Áp dụng phương pháp tách biến fourier để giải các phương trình vật lí toán

Khoá luận tốt nghiệp Mở đầu Lý chọn đề tài Như biết, môn khoa học tồn tại, phát triển vững mạnh không dựa phát triển môn khoa học khác Thực tế chứng minh điều cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý Vật lý lí thuyết đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc vật lý học toán học Toán học công cụ đắc lực Vật lý nói chung vật lý lí thuyết nói riêng phát triển Khi bước chân vào cổng giảng đường đại học, bạn tân sinh viên thắc mắc điều: Tại khoa Vật lý lại học nhiều môn toán Toán cao cấp A1, A2, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời dần mở bạn nghiên cứu sâu Vật lý Bộ môn phương pháp Toán Lý ví dụ sớm Chúng ta phải dùng đến nhiều công cụ toán học, phương trình toán để giải tập Vật lý Nhưng phương pháp toán học dùng vật lý học đại phong phú đa dạng bao gồm khối lượng lớn kiến thức thuộc ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong trình tìm nghiệm phương trình vi phân đạo hàm riêng có nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xỉ Các phương trình mô tả biến thiến trường theo thời gian, thường phương trình vi phân đạo hàm riêng chứa hàm biến, đạo hàm riêng số biến số độc lập Từ sở phương trình vật lý toán ứng với loại phương trình xác định phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm phương trình không đơn nắm khái niệm mà phải kết hợp phù hợp nhuần nhuyễn công cụ toán học, vận dụng cách linh hoạt Chính lí việc triển khai đề tài áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình Vật lý Toán cần thiết Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Mỗi dạng nêu - Lý thuyết phương pháp giải dạng - Bài tập đặc trưng, lời giải đáp số cụ thể tập Đề tài giúp cho em hiểu sâu môn phương pháp toán lý nói chung cách giải phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nói riêng Bước đầu tạo cho em thói quen khả giải tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ có nhìn hệ thống lý thuyết tập môn phương pháp toán lý Qua có nhìn khái quát đơn tranh vật lý muôn màu Mục đích nghiên cứu Xác định phương pháp giải phương trình Vật lý toán hệ thống tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier Giả thiết khoa học Sử dụng hợp lý phương pháp giải hệ thống tập pháp biến Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt rèn luyện kỹ giải tập mà có tác dụng góp thêm phương pháp việc tìm nghiệm phương trình đạo hàm riêng bậc Đối tượng nghiên cứu Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt Nhiệm vụ nghiên cứu - Thiết lập số phương trình Vật lý Toán - áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải số toán - Hệ thống tập sử dụng phương pháp Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình Vật lý Toán nhằm rèn luyện kĩ giải phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Chương Phương trình dao động dây Thiết lập phương trình dao động dây Xét sợi dây mảnh, có độ dài , căng, gắn chặt hai nút Giả sử sợi dây dẻo, lực căng T điểm sợi dây hướng theo đường tiếp tuyến với sợi dây điểm Tại