Một số phương pháp lặp giải gần đúng các phương trình và hệ phương trình

9 CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH .... Một số phương pháp lặp trong giải hệ đại số tuyến tính .... SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán 1

Trang 1

SV: Nguyễn Thị Ngân K35D – SP Toán

LỜI CẢM ƠN Sau một thời gian nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn tận tình của

thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng, khóa luận của em đã được hoàn thành

Qua đây, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo TS

Nguyễn Văn Hùng – người đã trực tiếp hướng dẫn và đóng góp nhiều ý

kiến qu ý báu trong thời gian em thực hiện khóa luận này

Em xin chân thành cảm ơn các thầy, các cô giáo trong khoa Toán

đã tạo mọi điều kiện giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này

Mặc dù đã có nhiều cố gắng nhưng do hạn chế về thời gian và

kiến thức nên chắc chắn khóa luận không tránh khỏi những thiết sót Em

rất mong nhận được sự giúp đỡ, đóng góp ý kiến của thầy cô và các bạn

sinh viên để khóa luận của em được hoàn thiện hơn

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngân

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp của em hoàn thành dưới sự hướng dẫn

của thầy giáo TS Nguyễn Văn Hùng cùng với sự cố gắng của bản thân

Trong quá trình nghiên cứu em có tham khảo một số tài liệu của một số

tác giả (đã nêu trong mục tài liệu tham khảo)

