Nghiên cứu thuật toán chọn K-láng giềng gần với 2 điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình poisson trong 2D

Bài toán tính xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng xuất hiện nhiều trong khoa học và kỹ thuật. Hiện nay có nhiều phương pháp phổ biến giải bài toán này như: phương pháp Sai phân hữu hạn (FD-Finite Difference), phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM-Finite Element Method), phương pháp Phần tử biên (BEM-Boundary Element Method), phương pháp Thể tích hữu hạn (FVM-Finite Volume Method). Mời các bạn cùng tham khảo bài viết để nắm chi tiết nghiên cứu thuật toán chọn K-láng giềng gần với 2 điều kiện dừng cho phương pháp RBF-FD giải phương trình poisson trong 2D.

Kỷ yếu Hội nghị Khoa học Quốc gia lần thứ IX “Nghiên cứu ứng dụng Công nghệ thông tin (FAIR'9)”; Cần Thơ, ngày 4-5/8/2016 DOI: 10.15625/vap.2016.00062 NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO PHƯƠNG PHÁP RBF-FD GIẢI PHƯƠNG TRÌNH POISSON TRONG 2D Đặng Thị Oanh, Nguyễn Văn Tảo Trƣờng Đại học Công nghệ thông tin Truyền thông Thái Nguyên, Đại học Thái Ngun {dtoanh, nvtao}@ictu.edu.vn TĨM TẮT— Bài tốn tính xấp xỉ phương trình đạo hàm riêng xuất nhiều khoa học kỹ thuật Hiện có nhiều phương pháp phổ biến giải toán như: phương pháp Sai phân hữu hạn (FD-Finite Difference), phương pháp Phần tử hữu hạn (FEM-Finite Element Method), phương pháp Phần tử biên (BEM-Boundary Element Method), phương pháp Thể tích hữu hạn (FVM-Finite Volume Method),… Tuy nhiên, phương pháp cần hỗ trợ lưới, chi phí sinh lưới, trì lưới cập nhật lưới lớn Đặc biệt, trường hợp hàm có độ dao động lớn, miền có hình học phức tạp có số chiều khơng gian cao Hơn nữa, trường hợp hàm có độ dao động mạnh ảnh hưởng lớn đến độ xác tính tốn Trong năm gần đây, phương pháp không lưới RBF-FD đời để khắc phục số khó khăn phương pháp lưới trường hợp Để thực phương pháp xấp xỉ không lưới RBF-FD (Radial Basis Function - Finite Difference), cần sử dụng thuật toán chọn tâm hay gọi chọn k-láng giềng gần Trong báo quan tâm đến việc chọn láng giềng gần với tâm  thuật toán chọn tâm Câu hỏi thường đặt cần chọn đủ mối liên hệ điều kiện khoảng cách với độ phân tán liệu sao? Thử nghiệm cho thấy trường hợp liệu phân bố không phân cụm ta cần quan tâm đến điều kiện góc đều, trường hợp đảm bảo điều kiện góc đảm bảo điều kiện khoảng cách, trường hợp liệu phân bố phân cụm cần phải quan tâm đến điều kiện khoảng cách có thỏa hiệp điều kiện góc khoảng cách đến tâm xét  không xa Điều chứng tỏ việc bổ sung vào thuật toán chọn tâm điều kiện dừng liên quan đến khoảng cách cần thiết thuật toán sau bổ sung thêm điều kiện dừng khoảng cách sử dụng trường hợp liệu phân bố phức tạp Từ khóa— RBF-FD, PDE, dirichlet, poisson equation, approximation I GIỚI THIỆU Trong báo chúng tơi xét tốn điều kiện biên Dirichlet: Tìm u  f  (1.1) hàm f , g ; hàm