điểm T = Const Tại trạng thái cân sợi dây nằm T2 dọc theo trục ox Trong trình dao y động sợi dây dao động theo phương T vuông góc với trục Ox Vị trí sợi dây Q2 p thời điểm Lập phương trình cho hàm U(x,t) x1 x2 Xét đoạn dây từ x1 đến x2, xác định lực tác dụng T1 , T2 ( T1 = T2), ngoại lực (ví dụ trọng lực sợi dây) áp dụng phương trình định luật II Newton có T1 + T2 + P = ma (6) Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động x2 - T1sin (x1) + T2sin (x2)= g( x, t )dx dx (7) x1 Coi sợi dây đồng chất const x2 khối lượng đơn vị độ dài sợi dây đo (7) = x1 2u dx t - T1 sin (x1) + T2sin (x2)= T[sin (x2)-sin (x1)] Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp u u x tg u x x tg Trong sin = Do T [sin (x2)-sin (x1)] = T x2 2u dx t x1 x2 U Thay vào (7) có '' tt TUtt'' g( x , t ) dx x1 Vì với x1, x2 nên utt'' TU xx'' g( x, t ) Utt'' T U xx'' g( x, t ) Utt,, a2U xx,, g( x, t ) (8) phương trình dao động sợi dây Với a2 T a T thứ nguyên [a] = m vận tốc truyền sóng s * Nếu g = (8) phương trình dao động tự sợi dây ngoại lực * Nếu g (8) phương trình dao động cưỡng sợi dây Dao động tự sợi dây 2.1 Phương trình dao động tự sợi dây hữu hạn Xét sợi dây có chiều dài , trạng thái cân x dọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trình dao động Phương trình dao động U(x,t) Utt'' a2U xx'' (9) Điều kiện ban đầu thời điểm t = U/t=0 = f(x) ; Ut/t=0 = F(x) (10) x Trong hàm U = U(x,t) Điều kiện biến Ux=0 = Ux = = (11) Nguyễn Thị Dịu O x t K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bài toán chứa điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi toán hỗn hợp phương trình dao động sợi dây Giải toán phương pháp tách biến Fourier Đầu tiên tìm nghiệm phương trình (9) thoả mãn điều kiện với hàm phụ thuộc t U(x,t) = X(x) T(t) (12) Utt'' = XT; U xx'' = XT Ta có Thay vào (9) ta có XT a2XT = T( ''t ) a2 X '' ( x ) T( t ) X (x) T( ''t ) X '' ( x ) Do không phụ thuộc vào x không phụ thuộc vào t nên X (x) T( t ) '' T( t ) X '' ( x ) = = Const = C X (x) a2 T( t ) Đặt C ta có X '' ( x ) = - X(x) + X(x) = X (x) '' T( t ) = - T(t) + a2 T(t) = a T( t ) (13) (14) * Giải phương trình (13) X + X = Tuỳ theo dấu , xét trường hợp sau : + = -C2 < nghiệm tổng quát (13) : X(x) = C1 ecx + C2 e-cx ; C1, C2 số tuỳ ý Từ điều kiện biên (11) ta có C1 C2 cl cl C1e C2e Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Hệ có nghiệm C1 = C2 = Trường hợp toán có nghiệm không = Nghiệm tổng quát (13) + X (x) = C1+ C2x Từ điều kiện biên (11) ta có C1= C1 + C2 = Hệ có nghiệm C1= C2= X(x) = = C2 > nghiệm tổng quát (13) + X(x) = C1con Cx + C2 sin Cx Từ điều kiện biên (11) ta có Ux=0 Xx= = C1 = = X(0) U x = Xx = = C2 sin Cl = C2 X ( x ) loại SinCl Khi Cl = k C = Do mà k 2 = l k l ( k = l ) Vậy nghiệm (13) Xk(x) = C2 sin hay Xk(x) = Ak sin k x l k x l Các nghiệm lập thành họ trực giao khoảng [0,l] nghĩa l X k ( x ) X j ( x )dx k j o * Giải phương trình (14) T + a2 T = Nguyễn Thị Dịu T + a2 c2 T = Đặt a2c2= K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Nghiệm tổng quát phương trình (14) có dạng Tk(t) = Bkcos