(SKKN HAY NHẤT) sử dụng những ứng dụng của đạo hàm để giải phương trình và bất phương trình

Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình THƠNG TIN CHUNG VỀ SÁNG KIẾN Tên sáng kiến : “ Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình” Lĩnh vực áp dụng sáng kiến : Mơn tốn - THPT Thời gian áp dụng sáng kiến : Từ ngày tháng năm 2010 đến ngày 20 tháng 12 năm 2011 Tác giả : Họ tên : Vũ Thị Trang Năm sinh : 1985 Nơi thường trú : Nghĩa Trung – Nghĩa Hưng – Nam Định Trình độ chun mơn : Cử nhân Tốn Chức vụ cơng tác: Giáo viên dạy toán Nơi làm việc : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa liên hệ : Vũ Thị Trang - Trường THPT A Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 0977768756 Đồng tác giả : Họ tên : Năm sinh : Nơi thường trú : Trình độ chuyên môn : Chức vụ công tác: Nơi làm việc : Địa liên hệ : Điện thoại : Đơn vị áp dụng sáng kiến: Tên đơn vị : Trường THPT A Nghĩa Hưng Địa : Nghĩa Hưng – Nam Định Điện thoại : 03503871173 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình I Lý chọn đề tài Ta biết toán giải phương trình bất phương trình thường xuất đề thi tuyển sinh đại học thường gây khó khăn học sinh toán chứa tham số Rất nhiều giải phương trình bất phương trình cần phải sử dụng phương pháp đạo hàm giải Đặc biệt toán chứa tham số mà SGK bỏ định lý đảo dấu tam thức bậc hai nhiều tốn cơng cụ hay để giải Tuy nhiên nghiên cứu kỹ vấn đề ta dùng ứng dụng đạo hàm để giải thực tế cho thấy cách giải cho lời giải ngắn gọn Và việc hướng dẫn học sinh phương pháp phát triển cho học sinh nhiều phẩm chất tư khái quát hoá, tư hàm, tư phân tích tổng hợp Vì định chọn đề tài nghiên cứu “Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình” Đề tài phù hợp với đối tượng học sinh II Nội dung nghiên cứu Nội dung nghiên cứu gồm phần: + Phần1 Giải phương trình + Phần Giải bất phương trình 1.Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm giải phương trình ta thường sử dụng ứng dụng khoảng đơn điệu hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Đồng thời sử dụng tính chất sau: Tính chất 1: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) (a;b) phương trình có nghiệm có khơng q nghiệm Chứng minh Xét trường hợp hàm số đồng biến Giả sử phương trình có hai nghiệm Nên Do hàm số hàm số đồng biến nên từ mâu thuẫn với Chứng tỏ giả sử sai Vậy phương trình có nghiệm có khơng q nghiệm Với trường hợp hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Tính chất 2: Nếu hàm số đồng biến (nghịch biến) (a;b) Chứng minh Xét trường hợp hàm số đồng biến Nếu (hiển nhiên) Ta chứng minh Giả sử ,khơng tính tổng qt giả sử Do hàm số hàm số đồng biến nên Chứng tỏ giả sử sai Với trường hợp hàm số nghịch biến ta chứng minh tương tự Tính chất 3: Nếu hàm số đồng biến cịn phương trình hàm số nghịch biến có nhiều nghiệm Chứng minh Ta có: Khi Xét hàm số hàm số đồng biến Theo tính chất phương trình có nhiều nghiệm (Đpcm) Đối với toán chứa tham số dạng f(x) = m có nghiệm D khi: Ví dụ 1: Giải phương trình sau: Giải: Điều kiện: Đặt Ta có Xét hàm số Nên hàm số R Có hàm số đồng biến R Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Khi Xét Mà hàm số đồng biến có đổi dấu : có nghiệm Ta có bảng biến thiên -1/2 - Từ bảng biến thiên ta thấy Mặt khác + có nghiệm có nhiều nghiệm Do phương trình cho có nghiệm phân biệt Ví dụ 2: Giải phương trình: Giải: Điều kiện: Giải (6.5): Nếu (6.5) Nếu Chứng tỏ (6.5) Giải (6.6): Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Nếu (6.6) ln Nếu Kết hợp với Chứng tỏ (6.6) Vậy phương trình xác định với x Phương trình tương đương với Xét hàm số Ta có Mặt khác Vậy hàm số ln đồng biến Khi (vơ nghiệm) Vậy pt cho vơ nghiệm Ví dụ 3:Giải pt Giải: Điều kiên: Xét hàm số Ta có : Hàm số đồng biến Có Vậy pt có nghiệm Ví dụ 4: Giải pt: Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Giải: Đặt Ta có hệ pt: Cộng vế với vế ta được: Xét hàm số Có Hàm số hàm đồng biến Xét hàm số Ta có : Mà Nên hàm số nghịch biến Do pt có khơng q nghiệm Mà , đồng biến Kết hợp với điều kiện nghiệm pt cho Ví dụ 5: Giải pt: Giải: Điều kiện: Đặt Trừ vế với vế (6.15) (6.16) ta có : Vũ Thị Trang - Tổ Tốn - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Xét hàm số Cã hàm số đồng biến Xét hàm số Ta có đồng biến Mà có nghiệm Ta có bảng biến thiên 5/6 - Dựa vào bảng biến thiên ta thấy pt + có nghiệm có nhiều nghiệm Mà, Do pt có nghiệm Ví dụ 6: Tìm m