sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong đại số

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ LUYÊN SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC SƠN LA, THÁNG 5 NĂM 2013 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC TÂY BẮC TRẦN THỊ LUYÊN SỬ DỤNG SỐ PHỨC VÀO GIẢI MỘT SỐ BÀI TOÁN TRONG ĐẠI SỐ CHUYÊN NGÀNH: ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Người hướng dẫn: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh SƠN LA, THÁNG 5 NĂM 2013 LỜI CẢM ƠN Tôi xin bày tỏ lòng biết ơn chân thành tới thầy giáo: GVC.TS Hoàng Ngọc Anh đã tận tình giúp đỡ và hướng dẫn tôi trong quá trình thực hiện khóa luận này. Tôi cũng xin gửi lời cảm ơn tới các thầy giáo, cô giáo trong khoa Toán – Lý – Tin, phòng Đào tạo, Thư viện trường Đại học Tây Bắc đã tạo điều kiện giúp đỡ tôi trong suốt quá trình thực hiện khóa luận. Đồng thời tôi cũng xin gửi lời cảm ơn chân thành tới các bạn sinh viên trong tập thể lớp K50 - ĐHSP Toán đã động viên, đóng góp ý kiến, giúp đỡ tôi thực hiện và hoàn thành khóa luận. Tôi rất mong nhận được sự đóng góp ý kiến của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên để khóa luận của tôi thêm hoàn thiện. Tôi xin chân thành cảm ơn! Sơn La, tháng 5 năm 2013 Người thực hiện khóa luận Trần Thị Luyên MỤC LỤC PHẦN MỞ ĐẦU 1 1. Lý do chọn khoá luận 1 2. Mục đích nghiên cứu 1 3. Nhiệm vụ nghiên cứu 1 4. Giả thiết khoa học 1 5. Đối tượng nghiên cứu 1 6. Phương pháp nghiên cứu 2 7. Đóng góp của khoá luận 2 8. Cấu trúc của khoá luận 2 PHẦN NỘI DUNG 3 Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC 3 1.1. Định nghĩa số phức 3 1.1. Dạng đại số của số phức 4 1.1.1. Xây dựng số i 4 1.2.2. Các phép toán trên dạng đại số 4 1.1.2. Số phức liên hợp và môđun của số phức 5 1.2. Dạng lượng giác của số phức 8 1.2.1. Biểu diễn lượng giác của số phức 8 1.2.2. Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức 8 1.3. Căn bậc n của số phức và biểu diễn hình học của số phức 9 1.3.1. Căn bậc n của số phức 9 1.3.2. Biểu diễn hình học của số phức 10 Chương 2. MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 11 2.1. Ứng dụng trong phương trình 11 2.1.1. Phương trình bậc hai 11 2.1.1.1. Giải phương trình bậc hai 11 2.1.1.2. Bài toán liên quan đến nghiệm phức của phương trình bậc hai 13 2.1.2. Phương trình bậc ba 15 2.1.3. Phương trình bậc bốn 21 2.1.3.1. Phương trình bậc bốn dạng 42 z az bz c 0    21 2.1.3.2. Phương trình bậc bốn dạng 4 3 2 z az bz cz d 0.     25 2.1.3.3. Phương trình hồi quy 27 2.2. Ứng dụng trong việc giải hệ phương trình 30 2.3. Ứng dụng trong việc chứng minh bất đẳng thức 38 2.4. Ứng dụng trong việc tính tổng các biểu thức chứa k n C 42 2.4.1. Khai triển n (1 x) , cho x nhận những giá trị thích hợp hoặc khai triển trực tiếp các số phức 42 2.4.2. Khai triển (1 + x) n , đạo hàm hai vế theo x sau đó cho x nhận giá trị là những số phức thích hợp 46 2.4.3. Khai triển (1 + x) n , cho x nhận giá trị là các căn bậc ba của đơn vị 49 KẾT LUẬN 52 TÀI LIỆU THAM KHẢO 53 1 PHẦN MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn khoá luận Số phức ra đời do nhu cầu phát triển của Toán học về giải những phương trình đại số. Từ khi ra đời số phức đã thúc đẩy Toán học phát triển mạnh mẽ và giải quyết được nhiều vấn đề của khoa học và kĩ thuật. Đối với học sinh bậc Trung học phổ thông thì số phức là một nội dung còn mới mẻ.Với thời lượng không nhiều, học sinh mới chỉ biết được những kiến thức còn rất cơ bản của số phức. Việc khai thác các ứng dụng của số phức còn hạn chế, đặc biệt việc sử dụng số phức như một phương tiện để giải các bài toán Đại số là một vấn đề khó, đòi hỏi học sinh phải có năng lực giải toán nhất định, biết vận dụng kiến thức đa dạng của Toán học. Có nhiều tài liệu nghiên cứu về số phức nhưng tài liệu ứng dụng số phức trong Đại số thì chưa nhiều và chưa đưa ra đầy đủ về một vấn đề cụ thể mà chỉ trên cơ sở lí thuyết chung chung và tổng quát. Với mong muốn tổng hợp lại một số kiến thức cơ bản về số phức và trên cơ sở đó tìm hiểu sâu hơn một số ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán Đại số, do đó chúng tôi đã chọn khoá luận: “Sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số”. 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách xây dựng trường số phức, một số khái niệm, tính chất cơ bản của số phức. Từ đó nghiên cứu việc ứng dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số nhằm giúp chúng ta thấy được ý nghĩa quan trọng của số phức trong Toán học nói chung và trong Đại số nói riêng. 3. Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu kỹ cơ sở lý thuyết của số phức, sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể, sử dụng các kết quả của chúng vào giải một số bài toán Đại số ở phổ thông bằng nhiều phương pháp khác nhau. 4. Giả thiết khoa học Nếu biết cách phân loại các bài toán trong Đại số và sử dụng số phức hợp lý sẽ giúp học sinh giải các bài toán Đại số một cách đơn giản và dễ dàng hơn. 5. Đối tượng nghiên cứu - Nghiên cứu một số vấn đề liên quan đến số phức, xây dựng trường số phức, khái niệm, tính chất, các dạng biểu diễn của số phức. 2 - Nghiên cứu các bài toán Đại số có thể sử dụng số phức để giải được. 6. Phương pháp nghiên cứu - Nghiên cứu tài liệu. - Phân tích, tổng hợp các kiến thức. - Kinh nghiệm bản thân, trao đổi thảo luận với giáo viên hướng dẫn. 7. Đóng góp của khoá luận Khoá luận sau khi hoàn thành sẽ làm tài liệu tham khảo cho sinh viên chuyên ngành Toán và Giáo viên phổ thông. 8. Cấu trúc của khoá luận Khoá luận gồm phần mở đầu, phần nội dung và phần kết luận. Phần nội dung bao gồm các chương sau: Chương 1: Xây dựng trường số phức. Chương 2: Sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số. 3 PHẦN NỘI DUNG Chương 1. XÂY DỰNG TRƯỜNG SỐ PHỨC 1.1. Định nghĩa số phức Xét tập 2 x {(x,y)| x, y }.   Hai phần tử 2 1 1 2 2 (x ;y );(x ;y ) được gọi là bằng nhau nếu và chỉ nếu 1 2 1 2 x x ;y y . Ta xây dựng phép toán trong 2 như sau: 2 x {(x,y)| x, y }.   2 1 1 1 2 2 2 z (x ;y );z (x ;y )    . Phép cộng: 1 2 1 2 1 2 z z (x x ;y y )    Phép nhân: 1 2 1 2 1 2 z z (x x ;y y )    Định nghĩa 1.1.1. Tập 2 cùng với hai phép toán cộng và nhân được định nghĩa như trên gọi là tập số phức , phần tử (x;y) gọi là một số phức. Định nghĩa 1.1.2. ( , ,.) là một trường. Chứng minh 1 1 1 2 2 2 3 3 3 z (x ;y ); z (x ;y ); z (x ;y );z (x;y)      , ta có: (i) 1 2 2 1 z z z z   . (2i) 1 2 3 1 2 3 (z z ) z z (z z )     (3i) (0;0) :z z z       . (4i) z ( x; y) :z ( z) ( z) z             . (5i) 1 2 2 1 z z z z . (6i) 1 2 3 1 2 3 (z z )z z (z z ) (7i)  1 phần tử 1 (1;0) :1.z z.1 z    (8i) 11 2 2 2 2 xy z 0; z ; :z.z 1 x y x y             . (9i) 1 2 3 1 2 1 3 z (z z ) z z z z   . Vậy ( , ,.) là một trường. 4 1.1. Dạng đại số của số phức 1.1.1. Xây dựng số i Xét tương ứng   f : x 0 x f(x) (x;0) Ta thấy f là một ánh xạ và là một song ánh. Mặt khác, ta có: (x;0) (y;0) (x y;0)   (x;0)(y;0) (x;y) 0 . Vì f là một song ánh nên ta có thể đồng nhất (x;0) x . Đặt i (0;1) khi đó ta có z (x;y) (x;0) (0;y) (x;0) (0;y)(0;1) x yi (x;0) (0;1)(0;y) x iy            Mỗi số phức z tuỳ ý thì z (x;y) có thể biểu diễn duy nhất dưới dạng z x yi ( x;y )    và trong đó 2 i1 . Biểu thức x yi gọi là dạng đại số của số phức z (x;y) . Vì vậy ta có thể viết   2 x yi | x,y ,i 1    . Kí hiệu số phức z x yi ( x;y )    . Trong đó: x Rez gọi là phần thực của số phức z . y Imz gọi là phần ảo của số phức z . i gọi là đơn vị ảo. Nếu số phức có phần thực x0 gọi là thuần ảo. Hai số phức 12 z ,z gọi là bằng nhau nếu 12 Rez Rez và 12 Imz Imz . Số phức z nếu và chỉ nếu Imz 0 . Số phức z\ nếu Imz 0 . 1.2.2. Các phép toán trên dạng đại số   2 x yi | x,y ,i 1    1 1 1 2 2 2 z (x y i); z (x y i)      , ta có: 5 (i) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z (x y i) (x y i) (x x ) (y y )i,         1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 z z (x y i) (x y i) (x x ) (y y )i,         (ii) 1 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 2 1 z z (x y i)(x y i) (x x y y ) (x y x y )i       , (iii) 1 1 1 1 2 1 2 2 1 1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 z x y i x x y y x y x y i z x y i x y x y          ; trong đó 22 22 x y 0 . 1.1.2. Số phức liên hợp và môđun của số phức Định nghĩa 1.2.2. Cho số phức z x yi ( x;y )    số phức có dạng x yi được gọi là số phức liên hợp của số phức z , kí hiệu z , nghĩa là z x yi . Mệnh đề 1.2.3. 1. z z z .   2. z z. 3. z.z là số thực không âm. 4. 1 2 1 2 z z z z   . 5. 1 2 1 2 z .z z .z . 6. 11 z (z)   ; * z . 7. * 11 2 2 2 zz ,z z z       . Chứng minh 1. Ta có z z x yi x yi 2yi 0 y 0 z x z .             Vậy z z z .   2. Ta có z x yi z x yi z      . Vậy z z. 3. Ta có 2 2 * z.z (x yi)(x yi) x y      . Vậy z.z là số thực không âm. 4. Ta có 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 z z (x x ) (y y )i (x x ) (y y )i         1 1 2 2 1 2 (x y i) (x y i) z z      [...]... của số phức Định nghĩa 1.4.4 Điểm M(x; y) trong mặt phẳng Oxy được gọi là điểm biểu diễn hình học của số phức z  x  yi Số phức z  x  yi gọi là toạ độ phức của điển M(x; y) Kí hiệu M(z) để chỉ toạ độ phức của điểm M là z Số phức được biểu diễn trên mặt phẳng toạ độ gọi là mặt phẳng phức Ngoài ra, trên mặt phẳng phức ta đồng nhất số phức z  x  yi với v  OM, M(x; y) Định nghĩa 1.4.5 Cho số phức. .. rei gọi là biểu diễn số phức dưới dạng mũ Nếu z1  r1ei và z2  r2ei thì ta có: 1 2 z1z2  r1r2ei(   ) 1 1 z1 r1 i(   ) , r2  0  e z 2 r2 1 1 1.3 Căn bậc n của số phức và biểu diễn hình học của số phức 1.3.1 Căn bậc n của số phức Định nghĩa 1.4.1 Cho số phức w  0; n ;n  2 Khi đó nghiệm z của phương trình z n  w  0 là căn bậc n của số phức w Mệnh đề 1.4.2 Cho số phức w  R(cos  isin... dạng lượng giác của số phức Cho hai số phức z1 ;z 2  0 có biểu thức lượng giác z1  r1 (cos1  isin 1 ) và z 2  r2 (cos2  isin 2 ) , khi đó: r1  r2 Hai số phức z1 ;z 2 gọi là bằng nhau nếu  2  1  k2 (k  ) Tích hai số phức z1 ;z 2 là một số phức được xác định bởi z1z 2  