k at k at + Pk sin l l Từ nghiệm hai phương trình ta có nghiệm riêng phương trình : Uk(x,t) = (ak cos Với k at k at k x + bk sin ) sin l l l ak = Ak Bk ; bk = Ak Dk ( k = 1,2,3 ) ý nghĩa nghiệm riêng * U (x,t) nghiệm riêng mô tả sóng đứng ( sóng dừng) Mỗi điểm x sợi dây thực dao động điều hoà với tần số k = độ k a với biên l ak2 bk2 sin k x U(x,t) = sin k ax ak k at bk k at 2 cos sin ak bk l ak2 bk2 l l ak2 bk2 Tất điểm sợi dây đồng thời đạt độ lệch cực đại phía hay phía khác sin k x k = x = l l k Những điểm cố định dao động với biên độ cực đại bụng sóng sin k x k a k = l tần số âm k ứng với tần số k = l l hoạ âm * Nghiệm tổng quát phương trình U(x,t) = k Nguyễn Thị Dịu Uk ( x, t ) sin k k x k at k at a cos b sin k k l l l K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Với điều kiện chuỗi hội tụ tồn Utt'' , U xx'' hàm U(x,t) thoả mãn điều kiện biên Ux với giá trị ak bk áp dụng điều kiện ban đầu để tìm số Ut=0 = ak sin k k x f ( x) l ak hệ số khai triển Fourier hàm f(x) theo Sin [0,l] 2l k ak = f ( )sin d lc l Và Ut=0 = F(x) ak k k tương tự có bk = k x F( x ) l k x ak k a k at k abk k at sin cos l l l l l F(x) = sin l sin l F( )sin k a k ( )d ( ) l 2.2 Một số toán minh hoạ 2.2.1 Bài toán Xác định dao động dây có chiều dài L thoả mãn phương trình: U tt'' a 2U tt'' (a = const) Thoả mãn điều kiện ban đầu U t x; U t',t L điều kiện biên U x ;U x1 Cách giải Giả sử nghiệm riêng phương trình có dạng U ( x ,t ) X ( x )T ( t ) XT a2 XT = T '' X '' = C = const a2 T X Vì hai vế hàm biến số khác nên chúng số Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp T '' a 2CT X '' C X (15) (16) Trường hợp 1: C = Phương trình (16) X - X = (17) Nghiệm phương trình (17) có dạng X = A1 e x A2e x Từ điều kiện biên có A1 A2 l l A1e A2e A1 = A2 = X = U = Trường hợp 2: C = Phương trình (16) X = X = A1 X = A1x + A2 Từ điều kiện biên suy A2 A1 = A2 = X = U = A L A Trường hợp 3: C = - < Phương trình (16) X + X = có nghiệm dạng X = A1 cos x + A2 sin x A1 X (0) Từ điều kiện biên A1 cos L A2 sin L X ( L ) A2 sin L = sin L = L = k = Xk = Ak sin k ( k 1, ,) L k x L Phương trình (15) T + a2T = có nghiệm dạng T = C cos at + Dsin at Tk = Ck sos k at k at Dk sin L L Nghiệm tổng quát phương trình Uk = Xk Tk Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Uk = ( ak cos k at k at k x bk sin )sin L L L Trong ak = CkAk; bk = Dk Ak Nghiệm phương trình U U k k k at k at k x bk sin U t ak cos sin L L L k Từ điều kiện ban đầu có U t ak sin k U 't bk cos k k a k x sin F ( x) L L L L k x f ( x) x L L k x k x ak f ( x)sin dx x sin dx L0 L L0 L L L k x k x bk F ( x )sin dx L sin dx k a L k a L L L k x k x xd (cos ) ta có akL x cos L k L kL L Vậy U k L k x ( L(1) k sin kL k L L L cos k x dx L ) (1) k k (1) k cos k x a ( ) k sin k at )sin k x k L L L L k 2.2.2 Bài toán Xác định dao động sợi dây có chiều dài thoả mãn phương trình U tt'' a 2U xx'' (a = const) Điều kiện ban đầu Ut=0 = x; Nguyễn Thị Dịu Ut=0 = K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp A = (sin k cos cos k sin ) k k a q (k ) a sin a a a