Áp dụng phương pháp tách biến fourier để giải các phương trình vật lí toán

Nhưng phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phâ

Mở đầu

1 Lý do chọn đề tài

Như chúng ta đã biết, các bộ môn khoa học không thể tồn tại, phát triển

và vững mạnh nếu không dựa trên sự phát triển của các môn khoa học khác Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và toán học Toán học là công cụ đắc lực để cho Vật lý nói chung và vật lý lí thuyết nói riêng phát triển

Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh viên thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều môn toán như vậy Toán cao cấp A1, A2, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời dần được hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý Bộ môn phương pháp Toán – Lý là một

ví dụ sớm nhất Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các công cụ toán học, phương trình toán để giải bài tập Vật lý Nhưng phương pháp toán học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến

đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ có nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ Các phương trình mô tả sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong đó chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của nó và các số biến

số độc lập Từ cơ sở là các phương trình vật lý – toán cơ bản ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm của các phương trình này không đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nó mà phải kết hợp phù hợp

và nhuần nhuyễn các công cụ toán học, vận dụng nó một cách linh hoạt

Chính vì lí do đó việc triển khai đề tài “ áp dụng phương pháp tách biến

Fourier để giải các phương trình Vật lý – Toán” là rất cần thiết

Mỗi dạng bài nêu được

- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng

- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đó

Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ môn “phương pháp toán lý” nói chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nói riêng Bước đầu tạo cho em thói quen cũng như khả năng giải bài tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ đó các có cái nhìn hệ thống về lý thuyết cũng như bài tập môn phương pháp toán – lý

Qua đó có cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muôn màu

2 Mục đích nghiên cứu

Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý – toán và hệ thống bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier

3 Giả thiết khoa học

Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến

Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt không những rèn luyện kỹ năng giải bài tập mà còn có tác dụng góp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2

4 Đối tượng nghiên cứu

Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt

5 Nhiệm vụ nghiên cứu

- Thiết lập một số phương trình Vật lý – Toán

- áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài toán

- Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này

6 Phạm vi nghiên cứu

Đề tài nghiên cứu “ áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải

các phương trình Vật lý – Toán” nhằm rèn luyện kĩ năng giải phương trình

dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt

Chương 1 Phương trình dao động của dây

1 Thiết lập phương trình dao động của dây

Xét một sợi dây rất mảnh, có độ dài  , căng, gắn chặt ở hai nút Giả sử sợi dây rất dẻo, do đó lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây đều hướng theo

đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy Tại mỗi điểm T = Const

Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm

dọc theo trục ox Trong quá trình dao

động sợi dây dao động theo phương

vuông góc với trục Ox Vị trí sợi dây

tại mọi thời điểm như nhau Lập

phương trình cho hàm U(x,t)

Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định các lực tác dụng T1

, T2

( T1 = T2), ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)

áp dụng phương trình định luật II Newton có

g x t dx dx (7) Coi sợi dây đồng chất thì  const

là khối lượng của một đơn vị độ dài của sợi dây đo (7) = 

u dx t

- T1 sin  (x1) + T2sin (x2)= T[sin(x2)-sin(x1)]

u dx t

* Nếu g 0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây

2 Dao động tự do của sợi dây

2.1 Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn

Xét một sợi dây có chiều dài  , khi ở trạng thái cân bằng thì 0  x   dọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động

Bài toán này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài toán hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây

Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier

Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với một hàm chỉ phụ thuộc t

t t

( )

t t

T

T =

''

( )( )

( )

t t

T

T = -   T’’(t) + a2 T(t) = 0 (14)

* Giải phương trình (13) X’’ + X = 0

Tuỳ theo dấu của , xét các trường hợp sau :

+  = -C2 < 0 nghiệm tổng quát của (13) là :

Hệ này có nghiệm là C1 = C2 = 0 Trường hợp này bài toán chỉ có nghiệm không

+ = 0 Nghiệm tổng quát của (13) là

Do đó mà =

2

k l

Nghiệm tổng quát của phương trình (14) có dạng

l ) sin

k x l



Với ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk ( k = 1,2,3 )