Em xin cam đoan những kết quả trong khóa luận này là kết quả

nghiên cứu của bản thân, không trùng với kết quả của tác giả khác Nếu

sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Hà Nội, tháng 5 năm 2013

Sinh viên

Nguyễn Thị Ngân

Trang 3

MỤC LỤC PHẦN I: MỞ ĐẦU 1

PHẦN II: NỘI DUNG 2

CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2

1.1 Số gần đúng và sai số 2

1.1.1 Số gần đúng 2

1.1.2 Sai số thu gọn 3

1.1.3 Cách viết các số gần đúng 3

1.1.4 Sai số tính toán 4

1.1.5 Sự ổn định của quá trình tính: 6

1.2 Bài toán ngược của sai số: 6

1.3 Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình f (x) = 0 7

1.4 Một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm 8

1.4.1 Không gian Metric 8

1.4.2 Không gian Banach: 9

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH 11

2.1 Một số phương pháp lặp trong giải phương trình phi tuyến: 11

2.1.1 Phương pháp chia đôi: 11

2.1.2 Phương pháp lặp đơn: 13

2.1.3 Phương pháp dây cung: 14

2.1.4 Phương pháp Newton: 16

2.2 Một số phương pháp lặp trong giải hệ phương trình phi tuyến: 18

2.2.1 Phương pháp Newton: 18

2.2.2 Phương pháp lặp: 21

2.3 Một số phương pháp lặp trong giải hệ đại số tuyến tính 24

2.3.1 Chuẩn vecto và sự hội tụ của dãy vecto 24

Trang 4

2.3.2 Phương pháp lặp đơn (lặp cổ điển) 26

2.3.3 Phương pháp lặp Seidel 31

2.4 Phương pháp lặp trong giải phương trình vi phân thường: 35

CHƯƠNG 3: ỨNG DỤNG 37

KẾT LUẬN 59

TÀI LIỆU THAM KHẢO 60

Trang 5

1

MỞ ĐẦU Giải tích số là một ngành Toán học quan tâm đến các kết quả biểu

diễn bằng số; công việc của nó nhằm chuyển đổi các lời giải toán học

chính xác về dạng các công thức đơn giản sao cho các công thức này có

thể tính được bằng các phép tính cơ bản của số học, hoặc tìm các lời giải

gần đúng khi không thể tìm lời giải chính xác sao cho sự khác biệt giữa

hai lời giải là nhỏ nhất Do đó, có thể nói đây là một ngành kết hợp giữa

hai ngành Toán học và Máy tính

Để có lời giải gần đúng cho bất kỳ bài toán nào cũng đòi hỏi phải

có các dữ kiện bài toán và sau đó là xây dựng mô hình bài toán Tiếp

theo là công việc tìm thuật toán hữu hiệu nhất và cuối cùng viết chương

trình để máy tính tính toán cho ta kết quả gần đúng Khi giải bài toán

thực tế ta đều phải làm việc trực tiếp hoặc gián tiếp với các số liệu ban

đầu Chính vì vậy, không tránh khỏi các sai số, tuy rất nhỏ nhưng ảnh

hưởng trực tiếp đến kết quả tính toán Vì vậy cần sử dụng các thuật toán

hữu hiệu để giảm thiểu sự sai số đồng thời tiện lợi cho việc lập trình tiết

kiệm số lượng các phép tính, thời gian tính toán Việc sử dụng các

phương pháp lặp có ý nghĩa lý thuyết và ứng dụng rất lớn trong việc tìm

nghiệm gần đúng các phương trình phi tuyến, hệ phương trình phi tuyến,

trong hệ đại số tuyến tính, trong phương trình vi phân thường,… khi

không thể tìm ra nghiệm đúng của các phương trình và hệ phương trình

vừa nêu

Vì thế em đã chọn đề tài cho khóa luận của mình là “Một số

phương pháp lặp giải gần đúng các phương trình và hệ phương trình”

Khóa luận được chia làm 3 phần:

Phần I: Mở đầu

Phần II: Nội dung

Trang 6

2

Phần III: Kết luận

NỘI DUNG CHƯƠNG 1: KIẾN THỨC CHUẨN BỊ

1.1 Số gần đúng và sai số

1.1.1 Số gần đúng

a * nhiều, hiệu số ∆a = a * - a là sai số thực sự của a, nếu ∆a > 0 thì a là

giá trị gần đúng thiếu, còn nếu ∆a < 0 thì a là giá trị gần đúng thừa của

a * Vì rằng a * chưa biết, chỉ biết a nên đại lượng ∆ chưa thể xác định, tuy

nhiên có thể thấy tồn tại ∆a > 0 thỏa mãn điều kiện: a* a a

Hai số gần đúng a của a * và b của b * có cùng sai số tuyệt đối ∆a =

∆b, số nào có giá trị lớn tuyệt đối lớn hơn thì sẽ chính xác hơn

100,01], b *  [0,99; 1,01], tức là số a sẽ chính xác hơn số b so với giá trị

đúng của nó

Đại lượng nào sẽ phản ánh độ sai số của một số, hay nói cách khác

độ chính xác của phép tính được phản ánh qua đại lượng nào Ở ví dụ

trên, nếu a càng lớn thì khoảng xác định của a * càng rộng, vì vậy tỉ số

a

a 

a được gọi là sai số tương đối của số a

Trang 7

3

1.1.2 Sai số thu gọn

Trong quá trính tính toán, số gần đúng a của a * đôi khi là số thập

phân vô hạn các số sau dấu phẩy, hoặc hữu hạn nhưng số lượng các chữ

số sau dấu phẩy rất lớn buộc chúng ta phải ngắt bớt một số chữ số sau

dấu phẩy Việc ngắt bớt đó được gọi là thu gọn số a để được số a ngắn

gọn hơn và gần đúng số a Qui tắc thu gọn một số a như sau: Giả sử số a

= ,a1a2 a i a n , trong đó A là phần trị nguyên, a j j1,n là các chữ

số  {0, 1, 2, …., 9} sau dấu phẩy (phần thập phân) Muốn làm tròn số

a từ số a với i chữ số sau dấu phẩy ta làm như sau: giữ nguyên A, a1, a2,

…, a i-1 xét a i+1:

- Nếu a i+1  5 thì a = ,a1a2 a i1a i

1 2

1

,a a a ia i

Ví dụ: Cho số a * = , a = 3,141592 Khi đó số thu gọn của a là:

Số thu gọn sau dấu phẩy 2 chữ số: a = 3,14

Đặt: a = a  a , a được gọi là sai số thu gọn của số a

1.1.3 Cách viết các số gần đúng

Để có thể hình dung ra được số đúng a*, người ta thường biểu diễn

qua khoảng xác định của nó Cụ thể là viết gần đúng a kèm theo sai số

a

a a a a

a   

a a a

a

a  *  

a = 120  2 % được hiểu là: 120 – 2%.120 < a < 120 + 2%.120

Trang 8

Trong đề tài này, tập trung nghiên cứu các giá trị gần đúng liên

quan đến sai số tính toán

Giả sử cần tính giá trị đầu ra y với các giá trị đầu vào là x1, x2,

,x n Mọi liên hệ giữa đầu vào và đầu ra được xác định bởi

hàm và các biến tương ứng Thực tiễn, không thể xác định được y*,

các sai số tương ứng ∆y, ∆x i

Sai số giá trị ∆y của y = f (x1, x2, .,x n) được gọi là sai số tính

x x x x f

f y

∆y là cận trên của *

y

với y *

Mặt khác sai số của y là:

Trang 9

5

 

 x x x f x x y f

x f y

i

x i

ln

1 1

n i i

x y

.1Sai số tuyệt đối của một tổng bằng tổng các sai số tuyệt đối của

xác của phép đo không đảm bảo Vì vậy trong tính toán gần đúng phải

tránh các công thức đưa đến việc tính hiệu của 2 số gần nhau

02,0

%,29,045,3

01,0

c Sai số của y = ln x

Trang 10

6

x

x y x

x 1   

Sai số tuyệt đối của y bằng sai số tương đối của x

d Sai số của thương:

n p p

p x x x

x x x

y

2 1

i p

1



1.1.5 Sự ổn định của quá trình tính:

Để tính một đại lượng có khi phải tính nhiều lần lặp đi lặp lại

Quá trình tính gọi là ổn định nếu sai số tính toán (quy tròn số) tích lũy lại

không tăng ra vô hạn Nếu quá trình tính sai số đó tăng ra vô hạn thì ta

nói quá trình tính là không ổn định

Để khắc phục điều đó thường người ta giả sử sai số chỉ xảy ra ở

một bước tính Xem giá trị mới đó là đúng, tính bước kế tiếp Nếu tích

lũy một số bước thấy sai số tăng đáng kể thì xem như quá trình tính

không ổn định (đây là vấn đề khó, cần nghiên cứu tiếp về sau)

1.2 Bài toán ngược của sai số:

Giả sử cần tính y = f (x1, x2, .,x n) với sai số y  a Hãy xác

Trang 11

7

x

f i i

a x





Điều kiện (1.2.1) thường được gọi là nguyên lý ảnh hưởng đều

Ví dụ: Một hình trụ có chiều cao h = 3m, bán kính đáy R = 2m, hỏi rằng

lấy h, R, số π như thế nào thì thể tích V của hình trụ được tính chính

xác đến 0,1m3

Giải:

h R

1,0





2.6.3

1,0

Vậy chọn R0,001,  0,003, h0,003 sẽ thu được thể

tích V chính xác đến 0,1m3

1.3 Tìm nghiệm thực gần đúng của phương trình f (x) = 0

Trong kỹ thuật, ta thường gặp bài toán: Tìm nghiệm thực của

phương trình f (x) = 0 (đại số hoặc siêu việt)

Ta đã biết: Nếu phương trình có dạng

2

2 , 1







Đối với phương trình dạng đa thức bậc lớn hơn hoặc bằng 3 hay

các loại phương trình khác, hầu như không có khả năng tìm được nghiệm

Trang 12

8

đúng mà chỉ có gần đúng

Hơn thế nữa trong toán học tính toán ta phải làm việc với số, trong

dạng số thập phân Nên dù tìm được nghiệm đúng trong dạng số thập

phân vô hạn ta phải quy tròn số và như vậy cũng là nghiệm gần đúng

Để đạt được mục đích trên thì quá trình tìm nghiệm gần đúng thực

của phương trình ta phải tiến hành theo các bước sau:

i) Chọn nghiệm gần đúng đầu tiên x0 mà ta gọi là xấp xỉ đầu

ii) Từ xấp xỉ đầu x0, tìm thuật toán để sửa dần nghiệm, được các xấp

xỉ mới gần với nghiệm hơn

iii) Đánh giá sai số của nghiệm gần đúng tìm được với nghiệm đúng

của phương trình

1.4 Một số khái niệm cơ bản của giải tích hàm

1.4.1 Không gian Metric

Khi đó tập hợp X cùng với d là một không gian metric và ánh xạ d

được gọi là hàm khoảng cách

Xét tập con M của X, khi đó M cùng với d hạn chế trên M là không

gian metric con của không gian metric X

x*X Khi đó x * được gọi là giới hạn của dãy {x n}n N nếu

Trang 13

Định nghĩa 1.3: Không gian metric X thỏa mãn điều kiện mỗi dãy

Cauchy đều có một điểm giới hạn a  X được gọi là không gian metric

đủ

Định lí 1.1: (Nguyên lí ánh xạ co) Giả sử X là không gian metric

đủ và ánh xạ T: X  X thỏa mãn điều kiện :