sin k cos cos k sin a q 1 = (1) sin k k a 2 (k ) a sin a a a A k A(1) k A(1) k a 2 (1) k A = (k ) a k ( k )a k 2 a ( k )(k 2 a 2 a (1) k A k x S ( x ,t ) sin e 2 2 k k ( a k a U ( x ,t ) V( x ,t ) S( x ,t ) k 2 a 2t Ae t v ( 1) k A k x sin sin e 2 2 d k k ( k a ) sin d k a 2 tổng kết chương III Trong chương III phương trình truyền nhiệt, trình bày việc thiết lập phương trình truyền nhiệt.Trong có toán Cauchy phương trình truyền nhiệt chiều dài vô hạn, phương trình truyền nhiệt không nhất, phương trình truyền nhiệt hữu hạn Mỗi dạng phương trình có ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp.Đây dạng phương trình phức tạp hai loại phương trình Do dạng phương trình xét đến biến tọa độ x,y,z biến thời gian t Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Chương Hàm Betssel (hạng bán nguyên Phương trình Betssel dạng m + ) Ta xét dao động cầu có biên gắn chặt nghĩa tìm nghiệm phương trình U tt'' - a2 u = (44) Bên cầu bán kính q có tâm gốc toạ độ Nghiệm phương trình tiến đến O cầu Trong toạ độ cầu U = U(r, , ) điều kiện biên có dạng Ur=q = (45) Một nghiệm (44) thoả mãn điều biện (45) mô tả dao động riêng cầu (VD dao động âm thể tích cầu ) hệ toạ độ cầu, phương trình (44) có dạng 2u u u 2u r =0 a ( ) (sin r r r 2 2 t r sin r sin Đặt U=T(t) R(r) Ym ( , ) ta có T R Ym a2 (r R ')TYm TR mYm = (46) r Ym 2Ym Trong , m Ym (sin ) sin sin Ta có hàm cầu rm Ym ( , ) với m = 0,1,2 nghiệm phương trình Laplaxơ r mYm ( , ) m r (r Ym ) r ,Ym =0 r r r Từ ta rút ,Ym m (r ( r Ym ) m(m 1)Ym r m r r Do phương trình (3.46) có dạng Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp TR Ym hay a2 (r r ' )' TYm m( m 1)TRYm =0 r T ' a (r R ') m(m 1) T r R Cả vế phương trình phải số ta kí hiệu a2 Khi T = A cos a t + Bsin a t a R '' R r 2r m(m 1) a 2 r R R nghĩa Đặt (47) R + r= x ; r Ta có R = m(m 1) R+ ( ) R= R r2 R(r) = (48) y ( x) y d y ( x ) dx y '( x) y ( x) x 2x x dx x dr y ''( x) y '( x) y ( x) R = x x x x x Thay vào phương trình (48) có y(x) + y '( x) (1 x m( m 1) x2 )y ( m ) d y dy (1 )y dx x dx x2 hay Là phương trình Betssel dạng m + y = C1 J m ( r ) + C2 N m Tức hạng bán nguyên Nghiệm (x) quay trở lại x r ; y r R (r ) ta có Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp r R (r ) C1 J J m hay R(r) = C1 m ( r ) C2 N ( r ) N + C2 r m m ( r ) ( r ) r Bởi R(r) phải hữu hạn tâm qủa cầu r = mà hàm Bessel hạng hai N ( x) lại không hữu hạn lân cận x = 0, phải đặt C2 = Đặt J R(r) = C m C1 C Với C số cuối ta có ( r ) (49) r Để hàm tm điều kiện (45) ta phải đặt J m ( q ) = (50) Từ ta tìm giá trị riêng Hàm Bessel hạng bán nguyên J có dạng J m ( x) = m ( x ) với m = 0,1,2 hàm sơ cấp, M ( x)cos N ( x)sin x x Trong M(x) N(x) đa thức chẳng hạn m = 0, sử x dụng khai triển x m k ( ) x m m J k ( x) ( 1) mk (1) m!( m k )! m0 m!( m k )! m mk x m 12 m ( ) ta có J ( x) (1) với (m ) ( m ) ! 2 m m!