luận văn tốt nghiệp đại học iđêan

TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ THƠ IĐÊAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS. DƢƠNG THỊ LUYẾN HÀ NỘI - 2014 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến LỜI CẢM ƠN Lời đầu tiên của khoá luận này em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc tới cô giáo hướng dẫn Th.S Dƣơng Thị Luyến, cô đã tận tình hướng dẫn em trong quá trình làm khoá luận này. Nhân dịp này em cũng xin gửi lời cảm ơn của mình tới toàn bộ các thầy cô giáo trong khoa Toán đã giảng dạy và giúp đỡ chúng em trong suốt quá trình học tập tại khoa. Đồng thời tôi xin cảm ơn các bạn trong lớp K36 Cử nhân Toán – ngành Toán Đại số khoa Toán đã nhiệt tình giúp đỡ tôi trong quá trình học tập tại lớp. Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thơ Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến LỜI CAM ĐOAN Sau một thời gian nghiên cứu, với sự cố gắng nỗ lực của bản thân cùng sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của cô giáo hướng dẫn Thạc sĩ Dƣơng Thị Luyến em đã hoàn thành bài khoá luận tốt nghiệp của mình. Em xin cam đoan bài khoá luận này là do bản thân nghiên cứu cùng với sự hướng dẫn chỉ bảo nhiệt tình của cô giáo Thạc sĩ Dƣơng Thị Luyến không hề trùng với bất kì đề tài nào. Hà Nội, ngày 29 tháng 5 năm 2014 Sinh viên Nguyễn Thị Thơ Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 2 1.1. Vành, vành con, điều kiện tương đương, đặc số vành 2 1.2. Miền nguyên, trường 3 1.3. Iđêan 5 1.4. Vành thương 5 1.5. Đồng cấu vành 7 1.6. Quan hệ thứ tự và tập sắp thứ tự. 10 Chƣơng 2. MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT 12 2.1. Iđêan hữu hạn sinh 12 2.2. Các phép toán của iđêan 13 2.3. Iđêan cực đại 20 2.4. Iđêan nguyên tố 25 2.5. Iđêan nguyên sơ 38 2.6. Mối liên hệ giữa iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại 41 2.7. Iđêan đối cực đại 44 2.8. Iđêan bất khả quy 46 KẾT LUẬN 50 TÀI LIỆU THAM KHẢO 51 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 1 MỞ ĐẦU 1. Lý do chọn đề tài Đại số là một ngành rất quan trọng trong Toán học. Nó không chỉ làm cơ sở cho nhiều ngành Toán học khác mà còn có ứng dụng trong một số ngành khoa học – kĩ thuật. Kiến thức của đại số rất phong phú, đa dạng và trừu tượng, nó được xây dựng và phát triển từ những kiến thức cơ bản của cấu trúc đại số như: nhóm, vành, môđun,…Mặt khác các khái niệm về iđêan nguyên tố, iđêan cực đại là những khái niệm trọng tâm cho việc ứng dụng lý thuyết vành giao hoán vào đại số hình học. Có thể nói vấn đề iđêan là một phần quan trọng trong lý thuyết vành. Tuy nhiên trong chương trình đại học, vấn đề này mới chỉ trình bày một cách sơ lược. Vì vậy em chọn đề tài “Iđêan” để làm khoá luận tốt nghiệp của mình. 2. Mục đích, nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu một số lớp iđêan, các tính chất và mối quan hệ giữa chúng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu Một số lớp iđêan đặc biệt: Iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan đối cực đại, iđêan bất khả quy. 4. Phƣơng pháp nghiên cứu Phân tích, tổng hợp, so sánh, khái quát hoá từ các tài liệu liên quan. Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 2 Chƣơng 1. KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1. Vành, vành con, điều kiện tƣơng đƣơng, đặc số vành 1.1.1. Vành a. Định nghĩa. Cho  là tập khác rỗng, trên  trang bị hai phép toán hai ngôi, kí hiệu là ( ),(.) và gọi là phép cộng và phép nhân.  được gọi là vành nếu thoả mãn các điều kiện: i.  cùng với phép cộng là nhóm abel. ii.  cùng với phép nhân là nửa nhóm. iii. Phép nhân phân phối đối với phép cộng, tức là ,,x y z  , ta có (y )x z xy xz   và ( )zx y xz yz   b. Chú ý  Vành  gọi là vành có đơn vị nếu  là một vị nhóm nhân.  Vành  được gọi là vành giao hoán nếu phép nhân giao hoán.  Vành  gọi là vành giao hoán có đơn vị nếu  là vị nhóm nhân giao hoán.  Phần tử đơn vị của phép cộng kí hiệu là 0.  Phần tử đơn vị của phép nhân ( nếu có), kí hiệu là 1. c. Tính chất  .0 0 0.xx với mọi x .  Nếu vành có ít nhất 2 phần tử thì 01 .    . . . . .( . ), , , .nx y nx y x n y x y n     .  ()x y z xz yz   . 1.1.2. Vành con và điều kiện tƣơng đƣơng a. Định nghĩa Giả sử  là một vành,  là một bộ phận của  , ổn định với hai phép toán trong  , nghĩa là xy  , .xy với mọi ,xy .  là một vành con của  nếu  cùng với 2 phép cảm sinh trên  là một vành. Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 3 b. Điều kiện tƣơng đƣơng Cho  là một vành,  là một bộ phận khác rỗng của  . Các điều kiện sau đây là tương đương: i.  là một vành con của  . ii. , : , . ,x y x y x y x       . iii. , : , . .x y x y x y     1.1.3. Đặc số của vành Cho  là vành có đơn vị 1, nếu tồn tại số nguyên dương n nhỏ nhất sao cho .1 0n  thì ta nói  có đặc số là n , ngược lại ta nói  có đặc số bằng 0. Đặc số của  kí hiệu là: Char hoặc   Ch  . 1.1.4. Tập con nhân đóng Cho R là vành có đơn vị 1. Tập con S được gọi là tập con nhân đóng của R nếu: i. 1 S . ii. Với ,x y S thì xy S . 1.2. Miền nguyên, trƣờng Trong toàn bộ phần này là vành giao hoán có đơn vị. 1.2.1. Ƣớc và bội của một phần tử a. Định nghĩa. Cho  là vành giao hoán, ,,a b a  gọi là bội của b hay a chia hết cho b , kí hiệu  ab nếu tồn tại c sao cho .a bc . Khi đó ta còn nói b là ước của a , kí hiệu là ba . b. Ƣớc của không , 0,a a a  được gọi là ước của không nếu tồn tại ,0bb  sao cho .0ab . 1.2.2. Phần tử khả nghịch Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 4 Phần tử u được gọi là phần tử khả nghịch nếu u là ước của 1, tức là tồn tại v sao cho . 1.uv 1.2.3. Phần tử liên kết Với ,'aa ta nói ,'aa liên kết với nhau nếu tồn tại u khả nghịch sao cho: .'a ua hoặc '.a ua . Kí hiệu: 'aa hoặc 'aa . 1.2.4. Ƣớc thực sự a được gọi là ước thực sự của b nếu a là ước của b , a không khả nghịch và a không liên kết với b . 1.2.5. Phần tử bất khả quy a là phần tử bất khả quy nếu 0,aa không khả nghịch và a không có ước thực sự. 1.2.6. Phần tử nguyên tố Phần tử 0a , không khả nghịch được gọi là phần tử nguyên tố nếu từ .a uv thì au hoặc av . 1.2.7. Miền nguyên Một vành giao hoán  có đơn vị, có nhiều hơn một phần tử và không có ước của 0 được gọi là một miền nguyên. 1.2.8. Trƣờng Một miền nguyên trong đó mọi phần tử khác 0 đều khả nghịch trong vị nhóm nhân được gọi là một trường. Như vậy, nếu  là một trường thì:    , là nhóm abel.    * ,. là nhóm abel, *   \   0 .  Phép nhân phân phối với phép cộng. Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 5 1.3. Iđêan 1.3.1. Định nghĩa. Cho  là một vành,  là vành con của  . Khi đó:   gọi là iđêan trái của  nếu với , : .x a xa   .   gọi là iđêan phải của  nếu với , : .x a ax   .   gọi là iđêan của  nếu  vừa là iđêan trái, vừa là iđêan phải của  . Nhận xét  Nếu  là vành không giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là phân biệt.  Nếu  là vành giao hoán thì iđêan trái và iđêan phải là trùng nhau. 1.3.2. Điều kiện tƣơng đƣơng Cho  là vành,  ,   . Các điều kiện sau là tương đương: i.  là iđêan của  . ii. Với mọi ,ab thì ab  và x thì .ax , .xa . 1.3.3. Tính chất a. Cho  là một vành có đơn vị,  là iđêan của vành  . Nếu đơn vị của  , kí hiệu là 1,1 thì    . b. Giao của một họ bất kì các iđêan của  là một iđêan của  . 1.4. Vành thƣơng 1.4.1. Vành thƣơng a. Định nghĩa. Cho  là iđêan của vành  . Tập   xx       cùng 2 phép toán () và (.) như sau:  Phép cộng: ( ) ( )x y x y         , với mọi ,xy  Phép nhân: ( )( )x y xy       , với mọi ,xy lập thành 1 vành gọi là vành thương của  trên iđêan  . Nhận xét  Nếu  là vành giao hoán thì   cũng là vành giao hoán. Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 6  Nếu  là vành có đơn vị là 1 thì   cũng là vành có đơn vị là 1 . 1.4.2. Ví dụ là vành, n là iđêan của với n . Khi đó tồn tại vành thương   x n x n    với 2 phép toán cộng và nhân như sau:  Phép cộng:     x n y n x y n      , với mọi ,xy  Phép nhân:    x n y n xy n    , với mọi ,xy Đặc biệt:   0, là 2 iđêan của  nên tồn tại 2 vành thương     0 0 xx             0xx          . 1.4.3. Tính chất Cho vành giao hoán ,R  là iđêan của R . a) Nếu J là iđêan của R sao cho JI thì J  là một iđêan của vành thương R  và với rR ta có r J   nếu và chỉ nếu rJ . b) Mỗi iđêan  của R  đều có dạng K  với  là iđêan của R thỏa mãn   . Tồn tại duy nhất iđêan   Raa J    của R thỏa mãn điều kiện trên. Chứng minh a) Hiển nhiên. b) Cho  là iđêan của R  với R là vành giao hoán,  là iđêan của R . Tập   a R a     Rõ ràng   vì với mọi a thì 0a    Với ,,a b r R  ta có: [...]... nhất một phần tử cực đại  Dựa vào các kiến thức cơ bản trên em sẽ đi sâu vào nghiên cứu một số lớp iđêan đặc biệt như : Iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan đối cực đại, iđêan bất khả quy ở chương 2 Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 11 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Chƣơng 2 MỘT SỐ LỚP IĐÊAN ĐẶC BIỆT 2.1 Iđêan hữu hạn sinh 2.1.1 Tập sinh của iđêan Cho vành  ,... Page 22 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Theo định lý trên thì R có iđêan cực đại và iđêan cực đại phải có dạng    với iđêan  của R thỏa mãn    R Ta lại có  R      là iđêan cực đại nên  Suy ra R R   là một trường   cũng là một trường Vậy  là iđêan cực đại của R và    Hệ quả 2 Cho R là vành giao hoán, a  R Khi đó a là đơn vị của R nếu và chỉ nếu với mỗi iđêan cực đại ...  a  a  2  2 Khi đó   2.3 Iđêan cực đại 2.3.1 Định nghĩa Iđêan  của vành giao hoán R được gọi là iđêan cực đại nếu thỏa mãn 2 điều kiện sau : i   R ii Nếu có iđêan  của R mà  Ví dụ.Vành nguyên  thì   R là vành giao hoán có p là iđêan cực đại khi và chỉ khi p là số nguyên tố Chứng minh Mọi iđêan của vành Giả sử p đều có dạng n với n là iđêan cực đại, ta phải chứng minh p là số nguyên... vành giao hoán R thì a  R Nếu a với  là iđêan cực đại nào đó của R thì   R Điều này trái với giả thiết  là iđêan cực đại Vậy a không thuộc iđêan cực đại nào đó của R Ngược lại, ta có a với mọi  là iđêan cực đại của R (1) Giả sử a không là đơn vị của vành giao hoán R , khi đó a là iđêan thực sự của R Theo hệ quả 1, luôn tồn tại một iđêan cực đại 0  R để 0  a (2) Thấy (1) và (2) mâu... đó a  b 2  J Do vậy J là iđêan thực sự của R vì với mọi  :1 1 J Suy ra J, vì vậy J là cận trên của  trong  Áp dụng bổ đề Zorn ta có tập sắp thứ tự bộ phận ,  luôn có phần tử cực đại nên R luôn có ít nhất một iđêan cực đại Hệ quả 1 Cho R là vành giao hoán,  iđêan thực sự của R , luôn tồn tại một iđêan cực đại  của R sao cho    Chứng minh Do  iđêan thực sự của R nên vành thương... của iđêan 2.2.1 Tổng các iđêan a Định nghĩa Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 13 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Cho    là họ các iđêan của vành giao hoán R Ta định nghĩa tổng các iđêan của họ đã cho, kí hiệu  là một iđêan của R sinh bởi tập  Đặc biệt: Nếu  thì     0 là iđêan không   b Biểu diễn phần tử Cho R là vành giao hoán    là họ các iđêan. .. trái với giả thiết p là iđêan cực đại Vậy p là số nguyên tố Giảng viên hướng dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 20 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán Ngược lại, giả sử p là số nguyên tố Giả sử p không là iđêan cực đại thì tồn tại iđêan m của ,m  sao cho p  m ta suy ra m là ước thực sự của p Điều này trái với giả thiết p là số nguyên tố nên điều giả sử là sai Vậy p là iđêan cực đại 2.3.2 Mệnh đề Cho... dẫn: Th.S Dương Thị Luyến Page 23 Iđêan Nguyễn Thị Thơ - K36 Cử nhân Toán  Một vành giao hoán R có đúng một iđêan cực đại được gọi là vành địa phương  Nếu  là iđêan cực đại duy nhất của vành địa phương R thì R  là trường được gọi là trường thương của R b Ví dụ Trường R là một vành địa phương vì trường có đúng 2 iđêan là 0 và R nên R có duy nhất iđêan cực đại là 0 c Bổ đề Cho R là vành giao... của R J  , J  S   là iđêan cực đại của R   là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R,  là iđêan cực đại nếu và chỉ nếu  là phần tử cực đại của Spec( R) theo quan hệ bao hàm 2.4.6 Căn của iđêan a Định nghĩa Cho  là iđêan nguyên tố của vành giao hoán R , căn của  kí hiệu là Rad () hoặc  , xác định bởi   x  R tồn tại n  : xn   Khi đó Rad (R) là iđêan của R Trƣờng hợp đặc biệt: Nếu... giao hoán, có đơn vị,  là iđêan cực đại của R nếu và chỉ nếu R là trường  Chứng minh Giả sử  là iđêan cực đại của R Ta chứng minh R là trường Thật vậy, do  R là vành giao hoán, có đơn vị nên R là vành giao hoán, có đơn vị Vậy R   có ít nhất 2 phần tử là 0 và 1  Giả sử x   R mà x    suy ra x Đặt   x   thì  là iđêan của  R và   Do  là iđêan cực đại nên   R Do đó1 vậy . 13 2.3. Iđêan cực đại 20 2.4. Iđêan nguyên tố 25 2.5. Iđêan nguyên sơ 38 2.6. Mối liên hệ giữa iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan cực đại 41 2.7. Iđêan đối cực đại 44 2.8. Iđêan bất. TRƢỜNG ĐẠI HỌC SƢ PHẠM HÀ NỘI 2 KHOA TOÁN ====== NGUYỄN THỊ THƠ IĐÊAN KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Đại số Ngƣời hƣớng dẫn khoa học ThS một số lớp iđêan, các tính chất và mối quan hệ giữa chúng. 3. Đối tƣợng nghiên cứu Một số lớp iđêan đặc biệt: Iđêan cực đại, iđêan nguyên tố, iđêan nguyên sơ, iđêan đối cực đại, iđêan bất khả