để pt x2 – 2x = m có nghiệm x  [ 0; 1] Giải: Xét hàm số f(x) = x2 – 2x Là hàm số liên tục [0;1] từ bảng biến thiên hàm số f(x) [0;1] Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Ta có : maxf(x) = ; f(x) = - [0 ; 1] [0; 1] Vậy với m0 pt cho có nghiệm [0;1] ví dụ 7: Tìm m để pt sau có nghiệm Giải :  t  Đặt t = + Khi pt trở thành: f(x) = Lập bảng biến thiên f(t) với  t  Ta có : Vậy pt có nghiệm  Ví dụ 8: Xác định m để pt sau có nghiệm: Giải: Điều kiện: Đặt Với Pt cho trở thành: Đặt Lập bảng biến thiên hàm số Ta có:  Bảng biến thiên: Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình t -4 0 + f(t) - -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với pt cho có nghiệm Giải bất phương trình Để giải bất phương trình ta thường sử dụng tính chất: Nếu đồng biến bất pt: Đối với bất pt chứa tham số: f(x)  h(m) có nghiệm D Bất pt dạng Bất pt dạng : f(x)  h(m) nghiệm xD Bất pt dạng : f(x)  h(m) vô nghiệm D Bất pt dạng h(m) > f(x) có nghiệm D Bất pt dạng : h(m)> f(x) nghiệm xD Bất pt dạng : h(m) > f(x) vô nghiệm D Ví dụ 9: Giải bất pt sau: (6.20) Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình ( ĐHAN - 2001 ) Giải: Điều kiện: Ta có (6.20) (6.21) Xét hàm số Có Do hàm số Mà đồng biến nghiệm Khi (6.21) Vậy bất pt cho có nghiệm Ví dụ 10: Giải bất pt sau: (6.22) Giải: Điều kiện: Ta có (6.23) Xét hàm số [0;2] Có Hàm số đồng biến (0;2) Vậy bất phương trình có tập nghiệm Ví dụ 11: Tìm m để bất phương trình sau có nghiệm: Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 10 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình (*) Giải: Điều kiện: -1 x Đặt Để (*) có nghiệm Ta có: Vậy để bất phương trình có nghiệm Ví dụ 12: Tìm điều kiện m để pt mx4 – 4x + m  nghiệm xR Giải : Bất pt  Xét hàm số g(x) = Ta có : Do bất pt nghiệm xR : m Ví dụ 13: Tìm m để x [0; 2] nghiệm bất pt Giải: 1 Điều kiện: Bất pt  Đặt t = Bất pt trở thành : t2 + 4t –   -  t  t Kết hợp với t  Ta có :  t  Suy :  Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 11 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình  Bất pt nghiệm x  [0; 2] y  (Xem hình bên) 2m4 x -1 Các toán tự giải Bài Giải phương trình: + = Bài Giải pt: + = -6x + 2; Bài Giải pt: ; Bài 4: Tìm giá trị m để pt sau có nghiệm thực phân biệt: (ĐH Khối A-2008) Bài Tìm giá trị m để pt sau có nghiệm thực: (ĐH Khối A-2007) Bài Tìm m để bất pt x -2x - m - 20m có nghiệm III Kết luận: Trải qua thực tiễn giảng dạy nội dung liên quan đến chuyên đề, với góp ý đồng nghiệp, vận dụng chuyên đề vào giảng dạy thu số kết sau: Học sinh vận dụng kết chuyên đề vào giải phương trình bất phương trình Tạo hứng thú cho học sinh học tốn giải phương trình bất phương trình Qua đề tài giáo viên xây dựng toán giải phương trình bất phương trình Đề tài nhằm phục vụ cho đối tượng học sinh trung bình, giỏi Bên cạnh kết thu chuyên đề cịn nhiều hạn chế thiếu sót Kính mong đóng góp đồng nghiệp để đề tài hồn thiện Tơi xin chân thành cảm ơn! Nghĩa Hưng, ngày 08 tháng 02 năm 2011 Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 12 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình Người viết Vũ Thị Trang CƠ QUAN ĐƠN VỊ ÁP DỤNG SÁNG KIẾN (xác nhận, đánh giá, xếp loại) (Ký tên, đóng dấu) (khối phịng GD-ĐT) PHÒNG GD-ĐT (xác nhận, đánh giá, xếp loại) Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 13 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình (Ký tên, đóng dấu) PHỤ LỤC Danh mục sách tham khảo : + Sách giáo khoa giải tích lớp 12 + Sách rèn luyện giải tốn giải tích 12 – NXB Giáo Dục + Phân loại phương pháp giải dạng tập tốn giải tích lớp 12 – NXB – ĐH QG HN + Giáo trình đại học - Trường đại học sư phạm Vũ Thị Trang - Tổ Toán - Trường THPT A Nghĩa Hưng Trang 14 LUAN VAN CHAT LUONG download : add luanvanchat@agmail.com ... luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình t -4 0 + f(t) - -1 Dựa vào bảng biến thiên ta thấy với pt cho có nghiệm Giải bất phương trình Để giải bất phương trình ta... Phần Giải bất phương trình 1 .Giải phương trình Khi sử dụng đạo hàm giải phương trình ta thường sử dụng ứng dụng khoảng đơn điệu hàm số, giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất, Đồng thời sử dụng tính... luanvanchat@agmail.com Sử dụng ứng dụng đạo hàm để giải phương trình bất phương trình (*) Giải: Điều kiện: -1 x Đặt Để (*) có nghiệm Ta có: Vậy để bất phương trình có nghiệm Ví dụ 12: Tìm điều kiện m để pt