Đề tài sử dụng maple để giải phương trình truyền nhiệt

Đồ án tốt nghiệp: Đề tài “Sử dụng Maple để giải phương trình truyền nhiệt ”  LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục Lục    Mục đích Lý chọn đề tài Tổng quan Maple Các phép toán Maple Cơ sở lý thuyết: thiết lập phương trình truyền nhiệt Phương pháp giải phương trình truyền nhiệt Phần I: Truyền nhiệt tự có nguồn, điều kiện biên tương đối đặc biệt tr Bài toán tr Bài toán tr Bài toán tr 13 Bài toán tr 19 Phần II: Sử dụng Maple vẽ đồ thị số hàm tr 26 Tài liệu tham khảo: tr 33 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Mục đích : Ứng dụng tốn học vào vật lý để giải toán thuộc toán học Lý chọn đề tài: Hiện khoa học ngày phát triển, trang thiết bị, phương tiện ngày đại Giáo dục theo phát triển để nghiên cứu, sử dụng trang thiết bị phục vụ cho việc dạy học Vì nội dung không ngừng thay đổi theo, kéo theo thay đổi phương pháp dạy học Yêu cầu đặt người làm việc cho có hiệu quả, nhanh chóng, đơn giản mà tiết kiệm thời gian Trong việc dạy học nói chung dạy học vật lý nói riêng, yêu cầu điều khơng thể thiếu Thơng việc giải tốn vật lý nhờ hỗ trợ máy tính mà thân sinh viên rèn luyện về:  Kỹ làm tốn máy tính  Kỹ sử dụng máy tính để giải tốn áp dụng tốn học vật lý  Giải toán dạng ký hiệu  Cho lời giải xác phương trình  Tìm nghiệm phương trình điều kiện vật lý định mà thực tế giải giấy khơng thể thực  Tìm nghiệm phương trình qua đồ thị mà khơng cần tính tốn  Tính tốn số thực lẫn số phức LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Maple phần mềm toán học dựa trợ giúp máy tính Nó tương đối dễ học, dễ sử dụng đáp ứng u cầu Đó lý chọn đề tài “Sử dụng Maple để giải phương trình truyền nhiệt ” Qua đề tài hy vọng góp phần nhỏ vào giải phương trình vật lý nói riêng tốn học nói chung Đề tài khơng tránh khỏi nhiều sai sót mong nhận nhiều đóng góp thầy để chúng em hồn thành đề tài giúp ích nhiều cho việc tìm hiểu sau LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Tổng quan Maple Maple phần mềm hệ thống đại số máy tính Tính mạnh Maple khả giải toán dạng ký hiệu Maple tính tốn theo ký hiệu phân số, phân tích thừa số, khai triển đa thức, cho lời giải xác phương trình, vẽ đồ thị nhiều hàm khác nhau, tính giới hạn, tính đạo hàm, tính tích phân xác định bất định, tính tích phân nhiều lớp, giải phương trình vi phân, tính tốn chuỗi… Maple tính tốn số thực lẫn số phức Nó có nhóm chương trình dành cho đại số tuyến tính, cung cấp cho người sử dụng nhiều lệnh xử lý ma trận Đặc điểm Maple cung cấp cơng cụ tính tốn cung cấp đầy đủ chất liệu để người dùng tự thiết kế cơng cụ tính tốn đối tượng liệu Các phép tốn Các hàm thơng dụng Maple sử dụng để giải phương trình truyền nhiệt:  Hàm lượng giác hàm lượng giác ngược: sin, cos, tan, cot, arcsin, arccos, arctan, arccot  Hàm trị tuyệt đối : asb  Hàm số mũ số e: exp  Hàm bậc n: root[n]  Hàm bậc hai: sqrt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  evalf(e,n) cho sỉ đại lượng e cần tính với độ xác n  simplify (e) đơn giản biểu thức e  power(e) đưa biểu thức e dạng lũy thừa  trig đưa hàm lượng giác  combine (biểu thức) kết hợp rút gọn biểu thức  convert (biểu thức, dạng) chuyển đổi dạng hàm  expand (biểu thức) khai triển biểu thức  factor (đa thức) phân tích đa thức thừa số  normal (phân thức) giản ước phân thức  collect (biểu thức) nhóm số hạng đa thức  solve (phương trình) giải phương trình  solve (phương trình, tên ẩn) giải phương trình theo ẩn xác định trước  solve (bất phương trình, tên ẩn) giải bất phương trình theo ẩn xác định trước  solve (hệ phương trình, tên ẩn) giải hệ phương trình theo ẩn xác định trước  solve (hệ bất phương trình, tên ẩn) giải hệ bất phương trình theo ẩn xác định trước LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Envallsolution:=true: Phương trình lượng giác  Subs (x=a,biểu thức) thay x giá trị hay biểu thức a vào biểu thức chứa x  piecewise (dk1,bt1,dk2,bt2…dkn,btn) xây dựng hàm