BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC NGUYỄN THỊ PHƯỢNG PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Sơn La, năm 2014... BỘ GIÁO DỤC V
Trang 1BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ PHƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Sơn La, năm 2014
Trang 2BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC
NGUYỄN THỊ PHƯỢNG
PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƯƠNG PHÁP
GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP
Chuyên ngành: Vật lí lí thuyết
KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC
Người hướng dẫn: ThS Ngô Đức Quyền
Sơn La, năm 2014
Trang 3LỜI CẢM ƠN
Em xin bày tỏ lòng cảm ơn chân thành và sâu sắc nhất đến thầy giáo,
giảng viên chính - Thạc sĩ Ngô Đức Quyền Người đã tận tình hướng dẫn và
giúp đỡ em hoàn thành khóa luận này
Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin trường Đại họcTây Bắc đã trang bị cho em những kiến thức và tạo điều kiện cho
em trong suốt thời gian học tập tại trường Và em cũng xin cản ơn phòng Nghiên cứu khoa học và hợp tác quốc tế, thư viện nhà trường đã góp phần không nhỏ để
em hoàn thành khóa luận
Và tôi cũng xin gửi lời cám ơn đến các thành viên trong lớp K51 – ĐHSP Vật Lý đã đóng góp những ý kiến rất hay và giúp đỡ tôi trong quá trình hoàn thành khóa luận
Em xin chân thành cảm ơn!
Sơn La, tháng 6 năm 2014
Tác giả khóa luận
Nguyễn Thị Phượng
Trang 4
MỤC LỤC
A PHẦN MỞ ĐẦU 1
1 Lý do chọn đề tài 1
2 Mục đích 2
3 Nhiệm vụ 2
4 Giả thuyết khoa học 2
5 Đối tượng nghiên cứu 2
6 Phương pháp nghiên cứu 2
7 Đóng góp của khóa luận 2
B: PHẦN NỘI DUNG 3
CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3
1.1 Tổng quát 3
1.1.1 Tọa độ suy rộng 3
1.1.2 Dịch chuyển ảo 3
1.1.3 Công ảo 4
1.1.4 Liên kết lí tưởng 4
1.2 Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II 4
1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange 4
1.2.2 Phương trình lagrange loại II 4
CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 8
2.1 Dao động của con lắc lò xo 8
2.1.1 Phương trình vi phân 8
2.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân 9
2.1.3 Trường hợp suy biến 10
2.1.4.Vận dụng 10
2.2 Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo 15
2.2.1 Phương trình vi phân 15
2.2.2 Nghiệm của phương trình vi phân 16
Trang 52.2.3 Cộng hưởng 20
2.2.4 Vận dụng 23
2.3 Dao động của con lắc đơn 27
2.3.1 Dao động tự do của con lắc đơn 27
2.3.2 Dao động của con lắc đơn khi vật chịu thêm tác dụng của một lực lạ 28
2.3.3 Con lắc vật lý 34
2.3.4 Vận dụng 34
CHƯƠNG III: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI 38
C: PHẦN KẾT LUẬN 42
TÀI LIỆU THAM KHẢO 43
Trang 6A PHẦN MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung Vì vậy cho đến hiện nay
nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và kĩ thuật
Vào thế kỉ XVII, phép tính vi phân và tích phân phát triển mạnh mẽ Người ta đã xây dựng được nguyên lý tổng quát của động lực học và sang thế kỉ XIX phương pháp giải tích hóa cơ học tiếp tục được phát triển, điều này dẫn đến hình thành nên lĩnh vực cơ học giải tích
Từ cuối thế kỉ XIX sang cả thế kỉ XX, cơ học lí thuyết phát triển rất mạnh
mẽ Quá trình này đã dẫn đến xuất hiện một lĩnh vực mới của cơ học ra đời đó là
lí thuyết tương đối của nhà bác học vĩ đại Anhxtanh, một trong những đỉnh cao của trí tuệ loài người Học thuyết này đã làm lay động quan niệm tách rời chuyển động với không gian và thời gian của Newton mà trái lại nó khẳng định tính hiện thực tương đối và phạm vi ứng dụng của cơ học Newton Và như thế