f đƣợc định nghĩa bên  miền  Để giải số, toán (1.1) đƣợc rời rạc thành hệ phƣơng  w  u  f   ,   thỏa mãn , u|  g Trong đó,  toán tử Laplace; cho trƣớc miền miền  hàm g đƣợc định nghĩa biên trình tuyến tính sau: u:  , u  g   ,  ,  int ; (1.2) đó:    tập hợp tâm rời rạc phân bố phân tán;  :    tập tâm nằm biên; int :  \  tập tâm nằm miền;  tập hợp bao gồm  vài tâm lân cận   (còn gọi tập tâm hỗ trợ  ); w , R véctơ trọng số đƣợc chọn cho  w  u   u     , u nghiệm xấp xỉ Đối với phƣơng pháp RBF-FD, véctơ trọng số đƣợc tính tốn nội suy RBF với cách tính tốn nhƣ sau: Cho : trƣớc tập    hàm xác định dƣơng [1] Chẳng hạn, hàm Gausian X  x1 , x2 ,   r   e r     ,  tham số tỉ lệ Cho , xn  R d hàm u : Rd  R , nội suy hàm sở bán kính s đƣợc biểu diễn nhƣ sau: NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO PHƢƠNG PHÁP RBF-FD… 510 s ( x)   a j   x  x j  , n   x  :  || x ||2  , j 1 (1.3) với điều kiện nội suy: s  xi   u  xi  , với i  1, 2, , n (1.4) Từ cơng thức (1.3)-(1.4), ta có: a  x  x   u  x , n j 1 j i j với i  1, 2, i , n (1.5) Hệ phƣơng trình tuyến tính (1.5) viết dạng ma trận nhƣ sau:  X :   xi  x j  , i , j 1 n  X a  u| X ,  X mà trận đối xứng xác định dƣơng Vì vậy, a    X  u| X 1 Cho D toán tử vi phân tuyến đƣợc tác động vào u  x  cơng thức (1.5) Chúng ta cần tìm xấp xỉ Du  x  công thức vi phân tuyến tính, Ds  x    a j D  xi  x j  , n (1.6) j 1 Cho X   xi i 1 tập tâm cố định không gian n nhƣ sau:  d , khai triển hệ phƣơng trình (1.6) Ds  x   aT D  x  | X    X  u| X 1  T D  x  | X n    X  D  x  | X u| X   w i  x u  xi    w i  x  u  xi  i 1 , 1 n (1.7) i 1 véctơ w  x    w1 , w , đƣợc gọi véctơ trọng số , w n     X  D  x | X , 1 | X :  || xi  x j ||2  i , j 1 (1.8) n Khi để tính véctơ trọng số nữa, ta cần có tập điểm  (1.9) w  x  ta cần sử dụng toán tử vi phân D toán tử Laplace  đủ Hơn X  x1 , x2 , nội suy RBF Cụ thể, để tính đƣợc véctơ trọng số  , xn Để làm việc ta cần thuật toán chọn tập điểm phục vụ cho w  , , ta cần sử dụng thuật tốn chọn điểm  Hiện có thuật toán đƣợc sử dụng [2] , nhƣng trƣờng hợp liệu phân bố phân tán thuật tốn gặp khó khăn Trong [2], chúng tơi đề xuất thuật tốn chọn tâm với điều kiện dừng Gần đây, [4], đề xuất thuật toán chọn tâm với hai điều kiện dừng nhƣng để giảm phức tạp, sử dụng giá trị tham số cho loại phân bố liệu, từ đơn giản đến phức tạp Hơn nữa, thuật tốn cịn đƣợc dùng cho mục đích làm mịn khơng lƣới Trong báo tập trung nghiên cứu kỹ ảnh hƣởng điều kiện dừng liên quan đến khoảng cách thuật toán chọn tâm [4] Kết cho thấy trƣờng hợp tốn có hàm dao động hay liệu phân bố khơng q phân cụm kết thuật tốn [2] xấp xỉ với kết kết dùng thuật tốn [4], cịn trƣờng hợp tốn có hàm dao động mạnh dùng thuật tốn [4] tốt với giá trị tham số liên quan đến khoảng cách phù hợp với độ phân tán Cụ thể liệu phân bố phân cụm ta nên sử dụng giá trị tham số khoảng cách lớn