d (Tx, Ty)   d (x, y)

với hằng số 0   < 1 và x, y  X Khi đó tồn tại duy nhất phần

tử x*X sao cho x * = Tx*, hơn nữa với x0  X thì dãy {x n}n N xác định

1.4.2 Không gian Banach:

Định nghĩa 1.4: Giả sử X là một không gian tuyến tính trên R

Ánh xạ :X  R xác định trên X, lấy giá trị trên tập số thực:

X x

được gọi là một chuẩn trên X

gian tuyến tính định chuẩn

Trong không gian tuyến tính định chuẩn X ta có thể định nghĩa

hàm khoảng cách d như sau:

Trang 14

10

y x y x

là tương đương nếu như tồn tại hai số m, M > 0 sao cho:

Định nghĩa 1.6 : Giả sử X, Y là hai không gian tuyến tính định

chuẩn và T: X  Y là một toán tử tuyến tính Nếu tồn tại giá trị hữu hạn:

X x

0

sup

thì toán tử T được gọi là bị chặn (hay giới nội) và số T được gọi là

chuẩn của toán tử T

Trang 15

11

CHƯƠNG 2: MỘT SỐ PHƯƠNG PHÁP LẶP GIẢI GẦN ĐÚNG CÁC

PHƯƠNG TRÌNH VÀ HỆ PHƯƠNG TRÌNH

2.1 Một số phương pháp lặp trong giải phương trình phi tuyến

2.1.1 Phương pháp chia đôi:

a Nội dung phương pháp:

Giả sử phương trình f (x)=0 (2.1.1) có nghiệm x* duy nhất trên

đoạn

[a, b] và f (a) f (b) < 0 Bây giờ lấy

2

b a

thì ta có ngay x * là nghiệm đúng của phương trình (2.1.1)

Nếu f (c)  0, thì ta gọi [a1, b1] là một trong hai đoạn [a, c], [c, b]

mà ở đó f (a1) f (b1) < 0 Lại lấy

2

1 1 1

b a

c   và tính f (c1), nếu f (c1) = 0

thì quá trình kết thúc, x* = c1 Nếu f (c1)  0 thì ta gọi [a2 , b2] là một

trong hai đoạn [a1, c1], [c1, b1] mà ở đó f (a2) f (b2) < 0, quá trình cứ tiếp

tục như vậy, ta có dãy đoạn [a n , b n ], nN*

b Sự hội tụ của phương pháp

Nếu ta thực hiện liên tiếp thao tác chia đôi đoạn [a, b] như trên, thì

hoặc là tại bước thứ n, ta có f (c n )=0, lúc đó x * = c n, (trường hợp này ít

xảy ra), hoặc là ta nhận đươc dãy vô hạn các đoạn nhỏ n = [a n , b n] đóng

),(2

Trang 16

12

c Sai số

Nói chung, khi dừng lại ở bước thứ n thì ta có:

)(2

1

a b a

Nhận xét: Phương pháp chia đôi có ưu điểm là đơn giản, dễ lập

trình trên máy tính tuy nhiên tốc độ hội tụ chậm

Ví dụ 1: Tìm nghiệm gần đúng của phương trình sau nhờ phương pháp

chia đôi trên đoạn [1, 2]: x3 - x - 1 = 0

Giải:

Gọi f(x) = x3 - x - 1 thì f (1) = - 1; f (2) = 5, áp dụng liên tiếp

phương pháp chia đôi ta có kết quả ở bảng sau:

2

n n n

b a

Trang 17

13

2.1.2 Phương pháp lặp đơn:

a Nội dung phương pháp:

Để giải phương trình (2.1.1), ta đưa nó về dạng: x =  (x) (2.1.3)

Với một xấp xỉ ban đầu x0  [a, b] cho trước, ta xây dựng dãy {x n}

nhờ hệ thức: x k+1 =  (x k ), k  0 (2.1.4)

Nếu dãy {x n } hội tụ đến nghiệm x* của (2.1.3) thì ta nói rằng đã

giải gần đúng phương trình (2.1.1) nhờ phương pháp lặp đơn

b Định lý hội tụ:

Định lý 2.1: Giả sử rằng hàm số y =  (x) thỏa mãn các điều kiện:

x x L x

và với hằng số L < 1,

2  x  1Lr,

thì dãy {x n } xây dựng bởi hệ thức (2.1.4) hội tụ đến nghiệm x* của

phương trình (2.1.1) và ta có ước lượng:

.)