ý nghĩa của nghiệm riêng

* U (x,t) là nghiệm riêng và mô tả sóng đứng ( sóng dừng) Mỗi điểm x

của sợi dây thực hiện các dao động điều hoà với tần số k = k a

l = 0  x =

 1

k l k

Những điểm cố định dao động trên với biên độ cực đại là bụng sóng

Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại ''

tt

U , ''

xx

U và hàm U(x,t) thoả mãn

điều kiện biên như mỗi một Ux với các giá trị bất kì của ak và bk

áp dụng điều kiện ban đầu để tìm các hằng số

Ut=0 = 0 

1

k k

Uk = (a kcosk at b ksink at)sink x

Trong đó ak = CkAk; bk = Dk Ak

Nghiệm của phương trình

1

k k

§iÒu kiÖn biªn U’x=0 = 0; Ux= = 0

2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn

2.3.1 Xét phương trình dao động không thuần nhất của sợi dây

k x t

nghiÖm cña bµi to¸n

3 Mét sè bµi to¸n minh ho¹

S(x,t) là phương trình của dao động tự do của sợi dây

Suy ra

'' ' '' '' ''

Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và

điều kiện của (25) như sau

V x00 ;V x 0 điều kiện biên

Điều kiện ban đầu V t0V( )x ; V t0  0

x x

V S

V V

V S

S S

0 ( ) 1

k k

3

3 1

2

k k

U = 0 tho¶ m·n ®iÒu kiÖn biªn Ux = 0 = 0; Ux=l = Asint

vµ ®iÒu kiÖn ban ®Çu Ut=0=0 ; U’t=0 = 0

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U = U(x,t) = V(x,t) + S(x,t) V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là phương trình dao động tự do của dây

Xác các điều kiện biên, điều kiện ban đầu của V, S

+ Điều kiện biên

x x

V S

tt k xx

x) sin t + §iÒu kiÖn biªn

Vx= 0 = A1sint = 0  A1= 0

Vx=l = A2 sin l

d

sin t = Asint  A2 =

sin

A l a

 Vx,t =





sinsin

a l a

a l a

+A2 e-x

Từ điều kiện biên: Sx=0 = XTx=0 = 0  Xx=0 = A1+ A2 = 0

Sx=l = XT x=l = 0  Xx=l = 0 = A1 ex+A2 e-x

 A1 = A2 = 0  X = S = 0 (*) Trường hợp 2: L = 0  X’’ = 0  C1x + C2

Nghiệm phương trình dạng X = A1cosx + A2 sin x

Từ điều kiện biên Xx=0 = A1 = 0

k k

U(x,0) = f(x) ;   

U

F x t

Lời giải

Lực cản tác dụng lên sợi dây – g(x,t) = - hU’t

Trong đóh là hệ số tỉ lệ U’t/t=0 = F(x) : vận tốc ban đầu bài toán dần

* Trường hợp 1: C = 2

 > 0 : X = T = 0

* Trường hợp 2: C = 0 ; X = T = 0

* Trường hợp 3 : C = - 2 < 0  X’’ + 2X = 0

Có nghiệm dạng X = A1Cos x +A2 sin x

Điều kiện biên

đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp

Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đó giúp bạn đọc có cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự

Chương 2:

Phương trình dao động của màng

1 Thiết lập phương trình dao động của màng

Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng

Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y còn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuông góc với mặt phẳng này kí hiệu độ lệch này là U, U là hàm của các toạ độ x,y và thời gian t

(Khối lượng của một đơn vị diện tích)

* Nếu g(x,t) = 0: dao động tự do không có lực ngoài

* Nếu g(x,t) 0: dao động cưỡng bức dưới tác dụng của ngoại lực

+ Điều kiện ban đầu

Ut=0 = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên màng

U’t,t=0=F(x,y): vận tốc ban đầu

+ Điều kiện biên (có biên gắn chặt)

UL = 0 UL là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L

x

y

0 [s x n]

2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật

Xét màng hình chữ nhật lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm miền G {0  xl; 0  g  m}