(m )! Những theo tiêu chuẩn hàm Gama , có (t+1) =t (t) Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp 1 1 3 nên (m+ ) =(m+ ) (m+ ) = =(m+ ) (m- ) ( ) 2 2 2 1 = (m+ ) (m- ) 2 2 = (2m 1)(2m 1) 3.1 (2m 1)! với ( )= m m 2 m!2 m x 22 m1 x m1 2 J ( x) (1) m sin x x (2 m 1)! x (2 m 1)! m m tương tự ta tính sin x cos x x x J ( x) 2 12 Ta dễ thấy J ( x) x x J ( x) dx 2 Tổng quát ta chứng minh J m ( x) x m kí hiệu n 2 d 12 x J m m = 1,2,3 dx nghiệm hàm Betssel J Ta có q m m ( x) từ điều kiện (50) k = 1,2 ( m ) nghĩa k1m k q giá trị riêng toán xét Hàm riêng ( m 12 ) R = Rk; m = J k r r m q Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bởi x = r , R = y ( x) Nhờ đẳng thức (47) ta có x T= Tk,m = Ak,m cos a ( m ) k q B( k ,m ) sin a ( m ) k t q dao động riêng biểu diễn nghiệm sau phương trình dao động Uk.m= Tk,m, Rk,m Ym ( , ) 1 ( m ) ( m ) ( m ) 2 a t a t k Bk ,m sin k Ym ( ) = Ak ,m cos k J m q q q Trong hàm cầu Xm( , ) xác định theo công thức Ym(0) ( , ) Pm (cos ) Ym( n ) ( , ) Dm( n ) (cos )cos n Ym( n ) ( , ) pm( n ) (cos )sin n Đối với m = 0,1,2 ,2 n +1 dao động riêng 1 ( m ) ( m ) a a t Bk ,m sin k Uk,m,n = Ak ,m cos k q q ( m 12 ) r (n) J k Ym ( , ) m q Có tần số wk,m = Nguyễn Thị Dịu a (n = 0, m) ( m ) k q K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Đặc biệt m = ta có dao động riêng k = 1,2 có tần số wk,0 = Bởi a ( ) k ( m ) k q ak q k nghiệm hàm J ( x) 2 sin x x ak t ak t ak r Uk,0,0 = Ak ,0 cos Bk ,0 sin sin q q q (51) k = 1,2 mô tả dao động xuyên tâm cầu Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Kết luận Trong đề tài áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình Vật lý_toán việc giải phương trình đạo hàm riêng tuyến tính cấp haivới biến số độc lập giải số vấn đề sau: - Xây dựng phương trình vật lý toán mà cụ thể phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt - Cách giải loại phương trình tương ứng - Một số tập ví dụ điển hình lời giải Ngoài đề tài đề cập đến dạng hàm Bessel bán nguyên phương trình Bessel dạng m+ Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Tài liệu tham khảo 1, Đỗ Đình Thanh, 2002, Phương trình toán lí, NXB Giáo Dục 2, Nguyễn Đình Trí-Nguyễn Trọng Thái, 1971, Phương trình vật lí_toán, NXB Đại học trung học chuyên nghiệp 3, Nguyễn Mạnh Hùng, 2002, Phương trình đạo hàm riêng bậc 2_phần 1, NXB Giáo Dục Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Mục lục Mở đầu Chương 1: Phương trình dao động dây Thiết lập phương trình dao động dây Dao động tự sợi dây 2.1 Phương trình goa động tự sợ dây hữu hạn 2.2 Một số toán hoạ 2.3 Dao động cưỡng sợi dây hữu hạn 13 2.3.1 Xét phương trình dao động không sợi dây 13 Một số toán hoạ 14 Tổng kết chương 24 25 Chương 2: Phương trình dao động màng Thiết lập phương trình dao động màng 25 Giải phương trình dao động tự màng chữ nhật 26 Một số toán minh hoạ 29 Giao động cưỡng màng chữ nhật 32 Phương trình Bessel 33 Phương trình dao động màng 36 Tổng kết chương 38 39 Chương 3: Phương trình truyền nhiệt Thiết lập phương trình 39 Bài toán Cauchy phương trình truyền nhiệt chiều 40 dài vô hạn Phương trình truyền nhiệt không 43 Phương trình truyền nhiệt hữu hạn 45 4.1 Khi nguồn nhiệt 45 4.2 Sự truyền nhiệt hữu hạn - Điều kiện tổng quát 46 Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bài