phương trình lagrange và phương pháp giải một số bài tập

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ PHƢỢNG PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƢỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ PHƢỢNG PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Ngƣời hƣớng dẫn: ThS. Ngô Đức Quyền Sơn La, năm 2014 LỜI CẢM ƠN Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo, giảng viên chính - Thạc sĩ Ngô Đức Quyền. Người đã tận tình hướng dẫn và giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này. Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin trường Đại họcTây Bắc đã trang bị cho em những kiến thức và tạo điều kiện cho em trong suốt thời gian học tập tại trường. Và em cũng xin cản ơn phòng Nghiên cứu khoa học và hợp tác quốc tế, thư viện nhà trường đã góp phần không nhỏ để em hoàn thành khóa luận. Và tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thành viên trong lớp K51 – ĐHSP Vật Lý đã đóng góp những ý kiến rất hay và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận. Em xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 6 năm 2014 Tác giả khóa luận Nguyễn Thị Phượng MỤC LỤC A. PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn đề tài 1 2. Mục đích 2 3. Nhiệm vụ 2 4. Giả thuyết khoa học 2 5. Đối tượng nghiên cứu 2 6. Phương pháp nghiên cứu 2 7. Đóng góp của khóa luận 2 B: PHẦN NỘI DUNG 3 CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3 1.1. Tổng quát 3 1.1.1. Tọa độ suy rộng 3 1.1.2. Dịch chuyển ảo 3 1.1.3. Công ảo 4 1.1.4. Liên kết lí tưởng 4 1.2. Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II 4 1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange 4 1.2.2 Phương trình lagrange loại II 4 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 8 2.1. Dao động của con lắc lò xo 8 2.1.1. Phương trình vi phân 8 2.1.2. Nghiệm của phương trình vi phân 9 2.1.3. Trường hợp suy biến 10 2.1.4.Vận dụng 10 2.2. Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo 15 2.2.1. Phương trình vi phân 15 2.2.2. Nghiệm của phương trình vi phân 16 2.2.3. Cộng hưởng 20 2.2.4. Vận dụng 23 2.3. Dao động của con lắc đơn 27 2.3.1. Dao động tự do của con lắc đơn 27 2.3.2. Dao động của con lắc đơn khi vật chịu thêm tác dụng của một lực lạ 28 2.3.3. Con lắc vật lý 34 2.3.4. Vận dụng 34 CHƢƠNG III: BÀI TẬP VỀ PHƢƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI 38 C: PHẦN KẾT LUẬN 42 TÀI LIỆU THAM KHẢO 43 1 A. PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian. Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung. Vì vậy cho đến hiện nay nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và kĩ thuật. Vào thế kỉ XVII, phép tính vi phân và tích phân phát triển mạnh mẽ. Người ta đã xây dựng được nguyên lý tổng quát của động lực học và sang thế kỉ XIX phương pháp giải tích hóa cơ học tiếp tục được phát triển, điều này dẫn đến hình thành nên lĩnh vực cơ học giải tích. Từ cuối thế kỉ XIX sang cả thế kỉ XX, cơ học lí thuyết phát triển rất mạnh mẽ. Quá trình này đã dẫn đến xuất hiện một lĩnh vực mới của cơ học ra đời đó là lí thuyết tương đối của nhà bác học vĩ đại Anhxtanh, một trong những đỉnh cao của trí tuệ loài người. Học thuyết này đã làm lay động quan niệm tách rời chuyển động với không gian và thời gian của Newton mà trái lại nó khẳng định tính hiện thực tương đối và phạm vi ứng dụng của cơ học Newton. Và như thế cơ học lí thuyết vẫn còn đầy đủ giá trị thực tiễn của nó. Chương trình môn Vật lí nói chung, môn Cơ học và lí thuyết nói riêng ở bậc đại học tương đối phong phú và đa dạng. Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương pháp toán lí. Chính vì vậy mà các sinh viên gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn Cơ học và lý thuyết tương đối. Nhiều sinh viên sau khi đã học xong môn Cơ học và lí thuyết tương đối đếu không thể vận dụng các kiến thức mới, phương pháp mới vào để giải các bài toán động lực học, đặc biệt là các bài tập về dao động và dao động điện. Hiện nay tại thư viện trường Đại học Tây Bắc có rất ít đề tài và khóa luận nghiên cứu về vấn đề này. Các giáo trình viết về vấn đề dao động thì sử dụng phương pháp dùng các định luật Newton, để xây dựng các kiến thức cần thiết. Trong các giáo trình đó đã trình bày phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài toán về dao động phương pháp này hay, ngắn gọn nhưng chưa mang tính khái quát cao. Sử dụng phương pháp ấy chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản, trong nhiều trường hợp không thể giải quyết được. Nhiều bài toán về phương trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận “Phương trình Lagrange và phương pháp giải một số bài tập”. Trong khóa luận này tôi đã 2 thống kê những kiến thức cơ bản về hàm Lagrange, bên cạnh đó để người đọc dễ hiểu thì tôi có dựa vào hàm Lagrange để giải một số các bài tập về dao động.Tôi mong rằng khóa luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên và các giáo viên giảng dạy môn vật lý ở trường phổ thông. 2. Mục đích Mục đích của khóa luận là giúp cho các bạn sinh viên hiểu sâu hơn về phần cơ học đại cương và phần dao động, nhằm phục vụ tốt cho việc học tập các môn: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ lý thuyết, Cơ học lượng tử. 3. Nhiệm vụ Nhiệm vụ của khóa luận là nghiên cứu nguyên lý Dalambert – Lagrange, các phương trình Lagrange loại II. Từ đó vận dụng nó để giải quyết các bài toán và xây dựng các kiến thức về dao động.Thông qua phần kiến thức được xây dựng, khóa luận này có vận dụng phương pháp giải tích để giải một số bài về dao động. 4. Giả thuyết khoa học Sự vận dụng nguyên lí Dalambert – Lagrange và các phương trình Lagrange loại II vào để giải một số bài tập còn rất khó khăn. Nếu đi sâu nghiên cứu một cách có hệ thống, quy trình vận dụng phương trình Lagrange loại II vào giải các bài tập cơ học, điện học thì chắc chắn sinh viên vật lí sẽ có khả năng vận dụng tốt các kiến thức của cơ học lí thuyết để giải các bài toán cơ, điện một cách triệt để. 5. Đối tƣợng nghiên cứu Đối tượng nghiên cứu là phương trình Lagrange loại II và các kiến thức về dao động. 6. Phƣơng pháp nghiên cứu Khóa luận này dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết để xây dựng một số kiến thức về dao động và sử dụng phương trình Lagrange loại II 7. Đóng góp của khóa luận Khóa luận này sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên chuyên nghành Vật lý để phục vụ cho học tập và là tài liệu tham khảo trong giảng dạy Khóa luận chỉ ra một số bài tập mà dùng phương pháp giản đồ vectơ không giải quyết được. 3 B: PHẦN NỘI DUNG CHƢƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1. Tổng quát 1.1.1. Tọa độ suy rộng Để khảo sát 1 cơ hệ ta cần chỉ ra được liên kết đặt lên cơ hệ. Liên kết này được biểu diễn bởi n phương trình 1 2 N f (r ,r , r ,t) 0, 1,2,3, ,n     (1.1) Nếu n phương trình này là độc lập thì trong số 3N tọa độ Descartes có s = 3N – n tọa độ độc lập Muốn xác định một cách đơn giá vị trí của cơ hệ cần phải xác định s thông số độc lập. Giả sử chúng ta tìm được s thông số 1 2 3 s q ,q ,q , q liên hệ với các véctơ i r (i 1,2,3 N) bởi các phương trình. i i 1 2 3 s r r (q ,q ,q , q ,t),i 1,2,3, N (1.2) Sao cho khi thay phương trình (1.2) vào phương trình (1.1) thì các phương trình này sẽ trở thành đồng nhất thức 1 2 N f (r ,r , r ,t) 0   Các thông số độc lập 1 2 3 s q ,q ,q , q gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu liên kết (1.1). 