1(

,

1 0

*

* 0

*

x x L

L x

x

x x L x

x

n n

Nhận xét: Phương trình lặp đơn (2.1.4) có tính chất tự điều chỉnh,

nghĩa là nếu tại một vài bước tính toán trung gian ta mắc phải sai số thì

dãy {x n } vẫn hội tụ đến x*; tất nhiên chỉ là một vài bước và sai số mắc

phải sao cho x k không vượt ra ngoài [ - r,  + r]

Ví dụ 2: Tìm nghiệm dương lớn nhất của phương trình: x3 + x - 1000 =

Trang 18

3

1)

2.1.3 Phương pháp dây cung:

Trong mục này, ta xét lại phương trình (2.1.1): f x 0

Giả sử rằng hàm số y  f  x liên tục trên đoạn a, b và

   a f b 0

Giả sử rằng f x có đạo hàm đến cấp 2 liên tục và ta có f  x 0

trên a, b (nếu như f  x 0 thì ta chuyển (2.1.1) về dạng:  f x 0,

lúc đó  f  x 0 trên đoạn a, b) Khi đó đồ thị y  f x nằm phía

dưới dây cung AB với Aa; f a ,Bb;f  b 

* Trường hợp 1: Nếu như f a 0, ta xây dựng dãy  x theo hệ n

1

0

a x a f x f

x f x

x

b x

n n

Trang 19

)(

1

0

n n

x f b f

x f x

x

a x

(2.1.8)

Khi đó, dãy {x n} đơn điệu tăng, bị chặn và:

b x x

x x

x    n  n    



1 0

Ý nghĩa hình học của hai dãy  x được xây dựng bởi (2.1.7) và n

(2.1.8) nêu ở trên sẽ được mô tả tương ứng trên các hình vẽ 1 và 2 dưới

đây và chính điều đó giải thích cho tên gọi của phương pháp

Giả sử rằng hàm số y  f x liên tục trên đoạn a, b và dãy  x n a,b,

 x

.)

('

Trang 20

16

Ví dụ 3: Tìm nghiệm dương của phương trình sau đây nhờ phương pháp

0 0

x f x

x f b f

x f x

x f b f

x f x

Trong mục này, ta xét lại phương trình (2.1.1): f x 0

Giả sử rằng ta đã tách được một nghiệm xa,b

, đồng thời

 x

f  , f  x liên tục, không đổi dấu trên đoạn a, b Khi đó, với x0 là

xấp xỉ ban đầu được chọn, ta xây dựng dãy  x n theo công thức:

 

 n

n n

n

x f

x f x x







Ta có thể chứng minh được rằng với một số điều kiện thích hợp

thì phương pháp Newton (2.1.9) hội tụ, chẳng hạn như điều kiện sau:

Trang 21

17

Định lý 2.2: Nếu f   a f b 0, f  x và f  x khác không và

không đổi dấu trên a, b Giả sử x0a,b, sao cho f   x0 f  x0 0, khi

đó dãy  x , xây dựng bởi (2.1.9), hội tụ đến nghiệm n 

x f

Nhận xét: Nếu việc tính toán f  x tại mỗi x là phức tạp và ngoài

ra có thể thấy f  x không thay đổi độ lớn thì người ta thay dãy xấp xỉ

(2.1.9) ở trên nhờ dãy dưới đây: (phương pháp này thường được gọi là

phương pháp Newton cải tiến)

Trang 22

x f x

n n







Ưu điểm nổi bật của phương pháp Newton cải tiến là chỉ phải tính

nghịch đảo của đạo hàm f  x tại x cho mọi bước 0

2.2 Một số phương pháp lặp trong giải hệ phương trình phi tuyến:

Để cách trình bày được đơn giản ta chỉ xét hệ gồm hai phương

0,

y x g

y x f

(2.2.1)