r1r2 [cos(1  2 )  isin(1  2 )] Thương hai số phức z1 ;z 2 là một số phức được xác định bởi z1 r1  [cos(1... của số phức 1.2.1 Biểu diễn lượng giác của số phức Trên mặt phẳng phức ta có hệ thức: z  x  yi  r(cos  isin) (1) Trong đó: Re z  x  rcos , Imz  y  rsin r là độ dài bán kính véctơ r  z  zz  x 2  y2 ,  là góc cực được gọi là argument của z ,   argz Biểu thức (1) được gọi là dạng lượng giác hay dạng cực của số phức z  x  yi 1.2.2 Các phép toán trong dạng lượng giác của số phức. .. Nếu  , thì z  x  yi tương ứng với véctơ  v  xi  y j 10 Chương 2 MỘT SỐ ỨNG DỤNG CỦA SỐ PHỨC TRONG ĐẠI SỐ 2.1 Ứng dụng trong phương trình 2.1.1 Phương trình bậc hai Phương trình bậc hai dạng a z2  bz  c  0(a,b,c ,a  0) (1) Phương pháp giải Ta có   b2  4ac    0 thì phương trình (1) có hai nghiệm phức phân biệt z1,2  b  i  2a    0 thì phương trình (1) có hai nghiệm thực... phương trình (1) và (2) ta tìn được m, n và giải phương trình ban đầu a) Một số ví dụ 21 Ví dụ 1 Giải phương trình sau : z 4  24z  32  0 (*) Lời giải Ta có z4  24z  32  (z2  m)2  p(z  n)2 (**) Đồng nhất hệ số theo bậc của z trong đẳng thức (**) ta có 2m  p  0   24 2pn m2  pn 2  32  (1) (2) (3) p 12 Từ (1) và (2) ta có: m  ; n  thế vào (3) ta được 2 p p2 144  p 2  32 4 p ... 13 3  i 11 ; z 3,4  2 2 b) Một số bài tập có hướng dẫn Bài 1 Giải phương trình z 4  3z 2  4z  3  0 Hướng dẫn Ta có z4  3z2  4z  3  (z2  m)2  p(z  n)2  z4  3z2  4z  3  z4  (2m  p)z2  2pnz  m2  pn 2 (**) Đồng nhất hệ số theo bậc của z trong đẳng thức (**) ta có 2m  p  3   4 2pn m 2  pn 2  3  Từ (1) và (2) ta có: m  p3 2 ; n  thế vào (3) ta được 2 p 23 (1) (2)... 0  2  y  2y  10  0  y  1  i 13    y  1  11  Vậy phương trình đã cho luôn có bốn nghiệm là z1,2  3  i 13; z3,4  1  11 b) Một số bài tập có hướng dẫn Bài 1 Giải phương trình sau trên trường số phức z4  8z3  31z2  62z  63  0 (1) Lời giải Đặt z  y  2 , khi đó phương trình (1) trở thành (y  2)4  8(y  2)3  31(y  2)2  62(y  2)  63  0  y4  7y2  2y  15  0 (2) Biến...  2i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z1  3  i; z 2  1  2i b) Một số bài tập có hướng dẫn Bài 1 Giải phương trình z2  (1  3i)z  2(1  i)  0 Hướng dẫn Ta có   2i , nên  có hai căn bậc hai là 1  i;  1  i  z  2i  1  z 2  1  i Vậy phương trình đã cho có hai nghiệm là z1  2i; z 2  1  i Bài 2 Giải phương trình z2  2z  1  2i  0 12 Hướng dẫn Ta có   2i , nên  có... z3,4  1  i 7 Ví dụ 2 Giải phương trình sau trên trường số phức z 4  5z 2  18z  5  0 (*) Lời giải Ta có z4  5z2  18z  5  (z2  m)2  p(z  n)2  z4  5z2  18z  5  z4  (2m  p)z2  2pnz  m2  pn 2 Đồng nhất hệ số theo bậc của z trong đẳng thức (**) ta có 22 (**) 2m  p  5   18 2pn m 2  pn 2  5  Từ (1) và (2) ta có: m  (1) (2) (3) p5 9 ; n  thế vào (3) ta được 2 p (p  . của số phức, sử dụng số phức vào giải một số bài toán trong Đại số, phân loại các dạng bài tập và đưa ra phương pháp giải cho từng dạng cụ thể, sử dụng các kết quả của chúng vào giải một số bài. lại một số kiến thức cơ bản về số phức và trên cơ sở đó tìm hiểu sâu hơn một số ứng dụng của số phức trong việc giải các bài toán Đại số, do đó chúng tôi đã chọn khoá luận: Sử dụng số phức vào. vào giải một số bài toán trong Đại số . 2. Mục đích nghiên cứu Nghiên cứu cách xây dựng trường số phức, một số khái niệm, tính chất cơ bản của số phức. Từ đó nghiên cứu việc ứng dụng số phức