1.1.2. Dịch chuyển ảo Chất điểm M được xác định bởi véctơ i r . Sau một khoảng thời gian dt vô cùng bé chất điểm được xác định bởi véctơ ii r dr . Tập hợp các véctơ dịch chuyển vô cùng bé i dr được gọi là những dịch chuyển khả dĩ. Giả sử tại thời điểm t ta lấy hai hệ thống véctơ dịch chuyển khả dĩ i dr và i dr ' . Hiêụ của hai véctơ i dr và i dr ' là một véc tơ vô cùng bé và được kí hiệu bằng i r Tập hợp những véctơ i r = i dr - i dr ' gọi là những véctơ dịch chuyển ảo. 4 1.1.3. Công ảo Công ảo là một đại lượng vật lý được xác định bởi công thức: NN i i ix i iy yi iz zi i 1 i 1 A R r (R x R R )            (1.3) Trong đó i R là những phản lực kiên kết đặt lên cơ h 1.1.4. Liên kết lí tƣởng Liên kết được gọi là liên kết lí tưởng nếu tổng công ảo của những phản lực liên kết đặt lên cơ hệ đối với mọi dịch chuyển ảo bằng không, nghĩa là: NN i i ix i iy yi iz zi i 1 i 1 R r (R x R R )          = 0 (1.4) 1.2. Lí thuyết về phƣơng trình Lagrange loại II 1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange Xét cơ hệ gồm N chất diểm chịu những lực kiên kết lí tưởng đặt lên nó, phương trình chuyển động của chất điểm i trong cơ hệ có dạng. i i i i i i i i m a F R m a F R     Nhân hai vế của phương trình trên với i r ta nhận được i i i i i i (m a F) r R r    Phương trình chuyển động của tất cả các chất điểm trong cơ hệ N i i i i i1 (m a F) r 0      Theo điều kiện (1.4) ta có : N i i i i i1 (m a F) r 0      (1.5) (1.5) được gọi là biểu thức của nguyên lý Dalambert – Lagrange 1.2.2 Phƣơng trình lagrange loại II - Khảo sát hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt trên cơ hệ được biểu diễn bằng n phương trình: 1 2 N f (r ,r , r ,t) 0, 1,2,3, ,n     - Số bậc tự do của cơ hệ : s 3N n 5 - Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng 1 2 3 s q ,q ,q , q . Các bán kính véctơ i r là hàm của 1 2 3 s q ,q ,q , q và t: i i 1 2 3 s r r (q ,q ,q , q ,t),i 1,2, N - Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – lagrange ta thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng. - Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo i r qua biến phân của tọa độ suy rộng. - Giả sử các tọa độ suy rộng kk q q (t, ) , trong đó t là biến số thời gian,  là thông số thực Khi 0 thì kk q (t,0) q (t) xác định vị trí thực của cơ hệ Khi 0 thì tọa độ suy rộng k q (t, ) xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó. Dạng k q thay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số  thay đổi - Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng k q (t) là đại lượng thực được xác định bằng công thức: k k k k q q (t) q (t, ) q (t, )            - Tương tự ta có biến phân của i r : i i i i r r r (t, ) r (t, )            (1.6) - Vì bán kính véctơ i r phụ thuộc  qua hàm k q (t, ) nên ta có: ss i i k i ik k 1 k 1 kk r r q r rq qq                  (1.7) - Đặt biểu thức của i r từ (1.7) vào (1.5) ta nhận được s k k k k1 (Z Q ) q 0      (1.8) Trong đó : NN ii k i k i i i 1 i 1 kk rr Q F ,Z m a ,(k 1,2,3, s) qq        [...]... thuộc vào q k và thời gian t, U  U  q1,q 2 ,q3 , q s,t  Do T   T  U  U   0 nên ta có : q k q k q k - Như vậy phương trình (1.14) bây giờ có dạng d L L  0 dt q k q k (1.16) Trong đó L = T-U là hàm Lagrange của hệ Các phương trình (1.14) và (1.16) chính là phương trình Lagrange loại II của hệ 7 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 2.1 Dao động của con lắc lò xo Bài toán Xét một. .. phương trình này thì phương pháp giản đồ không tìm ra được nghiệm Ta phải dùng phương pháp giải tích để giải và trong khuôn khổ của khóa luận ta chỉ giải các phương trình vi phân bằng phương pháp giải tích 16      2m - Đặt:  2  k  0 m  F0e bt - Khi đó phương trình (3.5)  x  2x   x  coscost (3.6) m 2 - Phương trình thuần nhất