cơ học lí thuyết vẫn còn đầy đủ giá trị thực tiễn của nó
Chương trình môn Vật lí nói chung, môn Cơ học và lí thuyết nói riêng ở bậc đại học tương đối phong phú và đa dạng Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương pháp toán lí Chính vì vậy mà các sinh viên gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn Cơ học và lý thuyết tương đối Nhiều sinh viên sau khi đã học xong môn Cơ học và lí thuyết tương đối đếu không thể vận dụng các kiến thức mới, phương pháp mới vào để giải các bài toán động lực học, đặc biệt là các bài tập về dao động và dao động điện
Hiện nay tại thư viện trường Đại học Tây Bắc có rất ít đề tài và khóa luận nghiên cứu về vấn đề này Các giáo trình viết về vấn đề dao động thì sử dụng phương pháp dùng các định luật Newton, để xây dựng các kiến thức cần thiết Trong các giáo trình đó đã trình bày phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài toán về dao động phương pháp này hay, ngắn gọn nhưng chưa mang tính khái quát cao Sử dụng phương pháp ấy chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản, trong nhiều trường hợp không thể giải quyết được Nhiều bài toán về phương
trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận “Phương trình
Lagrange và phương pháp giải một số bài tập” Trong khóa luận này tôi đã
Trang 7thống kê những kiến thức cơ bản về hàm Lagrange, bên cạnh đó để người đọc dễ hiểu thì tôi có dựa vào hàm Lagrange để giải một số các bài tập về dao động.Tôi mong rằng khóa luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên
và các giáo viên giảng dạy môn vật lý ở trường phổ thông
2 Mục đích
Mục đích của khóa luận là giúp cho các bạn sinh viên hiểu sâu hơn về phần cơ học đại cương và phần dao động, nhằm phục vụ tốt cho việc học tập các môn: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ lý thuyết, Cơ học lượng tử
4 Giả thuyết khoa học
Sự vận dụng nguyên lí Dalambert – Lagrange và các phương trình Lagrange loại II vào để giải một số bài tập còn rất khó khăn Nếu đi sâu nghiên cứu một cách
có hệ thống, quy trình vận dụng phương trình Lagrange loại II vào giải các bài tập cơ học, điện học thì chắc chắn sinh viên vật lí sẽ có khả năng vận dụng tốt các kiến thức của cơ học lí thuyết để giải các bài toán cơ, điện một cách triệt để
5 Đối tượng nghiên cứu
Đối tượng nghiên cứu là phương trình Lagrange loại II và các kiến thức
về dao động
6 Phương pháp nghiên cứu
Khóa luận này dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết để xây dựng một
số kiến thức về dao động và sử dụng phương trình Lagrange loại II
7 Đóng góp của khóa luận
Khóa luận này sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên chuyên nghành Vật lý để phục vụ cho học tập và là tài liệu tham khảo trong giảng dạy
Khóa luận chỉ ra một số bài tập mà dùng phương pháp giản đồ vectơ không giải quyết được
Trang 8B: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Tổng quát
Trang 91.2 Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II
1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange
Xét cơ hệ gồm N chất diểm chịu những lực kiên kết lí tưởng đặt lên nó,
phương trình chuyển động của chất điểm i trong cơ hệ có dạng
(1.5) được gọi là biểu thức của nguyên lý Dalambert – Lagrange
1.2.2 Phương trình lagrange loại II
- Khảo sát hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt trên cơ hệ được biểu diễn bằng
n phương trình: f (r , r , r , t) 1 2 N 0, 1, 2,3, , n
- Số bậc tự do của cơ hệ : s3Nn