Phương pháp và kết quả có thể suy rộng cho hệ gồm n phương

trình, n ẩn

2.2.1 Phương pháp Newton:

Bằng cách nào đó (chẳng hạn phương pháp đồ thị) ta biết một cặp

nghiệm xấp xỉ là M0 (x0, y0) của hệ (2.2.1) nhưng chưa chính xác Xuất

,,

0 0

0 0 0

0 0

0

0 0

0 0 0

0 0

0

y

g k x

g h y x g k y

f h y x f k y

0, k

và xem f(M1)  0, g(M1)  0

Thay dấu "" bởi dấu "=" ta được hệ phương trình để xác định h0

và k0 và ta có M1 (x0 + h0, y0 + k0) gần với nghiệm hơn

Trang 23

0 ' 0 0 0 '

0 0

0 ' 0 0 0

'

,

g k

g h y x

g

f k f

h y x

f

y x

(2.2.3) Nếu định thức Jacobi

0 0

g

y

f x

f J

0

)(

f f

J h

 0  0

'

0 0

' 0 0

)(

f f

J

k

x x

Và ta có nghiệm gần đúng tốt hơn, đó là:

x1 = x0 + h0, y1 = y0 + k0

Nếu điểm M1 (x1, y1) chưa đạt mong muốn, ta thực hiện lặp lại quá

trình trên như đối với điểm M0 (x0, y0)

Quá trình lặp được thực hiện như sau:

n

g g

f f

 n  n

x

n n

x n n

g g

f f

n = 0, 1, 2,…

Người ta đã chứng minh được rằng: Nếu nghiệm gần đúng ban

đầu M0(x0,y0) đủ gần với nghiệm đúng của hệ (2.2.1) thì nghiệm gần

(2.2.4)

(2.2.6)

Trang 24

0lg

3

2

x xy x

y x x

Giải:

Ta vẽ các đường cong:

f (x, y) = x + 3lg x – y2

g (x, y) = 2x2 – xy – 5x + 1

Ta thấy có 2 giao điểm có tọa độ xấp xỉ là (1,4; -1,4) và (3,4; 2,2)

Ta đi tìm nghiệm gần đúng ở lân cận điểm M0 (3,4; 2,2)

Ta có

;10ln

31

x x

Trang 25

21

  0,3600

;1545,02,2

;4,3

383,10

400,60

Theo (2.2.6) ta suy ra: h0 = 0,089; k0 = 0,063

a Nội dung phương pháp lặp:

Từ hệ phương trình (2.2.1) ta viết lại trong dạng:

),(

y x G y

y x F x

(2.2.7)

Chọn điểm M0 (x0, y0) bất kỳ làm xấp xỉ đầu và tính:

),(

0 0 1

y x F x

),(

1 1 2

y x F x

),(

1 1

y x F x

n n n

(2.2.8) gọi là quá trình lặp

Trang 26

22

b Sự hội tụ:

Nếu F, G là những hàm số liên tục và các dãy số{x n }, {y n} tìm

(, ) là nghiệm của hệ phương trình (2.2.7)

Sau đây ta trình bày một điều kiện đủ của sự hội tụ

Định lý 2.3: Giả sử (, ) là nghiệm đúng của hệ phương trình

(2.2.7) nằm trong hình chữ nhật Đ a xb,c yd

Nếu trong các miền ấy các hàm số F và G liên tục và có các đạo

hàm riêng liên tục thỏa mãn điều kiện:

;

q x

G x

Thì quá trình lặp (2.2.8) hội tụ với xấp xỉ đầu (x0, y0)  Đ bất kỳ,

đồng thời hệ (2.2.7) chỉ có một nghiệm duy nhất trong miền đang xét

Ví dụ 6: Hãy giải bài toán trong ví dụ 5 bằng phương pháp lặp

12

),(lg

3

2

y x G x

x y

y x F x y

F

Trang 27

23

không thỏa mãn điều kiện (2.2.9) Không áp dụng được phương pháp lặp

Bây giờ ta viết lại hệ trong dạng

),(lg

3

),(15

21

y x G x x

y

y x F y

x x

21

521

y x

F

;15

2121

x y

F

lg32

lg31

x x

x e x

Trong miền hình chữ nhật Đ = 3 x4;2 y2,5 chứa

nghiệm (, ) sẽ có:

;60,0

thỏa mãn điều kiện (2.2.9), quá trình lặp hội tụ

Với xấp xỉ đầu: x0 = 3,4; y0 = 2,2 ta có bảng số sau:

5 2,2 1 3,4264

,32

3 

x

475,3

4 

x

480,3

5 

x

483,3

6 

x

224,24,3lg34,3

y

2505,2

2 

y

255,2

3 

y

258,2

4 

y

259,2

5 

y

260,2

6 

y

Trang 28

24

2.3 Một số phương pháp lặp trong giải hệ đại số tuyến tính

2.3.1 Chuẩn vectơ và sự hội tụ của dãy vectơ

Mục đích của phương pháp tìm nghiệm gần đúng của hệ đại số

tuyến tính là: xuất phát từ vectơ X(0) gọi là xấp xỉ đầu, tìm cách hiệu

chỉnh dần sau một số bước ta thu được vectơ {X(k)} mà vecto X(k) gần

với nghiệm đúng của hệ Vì vậy cần thiết phải đưa vào khái niệm về sự

hội tụ của dãy vectơ Khái niệm đơn giản và dễ hình dung là sự hội tụ

theo tọa độ

n k

k k

x x

lim

Sự hội tụ như vậy gọi là hội tụ theo tọa độ

Tuy vậy khái niệm này khó sử dụng, ta sẽ sử dụng sự hội tụ theo

nghĩa khác mà hệ quả của nó cũng là sự hội tụ theo tọa độ Để mô tả sự

hội tụ này trước hết ta gán cho mỗi vecto X n chiều một số thực không

âm N(x) mà ta gọi là chuẩn của vectơ X

một số không âm thỏa mãn điều kiện sau:

1)     0, “= 0”  X = 0

2) k k k  k – const

(X, Y là những vectơ n chiều)

Như vậy    có thể xem như độ dài của vectơ X và các

điều kiện 1, 2, 3 của nó giống tính chất độ dài hình học của vectơ hình học

Trang 29

1

1 : (Chuẩn tuyệt đối) (2.3.1)

 

2 1 1

Dễ dàng chỉ ra rằng các chuẩn trên thỏa mãn các điều kiện 1, 2, 3,…

Định nghĩa 2.3: Ta nói dãy vecto           k t

n k

k k

x x

Định nghĩa 2.4: Ta gọi chuẩn của ma trận A = [a ij] – ma trận

vuông cấp n, ký hiệu  là số không âm thỏa mãn các điều kiện sau:

i

Dễ dàng chỉ ra rằng ba dạng chuẩn trên thỏa mãn các điều kiện về

chuẩn; đồng thời ta cũng có:

Trang 30

26

m m

limTrong bài toán phần lớn thường có sự tham gia của cả ma trận và

vectơ

n i

n j

j

ij x a

, 1 1

Vấn đề đặt ra ở đây là: với điều kiện nào thì quá trình lặp (2.3.7)

hội tụ tới nghiệm đúng X* của phương trình (2.3.5) hoặc (2.3.6)

Trang 31

n

n n

2 22

21

1 12

Thì hệ (2.3.5) có nghiệm duy nhất là X* và dãy vectơ {X(k)} tính

theo công thức (2.3.7) sẽ hội tụ đến X* theo chuẩn tương đương:

Định lý 2.5: Nếu định lý 2.4 thỏa mãn thì nghiệm gần đúng X(k)

p k

(2.3.9) và (2.3.10) là các công thức đánh giá sai số của nghiệm gần đúng

08,004,0

915,0309,0

808,024,04

3 2 1

3 2

1

3 2

1

x x x

x x

x

x x

x

Trang 32

08,04

04,

93

15,03

09,

84

08,04

24,0

2 1

3

3 1

2

3 2

1

x x

x

x x

x

x x

05,0003,0

02,006,00

2



Ta thấy

0,08; 0,08; 0,03 0,08 1max

;

;max

3 1 3 3

1 2 3

j j



thỏa mãn điều kiện của quá trình lặp đơn

Chọn xấp xỉ đầu là X(0) = (0, 0, 0)t Thực hiện quá trình tính theo

Định dạng
Số trang	64
Dung lượng	560,83 KB