Bài báo đƣợc tổ chức nhƣ sau: Phần II, trình bày thuật tốn chọn K- Láng giềng gần; Phần III, trình bày lƣợc đồ khơng lƣới RBF-FD giải phƣơng trình Poisson kết thử nghiệm; Phần cuối dành cho kết luận Đặng Thị Oanh, Nguyễn Văn Tảo 511 II THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN Thuật tốn [4] đƣợc trình bày nhƣ sau:  int  Cho    ,  , ,  n    ,  ,  , ,  n đƣợc xếp theo chiều ngƣợc chiều kim đồng hồ n   ,  , ,  n  :  i2 ,   ,  , ,  n  :  i ,   ,  , ,  n  : max  i , 1i  n i 1 đó, i ký hiệu góc hai tia  i ,  i 1 1i  n theo hƣớng ngƣợc chiều kim đồng hồ với chu kỳ  ni :  i Thuật toán sử dụng hai điều kiện dừng: Điều kiện dừng thứ nhất: ||    || c k  ||  j   ||  ||  j   j 1 ||, với c    \  2k j 1 (1.10) Điều kiện dừng thứ hai:   ,  , ,  n   v  ,  , ,  n  , v  1.0 (1.11)  Thuật toán: Input:  Output:  Parameter: điểm gần Begin  k (Số điểm  \  ), v  1.0 (ngƣỡng góc đều), c  1.0 (ngƣỡng khoảng cách) m  k (số đƣợc đƣa vào xét) I Tìm m điểm  \   mà gần  thỏa mãn || 1   |||| 2   || Đầu tiên,  :  ,  , ,  k  :  , 1 , || n   || , k  i  k  II While i  m If điều kiện dừng thứ (1.10) đƣợc thỏa mãn, then STOP trả tập Tính góc  1' ,  2' , ,  k' 1 đƣợc tạo tập mở rộng  1' ,  2' , ,  k' 1   ,  , ,  k , i  Nếu góc tia i hai tia lân cận lớn góc nhỏ  ' :   1' ,  2' , ,  k' 1  : i Tìm j cho  'j   Chọn p  j p  j  phụ thuộc vào  'j 1   'j 1 hay '  'j 1   'j 1 ii If     1' ,  2' , ,  k' 1 \  p'     ,  , ,  k  : a Update b If  :  ,  , ,  k    ,  1' ,   ,  ,  k   v  ,  , If i  m : m1 , m2 , , 2m khoảng cách tăng dần đến  m : 2m Gán i : i  Tìm m điểm ,  k' 1 \  p'  ,  k  , then STOP trả  thuộc  \   gần  đƣợc xếp theo End  Nhận xét - Trong báo [4], sử dụng tham số: k  6; m  50; v  2.5; c  - Trong báo nghiên cứu kỹ ảnh hƣởng tham số v c đến điều kiện dừng toán miền có hình học khác hàm có độ dao động khác tính xấp xỉ đạo hàm NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO PHƢƠNG PHÁP RBF-FD… 512 III THỬ NGHIỆM SỐ A Phương pháp RBF-FD Để giải toán (1.2), sử dụng lƣợc đồ sau: Với  int Chọn tập  thuật toán chọn tâm phía trên; (a) (b) Tính tham số tỉ lệ  thỏa mãn lớn trƣớc số điều kiện ma trận nội suy (1.9) vƣợt qua 1012 [3] Tính véctơ trọng số nhƣ công thức (1.8) với tham số tỉ lệ  vừa tính Bƣớc 1(b): (c)   w ,   1     | ; Thay w  , vừa tính đƣợc (c) vào hệ phƣơng trình (1.2) (d) Giải hệ phƣơng trình (1.2) để tìm nghiệm xấp xỉ u   , với Tính sai số trung bình bình phƣơng rms (root mean square):  rms :   # int  int  u  u     int 1/2    (1.12) B Kết thử nghiệm Chúng sử dụng mã lệnh PDE Toolbox Matlab [6] để tạo tâm  int Mã lệnh dành cho phƣơng pháp FEM thích nghi, nghĩa vị trí miền có hình học phức tạp hàm có độ dao động lớn số tâm sinh nhiều tỉ lệ thuận với độ dao động hàm, xem Hình Hình Chúng tơi trình bày thử nghiệm tốn tiêu biểu, toán thứ toán mẫu phƣơng pháp phần tử hữu hạn thích nghi (Bài toán 