Trang 10- Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng q ,q ,q , q Các bán 1 2 3 skính véctơ rilà hàm của q ,q ,q , q và t: 1 2 3 s ri r (q ,q ,q , q , t),i 1,2, Ni 1 2 3 s
- Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – lagrange ta thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng
- Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo ri qua biến phân của tọa độ suy rộng
- Giả sử các tọa độ suy rộng qk q (t, )k , trong đó t là biến số thời gian,
là thông số thực
Khi 0 thì q (t,0)k q (t)k xác định vị trí thực của cơ hệ
Khi 0 thì tọa độ suy rộng q (t, )k xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó
Dạng qkthay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số thay đổi
- Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng q (t)k là đại lượng thực được xác định bằng công thức:
Trang 11- Công nguyên tố của những hoạt lực đối với mọi dịch chuyển ảo bằng:
Đại lượng Q gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng k
- Biến đổi Z về dạng thuận tiện hơn ta được: k
- Vì các biến phân qklà độc lập tùy ý và khác không nên biểu thức (1.8) chỉ thỏa mãn khi tất cả các nhân tử của qktrong biểu thức đó bằng không, nghĩa là:
Trang 12- Nếu hoạt lực Fi tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì giữa năng lượng tương tác
của cơ hệ U r , r , r 1 2 Nvà lực thế liên hệ với nhau bằng hệ thức: i
i
UF
Trong đó L = T-U là hàm Lagrange của hệ
Các phương trình (1.14) và (1.16) chính là phương trình Lagrange loại II của hệ
Trang 13CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI
2.1 Dao động của con lắc lò xo
Bài toán
Xét một con lắc lò xo gồm 1 vật nặng có khối lượng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định Khối lượng của lò
xo nhỏ không đáng kể Con lắc được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang, hệ
số ma sát giữa vật và mặt phẳng coi như không đáng kể Đặt hệ thống trong một môi trường có hệ số nhớt Kích thích để con lắc dao động.Hãy khảo sát
sự dao động của con lắc nói trên, biết rằng lực cản tác dụng lên vật tỉ lệ với vận tốc Fc x
+ Lực cản của môi trường: Fc x
- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo r
Trang 14- Phương trình Lagrange loại II có dạng: d T T Q
(2.1) chính là phương trình vi phân của dao động tắt dần
2.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân
- Đặt xCert, thay x vào phương trình (2.1) ta có phương trình đặc trưng
ma sát lớn
- Nếu ' 0 2 km thì nghiệm của (2.2) là: r1 r2
- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng: t
x C C t e
- Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời x0 khi t0.Trường hợp này
x0chậm hơn trường hợp ' 0 Người ta gọi quá trình này là quá trình tới hạn
- Nếu ' 0 2 km thì nghiệm của phương trình (2.2) là:
Trang 15- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:
e cos t isin t; e cos t isin t
- Khi đó x được viết dưới dạng:
x C C e cos t C C e sin t e D cos t D sin t
Với D1 C1C ; D2 2 C1C i2 , trong đó D ,D là các hằng số tùy ý 1 2
- Đặt:
i t 1
Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân của dao động điều hòa
- Từ (2.3), suy ra nghiệm của phương trình dao động điều hòa có dạng:
M là I, bán kính ròng rọc là R, sợi dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở trục
ròng rọc là không đáng kể Khối lượng của vật là m, độ cứng của lò xo là k
Trang 17ở 4 đỉnh Tại vị trí cân bằng, khung có dạng hình thoi, góc ở đỉnh là 20 Bóp nhẹ hai đầu BD rồi thả ra
1 Chứng minh vật dao động điều hòa? Biết rằng độ biến dạng của lò xo nhỏ hơn rất nhiều so với AB
2 Lập biểu thức tần số và chu kì dao động?
hệ có một bậc tự do, vật chỉ dao động theo trục.
