theo phần tử lại, ta có lƣợc đồ: đó: KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 1.3 Điều kiện ổn định lược đồ Trong phần này, nghiên cứu điều kiện ổn định lƣợc đồ (2) trƣờng hợp khơng có nguồn nhiệt tác động vào hệ điều kiện biên đồng không Nghiệm gần (1) giá trị rời rạc có dạng thực phép biến đổi Fourier hai chiều cho nghiệm xấp xỉ nhƣ sau: Ta có tính chất sau đây: Giả sử với Ta , ta có: Nhƣ vậy: Nếu với , , Tƣơng tự, ta có: - Nếu với , - Nếu với , - Nếu với , , , Áp dụng tính chất phép biến đổi Fourier vào lƣợc đồ (2) với đƣợc: Vì nên ta suy ra: với Lƣợc đồ (2) đƣợc gọi ổn định tức là: hay: , ta KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Từ suy : Nhƣ vậy, ràng buộc (*) điều kiện ổn định lƣợc đồ Trong q trình mơ phỏng, liệu đầu vào cần phải thỏa mãn điều kiện (*) để đảm bảo thuật toán máy tính hội tụ cho kết tin cậy 1.4 Dạng ma trận lược đồ Điều đầu tiên, ta nhận thấy với cách biểu diễn lƣợc đồ trên, ta phân hoạch miền Ω thành lƣới chữ nhật tƣơng ứng với ma trận vuông cấp , điểm lƣới ui,j lƣợc đồ phải đƣợc tính từ số hạng lân cận ui−1,j (bên trái), ui+1,j (bên phải), ui,j−1 (bên trên), ui,j+1 (bên dưới): Hình Phân hoạch, sơ đồ điểm lưới ảnh hướng đến việc tính Xét lƣợc đồ (2) với , ta có: Cho chạy, tức viết phƣơng trình lần lƣợt với thu đƣợc dƣới dạng ma trận, ta có: biểu diễn kết 10 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 (3) Mặt khác, quan sát ma trận , ta nhận thấy có thành phần , khơng đƣợc lặp lại q trình tính tốn, giá trị hàm nhiệt độ xác định thời điểm tm, tức α(tm), β(tm), điểm biên đầu x0 điểm biên cuối đƣờng thẳng phân hoạch Vì vậy, chuyển hệ thành dạng ma trận ta cần đƣa hai thành phần thành số hạng tự (vectơ b) Tiếp theo, ta đặt: Khi đó, (3) đƣợc viết gọn nhƣ sau: đó, I ma trận vuông đơn vị cấp , B ma trận vuông cấp Thực tƣơng tự nhƣ với phƣơng trình tuyến tính với biến vectơ xác định bởi: , ta thu đƣợc hệ gồm chiều: Tƣơng tự nhƣ xử lí với ma trận B, ta chuyển phần tử mang giá trị biên dƣới vectơ tự Nhƣ dạng ma trận lƣợc đồ (3) là: 11 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 đó, ma trận A ma trận vng đối xứng có cấp Ta xác định cụ thể vị trí 1, 2, 3, , Nx chứa giá trị biên dƣới (Γ3), vị trí Nx, 2Nx, 3Nx, , NxNy chứa giá trị biên phải (Γ2) 1, Nx + 1, 2Nx+1 , , (Ny−1)Nx+1 chứa giá trị biên trái (Γ1), NxNy−Nx, , NxNy chứa giá trị biên (Γ4) Việc xác định thuận lợi việc gán giá trị biên vào vị trí vectơ điều kiện biên tùy theo yêu cầu toán Mã lệnh MATLAB mơ nghiệm tốn 2.1 Sơ đồ hóa lược đồ ta cần thực bước Bảng Đoạn code ma trận A vectơ điều kiện biên toán % Dieu kien bien Left = 0.0d0 * ones(Ny,1); Right = 80.d0 * ones(Ny,1); Top = 20.d0 * ones(1,Nx); Bottom = 20.d0 * ones(1,Nx); % Dieu kien bien trai + phai G = zeros(Nx*Ny,1); G(1:Nx:Nx*Ny) = mu* LambdaY * Left; G(Nx:Nx:Nx*Ny) = mu * LambdaY * Right; % Dieu kien bien tren + duoi H = zeros(Nx*Ny,1); H(1:Nx) = mu * LambdaX * Bottom; H(Nx*Ny - Nx + 1:Nx*Ny) = mu * LambdaX * Top; % Xay dung ma tran A % Duong cheo chinh e = ones(Nx,1); V0 = -2*mu*(LambdaX + LambdaY)*e; V1 = mu*LambdaY * e; T1 = spdiags([V1 V0 V1],-1:1,Nx,Nx); I1 = eye(Nx); T1 = T1 + I1; A1 = kron(eye(Ny),T1); % Duong cheo tren, duoi I2 = mu * LambdaX * eye(Nx); T2 = spdiags([ones(Ny,1)],1,Ny,Ny); A2 = kron(T2,I2); A3 = kron(T2',I2); A = A1 + A2 + A3; - Mở tệp tin "heatequation2D.m" - Khai báo kiện toán 12 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 - Khai báo bƣớc phân hoạch theo thời gian không gian - Xây dựng vectơ điều kiện biên b - Xây dựng vectơ hàm F - Xây dựng ma trận A - Thực thuật toán để giải - Vẽ đồ thị nghiệm toán thời điểm muốn khảo sát Điều khó khăn ta việc sơ đồ hóa lƣợc đồ để thực thuật tốn MATLAB viết thuật toán xây dựng ma trận A vectơ điều kiện biên b Bảng mô tả đoạn code ma trận A vectơ điều kiện biên tốn 2.2 Sử dụng chương trình máy tính để mơ q trình truyền nhiệt Dựa vào kết mơ phỏng, ta đánh giá tính đắn lƣợc đồ mà xây dựng Hơn nữa, mơ chuẩn hóa chƣơng trình tính tốn MATLAB, phƣơng trình đạo hàm riêng túy tốn học mang lại hiệu thực tiễn định giải đƣợc nhiều trƣờng hợp, nhanh chóng dễ thực nhiều so với việc giải Sau đây, xin giới thiệu số kết mô từ tốn có điều kiện ban biên khác nhau: a) Ví dụ 1: Bài toán truyền nhiệt chiều với điều kiện ban đầu: u0= 20 điều kiện biên: α0 = 0, α1 = 80, β0 = 20, β1 = 20 Hình Sự truyền nhiệt mảnh kim loại (5x5) có hệ số C=1, thời điểm t = b) Ví dụ 2: Bài tốn truyền nhiệt chiều với điều kiện ban đầu: u0= 20 điều kiện biên: α0 = 20, α1 = 20, β0 = 200, β1 = 200 13 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Hình Sự truyền nhiệt mảnh kim loại (5x5) có hệ số C=1 qua thời điểm t’ c) Ví dụ 3: Bài toán truyền nhiệt chiều với điều kiện ban đầu: u0= 20 điều kiện biên: α0 = 200, α1 = 200, β0 = 200, β1 = 200 Hình Sự truyền nhiệt mảnh kim loại (5x5) có hệ số C=1 qua thời điểm t” III KẾT LUẬN Đề tài tập trung vào công việc sau: Đề xuất phƣơng án giải số phƣơng trình truyền nhiệt chiều Nghiên cứu lí thuyết ổn định lƣợc đồ kiểm chứng, so sánh kết thông qua mô 14 KỈ YẾU HỘI NGHỊ SINH VIÊN NGHIÊN CỨU KHOA HỌC NĂM HỌC 2013-2014 Xây dựng đƣợc chƣơng trình tính tốn, cho phép mơ nhiều tốn cụ thể từ thực tế, tái sử dụng dễ dàng vào nghiên cứu khác Một số hƣớng nghiên cứu tiếp theo: Giải số phƣơng trình truyền nhiệt với vận tốc truyền nhiệt khác số (mơ hình sát thực tế tổng quát hơn) Xây dựng lƣợc đồ giải gần cho toán miền xác định khơng phải hình chữ nhật Đây tốn khó nhiều, địi hỏi kiến thức tốn học khác Song song hóa thuật tốn phục vụ cho ứng dụng địi hỏi khối lƣợng tính tốn lớn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Nguyễn Minh Chƣơng, Nguyễn Văn Khải, Khuất Văn Ninh, Nguyễn Văn Tuấn, Nguyễn Tƣờng, Giải tích số, NXB Giáo dục, 2007 [2] Laurent Di Menza, Analyse numérique des équations aux derivée partielles, Published by Cassini, 2009 [3] Peter J Olver, Numerical Methods, Lecture Notes, 2011 15 ... chƣơng trình tính tốn, cho phép mơ nhiều tốn cụ thể từ thực tế, tái sử dụng dễ dàng vào nghiên cứu khác Một số hƣớng nghiên cứu tiếp theo: Giải số phƣơng trình truyền nhiệt với vận tốc truyền nhiệt. .. β1 = 200 Hình Sự truyền nhiệt mảnh kim loại (5x5) có hệ số C=1 qua thời điểm t” III KẾT LUẬN Đề tài tập trung vào công việc sau: Đề xuất phƣơng án giải số phƣơng trình truyền nhiệt chiều Nghiên... HỌC NĂM HỌC 2013-2014 với số dƣơng đặc trƣng cho vận tốc truyền nhiệt Giả sử trạng thái ban đầu là: điều kiện biên xác định bởi: , 1.2 Giải số (xấp xỉ nghiệm) phương trình Ta phân hoạch miền Ω