khúc  limit (f(x),x=a) tính giới hạn hàm biến  diff (f(x),x) đạo hàm bậc hàm f(x) theo biến x  diff (f(x),x$n) đạo hàm bậc n hàm f(x) theo biến x  int (f(x),x) tính tích phân bất định hàm biến  with (plots): vẽ đồ thị hàm biến Plot ([bt1,bt2,t=a b]) vẽ đồ thị cho đường cong tham số hệ tọa độ đecaster  implicitplot (F(x,y)=0,x=a b,y=c d) vẽ đồ thị hàm ẩn  animate (F,x=a b,t=c d) vẽ đồ thị đường cong chuyển động  int (f(x),x=a b) tính tích phân xác định hàm biến  int (f(x),x=0 infinity) tính tích phân suy rộng với cận vô hạn  Đồ thị hàm hai biến Plot3d (hàm, x=a b,y=c d, yêu cầu tự chọn) Cơ sở lý thuyết LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Xét môi trường truyền nhiệt đẳng hướng, u(x, y, z, t) nhiệt độ điểm P(x, y, z) thời điểm t Sự truyền nhiệt tuân theo định luật Fuarie: nhiệt  lượng ∆Q qua mặt kín ∆S theo phương pháp tuyến n thời gian ∆t tỉ lệ với ∆S, ∆t đạo hàm pháp tuyến U : n ∆Q = - k(x , y , z) ∆t ∆S U n (1) Trong k hệ số truyền nhiệt trong, không phụ thuộc vào hướng  pháp tuyến mơi trường đẳng hướng ta thường coi số, n pháp tuyến ∆S hướng theo chiều giảm nhiệt độ Bây ta xét vật thể tùy ý thể tích V giới hạn mặt kín trơn S xét biến thiên nhiệt lượng thể tích từ thời gian t1 đến t2.Từ (1) ta suy nhiệt lượng truyền vào mặt S từ thời điểm t1đến t2 là: t2 Q1 = -  dt  k ( x, y , z ) t1 S U dS n  Trong n vectơ pháp tuyến hướng vào bên mặt S Áp dụng định lý Ơtxtrơgratxki để chuyển từ tích phân mặt sang tích phân ba lớp coi k số, ta có: t2 Q1 = k  dt  divgradu.dV t1 Vì ta có divgrad u = ∆u = V  2U  2U  2U   x y z t2 Nên Q1 = k  dt  ∆udV t1 V LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Giả sử vùng V có nguồn nhiệt có mật độ G (x, y, z, t) (nghĩa nhiệt lượng sinh đơn vị thể tích sau đơn vị thời gian), từ thời điểm t1 đến thời điểm t2 thể tích V xuất nhiệt lượng là: t2 Q2 =  dt  gdV t1 V Mặt khác nhiệt lượng cần cho thể tích V thay đổi từ u (x, y, z, t1) đến u (x, y, z, t2) Q3 =  [u ( x, y , z, t )  u ( x, y , z, t1 )c( x, y., z )  ( x, y, z )dV V Trong c nhiệt dung  mật độ mơi trường Tính xác đến đại lượng nhỏ so với V ta có: t2 u(x,y,z,t2) – u(x,y,z,t1) = t2 Vậy Q3 =  dt  c t1 V U dt t t1  U dV t Nhiệt lượng phải Q1 +Q2 vậy: Q3 - Q2 - Q1 =0 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com t1 Hay U  kU  g ]dxdydz =0 t  dt  [c t2 V Vì khoảng thời gian nên:  (cu ' t  ku  g )dxdydz =0 V Đồng thời vùng V tùy ý nên thời điểm môi trường, ta c  u’t - k  u – g =0 phải có cơng thức: u’t – a2 ( u”xx +u”yy +u”zz) = a2 = g ( x, y, z , t ) c (4.1) k c Phương trình (4.1) gọi phương trình truyền nhiệt, nghiệm u= u (x, y, z, t) phương trình mơ tả phân bố nhiệt độ môi trường truyền nhiệt Nếu g ≡ 0, ta có phương trình truyền nhiệt Ngược lại phương trình khơng Phương pháp giải phương trình truyền nhiệt LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com  Dựa vào kiện đề bài, xét tốn thuộc dạng (truyền nhiệt có nguồn hay khơng có nguồn)  Dạng nghiệm tốn  Thay dạng nghiệm vào phương trình truyền nhiệt  Chuyển vế đưa phương trình tách biến độc lập  Giải phương trình độc lập  Sử dụng điều kiện biên để tìm hệ số  Nghiệm riêng phương trình tích nghiệm độc lập  Nghiệm phương trình tổng nghiệm riêng  Sử dụng điều kiện ban đầu để tìm nghiệm tường minh phương trình LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ...  Mục đích Lý chọn đề tài Tổng quan Maple Các phép toán Maple Cơ sở lý thuyết: thiết lập phương trình truyền nhiệt Phương pháp giải phương trình truyền nhiệt Phần I: Truyền nhiệt tự có nguồn,... luanvanchat@agmail.com Maple phần mềm toán học dựa trợ giúp máy tính Nó tương đối dễ học, dễ sử dụng đáp ứng yêu cầu Đó lý chúng tơi chọn đề tài ? ?Sử dụng Maple để giải phương trình truyền nhiệt ” Qua đề tài hy... c Phương trình (4.1) gọi phương trình truyền nhiệt, nghiệm u= u (x, y, z, t) phương trình mô tả phân bố nhiệt độ môi trường truyền nhiệt Nếu g ≡ 0, ta có phương trình truyền nhiệt Ngược lại phương