XYT’’ - a2 (X’’YT + XY’’T) = 0



2

Uk1k2(x,y,t) = (ak1k2cosk1k2t + bk1k2sink1k2t)sink1xsin k2y

Đây là nghiệm riêng của phương trình vi phân

* ý nghĩa vật lý

Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hoà với cùng một tần số

k1k2 với pha ban đầu là Uk1k2

định và đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía này hay phía kia Nói trên màng có sóng đứng với những điểm cố định không dao động gọi là

nút Tập hợp nút tạo thành đường nút Phương trình đường nút là sink1 x

* Xác định ak1k2; bk1k2 từ điều kiện ban đầu

Tại t = 0 thay vào phương trình nghiệm tổng quát

( ) sin

k k

sin

k k k

Thay vµo f (x,y) ’

f(x,y) =

1 2

1 2 1

0 0

§iÒu kiÖn biªn 0 2

1

0 0

4

l l o

5 Phương trình Bessel

Xét dao động của một màng tròn giả sử màng chiếm một hình trong D bán kính q trên mặt phẳng x0y

Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng U = U(r,,t)

Điều kiện biên U r q  0

Phương trình truyền nhiệt theo (r,t) là

2

1 0

2 2

r R r

r R r

r

R

r R r

dR dy dy dx dy R

dr dr dx dr dx

dR d dy d y dx d y R

2

2 2

2 2

rR

r

rR r r

r r R

Đặt -k2=C nên có 2 2 2

1 (rR)

Thỏa mãn điều kiện ban đầu U t0  f r( , )  ; U t t/0 F r( , )  và thỏa mãn

điều kiện biên U r q  0

Nghiệm của phương trình có dạng U R r( ) ( ) ( )   T t , suy ra U tt R T ;

1

1

rR r

Thỏa mãn điều kiện ban đầu U t0  f r( , )  ; U t t/0 F r( , )  và thỏa mãn

điều kiện biên U r q  0

Nghiệm của phương trình có dạng U R r( ) ( ) ( )   T t , suy ra U tt R T ;

1

1

rR r



+ BC1 sin

( )k

n at q



( D1 cosk + D2sin k) Jk

( )k

n r q

Chương 3 Phương trình truyền nhiệt

1 Thiết lập phương trình

Xét một môi trường truyền nhiệt đẳng hướng

Nhiệt độ tại mỗi điểm P (x,y,z) ở thời điểm t,U = U (x,y, z, t)

* Định luật Fourier về sự truyền nhiệt

Nhiệt lượng Q đi qua một mạch mặt kín bất kì S theo phương pháp tuyến n

trong thời gian t tỉ lệ với S; t và đạo hàm pháp tuyến y

n



 của nhiệt độ

Sự truyền nhiệt của V bất kì Nhiệt lương truyền vào trong mặt S và

đi qua mặt S (S là diện tích)

Q1 = -

2

1 ( , , )

Nhiệt độ tại mỗi điểm trong V thay đổi

Nhiệt lượng để làm cho tại một điểm (x,y,z) thì nhiệt độ ở thời điểm t1thay đổi đến t2 là Q tức là U (x,y,z, t1)  U (x, y, z, t2]

u dt t

Trong đó a2 = 1

c ; k, c, = const Khi thanh không có nguồn nhiệt g (x,t) = 0

q p

q p

= f( ) 





2 2

4 1 2

4 1

( ) 2

3 Phương trình truyền nhiệt không thuần nhất

Bài toán Cauchy cho thanh vô hạn có nguồn nhiệt U = U (x,t)

Phương trình truyền nhiệt: U’’

tt – a2 U’’

xx = 1

Cg(x,t) Trong đó g(x,t) 0

Thoả mãn điều kiện ban đầu U/t=0 = f(x); -< x < ; t > 0

- Giải phương trình truyền nhiệt bằng cách khai triển vế phải

t t

Nghiệm của phương trình có vế phải với điều kiện ban đầu ut=0 = 0

4 Phương trình truyền nhiệt trong thanh hữu hạn

4.1 Khi không có nguồn nhiệt

Xét phân bố nhiệt độ trong một thành rất mảnh, đồng chất có mặt xung quanh cách nhiệt, có x = 0; x = l có nhiệt độ t = 0