tương ứng: x  2x  0 x  0 2 0 - Nghiệm tổng quát của phương. .. Nghiệm của phương trình vi phân và các đại lượng đặc trưng Nghiệm của phương trình (4.1) có dạng:    sin  0 t  0  0  g 2 l là tần số góc; T  là chu kì dao động  2 0 g l 2.3.2 Dao động của con lắc đơn khi vật chịu thêm tác dụng của một lực lạ  Lực tác dụng không đổi theo phương ngang Bài toán Treo một con lắc đơn gồm một vật nặng khối lượng m, sợi dây có chiều dài l vào trần một toa tàu... tưởng thì hệ số nhớt   0 Khi đó phương trình vi 2 phân (2.1) có dạng: x  0 x  0 (2.9) Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân của dao động điều hòa - Từ (2.3), suy ra nghiệm của phương trình dao động điều hòa có dạng: x  A0 sin  t  0  Trong đó: 0  T0  k gọi là tần số góc dao dộng riêng của hệ m 2 m gọi là chu kì dao động của hệ  2 0 k 2.1.4.Vận dụng Bài tập 1 Cho hệ dao...  0       Q  kx  x 8 - Phương trình Lagrange loại II có dạng: d T T  Q dt x x Hay mx  kx  x  mx  x  kx  0  x  - Đặt    k x x0 m m  2 k 2 , 0   x  2x  0 x  0 2m m (2.1) (2.1) chính là phương trình vi phân của dao động tắt dần 2.1.2 Nghiệm của phƣơng trình vi phân - Đặt x  Cert , thay x vào phương trình (2.1) ta có phương trình đặc trưng 2 r 2  2r  0 ... lực suy rộng Q có dạng: Q  mg  F0 l.cost - Phương tình Lagrange loại II có dạng: d T T  Q dt   (4.3) g F  ml2  mgl  F0l.cost       0 cost l ml b Nghiệm của phương trình vi phân g - Phương trình thuần nhất:     0 l - Nghiệm tổng quát của phương trình thuần nhất: 1   sin(0 t  0 ) với 2 0  g l - Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng: 2  C1cost ... Nghiệm của phương trình này có dạng 2 x1  et  D1cost  D2 sin t  với   0  2 * Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng: x 2  Acost  Bsin t  x  A sin t  Bcost - Ta có:  2 2  x  A cost  B sin t - Thay x và x vào phương trình không thuần nhất ta được:   A   A  2 cost     2 0 2 2 0  2  B  2  sin t   F0 sin t m - Đồng nhất hệ số ta có:... động của con lắc đơn 2.3.1 Dao động tự do của con lắc đơn Bài toán Xét một con lắc đơn gồm một vật nặng có khối lượng m buộc vào đầu một sợi dâ không dãn độ dài l, khối lượng sợi dây nhỏ không đáng kể, đầu còn lại của sợi dây được buộc vào một điểm cố định Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân bằng rồi buông nhẹ Tìm quy luật dao động của con lắc? a Phương trình vi phân - Chọn hệ trục tọa độ gồm mặt phẳng xOy... Động năng của hệ là: T  mx 2 2 1 1 k - Hàm Lagrange của hệ : L  T  U  mx 2  x2 2 2 2 tan 0 - Phương trình Lagrange loại II của hệ Hay mx  2 - Đặt 0  d L L  0 dt x x k k 1 x0x x0 2 tan 0 m tan 2 0 k 1 2  x  0 x  0  vật m dao động điều hòa 2 m tan 0 2 Tần số và chu kì dao động: 0  1 tan  0 k 2 ;T  m 0 2 1 tan  0 m k Bài tập 3 Một mạch điện gồm hai dây dẫn song song, được... Fcosl  - Phương trình Lagrange loại II: d T T  Q dt   - Thay Q và T vào phương trình trên ta được: ml2  mglsin   Flcos  g F    sin   cos  0 l ml g   2  k 2 cos  a  0 1       2  k 2  sin cos0  cos sin 0    0 Đặt:  F 2 2  l     k sin 0  b  m 2  k 2   sin    0   0 l - Nếu    0  nhỏ thì sin    0      0  - Khi đó phương trình . Lagrange và các phương trình Lagrange loại II vào để giải một số bài tập còn rất khó khăn. Nếu đi sâu nghiên cứu một cách có hệ thống, quy trình vận dụng phương trình Lagrange loại II vào giải. trường hợp không thể giải quyết được. Nhiều bài toán về phương trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận Phương trình Lagrange và phương pháp giải một số bài tập . Trong khóa luận. 1.2. Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II 4 1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange 4 1.2.2 Phương trình lagrange loại II 4 CHƢƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƢƠNG PHÁP GIẢI 8 2.1. Dao động