- Chọn q = x là tọa độ của hệ, gốc tọa độ và gốc
thế năng tại vị trí cân bằng
Với l0 là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng
* Khi vật m có li độ x thì lò xo biến dạng một đoạn x’
- Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: l1 2ABsin0
- Chiều dài của lò xo khi ở li độ x: l2 2ABsin
Trong đó 2 là góc tại đỉnh A khi vật ở li độ x
- Độ biến dạng của lò xo khi vật ở li độ x:
x’=l1 l2 2AB sin 0 sin (*)
- Li độ x của vật được xác định bởi:
x2AB cos cos (**)
Trang 18Một mạch điện gồm hai dây dẫn song song, được nối với nhau nhờ cuộn
dây có độ tự cảm L và một thanh có khối lượng m có thể trượt tự do không ma
sát trên các dây dẫn Các dây dẫn nằm trong mặt phẳng nằm ngang trong từ trường thẳng đứng đồng nhất có cảm ứng từ B Khoảng cách giữa hai dây dẫn
Trang 19là l, điện trở của mạch nhỏ không đáng kể Tại thời điểm t = 0 người ta truyền
cho thanh vận tốc v về phía phải Hãy tìm quy luật chuyển động x(t) của nó ? 0
x GIẢI
- Khi thanh chuyển động, từ thông qua khung dây biến thiên:
Trang 20Hay iBl x = Qδx Lực suy rộng:Q = iBl =
2 2
B l xL
- Nghiệm của phương trình vi phân có dạng: x = Asin 0t
- Điều kiện ban đầu:
0 o
0
0
vA
v
x sin t
Blml
2.2.1 Phương trình vi phân
- Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy
trùng với mặt phẳng hình vẽ
(trục Ox thẳng đứng hướng xuống dưới )
và trục Oz vuông góc với mặt phẳng xOy
Trang 21- Chọn q = x là tọa đô suy rộng
+ Lực cản của môi trường: Fc x
- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo r :
Ta luôn có điều này trong suốt quá trình dao động
- Vì vậy biểu thức của lực suy rộng là: Q kx x F cos
- Phương trình Lagrange của hệ: d T T Q
Fk
2.2.2 Nghiệm của phương trình vi phân
- Giả sử biểu thức của lực cưỡng bức có dạng : FF e cos t0 bt
- Khi đó phương trình vi phân (3.1) có dạng:
bt 0
Trang 22- Đặt:
2 0
2mkm
- Phương trình thuần nhất tương ứng: x 2 x 20x 0
- Nghiệm tổng quát của phương trình này đã giải ở chương II và có dạng:
1 2
t C e C e 1
x e D cos t D sin t nếu ' 0 2 km
Với D ,D là các hằng số thực tùy ý, được xác định dựa vào điều kiện 1 2ban đầu Nghiệm trong các trường hợp 2 km không có ý nghĩa thực tế nên
ta không xét đến trường hợp này.Ta chỉ xét trường hợp, và khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất mà ta xét là:
Trang 23- Thay x và x vào phương trình (3.6), ta được:
Trang 24+ Nếu lực cưỡng bức có phương trùng với phương dao dộng thì nghiệm
của phương trình (3.2) lại có dạng:
Khi đó phương trình vi phân có dạng (3.3)
Nghiệm tổng quát của phương trình này là:
* Giai đoạn chuyển tiếp và giai đoạn ổn định
- Nếu xét biểu thức của lực cưỡng bức có dạng FF cos t0 Thì nghiệm của phương trình vi phân (3.2) là:
Trong khoảng thời gian ngắn (gọi là giai đoạn chuyển tiếp) dao động của
hệ là sự chồng chập hai dao động; dao động tự do được biểu diễn bằng x , dao 1động cưỡng bức được biểu diễn bằng x Sau giai đoạn chuyển tiếp, dao động tự 2
do của hệ gần như tắt dần, dao dộng của hệ chỉ còn là dao động cưỡng bức x 2Người ta gọi giai đoạn này là giai đoạn ổn định
Trang 252.2.3 Cộng hưởng
a Cộng hưởng li độ
Xét bài toán dao động cưỡng bức của một vật trong môi trường nhớt dưới tác dụng của lực cưỡng bức có dạng FF cos t0 và phương của lực cưỡng bức hợp với phương dao động một góc
- Khi vật chỉ dao động cưỡng bức thì li độ dao động có biểu thức:
2 0 22 2 2 0
0
F cosA( )
2m2m
Trang 26độ của dao động cưỡng bức tăng
Người ta gọi hiện tượng tăng đột ngột của biên độ là hiện tượng cộng hưởng
Định nghĩa: Hiện tượng tăng đột ngột biên độ của li độ trong dao động
cưỡng bức khi tần số của ngoại lực biến thiên và dần tới giá trị
0 2
- Tần số 20 2 2 gọi là tần số cộng hưởng, kí hiệu là ch
- Biên độ cực đại ứng với tần số cộng hưởng là:
Trang 27 20 2 - tần số góc quy ước
- Nếu lực ma sát rất nhỏ, 0 2 kmđây là công thức gần đúng
đã được thừa nhận ở THPT Trong trường hợp này, độ lệch pha giữa li độ và ngoại lực cưỡng bức là:
V, là biên độ và độ lệch pha của vận tốc so
với ngoại lực cưỡng bức
- Đặt:
2 0 2 2 2 0
F cosg