MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Như chúng ta đã biết, các bộ mơn khoa học khơng thể tồn tại, phát triển và vững mạnh nếu khơng dựa trên sự phát triển của các mơn khoa học khác Thực tế đã chứng minh điều này một cách rõ ràng Một chuyên ngành vật lý mới “Vật lý lí thuyết” ra đời đánh dấu mối quan hệ sâu sắc giữa vật lý học và tốn học Tốn học là cơng cụ đắc lực để cho Vật lý nĩi chung và vật lý lí
thuyết nĩi riêng phát triển
Khi mới bước chân vào cổng giảng đường đại học, các bạn tân sinh viên
thắc mắc một điều: Tại sao khoa Vật lý lại học nhiều mơn tốn như vậy Tốn
cao cấp A;, A›, Đại số tuyến tính hàm biến phức Câu trả lời dần được hé mở khi các bạn nghiên cứu sâu về Vật lý Bộ mơn phương pháp Tốn — Lý là một ví dụ sớm nhất Chúng ta phải dùng đến rất nhiều các cơng cụ tốn học, phương trình tốn để giải bài tập Vật lý Nhưng phương pháp tốn học dùng trong vật lý học hiện đại rất phong phú đa dạng bao gồm một khối lượng rất lớn các kiến thức thuộc các ngành: Hàm thực, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, hàm biến phức, phương trình vi phân, phép biến đổi tích phân, đại số tuyến tính Trong quá trình tìm nghiệm của các phương trình vi phân đạo hàm riêng sẽ cĩ nhiều cách khác nhau: Phương pháp đổi biến, phương pháp tách biến, phương pháp xấp xi Các phương trình mơ tả sự biến thiến của trường theo thời gian, thường là các phương trình vi phân đạo hàm riêng trong đĩ chứa hàm biến, các đạo hàm riêng của nĩ và các số biến số độc lập Từ cơ sở là các phương trình vật lý — tốn cơ bản ứng với từng loại phương trình chúng ta xác định được các phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt Để tìm nghiệm của các phương trình này khơng đơn thuần chỉ là nắm được khái niệm của nĩ mà phải kết hợp phù hợp và nhuần nhuyễn các cơng cụ tốn học, vận dụng nĩ một cách linh hoạt Chính vì lí do đĩ việc triển khai đề tài “ Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải các phương trình Vật lý - Tốn” là rất cần thiết
Trang 2
Mỗi dạng bài nêu được
- Lý thuyết và phương pháp giải từng dạng
- Bài tập đặc trưng, lời giải và đáp số cụ thể của các bài tập đĩ
Đề tài này giúp cho em hiểu sâu hơn về bộ mơn “phương pháp tốn lý”
nĩi chung và cách giải các phương trình dao động, phương trình truyền nhiệt nĩi riêng Bước đầu tạo cho em thĩi quen cũng như khả năng giải bài tập sử dụng phương pháp tách biến Fourier Từ đĩ các cĩ cái nhìn hệ thống về ly thuyết cũng như bài tập mơn phương pháp tốn — ly
Qua đĩ cĩ cái nhìn khái quát đơn về bức tranh vật lý muơn màu 2 Mục đích nghiên cứu
Xác định phương pháp giải các phương trình Vật lý — tốn và hệ thống bài tập áp dụng phương pháp tách biến Fourier
3 Giả thiết khoa học
Sử dụng hợp lý phương pháp giải và hệ thống bài tập pháp biến
Về phương trình đạo hàm riêng mà cụ thể là phương trình dao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt khơng những rèn luyện kỹ năng giải bài tập mà cịn cĩ tác dụng gĩp thêm một phương pháp nữa trong việc tìm nghiệm của phương trình đạo hàm riêng bậc 2
4 Đối tượng nghiên cứu
Các phương trình vi phân đạo hàm riêng, phương trình dao động của
dây, màng và phương trình truyền nhiệt
5 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Thiết lập một số phương trình Vật lý — Tốn
- 4p dụng, phương pháp tách biến Fourier để giải một số bài tốn - Hệ thống các bài tập sử dụng phương pháp này
6 Phạm vỉ nghiên cứu
Đề tài nghiên cứu “ Áp dụng phương pháp tách biến Fourier để giải
các phương trình Vật lý — Tốn” nhằm rèn luyện Kĩ năng giải phương trình đao động của dây, màng và phương trình truyền nhiệt
Trang 3
CHƯƠNG 1
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA DÂY
1 Thiết lập phương trình dao động của dây
Xét một sợi dây rất mảnh, cĩ độ dài /, căng, gắn chặt ở hai nút Giả sử
sợi dây rất đẻo, do đĩ lực căng T tại mỗi điểm của sợi dây đều hướng theo đường tiếp tuyến với sợi dây tại điểm ấy Tại mỗi điểm T = Const
Tại trạng thái cân bằng sợi dây nằm
đọc theo trục ox Trong quá trình đao ¥ 1
động sợi dây dao động theo phương 7 folie Q;
vuơng gĩc với trục Ox VỊ trí sợi dây p !