1) toán thứ hai toán khó (Bài tốn 2), hàm có độ dao động mạnh phạm vi hẹp (xem Hình bên phải) Bài tốn 1: Cho phƣơng trình Laplace u  miền  hình quạt đƣợc cho bất phƣơng trình r  1,  3 /    3 / hệ tọa độ cực, với điều kiện biên Dirichlet cho u  r ,    cos  2 / 3 cung tròn, u  r ,    dọc theo hai đoạn thẳng Lời giải xác u  r ,    r 2/3 cos  2 / 3 Hình Biểu diễn tốn Hình bên trái biểu diễn phân bố 3559 tâm nằm miền; Hình biểu diễn phân bố tâm vị trí hàm có độ dao động lớn nhất; Hình bên phải biểu diễn 3D nghiệm xác Trong Hình Hình 2: Hình bên trái biểu diễn tâm nằm miền, hình nằm biểu diễn vùng liệu phân bố dày mà hàm có độ dao động lớn, hình bên phải biểu diễn 3D nghiệm xác Hình Hình 4, đƣờng cong biểu diễn sai số trung bình bình phƣơng  rms  đƣợc tính theo cơng thức (1.12), đồ thị hàm sai số rms với đối số nghịch đảo số nút nằm miền Đƣờng nét đứt biểu diễn sai số rms sử dụng thuật toán chọn tâm [2], đƣờng nét liền biểu diễn sai số rms sử dụng thuật toán chọn tâm trình bày Phần II Đƣờng nét đứt nét liền sử dụng tham số k  6; m  100; u  Riêng đƣờng nét liền dùng thêm giá trị tham số c Đặng Thị Oanh, Nguyễn Văn Tảo Hình Sai số rms 513 Bài toán 1; Đƣờng nét đứt tƣơng ứng với "Old" biểu diễn kết sử dụng thuật toán chọn [2]; Đƣờng nét liền tƣơng ứng với "New" biểu diễn kết sử dụng thuật toán chọn Phần II với giá trị tham số  c  2.5 Nhận xét 1: Trong Hình 2, ta thấy đƣờng cong xấp xỉ nhau, điều giải thích tâm phân bố khơng q phức tạp thỏa mãn điều kiện góc thỏa mãn điều kiện khoảng cách Bài toán 2: [5 Section 2.4: Peak] Cho toán Dirichlet (1.1) với phƣơng trình Poison u  f miền    0,1 , vế phải f điều kiện biên đƣợc chọn thỏa mãn lời giải xác u  x   e ||x  x0 || 2 Giá trị   100000 (the strength of the peak) x0   0.51,0.117  (vị trí Peak) (xem Hình bên phải) Hình Biểu diễn tốn Hình bên trái biểu diễn phân bố 6784 tâm; Hình biểu diễn phân bố tâm vị trí hàm có độ dao động lớn nhất; Hình bên phải biểu diễn 3D nghiệm xác  Nhận xét 2: Quan sát hình Hình 3, ta thấy có thay đổi mật độ tâm đột ngột Vì giải thích cố gắng chọn cho tia i , i  \   phân bố theo hƣớng thỏa mãn điều kiện góc ta phải kết nạp thêm điểm có khoảng cách xa so với giải thích cho lý Hình 4, đƣờng nét liền đẹp đƣờng nét đứt  Điều 514 Hình Sai số NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO PHƢƠNG PHÁP RBF-FD… rms Bài toán 2; Đƣờng nét đứt tƣơng ứng với "Old" biểu diễn kết sử dụng thuật toán chọn [2]; Đƣờng nét liền tƣơng ứng với "New" biểu diễn kết sử dụng thuật toán chọn Phần II với c4 IV KẾT LUẬN Trong báo chúng tơi trình bày phƣơng pháp xấp xỉ khơng lƣới RBF-FD giải phƣơng trình đạo hàm riêng, thuật tốn chọn k- láng giềng gần hỗ trợ phƣơng pháp không lƣới RBF-FD, thử nghiệm số toán mẫu tốn khó Kết cho thấy: - Với toán liệu phân bố đơn giản, ta sử dụng thuật tốn chọn tâm [2] sử dụng thuật tốn chọn tâm đƣợc trình bày