toán minh hoạ 49 Tổng kết chương 61 Chương 4: Hàm Bessel (hạng bán nguyên phương trình Bessel dạng M+ 62 ) Kết luận 68 Tài liệu tham khảo 69 Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Lời cảm ơn Bản khoá luận tốt nghiệp bước để em làm quen với việc nghiên cứu khoa học Trước bỡ ngỡ gặp nhiều khó khăn làm quen với công tác nghiên cứu khoa học, em nhận giúp đỡ, động viên thầy, cô giáo bạn sinh viên khoa Đặc biệt em xin gửi lời cảm ơn sâu sắc đến TS Phạm Thị Minh Hạnh giúp đỡ hướng dẫn tận tình để em hoàn thành khoá luận Em xin chân thành cảm ơn Ban chủ nghiệm khoa Vật lý tạo điều kiện cho em có hội để tập dượt với việc nghiên cứu khoa học Sinh viên thực Nguyễn Thị Dịu Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Lời cam đoan Khoá luận kết thân em qua trình học tập nghiên cứu Bên cạnh em quan tâm tạo điều kiện thầy, cô giáo khoa Vật lý, đặc biệt hướng dẫn tận tình TS Phạm Thị Minh Hạnh Trong nghiên cứu hoàn thành khoá luận em có tham khảo số tài liệu ghi phần tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin khẳng định kết đề tài: áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình vật lý toán trùng lặp với kết đề tài khác Sinh viên thực Nguyễn Thị Dịu Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bộ giáo dục đào tạo Trường đại học sư phạm hà nội Luận văn tốt nghiệp áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình vật lí toán Chuyên ngành: Vật lí lý thuyết Sinh viên thực hiện: Nguyễn Thị Dịu Lớp:k31A vật lí Người hướng dẫn khoa học: T.S Phạm Thị Minh Hạnh Hà nội 2009 Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý [...]... đã trình bày việc thiết lập phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây Trong đó phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn được trình bày chi tiết và có lời giải Mỗi dạng phương trình đó có các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đó giúp bạn đọc có cách... chiếm miền G {0 x l; 0 g m} Phương trình dao động y Utt a2 (Uxx + Uyy) = 0 Thoả mãn điều kiện biên gắn chặt m Ux=0 = 0; Ux=l= 0 Uy= 0 = 0; Uy=m= 0 0 l x Điều kiện ban đầu Ut=0 = f(x,y) 0 xl Ut,t=0 = F(x,y) 0 ym * Lời giải: Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến Fourier Đặt U(x,y,t) = X(x) y(g) T(t) Có Utt = X YT ; Uxx = X YT ; Uyy = XYT Thay vào phương trình dao động tự do có XYT - a2... điều kiện (23) Thay kết quả vào phương trình U = T (t )sin k k 1 k x ta sẽ nhận được l nghiệm của bài toán 3 Một số bài toán minh hoạ 3.1 Bài toán 1 Tìm nghiệm của phương trình 2u 2u Mx t 2 x 2 Thoả mãn các điều kiện ban đầu bằng 0 U(x,0) = 0 ; U(x,0)= 0 U ( o,t ) 0 và các điều kiệnbiên U ( ,t ) 0 Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Bài làm Phương trình đã cho được viết dưới dạng... , y ,t ) sin 4 Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật Bài toán về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng phương pháp tách biến tương tự như bài toán cưỡng bức của dây hữu hạn Nghiệm của phương trình: U tt'' a 2 (U xx'' U yy'' ) g ( x, y, t ) Với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài toán trên ta có: Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp U Tk1 , k2 (t ) sin k2 1... thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Chương 2: Phương trình dao động của màng 1 Thiết lập phương trình dao động của màng Giả sử, ta có một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình dao động có thể bỏ qua Khi đó mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện... 0 ; Ux=l = 0 k x l Chọn các sóng đứng là Uk = Tk(t) sin Phương pháp giải Nghiệm của phương trình là U = T (t )sin k k 1 Đặt k x l Uk (x,t) = Tk(t) Xk(x) Thay nghiệm tổng quát vào phương trình (21) ta có k 2 2 a 2 '' k x T ( t ) T ( t ) g( x, t ) (k) sin k l2 l k 1 Giả sử với t thì hàm g(x,t) phân tích thành g(x,t) = k 1 Nguyễn Thị Dịu k (t )sin k x l K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp... a 3.3 Bài toán 3 Hãy xét dao động tự do của một sợi dây gắn chặt ở các mút x = 0, x= l trong một môi trường có sức cản tỉ lệ với vận tốc Cho biết các điều kiện ban đầu Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp U(x,0) = f(x) ; U t t 0 F( x ) Lời giải Lực cản tác dụng lên sợi dây g(x,t) = - hUt Trong đó h là hệ số tỉ lệ Ut/t=0 = F(x) : vận tốc ban đầu bài toán dần đến giải phương trình Utt''... k ) 3.2 Bài toán 2 Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 còn mút kia chuyển động theo quy luật U(l,t) = Asin t và các điều kiện ban đầu bằng 0 Bài làm Bài toán dẫn tới việc giải phương trình: - a2 U xx'' = 0 thoả mãn điều kiện biên Ux = 0 = 0; Ux=l = Asin t và điều kiện ban đầu Ut=0=0 ; Ut=0 = 0 Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Giả sử nghiệm của phương trình có dạng... 0 St 0 0 Vt 0 St 0 Vt 0 V ( x) Nguyễn Thị Dịu K31A Vật lý Khoá luận tốt nghiệp Vt 0 Vx U 't 0 Vt ' 0 St'0 0 St'0 0 ' Vt 0 0 Giải phương trình (25) Vx S Vx ; t'0 St 0 0 M 3 x C1 x C2 6 Vx 0 C2 0 Điều kiện biên Vx l M 3 M 2 x l x M 3 M 2 Vx 6 6 l C1l 0 C1 l 6 6 Giải phương trình (26): Stt'' S xx'' 0 phương trình có nghiệm dạng S ( x, t ) X ( x)T (t ) XT '' X ''T... 2 Phương trình trên được gọi là phương trình Bessel 6 Dao động của màng tròn Xét dao động của màng tròn bán kính q gắn chặt ở mép 1 r Phương trình dao động U tt a 2 rU r r 1 0 U r2 Thỏa mãn điều kiện ban đầu U t 0 f (r , ) ; U t/ t 0 F (r , ) và thỏa mãn điều kiện biên U r q 0 Nghiệm của phương trình có dạng U R(r ) ( )T (t ) , suy ra U tt RT ; U r RT ; U R T 1 r Thay vào phương ... định phương pháp giải phương trình Vật lý toán hệ thống tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier Giả thiết khoa học Sử dụng hợp lý phương pháp giải hệ thống tập pháp biến Về phương trình đạo hàm... để giải số toán - Hệ thống tập sử dụng phương pháp Phạm vi nghiên cứu Đề tài nghiên cứu áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải phương trình Vật lý Toán nhằm rèn luyện kĩ giải phương trình. .. phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động dây, màng phương trình truyền nhiệt Nhiệm vụ nghiên cứu - Thiết lập số phương trình Vật lý Toán - áp dụng, phương pháp tách biến Fourier để