Phương trình: U’

t – a2 U’

xx = 0, 0 < x < l Thoả mãn điều kiện biên Ux =0 = Ux=l = 0 t > 0

Và điều kiện ban đầu Ut=0 = f(x) 0  x l

Giải bài toán này bằng phương pháp tách biến Fourier

Đặt U(x,t) = X(x) T(t) = X’’T Thay vào phương trình có

XT’ – a2 X’’T = 0 suy ra

2 2

1 co

n x a

Thoả mãn điều kiện ban đầu U/t=0=f(x) 0 < x < l

Điều kiện biên tổng quát

h0 (Ux =0 – U*0) = k Ux/x=0

hl(Ux=l-U*

l) = - k U'x/x=0Trong đó U* là nhiệt độ của môi trường tại x = 0 hay x = l

* Trường hợp các đầu mút của thanh cách nhiệt Khi đó

' 1x x=0

U / = 0 và hU1x/x=l =- k U’

1x/x=l

 U’

1-a2 U’’

1xx =

*1

00

T = ea22t

Suy ra nghiệm tổng quát của phương trình không vế phải là

U1t = ea22t(M( ) cosx +N()sinx )

Với X(x) = M() cosx +N() sin x

áp dụng điều kiện biên có N() = 0

 h M( ) cos l = k M( ) sin l

 M() (h cos l - ksin l) = 0

Nếu M() = 0 thì X(x) = 0

Vậy h cos l - ksin l = 0

Trong đó  phải thoả mãn điều kiện: tgl= h

kChứng tỏ X(x) = M( ) cosx thoả mãn điều kiện biên

Xét các giá trị nghiệm dương cos (- x) = cos x

Các nghiệm này đều là các nghiệm đơn và đối với các số n lớn chúng xấp xỉ bằng (n-1) tức là lim ( n 1 )

  = 0 có Xn(x) = Mn cosn x hàm này thoả mãn điều kiện biên

l n

Rút ra

2 2 0

l n

l

n

m

G x t x dx hk

Điều kiện ban đầu của phương trình này là Tn(0) = n

5 Bài tập minh hoạ

5.1 Bài toán 1: Bài toán Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một

chiều trong thanh dài vô hạn

Phương trình truyền nhiệt U t' a U2 xx'' = 0 thoả mãn điều kiện ban đầu

Ut=0 = f(x) - < x < 

Lời giải

Giả sử nghiệm của phương trình có dạng

U = U (x,t) = X(x) T(t)

q p

p p

q p

( ) 4 ( , ) ( , , )

5.2 Bài toán 2: Tìm phân bố nhiệt độ trong một thanh đồng chất có đầu

mút tại x = 0 cách nhiệt Nhiệt độ môi trường U tiếp xúc với đầu mút x = l giá 0*

trị bằng 0 Nhiệt độ ban đầu trong thanh U(x,o) = f(x) = U0 = const và trong thanh không có nguồn nhiệt

Lời giải

Yêu cầu của bài toán dẫn đến việc giải phương trình

U t' a U2 xx''  0

Thoả mãn điều kiện ban đầu: U/t=0 = f(x) = U0 = const

và điều kiện biên: tại đầu x = 0 cách nhiệt  h0 = 0  U’x/x=0 = 0 Tại đầu x = l có U = 0 l*

¸p dông ®iÒu kiÖn biªn

x t

U = U(x,t) = X(x) T(t)

'' ' 2

00

0

khi R k khi R R khik R

2 0

thay vào phương trình truyền nhiệt

¸p dông ®iÒu kiÖn biªn

x A a

¸p dông ®iÒu kiÖn ban ®Çu

0

1

sinsin

sin

k

x A

sinsin

k

x A

cossin

x

d k a

x x

2 ( , ) 2 2 2 2 2

1

( 1) 2

sin(

2 ( , ) ( , ) ( , ) 2 2 2 2

Một nghiệm bất kỳ của (44) thoả mãn điều biện (45) mô tả dao động riêng của quả cầu (VD dao động âm trong thể tích cầu ) trong hệ toạ độ cầu, phương trình (44) có dạng

Cả 2 vế của phương trình này phải là hằng số ta kí hiệu –a2 2

Khi đó T = A cos at + Bsin at (47)

( )2

0 2

( )2

nªn  (m+3)

1)

1)

2 = =(m+

1)

(m-1)

2

32

m m

m n

  lµ nghiÖm cña hµm Betssel 1

m k

®ang xÐt Hµm riªng cña nã sÏ lµ

R = Rk; m =

1 ( ) 2 1

2

1

m k m

q r