tạ mọi thời điểm như nhau Lập V
phương trình cho hàm U(x,t)
Xét đoạn dây từ x; đến x¿, xác định các lực tác dụng 7, 7; ( T¡ = T;), ngoại lực (ví dụ trọng lực của sợi dây)
Áp dụng phương trình định luật II Newton cĩ
T + T +P =ma (6)
Chiều phương trình (6) lên phương chuyển động
Trang 4ou Trong d6 sinz= tga ye _ v1 +tg’a \ Cu Ox l+—— Ox , 2 OU Do đĩ T [sinø (x;)-sinz (x;)]= T AP dx x, Ot
Thay vào (7) cĩ ff pu, -TU, + pg(x,t) |dx =0
Vì với xạ, x; bất kì nên øu, — TU, + og(x,£)=0
TL
=> Ữ, ~~ —U,, — —2(x,t) p
=U’ —a’U" =—8(x,t) (8) là phương trình dao động của sợi dây
Vé6i a’ = + —>a= fF thứ nguyên [a] = maa vận tốc truyền sĩng
p Ø 5
* Nếu g = 0 thì (8) là phương trình dao động tự do của sợi dây khơng cĩ ngoại lực
* Nếu gz0 thì (8) là phương trình dao động cưỡng bức của sợi dây
2 Dao động tự do của sợi dây
2.1 Phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn
Xét một sợi dây cĩ chiều dai ý, khi ở trạng thái cân bằng thì 0 < x < £ đọc theo trục ox Hai đầu nút gắn chặt trong quá trình dao động
Trang 5
Bài tốn này chứa cả điều kiện biên lẫn điều kiện ban đầu nên gọi là bài
tốn hỗn hợp đối với phương trình dao động của sợi dây Giải bài tốn này bằng phương pháp tách biến Fourier
Đầu tiên tìm nghiệm của phương trình (9) chỉ thoả mãn điều kiện với một hàm chỉ phụ thuộc t U(x,t) = X(x) T(t) (12) Ta cĩ U,=XT,U =XT Thay vao (9) tac6 X T—-a’X T=0 HN _ aX (x) 1, X(x)
Ty ng weeny uy XO) pp ae ua tne
Do — khong phu thuéc vao x va (x) khơng phụ thuộc vào t nên (t) x T" " + o = XO) _ Const = C aT, X(x) Dat C=-Atacé KOA 5 Xx) + AX(x) =0 (13) X(x) LT, ¬ —== =-Ä2 >T(Œ@)+ 2aT(@)=0 (14) a )
* Giải phương trinh (13) X + 4X =0
Tuỳ theo dấu của 4, xét các trường hợp sau :
+  =-C”ˆ<0 nghiệm tổng quát của (13) là : X(x) = C, e* + C, e™ ; C, C, vi hang s6 tuy y
Trang 6Hệ này cĩ nghiệm 1a C, = C, = 0 Trường hợp này bài tốn chỉ cĩ nghiệm khơng + ^Â= 0 Nghiệm tổng quát của (13) là X(x)=C+Cx Từ điều kiện biên (1 1) ta cĩ C,=0 C,+C,2=0 Hệ này cĩ nghiệm C,= C=0 và X(x) =0 + = C >0 nghiệm tổng quát của (13) là X(x) = C,con Cx + C, sin Cx
Từ điều kiện biên (11) ta cĩ
U,.o D X29 = 0 OC, = 0 = XO) U_,=0 >X,_ ¢=0 >C, sin Cl=0 C, =0> X(x)=0-> loại Km =0 Khi đĩ Cl=kz oc= = (k= +1 +2 ) kˆz? [’ Dođĩmà A=
Vậy nghiệm của (13) là X,(x) = C, sin “
hay X,(x)=A, sin
Trang 7Nghiệm tổng quát của phương trình (14) cĩ dạng k7Zrat kzrat Từ nghiệm của hai phương trình trên ta cĩ nghiệm riêng của 2 phương trình là : U,Œœ,Đ) = (a, COs kat + b,s in kza at) sin n= ve a= ArBys De= Ax Dy (k= 1,23 )
Y nghĩa của nghiệm riêng
* U (x,Ð là nghiệm riêng và mơ tả sĩng đứng ( sĩng dừng) Mỗi điểm x
; , ` N2 VAO kma _ ,.,
cua sợi dây thực hiện các dao động điều hồ với tân số wk = 7 4 với biên
A 2 242
độ ja, +b; sin A,.x
k7rax | a cọc Z4 kat ——b, sn 6 Jaa?
a+b l a; +b
k
UG,t) = sin
Tất cả các điểm của sợi dây đồng thời đạt được độ lệch cực đại của
mình về phía này hay phía khác
sin = 0>x= kal —— k
Trang 8Với điều kiện chuỗi hội tụ và tồn tại Ứ, U_ và hàm U(x,t) thoả mãn điều kiện biên như mỗi một U, với các giá trị bất kì của a, và b,
áp dụng điều kiện ban đầu để tìm các hằng số
U¿¿=0 -> 4, sin ‘al = f(x)
—> a, là hệ số khai triển Fourier của hàm f(x) theo Sin trong [0,]] I a, = “| Fle)sin ede Uo Fx) > 7 20k sin = F(x) k=1 < oy COs kzrx| -akza kzrat kaab kzat —> F(x) = sin 7 sin ; + — Ị tương tựcĩ b,= | F(e)sin~= œ)4( HA 9 2.2 Một s6 bai toan minh hoa 2.2.1 Bài tốn I Xác định dao động của một dây cĩ chiều dài L thoả mãn phương trình: U,-aU,=0 (a=const) Thoả mãn điều kiện ban đầu U t=0 =x; U, và điều kiện biên U,_, =0;U,_, Cách giải
Giả sử nghiệm riêng của phương trình cĩ dạng Ứ,,› = X(T wy
Trang 95 fe aCT=0 (15) X"-CX=0 (16) Trường hợp 1:C= 47 >0 Phương trình (16)—> X”ˆ- ĈX =0 (17)
Nghiệm của phương trình (17) cĩ dạng X = A, e* + Ae”
Từ điều kiện biên cĩ
A,+ A, =0
“au a > A,=A,=0 5X =U=0
Ae’ +A,e” =0
Trudng hop 2: C=0
Phương trình (16) ->X” =0 <> X=A¡ >X=Ajx+A; Từ điều kiện biên suy ra A, =0 >A,=A,=0 5>X=U=0 AL+4=0 Trường hợp 3: C=- 4”<0 Phương trình (16) <>X” + 4?X =0 cĩ nghiệm dạng X=A¡cos2x+ A, sin2x - 4=0=#*⁄@y Từ điều kiện biên A cosAL + 4, sin 4L =0= Ä(„) > A,sin2L=0 >sin 24L=0> 2L=kz > A= AE k= 142,20.) > X,=A, sin Ta
Phương trình (15) ->T” + 4’ a°T = 0 cĩ nghiệm dạng
T=Ccos Aat+ Dsin Jat —>T,=C, sos + D, sin “Z4
Nghiệm tổng quát của phuong trinh 1a U, = X, T,
Trang 12
X'+„= A,cos 4ý = 0 — cos Ä/ = Ư —> 1 = + kn)
+5 A= (2k 41) 6 X, = Acos CAT D™
2
Phuong trinh (19) o 7 + /’a’T = 0cĩ nghiệm dạng
Trang 13£ "51 (2k+1)za 2/ (2k+l)za (2k+])Zzr yt k 0 2/_ T\Ẻ cin Okt Dax F- 82(-D 22 ° az(2k+1# | 4/ cn 2 J„#E., 82-1) “\(2¿+1)z (2k +1)z 2/ 4Z°(2k + I) (2k +1)zat (2k +1)ax §in——————— |œ0s————— 2/ 2/
2.3 Dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn
2.3.1 Xét phương trình dao động khơng thuần nhất của sợi dây
U.-a’ U_=- g(x,t) (2)
Với điều kiện ban đầu U_g=f(&); Usp = F(X)
Điều kiện biên : U, _o= 0 ; U ¡=0 Chọn các sĩng đứng là U, = T,(t) sin a Phuong phap giai ¬ ¬ = _KZFX Nghiệm của phương trình là U = >7 (0) sin k=1 Dat U, «0 =T.@ Xx) Thay nghiệm tổng quát vào phương trình (21) ta cĩ E170 +4 n ˆ Tin = —9(x,t)
Gia sử với t> thi ham — g(x,t) phân tích thành
e(x,Ð = Ya, (sin
k=1
Trang 14
nên = T()+*% To sin =>7 @sin 2 =2 „2 © SỈ Tạ(0+^T T.@)=y,0) 22) Phương trình này lên được vơ số nghiệm —> điều này là vơ lý £ Tính y(t) = : [ø(x.)sin ne x 0 Từ điều kiện ban đầu cho hàm U(x,t) cĩ k7r%X = =f(x)= >1, (0) sín — =F@)= ST, (0) sin T,(0) “Aheoaa =4, lì > " L (23) T;(0)= “| F@)sin“ dx =b, Bây giờ hàm T,(t) cĩ thể hồn tồn xác định từ phương trình (22) và các điều kiện (23) Thay kết quả vào phương trình U = ST.00sn ta sẽ nhận được k=l
nghiệm của bài tốn
Trang 15
Bài làm
Phương trình đã cho được viết dưới dạng U, =U_ +M,
OU, -U,, = My, (24)
Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dạng
U =U(,„ =ŸQy + Sot)
Trong đĩ V,,) 1a phuong trình dao động cưỡng bức của sợi dây 5œ; là phương trình của dao động tự do của sợi day U, =V2 +5, x U,, = Si " " " Suy ra => S,-S,-V,.=M, V„==M, (25) > tt " S,-S,=0 (26)
Từ điều kiện ban đầu và điều kiện của (24) suy ra điều kiện ban đầu và
điều kiện của (25) như sau
V_,.=9 ;V_,=0 điều kiện biên Điều kiện ban đầu Vi_,=Vi.; Vi =0 x)? t=0
Trang 16; Vig =V, So =—V, Ư,„ạ =Ÿ, +5, =0+6, =0 > › ,ạ =0 S,-9 =9 Giải phương trình (25 p ø trình (25) Y= -—=M x +C,x+C, Vig =C, =0 Điều kiện biên V =A FP +C1=06, =—F M.V =x ta : x=i Giải phương trình (26): s;—_ =0 phương trình cĩ nghiệm dạng S(x,t) = X(x)T(t) xr + XT -X T =0>5 —=—=C=const xX T 5 t- ~CX=0 (27) T"—CT=0_ (28) Xét 3 trường hợp sau e Truong hop 1: C= 2 >0 >X=U=0 e Trường hợp 2: C=0 >U=X=0 e Trường hợp3: Œ€ =-2”<0 Nghiệm dạng X = Ácos Âx + 4, sin Äx T = B,cosAt+B, sin At *) Từ điều kiện biên Ä -ạ4 =0 X,_, =4, sind, =0 94, =kr >A = (k= +1; +2, ) > X, = A, sink, £
Nghiém t6ng quat cua (2b) dang S, \ X,.T, S=>) 5, =>) (a, G05” tơ, sin sin
Trang 17
= _ kat lo = % sin —= Xv = f (x) k=l 3h sin sin 4 — 9 = Fb, =0 £ £ £ £ M a _? V, sin gi 0 Or 8g de == (MM py) sin ™ ax £4 6 6 / £ a, =2— (400 -# ja cos £ kz) 6 / == [e —/?x Joos==* -[e os (ex! —/?)dy kzx 1 _ 2g sin _ 1 “lu kn ele da kn £ _Mét 1 (x “` | fina 3 (km) _ 6M KẾ vạn kzx | 2MéCDỶ ~ 3h 3 «- la | ~ 73 3 4 Se > — 1)‘ cos kZX vụ kax £ £ Vay Ua = “ “ 00 3 M: HG 2M¿/ a ke og ht gin KO 6 £ í F 3.2 Bài tốn 2
Xác định dao động của một sợi dây gắn chặt ở mút x = 0 cịn mút kia
chuyền động theo quy luật Uạ„ = Asin øœt và các điều kiện ban đầu bằng 0
Bài làm
Bài tốn dẫn tới việc giải phương trình:
- a“U_ =0 thoả mãn điều kiện biên U, _; = 0; U,_¡= Asinøt
và điều kiện ban đầu U,_;=0 ; Ư,_ạ =
Trang 18
Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dạng
U = U(x,t) = V(x,Ð + 5(xf)
V(x,t) là phương trình dao động cưỡng bức ở biên của dây; S(x,t) là phương trình dao động tự do của dây t U,=V, +8, 9V, +8, -aW, +8,)=0 V„=V, +, $9—az?S) =0 (24) ¬ ts -a°V,=0 (23) —> t
Xác các điều kiện biên, điều kiện ban dau cua V, S
+ Điều kiện biên Ÿ U,= V <0 + S x=e0—” 0> | x=0 U_, =V ,+ S,_, = Asin at V_, = Asin ot V „=0 ŠS =0 > > ; 3 ,=0 V_=Asinøf |S ,= x=l
+ Diéu kién ban dau
Trang 19+ -X,o’sin ot—a’X sin ot =0 2 oO „ @ ` >» X +——X=0 vì — >0 q q œ@ _ @ X = A,cos —x + A, sin—x a a @ _ @ +> V=(A,cos —x+A, sin—x) sin ot a a + Diéu kién bién V,-9 =A sinat=0 > A,=0 _ al A V,4= A, sin—sin wt = ÀAsinøtf —>A¿= ——D d sin — a @ Asin—x > V,,=——Š“—sinøt _ al sin — a
Giai phuong trinh (24) S" -a’S", =0
Trang 20Từ điều kiện biên: S -o= XT,» = 0 9X,» =A,+ A,=0 S, = XT 4 = 0 >X,4=0=A,e* +A, 6% >A,= A,=0 > X=S=0 (*) Trudng hop 2: L=0 > KX =0 > Cx+C, X_,=C,=0 Điều kiện biên X_,=Cl=05C, =0 +> X=S=0 (*)Trường hợp 3: C=- 4? ->X + 4”X =0
Nghiệm phương trinh dang X = A,cos/x + A, sin 1x Từ điều kiện bién X,_)= A, =0
X,1= A; sin 4=0 > 4 =0 > A= = sin
Ta cĩ
T”+ A’a* T=0 c6 nghiém dang T = B, cos Aat + B, sin/at — T, =B, cos at + B, sin kat + N,sin 4,=X,T.= l9, cos kat Mra kZx kat rae) krx 1 Hà Điêu biện ban đầu S_„= Š`M, sin = f(x)=0>M, =0 k=1 Sty= VN, sin 4 sink = F(x) = Ao sin” x k=1 l l sin al — a a 2 | 1:4A
+N, = R(x) sin dx = ` e sin in 2 atx
kZa) | kna > sin 2 a a
a
Trang 21
Aq@ 1 oO kx 1 Oo kx f = i sin aD x— i sin| ———— , k7raS1n—— (2 3 a (#-”] a a a l a l Aø 1 _ fal 1 (a = 7 h sin| —+kz “7> mềm —— kZ |x knasin 2+7] a mì , a a l a l , {al al al al ta cĩ sin (=! + tr = sin——cos &Z + cos—sinkz = (—1)” sin—— a a a a sin( — tr = sin cos kn — cos sin kz =(-1} sin a a a a _y ka + N,= Aa d _(-1)' sin al|_-2A@ al CD kzasin®t|®2 _#Z a la wl—-kra ala I’ —_ -2Aøal(C1} _ 2Aøal-U Ol kˆr'a` k xa -œ ge Z — _(-1)' sin knat ka k=l kn — Œ) *] sin — x Ỉ =.2À@daÍ(-1)f sin krat sin kZrax >»U=V+S= sin sin wt + +>) al a ta K 771g 01 l l sin — a 3.3 Bài tốn 3
Hãy xét dao động tự do của một sợi dây gắn chặt ở các mit x = 0, x=1 trong một mơi trường cĩ sức cản tỉ lệ với vận tốc Cho biết các điều kiện ban
đầu
Trang 22
U(x,0) = f(x) ; ou
Ot -o = F(X)
Loi giai
Luc can tac dụng lên sợi dây — g(x,t) = - hU’t
Trong đĩ h 1a hé sé ti 1é U’/,_, = F(x) : van t6c ban đầu bài tốn dần
đến giải phương trình U'- a’ U =-hU, (33) ae ata 1: — JUL, =f) Với điều kiện ban đầu + _ Ù, Í„ = F(Œ) ` of : U I 0 — 0 Và điều kiện biên U/_,=9
Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dang U,,) = Xq) T(t) ->U, =XT ,U, =XT,U =XT => XT -aX T=-hXT > (T+hT)X=aXT 1(T"+hT' xX" —> = = = const =C a T X"-CX =0 (34) Am hT'-Ca’T =0 (35) Xét trường hợp sau * Trường hợp l1:C= 4” >0: X=T=0 * Trường hợp 2: C=0; X=T=0 * Trường hợp 3: C=- 4? <0 > X + 2'X=0 Cĩ nghiệm dạng X = A,Cos 4x +A, sin 1x U/ ,=A=0
Điều kiện biên lx
Ul, =A, sinAl=0—> A=——
Trang 23
— X,=A, sin =
Trang 24œ U9 = š[ ý En, in — rx + M, = = { f(x) sin = de (36) , hy a, 2) _ kax Ta cĩ - —M,+—N, == | F(x)sin——dx 2' 2°" 7S i I + 2y -"m, +2 F(x) sin“ ae 2.1.2 + 1 ị 2\27 1 1 +N, = (42 [Z@œ sin d+ [ Fyn | 0 0 = =2 F(x sin & - 4/(+ro sin ““ dx (37) Thay (36) (37) vào Ứ,,u ta cĩ okt Vay DL = Me? La COS o LN, sin 2 2 sin i 4 Tong két chuong I
Trong chuong I vé dao động của sợi dây, tơi đã trình bày việc thiết lập phương trình dao động của sợi dây và xét dao động tự do của dây Trong đĩ phương trình dao động tự do của sợi dây hữu hạn và dao động cưỡng bức của sợi dây hữu hạn được trình bay chi tiết và cĩ lời giải Mỗi dạng phương trình
đĩ cĩ các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp
Nội dung chương I đã nêu bật được cách giải của từng phương trình dao động của dây qua đĩ giúp bạn đọc cĩ cách nhìn hệ thống và hướng giải các dạng phương trình khác tương tự
Trang 25
CHƯƠNG 2:
PHƯƠNG TRÌNH DAO ĐỘNG CỦA MÀNG
1 Thiết lập phương trình dao động của màng
Giả sử, ta cĩ một màng được kéo bằng lực căng T, đàn hồi, dao động nhỏ đến mức là độ tăng diện tích của màng trong quá trình đao động cĩ thể bỏ qua Khi đĩ mật độ phân bố lực căng T là như nhau trong tất cả các tiết diện của màng
Giả sử khi nằm yên, màng ở trong mặt phẳng x,y cịn dao động xảy ra sao cho mỗi điểm của màng đều lệch theo phương vuơng gĩc với mặt phẳng này kí hiệu độ lệch nay 1a U, U 1a ham cua cac toa d6 x,y và thời gian t L
U — U (x,y.Ð)
+ Phuong trình dao động của màng a
là phương trình sĩng hai chiều 3 U,-a (U,,+U ,,) = -g(x.t) — Trong đĩ: a7= ® x const x p ds [sxn] ¬> > y T: Mật độ phân bố của mặt căng a : Vận tốc truyền sĩng s: Mật độ khối lượng mặt
(Khối lượng của một đơn vị diện tích)
* Nếu g(x,t) = 0: dao động tự do khơng cĩ lực ngồi
* Nếu øg(x,t) z0: dao động cưỡng bức dưới tac dụng của ngoại lực
+ Điều kiện ban đầu
U,_¿ = f(x,y): độ lệch ban đầu của điểm (x,y) trên mang U?,.¿=F(x.y): vận tốc ban đầu
+ Điều kiện biên (cĩ biên gắn chặt)
Ứ¡=0 U, là giá trị hàm u ở các điểm của chu tuyến L
Trang 26
2 Giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật
Xét màng hình chữ nhật lúc cân bằng nằm trên mặt phẳng xy chiếm miền G {0 < x<l; 0 < g < m} Phương trình dao động Ya U,-a (U„+U)=0 Thoả mãn điều kiện biên gắn chặt m U9 = Ú; U,~= 0 ° U,-o= 0; Uy n= 0 0 I x Điều kiện ban đầu U,_o = Í(x,y) 0< x<l U to = F(x y) 0< y<m
* Lời giải: Giải phương trình này bằng phương pháp tách biến Fourier
Dat U(x,y,t) = X(x) yŒ) TŒ)
Cĩ U,=XYT;U,=X YT;Uy„=XYT Thay vào phương trình dao động tự do cĩ
Trang 27T=Acos Ja? +wat + Bsin JA? + pat X = C,cosAx+ D,sin 4x Y=Cocos wy + D, sin wy * Tìm các hằng s6 A, B, C,, C,, D,, D, dp dung diéu kién bién dat X,-0 — Xã — 0 › Y,-0 — Yy_m= 0 Suy ra C, =0,C, =0, sin2l = 0 và sin 2m =0 tức là ^4l=Kkiz; am =K;z (k, c z) 54 = 82, y= k,7 (k; e Z”) l m Thay vào nghiệm của phương trình cĩ 2 2 2 2 22 22 Tp = A cos be be a} sn ud hn at m ữ mì _ k/FX, ._ ky X(x) = D, sin 7 ; Y(y) = D, sin -2—— m Khi đĩ phương trình tổng quát là 2? 2 2 22 2_ 2 U = AD,D, cos + fot oe, sin ny ht at m m l m x [Apa ken lk k? Đặt Qn 42 = p + m q= TT ka k„7 Ay =; l [yy = m AD,D;=au; BD¡D¿= bu;
Diyz(X,y.,f) = (Aiiy2COS Økiy2f + Dụy2S11 Ø¡x2Ê)SIN Â,,x sin /,;y Đây là nghiệm riêng của phương trình vi phân
* Ý nghĩa vật lý
Trang 28
Mọi điểm (x,y) của màng đều giao động điều hồ với cùng một tần số
2v; với pha ban đầu là Ủ¡¿ TA aa k/ZrX k7 Biên độ @ = Ađ¿„;+B¿„,, SIm 1 sin-?—y m Mọi điểm của màng đều cùng về vị trí ban đầu ở những thời điểm xác
định và đồng thời đạt được độ lệch cực đại của mình về phía này hay phía kia Nĩi trên màng cĩ sĩng đứng với những điểm cố định khơng dao động gọi là
nút Tập hợp nút tạo thành đường nút Phương trình đường nút là sin ne = 0;
sin ky 0 Điểm mà màng lệch cực đại so với trạng thái đứng yên là bụng m k,ax sin = 1;
Tần số âm cơ bản của màng ứng với |k, =1,k, = || Nghiệm tổng quát của phương trình
U=U(.y,)= Ua (X.y,)
ky 3k2
* XAc dinh a,153 by ti diéu kién ban đầu
Trang 29Thay vào f (x,y) ø' f(y) = Yds sin 2 sin 22 kyky=l m 4 r7 ky kx > Ago = if | fesy)sin sin dy dx 00 Mặt khác: U,, = F(x,y) nén 0<x<i F(x,y) = » 1142 %¢1¢9 S10 a sin “252 | k,k2=1 m 0<y<m Tương tự đối với f(x,y) cĩ 1 k,zry_ sin — dy dx k/x 4 lm Du = — | | P(x, y)sin lm! m 3 Một số bài tốn mỉnh hoạ 3.1 Bài tốn 1
Ở thời điểm ban đầu t = 0 một màng vuơng cĩ dạng U(x,y,0) = Axy (-
x) (l-y) A = const Màng dao động khơng cĩ vận tốc ban đầu Hãy nghiên cứu dao động tự do của màng gắn chặt theo chu tuyến Lời giải Bài tốn đưa về tìm nghiệm của phương trình U,-aˆ(U„+Uy)=0 Với điều kiện banđầu [U/_;= Axy (- x) (-y) U/ =o O Điều kiện biên: U,_ạ = 0; Ù,_ạ = 0 Ú,~ — 0; Ứ — Giả sử nghiệm của phương trình cĩ dạng U = Uy = Xe, Yớy Tụ —> U,=XYT;U,=XYT,U,„=XY”T = XYT -a(X YT+XY T)=0
XYT —a*(X Y+XY )T=0
Trang 30
I7ổ XY+xXY X ` Y —c—=——=—+—=C=cøns a’ T XY X T —Ca’T =0 T —Ca’T =0 _> X ioe Vic ' , > X -CX=0 — XxX Y Y -(C-C,)Y =0 X"-C,X =0 > 4Y -CY=0 T'—a?(C.+C,)T =0 Giải phương trình X”- C,X =0
*Irường hợpl: a=242>0: -> A¡e+A;e”
Điều kiện biên U,,.=0 > X, =0=A,+A, U, ¡=0 > X= 0 = Aje**+A, e” > A, +A,=0 ~> X=U=0 *Trường hợp2: C¡ =0 -› X”=0 -› X=A¡x+A; SA T2 X 9 =A, =0 Diéu kién bién; ** 4 X.,=AI=0 —>A4=4,=0->X=U=0 * Trường hợp 3: C¡ = -22< 0 -› X+ 422X=0-›X=A,cos4x + A,sin/ x
tà pen peg [Xue = 4 =0
Điều kiện biên 4“ ”° “' X,_, = 4, sin Al =0 —>ÃI =kx—y À = tế 1
—+ X,, = A, sin =
* Giai phuong trinh 2: Y —C,Y =0
- Trường hợp 1: C= ¿2 >0 > Y - wY=0 Nghiệm tổng quát dạng Y = B,e“ + B,e “2 Điều kiện biên: U, =0 -› Y, ¿=0 =Bị + B;
Trang 31Y =Be= pigu kign bien | + B,=B,=0 > Y=U=0 Y_,=Bi= yal 1 - Trường hợp 3: C; = - w <0 > Y=B,coswy+B yy Điều kiện biên: Y/_o =B,=0; Y/_¡= B; sinl =0 ka Ỉ * Giải phương trình: 3: T” — aˆ (C¡ + C,) T=0 => Y,, =B, sin 222 > ua © T—a?(- 4?- )T=0 ->T”+a2(4?+ ;)T=0 ” (ka ken (any c© T +a _n† h5 T=00T (=) (k +k?)T =0 2
A se yal =0 với au (SE vá)
+> Ti =D,cos a,,,t+ D,sin a,,,t
kax kia
> Une = Mir cos @,,,.t + Nu $i @,,,,t) sin “HẾ* gìn “2“2
Trang 32l= Tư : “| A7* (1 29k = lực Jú-2)4(sa =) = Ji“ "| Íc 2)sin ad =f) mie een Pe P = 16A Zi 5 aol (-1)")-(-1)"”) 4 Vays = Dea =(1- (- J)(1— (- 1)“?)cos ø aot Sin AT sin 2? ky=1 ky =1 Ík=2 Với | 7 —+ U(x, y,t)=0 k, =2m k, =2n+1 ver (0 k, =2m+1 sin 2ø + Zx Ue) = MSY Yoo [= ˆ] Gn tbs Oma — 1 gin, Om + Dz _ n=O m=0 (2n+1}`(2m +1) j
4 Dao động cưỡng bức của màng chữ nhật
Bài tốn về dao động cưỡng bức của màng chữ nhật được giải bằng
phương pháp tách biến tương tự như bài tốn cưỡng bức của dây hữu hạn Nghiệm của phương trình:
U,—a”(U,,+U,,) =~g(z, y,)
Với điều kiện ban đầu và điều kiện biên của bài tốn trên ta cĩ:
Trang 33k,7rx U=> > 7, , (sin = sin k=l k=1 l Vế phải —g(x,y,t) được khai triển thành chuỗi hai lớp theo sin kmx_ k,7rX sin l g(x, y,t) = Vy, (/)sin k; =1 k, =1
Đối với hàmT, , () ta rút ra được phương trình vi phân thơng thường
Ti, + Oxi, Tae, = Vin, ©
Với điều kiện ban đầu 7,, (0) =4,,, T,,, (0) = 4, x4,
Trong đĩ a,, và b,, được xác định ở trên Thay T „ () vào cơng thức của U ta sẽ tìm được nghiệm của bài tốn dao động cưỡng bức của màng 5 Phuong trinh Bessel
Xét dao động của một màng trịn giả sử màng chiếm một hình trong D bán
kính q trên mặt phẳng x0y
Đặt r = q Độ lệch của một điểm của màng U = UŒ,ø,£)
Điều kiện biên Ú,_, =0
Phương trình truyền nhiệt theo (r,t) là " " l , U +U,, —sU, =0 Trong tọa độ cực cĩ 8?U ờ” 18, 6U 1
4U =U" +U" =——(r—)+— U" =0
Thay vào phương trình trên cĩ
2
usa] (Sr) 12) r\or or) r\0@
>U"-a@ (ru, ), Ơn | =0
r
Điều kiện ban đầu: U,_, = ƒ(đr,ø); Ư?,; = Fữứ,ø)
Dat U = R(r)g()T(t) CO Ul = ROT"; Ul, = RYT ; U; = R'GT CO
Trang 35
d?3y ldy k? ——+—-—+|l-—|y=0 dx’ x dx | x? ¥ UN—a’ >0}: + TU =0 Ữ,.„=0ƒŒ,0)U,„-,= FŒ,ø)U = Rữ)ĩ(0)T()U„, = ROT" U" = R¢"T ROT" -a’ Leer’) OT + PT | =0 r r T" 2 2 > —=-7a T ⁄ 1 ' —(rR' ~(7R’) lg" " R r’ @ ữ ] ' " — rR' for ` ) +77 1 Nt Dat Tae ?z? và 7) a 2 ữ R r @ ữ 1 " ú" —(rR’) og = +7 1 —ữR} Đặt —r?| 7 2 +77 |=C Rút ra được 7”+ a7 =0 và ø"- Cĩ =0 Nghiệm của phương trình cĩ dạng
ĩ(ø) = D, coskø+ D, sinkọ D,,D, 1a hang số bất kì
Trang 36
` Ry 2 r 1 ? Đặt -k”=C nên cĩ -z?| * m†?!|=-k' hay RrxzRa[z cốc JR=4 r r Đưa vào biến số x = # va dat R(r)= A2] =y ⁄ Cĩ pik dr dr wade dy dxdr dx , aR d(dy d ydx ,d?y R = — OY — | | FY dr r1] Ye dr ữ dx? a đ? đ 7k?
Nhu vay p Daly Bap LE yao
Phương trình trên được gọi là phương trình Bessel
6 Dao động của màng trịn
Xét dao động của màng trịn bán kính q gắn chặt ở mép
Phương trình dao động 7 -z? (ru: )z Ơn | =0
r r
Thỏa mãn điều kiện ban dau U , = f(7,9); Ứ7„, = F(r,g) va thoa man
diéu kién bién U,_, =0
Trang 37
Phương trình dao động Uj - z7 (ru: ) re EU, | =0
r
Thỏa mãn điều kiện ban dau U , = ƒ(r,ø); Ư7,„_¿ = Fứ,ø) và thỏa man
điều kiện biên Ư,_, =0
Trang 38Cr
(D, coskg + D,sinkg).J, =
q 7 Tổng kết chương II
Trong chương II về dao động của màng, tơi đã trình bày việc thiết lập phương trình dao động của màng Cụ thể là việc giải phương trình dao động tự do của màng chữ nhật và dao động cưỡng bức của màng hình chữ nhật Mỗi
dạng phương trình đĩ cĩ các ví dụ minh hoạ điển hình, phù hợp
Nội dung chương II đã nêu bật được cách giải của từng phương trình
đao động của màng, qua đĩ giúp bạn đọc cĩ cách nhìn hệ thống và hướng giải
các dạng phương trình khác tương tự mà thơng thường là sự khác nhau về điều kiện ban đầu hoặc điều kiện biên hoặc là khác nhau cả hai điều kiện
Trang 39
CHƯƠNG 3
PHƯƠNG TRÌNH TRUYỀN NHIET 1 Thiét lap phuong trinh
Xét một mơi trường truyền nhiệt đẳng hướng
Nhiệt độ tại mỗi điểm P (x,y,z) ở thời điểm t,U = U (x,y, z, t)
* Định luật Fourier về sự truyền nhiệt
Nhiệt lượng AQ đi qua một mạch mặt kín bất kì A S theo phương pháp tuyến ø trong thời gian At tỉ lệ với AS; At và đạo hàm pháp tuyến = cua
H
nhiệt độ
AQ=-kASAt+““ ơn
k = k (x,y,z) Hệ số truyền nhiệt trong ø là vectơ pháp tuyến, hướng theo chiều giảm nhiệt độ
=> Sự truyền nhiệt của V bất kì Nhiệt lương truyền vào trong mặt S và
di qua mat § (Š là diện tích) Q;=- j#[k@œy,2 2= 4 5 Cĩ - == gradu ; Q, = J J k(x, y, y)gradu.dt.ds H hos Ap dung Otrogradski — Gauss suy ra t2 t2
Q= k | ae] divgradu dv =k J dt | Audu
Trong V cĩ nguồn nhiét: mat d6 g(x,y,z,t) 1a nhiét lvong toa ra (hấp thụ) (sinh ra hoặc mất đi) trên một đơn vị thể tích trong một đơn vị thời gian
Nhiệt lượng sinh ra hoặc mất đi trong thể tích bất kì t¡—›t; Kí hiệu Q,= [ai gdv
Trang 40
Nhiệt độ tại mỗi điểm trong V thay đổi
Nhiệt lượng để làm cho tại một điểm (x,y,z) thì nhiệt độ ở thời điểm t, thay đổi đến t„ là Q tức là U (x,y,z, t,) —> U Œ, y, z, t;] Q=Cm At Q;= Í (x.y,z)S(x, y,2)[U(x, y,z,1,)—~U(x, », 2.4) Vav Ta cĩ U(x,y, z, t,) — U (x,y, Z, tị) = Sa F Ou -_>Q; = |4 €ng+=0.+9 đây được gọi là phương trình cân bằng nhiệt Suy ra Q; — Q, — Q; = 0 hay ja Cp ku “a | ấy dz =0 Vì khoảng thời gian là bất kì nên | (Cpu, -kAu- g) dx dy dy =0 Do vùng V cũng tùy ý nên ở một thời điểm bất kỳ của mơi trường phải cĩ Co -kAu-g=0 hay Uu, ues Hy FM) = EBC Y.2) trong đĩ av = —
2 Bài tốn Cauchy đối với phương trình truyền nhiệt một chiều trong
thanh dài vơ hạn
Xét sự phân bố nhiệt trên thành mảnh dọc ox, nhiệt độ trong thành là u = u (x,t) cac mặt bên cách nhiệt