Phần II phía với giá trị tham số c nhỏ - Với tốn khó, ta nên sử dụng thuật tốn chọn tâm phía với giá trị tham số c lớn TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Martin D Buhmann "Radial Basis Functions" Cambridge University Press, New York, NY, USA, 2003 [2] Oleg Davydov and Dang Thi Oanh "Adaptive meshless centres and RBF stencils for Poisson equation" Journal of Computational Physics, 230: 287-304, 2011 [3] Oleg Davydov and Dang Thi Oanh "On the Optimal shape parameter for Gaussian radial basis function finite difference approximation of the Poisson equation" Computers and Mathematics with Applications, 62: 2143-2161, 2011 [4] Dang Thi Oanh, Oleg Davydov and Hoang Xuan Phu "Adaptive RBF-FD Method for Elliptic Problems with Points Singularities in 2D" Submitted [5] William F Mitchell "A collection of 2D elliptic problems for testing adaptive grid refinement algorithms" Applied Mathematics and Computation, 220: 350-364, 2013 [6] "Partial Differential Equation ToolboxTM User’s Guide" The MathWorks, Inc, 2009 RESEARCH THE K- NEIGHBORHOOD SELECTION WITH TWO TERMINAL CONDITIONS FOR THE RBF-FD APROXIMATION METHOD OF POISSON EQUATION IN 2D Dang Thi Oanh, Nguyen Van Tao ABSTRACT—To carry out RBF-FD, we need to use the centres selection algorithm or in other words the k-neighborhood selection In this paper, we are interested in the selection of the k-neighborhood with the center  in the centres selection algorithm Frequently-raised questions are how many is sufficient to select and what relation between spatial distance and data dispersion? Our experiments have shown that in case data is not dispersed too clustering, we just need to take the equilateral quadrant into consideration as in case of the condition of quadrant is satisfied, the condition of distance will be sufficient; in case date is dispersed clustering, we just need to take the condition of equilateral quadrant into consideration and the negotiation between the condition of equilateral quadrant and the distance to the examined center  is not too far This proves the supplement of terminal condition in space into centres selection algorithm is required and the algorithm after the supplement of terminal condition in space will be applied in case data is complicatedly distributed  ... so với giải thích cho lý Hình 4, đƣờng nét liền đẹp đƣờng nét đứt  Điều 514 Hình Sai số NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO PHƢƠNG PHÁP RBF-FD? ?? rms Bài toán 2; ... nghiên cứu kỹ ảnh hƣởng tham số v c đến điều kiện dừng toán miền có hình học khác hàm có độ dao động khác tính xấp xỉ đạo hàm NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO. ..NGHIÊN CỨU THUẬT TOÁN CHỌN K-LÁNG GIỀNG GẦN VỚI ĐIỀU KIỆN DỪNG CHO PHƢƠNG PHÁP RBF-FD? ?? 510 s ( x)   a j   x  x j  , n   x  :  || x | |2  , j 1 (1.3) với điều kiện nội suy: