Khóa luận tốt nghiệp phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử

Trang 1

Mục lục LỜI CẢM ƠNA G311 HT TH HT TH HT TH HT ngư 2 EU i0 0n H ÁÁc.D - 3 Mở đầu „.4 1.Lý do chọn đểỔ tỒI, nh TH TH T11 11 11111111111 11111 11111111 ckrrke 4

2.Mục đích nghiên CỨU - 5 tt St TH nghiệt 4

3.Nhiệm vụ nghiÊn CỨU 5 + 1xx vn nh nh ren 4

4.Đối tượng nghiên cứu ¿-¿++++++SEEEtEEEEtEEketrrxrerrrrrrrerrrke 4

5.Phương pháp nghiÊn CỨU - - 5 tk xxx krkskeekrrkrrereerke 4

NO1 CUI on 5

Chương 1: Chuẩn hố hầm sĩng ¿- 22 5¿©++£++2E++x+vrxeerxesrxeee 5 Ben 7a AA4Ÿ444 5 In 6 Chương 2: Tìm hàm riêng và trị riêng của các tốn tử «« 11 QA.Co SO 19 thuy6t hố ẽ “1+1 11 "Na 11 00 li.ec ¡087 19 3.1.Cơ sở lý thuYẾT 2- 2s s2 2E EEEE1221127112211221E 2.1111 19 k1 án 20 Chương 4: Tính giá trị trung bình . -¿ +5 «+ se s+eseeeereereereereereree 26

4.1.CƠ Sở lý thUYẾT 2-22 ©2Sc SEESEEECEEEEEE1122112112711 2111 26

1n nh 26

Chương5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyên động 34

ke na ẽ A5 34

5.1.1.Phương trình SchrOdInØ€T 5 S+x++x+x£sxseeseeexeeeeee 34

5.1.2.Các bài tốn một chiều đơn giản 5-©ccccccccrerrrcee 35

5.2.Bai n 36

408i 0117 43

Trang 2

Lời cảm ơn

Em xin bày tỏ lịng biết ơn sâu sắc tới các thầy giáo, cơ giáo trong tổ

Vật lý lý thuyết, đặc biệt là thầy giáo - TS.Trần Thái Hoa đã tận tình hướng

dẫn và chỉ bảo cho em trong suốt quá trình nghiên cứu Mặc dù đã cĩ nhiều cố gắng nhưng vẫn khơng tránh khỏi thiếu sĩt, em rất mong nhận được sự gĩp ý của các thầy giáo, cơ giáo và các bạn sinh viên để để tài được đầy đủ và hồn

thiện hơn

Một lần nữa em xin trân trọng cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2007

Sinh viên thực hiện

Trang 3

Lời cam đoan

Khố luận này là kết quả của bản thân em qua quá trình học tập và nghiên cứu Bên cạnh đĩ em được sự quan tâm tạo điều kiện của các thầy giáo, cơ giáo trong khoa Vật lý, đặc biệt là sự hướng dẫn tận tình của TS Trần Thái Hoa

Trong khi nghiên cứu hồn thành bản khố luận này em cĩ tham khảo

một số tài liệu đã ghi trong phần tài liệu tham khảo

Vì vậy, em xin khẳng định kết quả của đề tài: “Phương pháp giải một số dạng bài tập cơ học lượng tử” khơng cĩ sự trùng lặp với kết quả của các đề tài khác

Sinh viên thực hiện:

Trang 4

Mo dau

1.Lý do chọn đề tài

Trong quá trình học tập và lĩnh hội phần kiến thức về lý thuyết nĩi chung và lý thuyết Vật lý nĩi riêng thì việc giải bài tập giữ một vai trị khá quan trọng Nĩ giúp ta củng cỗ, nắm vững và hiểu sâu sắc hơn về phần lý thuyết đã học

Một trong những học phần trong chuyên ngành Vật lý được học ở Đại

học đĩ là mơn cơ học lượng tử, đây là một bộ mơn mới được hình thành vào

đầu những năm 30 của thể kỷ XX Với số lượng bài tập tương đối nhiều và đa

dạng, tuy nhiên phần kiến thức tốn học được dùng để giải các bài tập về

chúng thì lại khá phức tạp Chính vì vậy việc tìm hiểu, phân loại các bài tập cơ bản trong phạm vi kiến thức đã học là rất cần thiết và cĩ tính chất tích cực

Từ những đặc điểm nêu trên tơi chọn đề tài “Phương pháp giải một số dạng

bài tập cơ học lượng tử” để làm luận văn tốt nghiệp của mình

2.Mục đích nghiên cứu

Nghiên cứu một số dạng bài tập cơ học lượng tử cơ bản

3.Nhiệm vụ nghiên cứu

Phân loại và giải một số bài tập thuộc các dạng bài tập cơ bản của cơ học lượng tử

4.Đối tượng nghiên cứu

Bài tập cơ học lượng tử

5.Phương pháp nghiên cứu

Trang 5

Nội dung

Chương 1: Chuẩn hố hàm sĩng

1.1.Cơ sở lý thuyết

Xét khơng gian F(q) các hàm số liên tục của các biến q Các hàm

@(q) được chuẩn hố về đơn vị mà tích phân sau hội tụ:

[Io(a)[da =N (hữu hạn) (1)

thi ham 9'(q) =9) được chuẩn hố về đơn vị Việc nhân hàm ọ với

1 Ậ Tra x : TỊA ~ Ậ z

IN được gọi là phép chuân hố hàm ọ về đơn vị Hàm đã được chuân hố

theo (1) cĩ thể sai khác nhau một thừa số cĩ modul bằng don vi

Trường hợp: [le(a)Jf4a — thì các hàm của khơng gian này khơng

được đánh số bằng các số tự nhiên mà cĩ thể đánh số cho nĩ bằng chỉ số f:9, <F(q) trong đĩ f trải từ f,—>œ một cách liên tục Ta gọi các ham

; €F(q) là hàm ứng với phơ liên tục Và khi đĩ @, được chuẩn hố về hàm

delta: 6

Với hàm delta một biến được định nghĩa như sau:

0 Vxz0 ` -

as)" xe0 và Jâ0xkx =1

Ham ồ cĩ nhiều biểu diễn tường minh Một trong các biểu diễn như thé

được viết dưới dạng: (x)= x Ỉ exp{iqx}dq = điều kiện chuẩn hố hàm ọ,

Tt —œ

Trang 6

1.2.Bài tập Bài 1.1: Chuẩn hố các hàm số sau: (a) Ae (a >0;-00< x < +00) (Œ)A,sin" “*(n =1,2,3, ;0< x <a) a (6, (x) =Aex| Ep.x|(-e<p<t) về 5 - ham voi pe Va ` A 1= trong trường hợp tổng quát: ọ = Aexp lạm] Lời giải (a)Đặt @(x)= Ae (a>0;-0 <x < +0)

Ham w(x) ứng với phơ rời rạc cho nên ta chuan hod ham w(x) về đơn vị:

Trang 7

=P =4fa ofe ew rdr=28[e ew rir=2nf he ~"d(ar’) 0 =e" gla at 2a >I= I; 2 Jew a= Jz Từ điều kiện chuẩn hố (1) > Ỉ A?e “dx=A? l— =I>A= /2 <x a TU Hàm w(x) sau khi chuẩn hố cĩ dạng: w(x) ~ few (a >0;-00 <x < +00) 1 (b)Đặt ự(x)= A,sin““ “(n =1,2,3, ;0< x <a) a

Vì ứng với mỗi giá trị của n ta cĩ một hàm +y„nên phơ của y, 1a roi rac Vi vay ta chuân hố hàm wy, vé don vi dudi dang:

Trang 8

(C) Ọ„_ (x)= Aexp|tp.x}(-» <p<+z) về 8- hàm Do p, là thực và (“œ<p< +) nên ọ, ứng với phơ liên tục cho nên ta chuẩn hố về ư - hàm Tức là: [ø(x)@;(x)dx =ð(p—p) (3) +00 * 5 i " Xét tích phân J0)6,(x)ex=ÍA exp {Ep pax 2 +00 - X X >

=A”h Í=eitn p=] (*) ~p)= | ~|=A?.2.hð(p—p' nhồ(p — P`)

Từ điều kiện chuẩn hố (3) ta cĩ: A”.2n#ð(p, —p, )=Š(P, —P, } 1 X2nh Vậy hàm @,„_ (x) sau khi đã chuẩn hố về ư- hàm cĩ đạng >A= 1 i 9, (x)=-E==exP Pk (20 < p< +0) (#®Trường hợp tổng quát Ọ, (r) = exp) tp |(- <p<+) vé 6 - ham

> 9, = Aexp|#(p.i4 py J+ p,k)(xi+ yj+ 3) = Aetp| (sp +yp, + m.)| với r={x,y,z!

Do p là thực và (“<p<+©) nên @„ tương ứng với phố liên tục, vì

vậy chuẩn hố về ư - hàm cĩ dạng:

js(Delf=al6-B) —®

Trang 9

=A? J exp, —p, x} fexr{ 0, —Dy yay fexr{t(, =.) =A?2nhồ(p, —p, ').2nhŠ(p, —p, ').2xlð(p, — p, ) =A?(2nh)'8(p-p') Két hop voi diéu kién (*) 1 (2m) => A’(2nh)'8(p-p')=8(p—p') => A= Vay ham ; sau khi được chuẩn hố về ư - hàm cĩ dạng: i ® (r)= | exp | pe <p <n) (2m)`

Bài 1.2/Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mơ tả

bang ham song: w(r) = Ae® Trong đĩ a là bán kính quỹ đạo Bo thir nhat, A:

Trang 11

-Chương 2: Tìm hàm riêng và

trị riêng của các tốn tử

2.1.Cơ sở lý thuyết

Phương trình Fx = fx (*) khéng thoa man voi Vx eX va Vf eT ma

chỉ với f nào đĩ và một lớp x nao do (*) goi 1a phương trình cho giá trị

riêng (hoặc trị riêng) và vectơ riêng của tốn tử F

Với: f là giá trị riêng; x là vectơ riêng

Phương trình cho trị riêng và vectơ riêng của một ma trận vuơng cấp p:

an ai; ap a, a,

ay, 3; 3zp || 3z =f a,

đại ay» anp a, a,

(A, -f)a, + Ais-3; + + App = 0

A) -a; + (A,, -f)a, + + A245 = 0

© ()

Aya + Apa, + + (A, -f)a, = 0

Dé tim trị riêng và vectơ riêng của ma trận A ta tiến hành giải phương

trình đặc trưng: det(A — If) =0 (2)

Trong trường _, phương trình (2) cĩ p nghiệm: fj,f;, f, f,„ thay f, vào (1) ta sẽ tìm được vectơ riêng (x), ứng với trị riêng Ï,

2.2.Bài tập

X NI HẬU HH Ân nha z xÊ „ X Hà

Bai 2.1.Tim ham riéng va trị riêng của tốn tử p, = trong lớp hàm Xx

bién thực x, liên tục, đơn trị và hữu hạn trong tồn khơng gian

Trang 12

Lời giải ` nA Oy pt TA ne A wd Phương trình cho hàm riêng và trị riêng của tốn tử p, =-1đ—— là: dx p.w(x)=p,y(x) () „ dự(x) dự(x) _ï 7) _p At 2 © -ih hk w(x) => w(x) nP.dx (2)

Lấy tích phân hai về phương trình (2) ta được:

Iny(x)= Pex +lnA=w(x)= Acxp| t,x}

Suy ra tính chất của w(x):

(+)Là hàm liên tục Vpc hay vì là hàm sơ cấp (+)Là hàm đơn trị vì là hàm mũ với Vp,

(+)Xét tính hữu hạn:

Dat: p, =a+if thi ta cĩ:

w(x)= Acxp| tox} = Aexp{ Laxferp{-Px}

Trang 14

Ty(9)=Ey(9) (1) Trong đĩ w(o) là hàm riêng và E là trị riêng của 7 ha dy(0) 2IE J)—=- —-— =ưự(o)=E Ty A (=~ Tag V0) = Eve) or =a (9) 2IE_ dự(o) ,› Dặt kỳ = 0P? say (ø)=0

Nghiệm w(o) cĩ dạng: w(o) =Ae"* Từ điều kiện đơn giá: w(o) = (+ 2n) ta cĩ

Trang 15

-Dat: k= P= = y,,=+tik Vậy nghiệm tơng quát của (3) là:

w(x) =C, sin(kx) +c, cos(kx)

Do ¢,,c, lA các hằng số tích phân bat kỳ nên ta cĩ thế đặt: c, =Acos@ vac, =Asing => w(x) = Asin(kx + 9)

u(x)=0 tức là xác suất tìm thấy hạt bằng khơng nén w(x)=0 khi x <0 hay

x>a

Từ điều kiện liên tục của hàm sĩng ta cĩ:

X =0—>ự(0)=Asinp=0—>@=0

x=a —>w(a)= Asin(ka +@)= Asinka =0—ka =nn,(n =0;41;42; )

Khi n=0 thi y(x)=Otrong bang 0<x<a, tức là xác suất tìm thấy hạt ở mọi điểm trong giếng thế bằng 0 Điều này mâu thuẫn với đầu bài tốn là hạt ở trong giếng thé Vậy ứng với ø =0 bị loại trừ Ly ⁄ , TƯ ` _ Ax ` A xẻ Hai hàm sĩng: w(x) =Asin— va w(x) =—Asin— cùng mơ tả a a một trạng thái của hạt Vậy chỉ cần lấy một giá trị dương là đủ _ J2mE 22.2 vị FPT? =E =E, với n=l,2,3, ka =nr ma inn? Vậy giá trị riêng của H là: E= 5 2ma

— Nang luong cua hat trong giếng thé bị lượng tử hố, nĩ cĩ phơ giá đoạn, tỉ lệ với bình phương số lượng tử n

Và hàm riêng ứng với số lượng tử n là:

y,(x)=Asin—(n =1,2,3 ;0<x <a) a

Trang 16

-Hàm riêng sau khi đã chuẩn hố cĩ dạng: va(x)=[2sin™ (0 =1,2,3 ;0< x<a) a a Bài 2.4.Tìm vectơ riêng và trị riêng của ma trận cấp 2: Lời giải Ta cĩ phương trình đặc trưng là: aer(a-1t)={ ake 1-05} -

>A cĩ hai giá trị riéng f, =1 va f, =—1

—f\a, -ia, =—a, —ia, =0

Voi f, =1 tacé hé phuong trinh: 4 ia,—f,a, = ia,—a,=0 tA r re ` a Dat a, =a >a, =—ia = vecto riéng img vdi f, 1a: (x), =of ' " _ |-f,a,-ia, =0 a, —ia, =0 Với f, =—], tương tự (a cĩ: ia, —f,a, =0 ia, +a, =0 i

Đặt a, =B—>a, =iB— vectơ riêng ứng với trị riêng f =—I là: (x)_ =o }

Trang 17

I-f io det(A-If)=0©| 0 1-f -1 /=0 i 0 -I-f = (-1-f)(I-f) +1=0 of-f?+f=0 ©f(f?-f+I)=0 (1) of =0 (Vi f?-f +10) Với f =0 ta cĩ hệ phương trình:

(I-f)a, + la; + Oa, = 0 [a+ia,=0 Oa, + (-f)ja — la, = 0C©‡a,-a;=0

ia, + Oa, — (I+f)a, = 0 |ia-a;=0

Dat a, =a >a, =A; a, =a i Vậy vectơ riêng ứng với trị riêng f =0 là (x), =a} 1 1 Ta cĩ thể chuẩn hố vectơ (x): Tacé: (x) =a(i 1 1) (x) (x)=o7?(i 1 1) 1 =a? (1+1+41)=307

Theo điều kiện chuẩn hố ta cĩ: 3œ =l= œ= + >x= BOB ss

Bài 2.6.Tìm các trị riêng của tốn tử I7 tương ứng với hàm riêng:

Y(9,¢) =A {cos8 + 2sinOcos@}, A =const

Loi giai

Trong toa d6 cầu tốn tử bình phương momen xung:

Trang 19

-Chương 3: Tìm xác suất 3.1.Cơ sở lý thuyết

Nếu hệ lượng tử nào cĩ thể ở trong các trạng thái được mơ tả bởi các

hàm sĩng w,„u \„ thì nĩ cũng cĩ thé ở trong các trạng thái được mơ tả bởi các tổ hợp tuyến tính bất kỳ: = Cự, (C,C C,e ) Œ k=l của các hàm sĩng đĩ Hàm ự và Cự (C thuộc tập số phức #0) cùng tương ứng với một trạng thái của hệ

Trạng thái mới (*) là trạng thái trung gian giữa các trạng thái ban đầu W¡.W; ,W„ Trạng thái này càng gần với tính chất của một trong các trạng thái đầu nếu trọng số tỷ đối của các trạng thái đĩ càng lớn:

Trang 20

-“=1=|C,Ï là xác suất để hệ lượng Cc, Cc, Néu w duoc chuan hố =>, tử tự chuyền về nằm ở trạng thái V„- 3.2.Bài tập

Bài 3.1.Chuyển động của một hạt cĩ thể được mơ tả bởi các hàm sĩng:

w,(x)=A, sin (0<x<a;n=1,2, ) a

(a)Tinh mat d6 xdc xuất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm ở trạng

thái được mơ tả bởi số lượng tử n=3?

(b)Tính xác suất tìm thấy hạt ở trạng thái mơ tả bởi số lượng tử n =I trong đoạn x -|33|? 42 Lời giải Hàm sĩng tự, (x)= A,sin““=, đã được chuẩn hố ở bài I.1.b cĩ hệ số a chuẩn hố: A,= H và hàm sĩng sau khi đã chuẩn hố: a mm <a,n=1,2, ) a 2 (a)ứng với n=3 ta cĩ: W;(x)= _- a a

Mật độ xác suất để tìm thấy giá trị x của toạ độ của hạt nằm trong

Trang 21

2 Tmx ` GÀ A, 4A os ke aha kK oh aes + A c2 W,= |“ sin—— Vì vậy mật độ xác suât đê tìm thây giá trị x của toạ độ của a a hạt nằm trong trạng thái này là: 2 ;7x p,(x)=|w,(x)Ÿ ==sin’ Xác suất tìm thấy hạt trong đoạn [x.x + dx] la: dw(x) =p, (x)dx Cịn xác suất tìm thấy toạ độ hạt trong đoạn Fa là: 3 3 2.51 1 3 21 w= Jn6)=J fan xox 4 x )dx = | —sin° —xdx =—]| 1—cos—x |dx 4 4 om] 2 la 2m 3 x+2 ~0,40915 la 4m 4

Bài 3.2.Tìm xác suất để đo được giá trị p, của xung lượng (tương ứng với

Trang 23

Vậy xác suất để đo được giá trị p, của xung lượng một hạt lượng tử ở

trang thai y,(x) 1a w(p,):

wíp.)=|C, "ma ew sø|Tzm ||

Bài 3.3.Tính xác suất để đo được giá tri p xác định của xung lượng của một

hạt lượng tử ở trạng thái mơ tả bởi hàm sĩng v(t) xác định nào đĩ

Lời giải

Khai triển hàm v(t) theo hệ hàm riêng của tốn tử xung lượng p=—ihV cho béi:

1——

— 1 i er

V; (r) = Toa a] 6 bai tap 2.1 w(r) = ÍC,v;dp từ đây rút ra:C, = fv (r)y(r)ar

¬

= Bay [wf)se| iPr dr

= xác suất đo được giá trị p của xung lượng ở trạng thái v(r) la:

Ju( exp! Forfa

Bài 3.4.Trạng thái cơ bản của electron trong nguyên tử Hidro được mơ tả bởi 2 2 _ 1 (2zn)` Pp ham s6: Wo (t,8.9) =ewn{-t} trong đĩ a là bán kính quỹ đạo Bohr xa

thứ nhất Tính xác suất đo xung lượng của electron trong nguyên tử Hidro ở trạng thái cơ bản này được giá trị bằng p

Loi giai

Trang 24

-Trước hết ta tính C Ta cĩ ~\ v/~ ~ 1 i l= - dV Si wW- =— —p c= Juli) 99 v, (7) —o | 1 = i

>C =——— | y(r exp |i prbav leo;

Nếu chọn trục Oz trùng với phương p thì trong toạ độ cầu ta cĩ:

pr = prcos6; dV =r’drsin 6déde

>C.= Tear Ju(exn{ Foe} av

Trang 26

-Chương 4: Tính giá trị trung bình 4.1.Cơ sở lý thuyết

Nếu hệ lượng tử ở trạng thái mơ tả bởi hàm sĩng + # {w,} (n = 1,2, ) các số đo f, của đại lượng F cĩ xác suất đo là Ic, |’ Theo lý thuyết xác suất,

các số đo f, (n =1, 2, ) sẽ cĩ trị trung bình:

F=>w,f,=>CC,f,

Cĩ thể biểu diễn hàm F qua hàm ự:

F=[y*Fydg={y,Fy} Khi ự đã chuẩn hố

=.jw*#Ơudg - {y.Fy}

Ju*wdq {yey} Khi ự chưa chuẩn hố

4.2.Bài tập

Trang 27

Chứng tỏ hàm w(x) chưa được chuẩn hố, do vậy khi tính trị trung

Trang 29

-° 2 2 1

Va tich phan: Ỉ e ”“dx= fe >p= 3 fimo

a

Bài 4.2.Tính các giá trị trung bình: x, x, P Pp u, T, E của dao động tử điều

Trang 34

-Chương 5: Giải phương trình Schrodinger cho một số chuyển động

5.1.Cơ sở lý thuyết

5.1.1.Phuong trinh Schrodinger

Cho một hạt chuyền động trong trường cĩ thế năng khơng phụ thuộc rõ vào thời gian: rola) vá) 9 Đặt vít t) = v(*) exp{-4 bị = Hy(r)=Ey(r) () 2 Trong đĩ E là trị riêng của hàm tử H ¬ 2m - ~ V'w(F)+>[ E—-u(?) Jy(7)=0 (2)

Trang 35

-5.1.2.Các bài tốn một chiều đơn giản

(a)Hạt chuyển động trong giếng thế sâu vơ hạn Ề Nếu 0<xé<a u= co Néu x>0;x<a nan 3 Năng lượng của hạt ứng với số lượng tử n:E= 2 n=1,2 ma Hàm sĩng của hạt ứng với số lượng tử n : VW, (x) = fPsin™%y =1,2 a (b)Hat truyén qua hang rao thé 0 Néu 0<x;x>a ¬ Uy Néu O<x<a Đã _ V2mE | _ /2m(u, -E) at ky “a k=————

Hệ số phản xạ bởi hàng rào thế: R =|Ạ”

Trang 36

2d dé" w(é)=(van!2") Fexn| HH (8) Đối tử biến š về biến x: eo H,(6)=(-1'e 1 mo\t 1 mo > mo =| — ha —— về) (5) Tản Hà) vs eh 5.2.Bài tập

Bài 5.1.Tìm năng lượng và hàm sĩng của một hạt chuyển động trong một

trường thế ba chiều (Giả thiết các chiều độc lập nhau): 3 u(X¡,X;,X 3) =" Lx ( xX, = X,Y,Z) Tìm bội suy biến của các mức năng lượng trong trường hợp 0) = @, = 0, = @ Loi giai 2 2 a(x,yyz) = OX 4 MOY „ moyˆ Ta cĩ: u(X,,X;,X;)= 2 2 với @,,@,,@; là những hằng số Phương trình Schrodinger cho dao động tử điều hồ 3 chiều cĩ dạng: riv(xsie)=|- {SS Š:J* 5s +@2y”+@1Z ‘vss =Ey(x,y,z)

Vi chuyén động theo các chiều độc lập với nhau, cho nên cĩ thể đặt

w(x.,y,z)=w(x)w(y)w(z) và E=E,+E,+E; và thế vào phương trình Schrodinger ở trên ta được:

Trang 37

?? Ø Ø Ø

sẽ ẽẽ

Chia cả hai về cho /(x)w(y)w(z) ta được:

Trang 38

-2 1

V(§z)=A¿, exp H,, (§,): E,, -ho,[n, +5}; (n, =0,1,2,3, )

Với hệ số chuẩn hố: A, ' 2™"n,! Wa,= f+ a,= 2 2”n,! 3 2™n,! fo 1 @,\¢ 1 MO, > mo, —>W(x)=| —— v(s)=( 2) eXp4————x¡ enI-x] | | +†H,| x.|—— 1 1 Con E=E, +B, +E, = hoon, +2]£ho[n,+2 ]xho [m +5 @, +0, +@, 2 Va Woman, (x,y,z) =VW,, (x)y,, (y)W,, (z): (n =0,1,2, ) ¬ on on en 5 (*)Khi ©, =@, =@, =@ ta CĨ: = h(o,n, +@,n, +@,n,)+h EF, nom, = E,, +E,, +E, = ha, +n,+n,+ 3] = no[n +3) =E, (Voi n=n, +n, +n,)

ứng với một giá trị n sẽ cĩ g„ hàm sĩng V„„„ (x,y,z) phân biệt bởi hệ

bộ n,,n,,n, khác nhau Cố định n,,n cho ø, thay đối từ 0 đến (n —n,) khi đĩ n, sẽ thay đổi từ (n-n,)->0 Các giá trị cĩ thể cĩ của n, là 0,1,2,3, ,(n —n,) và tất cả cĩ (n—n, +1) giá trị

Số giá trị của n, cĩ thể ứng với mọi giá trị khác nhau của n, từ giá trị n, =0 dén gid tri n,=n cho ta bội suy biến Đại

Trang 39

-8= >(n~n, +1)=2(n+2)(n+l)

Mức khơng suy biến duy nhất ứng với n=0

Bài 5.2.Tìm các mức năng lượng và hàm sĩng của một hạt khối lượng m, điện

tích q dao động một chiều đưới tác dụng của điện trường cường độ E khơng đổi đặt doc theo phương dao động 0x Lời giải Khi hạt điện tích chuyên động trong điện trường khơng đổi ngồi thế 2v2 @ X năng , con cĩ thêm thế năng của F= ge Ta cé F=-gradu > u= —[Fdx = -q|e|x

Phương trình Schrodinger của dao động tử một chiều đưới tác đụng của

điện trường khơng đổi z

Trang 40

Đặt pox Me g =5” =w"(E)+(s -É)w(§)=0 (2)

Thì phương trình (2) cĩ nghiệm là: ự, (š§)= A,e ? H, (É) 1 A|2"n!/x Sau khi chuẩn hố hàm y(é) về đơn vị ta cĩ: A,= B,= no|n +2} (n=0,1,2 ) , q’|el 1 q’ el” =>E, =E,-~—5 =ho "+2 -—— 5; (n=0,1,2, ) Bài 5.3.Tìm năng lượng và hàm sĩng của hạt khối lượng m chuyển động trong “hộp thế chữ nhật” 0<x<a u=040<y<a, u=øœ ởngồi hộp thé O<z<a Loi giai Phuong trinh Schrodinger cua hat trong giéng thế cĩ dạng: i đ ở đ

——|——>+—+—— re 2y tao JV.ys)= Ew(x.y.) x,Y,z)=EW(|X,y.z (1) 1

Vì E =const nên ta cĩ thể viet E=E, +E, +E,

Và đặt: w(x.y.z) = w(x)w(y)w(z) (1) ta được