LUÂN VĂN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI MỘT SỐ BÀI TẬP

Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương t

MỤC LỤC

A PHẦN MỞ ĐẦU 1

1 Lý do chọn đề tài 1

2 Mục đích 2

3 Nhiệm vụ 2

4 Giả thuyết khoa học 2

5 Đối tượng nghiên cứu 2

6 Phương pháp nghiên cứu 2

7 Đóng góp của khóa luận 2

B: PHẦN NỘI DUNG 3

CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 3

1.1 Tổng quát 3

1.1.1 Tọa độ suy rộng 3

1.1.2 Dịch chuyển ảo 3

1.1.3 Công ảo 4

1.1.4 Liên kết lí tưởng 4

1.2 Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II 4

1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange 4

1.2.2 Phương trình lagrange loại II 4

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI 8

2.1 Dao động của con lắc lò xo 8

2.1.1 Phương trình vi phân 8

2.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân 9

2.1.3 Trường hợp suy biến 10

2.1.4.Vận dụng 10

2.2 Dao động cưỡng bức của con lắc lò xo 15

2.2.1 Phương trình vi phân 15

2.2.2 Nghiệm của phương trình vi phân 16

2.2.3 Cộng hưởng 20

2.2.4 Vận dụng 23

2.3 Dao động của con lắc đơn 27

2.3.1 Dao động tự do của con lắc đơn 27

2.3.2 Dao động của con lắc đơn khi vật chịu thêm tác dụng của một lực lạ 28

2.3.3 Con lắc vật lý 34

2.3.4 Vận dụng 34

CHƯƠNG III: BÀI TẬP VỀ PHƯƠNG TRÌNH LAGRANGE VÀ MỘT SỐ BÀI TẬP TỰ GIẢI 38

C: PHẦN KẾT LUẬN 42

TÀI LIỆU THAM KHẢO 43

A PHẦN MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Cơ học lý thuyết là khoa học nghiên cứu các quy luật về chuyển động hoặc sự cân bằng và tương tác cơ học giữa các vật thể trong không gian, theo thời gian Sự ra đời và phát triển của cơ học lý thuyết liên quan đến các vấn đề của kĩ thuật nói riêng và thế giới tự nhiên nói chung Vì vậy cho đến hiện nay

nó vẫn là một trong các cơ sở của khoa học tự nhiên và kĩ thuật

Vào thế kỉ XVII, phép tính vi phân và tích phân phát triển mạnh mẽ Người ta đã xây dựng được nguyên lý tổng quát của động lực học và sang thế kỉ XIX phương pháp giải tích hóa cơ học tiếp tục được phát triển, điều này dẫn đến hình thành nên lĩnh vực cơ học giải tích

Từ cuối thế kỉ XIX sang cả thế kỉ XX, cơ học lí thuyết phát triển rất mạnh

mẽ Quá trình này đã dẫn đến xuất hiện một lĩnh vực mới của cơ học ra đời đó là

lí thuyết tương đối của nhà bác học vĩ đại Anhxtanh, một trong những đỉnh cao của trí tuệ loài người Học thuyết này đã làm lay động quan niệm tách rời chuyển động với không gian và thời gian của Newton mà trái lại nó khẳng định tính hiện thực tương đối và phạm vi ứng dụng của cơ học Newton Và như thế

cơ học lí thuyết vẫn còn đầy đủ giá trị thực tiễn của nó

Chương trình môn Vật lí nói chung, môn Cơ học và lí thuyết nói riêng ở bậc đại học tương đối phong phú và đa dạng Để học tốt được các môn vật lí lí thuyết mỗi sinh viên vần phải trang bị cho mình không những kiến thức về vật lí mà còn phải chuẩn bị thêm cho mình kiến thức về toán giải tích, phương trình vi phân, phương trình đạo hàm riêng, phương pháp toán lí Chính vì vậy mà các sinh viên gặp rất nhiều khó khăn trong quá trình học tập môn Cơ học và lý thuyết tương đối Nhiều sinh viên sau khi đã học xong môn Cơ học và lí thuyết tương đối đếu không thể vận dụng các kiến thức mới, phương pháp mới vào để giải các bài toán động lực học, đặc biệt là các bài tập về dao động và dao động điện

Hiện nay tại thư viện trường Đại học Tây Bắc có rất ít đề tài và khóa luận nghiên cứu về vấn đề này Các giáo trình viết về vấn đề dao động thì sử dụng phương pháp dùng các định luật Newton, để xây dựng các kiến thức cần thiết Trong các giáo trình đó đã trình bày phương pháp giản đồ véc tơ để giải các bài toán về dao động phương pháp này hay, ngắn gọn nhưng chưa mang tính khái quát cao Sử dụng phương pháp ấy chỉ giải quyết được một số bài toán đơn giản, trong nhiều trường hợp không thể giải quyết được Nhiều bài toán về phương

trình Lagrange rất phức tạp vì vậy tôi đã chọn khóa luận “Phương trình Lagrange và phương pháp giải một số bài tập” Trong khóa luận này tôi đã

thống kê những kiến thức cơ bản về hàm Lagrange, bên cạnh đó để người đọc dễ hiểu thì tôi có dựa vào hàm Lagrange để giải một số các bài tập về dao động.Tôi mong rằng khóa luận này sẽ là tài liệu tham khảo hữu ích cho các bạn sinh viên

và các giáo viên giảng dạy môn vật lý ở trường phổ thông

2 Mục đích

Mục đích của khóa luận là giúp cho các bạn sinh viên hiểu sâu hơn về phần cơ học đại cương và phần dao động, nhằm phục vụ tốt cho việc học tập các môn: Điện động lực học, Vật lý thống kê, Cơ lý thuyết, Cơ học lượng tử

4 Giả thuyết khoa học

Sự vận dụng nguyên lí Dalambert – Lagrange và các phương trình Lagrange loại II vào để giải một số bài tập còn rất khó khăn Nếu đi sâu nghiên cứu một cách

có hệ thống, quy trình vận dụng phương trình Lagrange loại II vào giải các bài tập cơ học, điện học thì chắc chắn sinh viên vật lí sẽ có khả năng vận dụng tốt các kiến thức của cơ học lí thuyết để giải các bài toán cơ, điện một cách triệt để

5 Đối tượng nghiên cứu

Đối tượng nghiên cứu là phương trình Lagrange loại II và các kiến thức

về dao động

6 Phương pháp nghiên cứu

Khóa luận này dùng phương pháp nghiên cứu lí thuyết để xây dựng một

số kiến thức về dao động và sử dụng phương trình Lagrange loại II

7 Đóng góp của khóa luận

Khóa luận này sẽ trở thành tài liệu tham khảo cho các bạn sinh viên chuyên nghành Vật lý để phục vụ cho học tập và là tài liệu tham khảo trong giảng dạy

Khóa luận chỉ ra một số bài tập mà dùng phương pháp giản đồ vectơ không giải quyết được

B: PHẦN NỘI DUNG CHƯƠNG I: CƠ SỞ LÍ LUẬN 1.1 Tổng quát

f (r , r , r , t) 0Các thông số độc lập q ,q ,q , q gọi là tọa độ suy rộng của cơ hệ chịu 1 2 3 sliên kết (1.1)

1.2 Lí thuyết về phương trình Lagrange loại II

1.2.1 Nguyên lý dalambert – lagrange

Xét cơ hệ gồm N chất diểm chịu những lực kiên kết lí tưởng đặt lên nó,

phương trình chuyển động của chất điểm i trong cơ hệ có dạng

(1.5) được gọi là biểu thức của nguyên lý Dalambert – Lagrange

1.2.2 Phương trình lagrange loại II

- Khảo sát hệ gồm N chất điểm, liên kết đặt trên cơ hệ được biểu diễn bằng

n phương trình: f (r , r , r , t) 1 2 N   0, 1, 2,3, , n

- Số bậc tự do của cơ hệ : s3Nn

- Vị trí của cơ hệ được xác định bởi s tọa độ suy rộng q ,q ,q , q Các bán 1 2 3 skính véctơ rilà hàm của q ,q ,q , q và t: 1 2 3 s ri r (q ,q ,q , q , t),i 1,2, Ni 1 2 3 s 

- Xuất phát từ nguyên lý Dalambert – lagrange ta thành lập phương trình chuyển động của cơ hệ trong tọa độ suy rộng

- Trước tiên ta biểu diễn dịch chuyển ảo ri qua biến phân của tọa độ suy rộng

- Giả sử các tọa độ suy rộng qk q (t, )k  , trong đó t là biến số thời gian, 

là thông số thực

Khi  0 thì q (t,0)k q (t)k xác định vị trí thực của cơ hệ

Khi  0 thì tọa độ suy rộng q (t, )k  xác định vị trí khả dĩ của cơ hệ phù hợp với liên kết đặt lên nó

Dạng qkthay đổi khi biến số t không thay đổi nhưng thông số  thay đổi

- Ta định nghĩa biến phân của tọa độ suy rộng q (t)k là đại lượng thực được xác định bằng công thức:

- Công nguyên tố của những hoạt lực đối với mọi dịch chuyển ảo bằng:

Đại lượng Q gọi là lực suy rộng tương ứng với tọa độ suy rộng k

- Biến đổi Z về dạng thuận tiện hơn ta được: k

  T là động năng của cơ hệ

- Vì các biến phân qklà độc lập tùy ý và khác không nên biểu thức (1.8) chỉ thỏa mãn khi tất cả các nhân tử của qktrong biểu thức đó bằng không, nghĩa là:

- Nếu hoạt lực Fi tác dụng lên cơ hệ là lực thế thì giữa năng lượng tương tác

của cơ hệ U r , r , r 1 2 Nvà lực thế liên hệ với nhau bằng hệ thức: i

i

UF

Trong đó L = T-U là hàm Lagrange của hệ

Các phương trình (1.14) và (1.16) chính là phương trình Lagrange loại II của hệ

CHƯƠNG II: MỘT SỐ BÀI TẬP VÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI

2.1 Dao động của con lắc lò xo

Bài toán

Xét một con lắc lò xo gồm 1 vật nặng có khối lượng m gắn vào một đầu của lò xo có độ cứng k, đầu kia của lò xo được giữ cố định Khối lượng của lò

xo nhỏ không đáng kể Con lắc được đặt trên một mặt phẳng nằm ngang, hệ

số ma sát giữa vật và mặt phẳng coi như không đáng kể Đặt hệ thống trong một môi trường có hệ số nhớt Kích thích để con lắc dao động.Hãy khảo sát

sự dao động của con lắc nói trên, biết rằng lực cản tác dụng lên vật tỉ lệ với vận tốc Fc  x

+ Lực cản của môi trường: Fc  x

- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo r

- Phương trình Lagrange loại II có dạng: d T T Q

(2.1) chính là phương trình vi phân của dao động tắt dần

2.1.2 Nghiệm của phương trình vi phân

- Đặt xCert, thay x vào phương trình (2.1) ta có phương trình đặc trưng

- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:

ma sát lớn

- Nếu     ' 0 2 km thì nghiệm của (2.2) là: r1  r2

- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:   t

x C C t e

- Với mọi điều kiện ban đầu, độ dời x0 khi t0.Trường hợp này

x0chậm hơn trường hợp ' 0 Người ta gọi quá trình này là quá trình tới hạn

- Nếu '    0 2 km thì nghiệm của phương trình (2.2) là:

- Nghiệm tổng quát của phương trình (2.1) có dạng:

e cos t isin t; e   cos t isin t

- Khi đó x được viết dưới dạng:

x C C e cos t   C C e  sin t e D cos t D sin t

Với D1 C1C ; D2 2 C1C i2 , trong đó D ,D là các hằng số tùy ý 1 2

- Đặt:

i t 1

Phương trình (2.9) được gọi là phương trình vi phân của dao động điều hòa

- Từ (2.3), suy ra nghiệm của phương trình dao động điều hòa có dạng:

M là I, bán kính ròng rọc là R, sợi dây không trượt trên ròng rọc, ma sát ở trục

ròng rọc là không đáng kể Khối lượng của vật là m, độ cứng của lò xo là k

ở 4 đỉnh Tại vị trí cân bằng, khung có dạng hình thoi, góc ở đỉnh là 20 Bóp nhẹ hai đầu BD rồi thả ra

1 Chứng minh vật dao động điều hòa? Biết rằng độ biến dạng của lò xo nhỏ hơn rất nhiều so với AB

2 Lập biểu thức tần số và chu kì dao động?

 hệ có một bậc tự do, vật chỉ dao động theo trục.

- Chọn q = x là tọa độ của hệ, gốc tọa độ và gốc

thế năng tại vị trí cân bằng

Với l0 là độ biến dạng của lò xo ở vị trí cân bằng

* Khi vật m có li độ x thì lò xo biến dạng một đoạn x’

- Chiều dài của lò xo khi vật ở vị trí cân bằng: l1 2ABsin0

- Chiều dài của lò xo khi ở li độ x: l2 2ABsin

Trong đó 2 là góc tại đỉnh A khi vật ở li độ x

- Độ biến dạng của lò xo khi vật ở li độ x:

x’=l1 l2 2AB sin  0 sin (*)

- Li độ x của vật được xác định bởi:

x2AB cos cos (**)

Một mạch điện gồm hai dây dẫn song song, được nối với nhau nhờ cuộn

dây có độ tự cảm L và một thanh có khối lượng m có thể trượt tự do không ma

sát trên các dây dẫn Các dây dẫn nằm trong mặt phẳng nằm ngang trong từ trường thẳng đứng đồng nhất có cảm ứng từ B Khoảng cách giữa hai dây dẫn

là l, điện trở của mạch nhỏ không đáng kể Tại thời điểm t = 0 người ta truyền

cho thanh vận tốc v về phía phải Hãy tìm quy luật chuyển động x(t) của nó ? 0

x GIẢI

- Khi thanh chuyển động, từ thông qua khung dây biến thiên:

Hay iBl x = Qδx  Lực suy rộng:Q = iBl =

2 2

B l xL

- Nghiệm của phương trình vi phân có dạng: x = Asin  0t 

- Điều kiện ban đầu:  

0 o

0

0

x 0 0 Asin 0

vA

v

x sin t

 với 0

Blml

2.2.1 Phương trình vi phân

- Chọn hệ tọa độ gồm mặt phẳng xOy

trùng với mặt phẳng hình vẽ

(trục Ox thẳng đứng hướng xuống dưới )

và trục Oz vuông góc với mặt phẳng xOy

- Chọn q = x là tọa đô suy rộng

+ Lực cản của môi trường: Fc  x

- Công nguyên tố đối với dịch chuyển ảo r :

Ta luôn có điều này trong suốt quá trình dao động

- Vì vậy biểu thức của lực suy rộng là: Q kx  x F cos

- Phương trình Lagrange của hệ: d T T Q

dt x x

  

Fk

mx kx x F cos x x x cos



2.2.2 Nghiệm của phương trình vi phân

- Giả sử biểu thức của lực cưỡng bức có dạng : FF e cos t0 bt 

- Khi đó phương trình vi phân (3.1) có dạng:

bt 0

- Đặt:

2 0

2mkm

- Phương trình thuần nhất tương ứng: x    2 x 20x 0

- Nghiệm tổng quát của phương trình này đã giải ở chương II và có dạng:

 qt qt

t C e C e 1

x e D cos t D sin t nếu '    0 2 km

Với D ,D là các hằng số thực tùy ý, được xác định dựa vào điều kiện 1 2ban đầu Nghiệm trong các trường hợp  2 km không có ý nghĩa thực tế nên

ta không xét đến trường hợp này.Ta chỉ xét trường hợp, và khi đó nghiệm của phương trình thuần nhất mà ta xét là:

- Thay x và x vào phương trình (3.6), ta được:

+ Nếu lực cưỡng bức có phương trùng với phương dao dộng thì nghiệm

của phương trình (3.2) lại có dạng:

Khi đó phương trình vi phân có dạng (3.3)

Nghiệm tổng quát của phương trình này là:

* Giai đoạn chuyển tiếp và giai đoạn ổn định

- Nếu xét biểu thức của lực cưỡng bức có dạng FF cos t0  Thì nghiệm của phương trình vi phân (3.2) là:

Trong khoảng thời gian ngắn (gọi là giai đoạn chuyển tiếp) dao động của

hệ là sự chồng chập hai dao động; dao động tự do được biểu diễn bằng x , dao 1động cưỡng bức được biểu diễn bằng x Sau giai đoạn chuyển tiếp, dao động tự 2

do của hệ gần như tắt dần, dao dộng của hệ chỉ còn là dao động cưỡng bức x 2Người ta gọi giai đoạn này là giai đoạn ổn định

2.2.3 Cộng hưởng

a Cộng hưởng li độ

Xét bài toán dao động cưỡng bức của một vật trong môi trường nhớt dưới tác dụng của lực cưỡng bức có dạng FF cos t0  và phương của lực cưỡng bức hợp với phương dao động một góc 

- Khi vật chỉ dao động cưỡng bức thì li độ dao động có biểu thức:

0

F cosA( )

2m2m



   

độ của dao động cưỡng bức tăng

Người ta gọi hiện tượng tăng đột ngột của biên độ là hiện tượng cộng hưởng

Định nghĩa: Hiện tượng tăng đột ngột biên độ của li độ trong dao động

cưỡng bức khi tần số của ngoại lực biến thiên và dần tới giá trị

0 2

     gọi là hiện tượng cộng hưởng

- Tần số     20 2 2 gọi là tần số cộng hưởng, kí hiệu là ch

- Biên độ cực đại ứng với tần số cộng hưởng là:

    20 2 - tần số góc quy ước

- Nếu lực ma sát rất nhỏ,    0 2 kmđây là công thức gần đúng

đã được thừa nhận ở THPT Trong trường hợp này, độ lệch pha giữa li độ và ngoại lực cưỡng bức là:

F F cos

F cosA(0)

2tan      0 0

 V,  là biên độ và độ lệch pha của vận tốc so

với ngoại lực cưỡng bức

- Đặt:  

0

F cosg

   

     

Nghĩa là khi cộng hưởng vận tốc cùng pha với ngoại lực cưỡng bức

Khi  0hoặc   thì V=0, vật gắn với con lắc lò xo không chuyển động

Trong đó Z là tổng trở của dao động tử: m

2 2





0 0

GIẢI

- Phương trình vi phân của dao động tử có dạng

0 0

* Phương trình thuần nhất tương ứng: x    2 x 20x 0

- Nghiệm của phương trình này có dạng

t

x e D cos t D sin t với     20 2

* Nghiệm riêng của phương trình không thuần nhất có dạng:

0 0

2 2

0 0 0

2

0

2FA

- Khi vật dao động ổn định, dao động tự do của hệ tắt hẳn x1  Khi

đó nghiệm của dao động cưỡng bức là: 0  

c Bằng cách viết     0 , trong đó  là nhỏ, chứng tỏ rằng ở gần cộng hưởng thì:

2

Fx

2.3 Dao động của con lắc đơn

2.3.1 Dao động tự do của con lắc đơn

Bài toán

Xét một con lắc đơn gồm một vật nặng có khối lượng m buộc vào đầu

một sợi dâ không dãn độ dài l, khối lượng sợi dây nhỏ không đáng kể, đầu còn

lại của sợi dây được buộc vào một điểm cố định Kéo con lắc ra khỏi vị trí cân

bằng rồi buông nhẹ Tìm quy luật dao động của con lắc?