Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành công trong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứng minh các bất đẳng thức, giải các bài t

LỜI CẢM ƠN

Trong quá trình thực hiện đề tài nghiên cứu khoa học này, em đã nhận

được rất nhiều sự quan tâm, giúp đỡ của các thầy cô giáo và các bạn sinh viên

Em xin chân thành cảm ơn các thầy cô trong khoa Toán – Trường ĐHSPHN 2,

các thầy cô đã tận tình dạy dỗ em trong 4 năm học vừa qua và đã tạo điều kiện

để em hoàn thành đề tài này

Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc của mình tới GVC, Ths Phùng Đức

Thắng, người đã trực tiếp hướng dẫn, chỉ bảo tận tình cho em trong suốt quá

trình thực hiện đề tài nghiên cứu này

Do còn hạn chế về trình độ và thời gian nên đề tài này không tránh khỏi

những thiếu sót Em rất mong nhận được sự giúp đỡ, góp ý của thầy cô và các

bạn để đề tài nghiên cứu được hoàn thiện hơn

Em xin chân thành cảm ơn!

Hà Nội, tháng 05 năm 2010

Sinh viên

Nguyễn Thị Luyến

MỤC LỤC Trang Mở đầu 4

Chương 1 Các kiến thức có liên quan 6

1.1 Tập hợp lồi 6

1.1.1 Định nghĩa tập lồi 6

1.1.2 Một số bài tập 6

1.2 Hàm số 8

1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 8

1.2.2 Một số tính chất của hàm lồi 8

Chương 2 Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích 16

2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 16

2.1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển 16

2.1.2 Chứng minh các bất đẳng thức đại số 22

2.1.3 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác 27

2.2 Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ nhất của hàm số 34

2.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình và bất phương trình có tham số 40

Kết luận 42

Tài liệu tham khảo 43

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này của em được hoàn thành dưới sự hướng dẫn

tận tình của thầy giáo Ths Phùng Đức Thắng, cùng với đó là sự cố gắng của

bản thân

Trong quá trình nghiên cứu, em đã tham khảo và kế thừa những thành

quả nghiên cứu của các nhà khoa học và các nhà nghiên cứu với sự trân trọng và

lòng biết ơn

Em xin cam đoan những kết quả nghiên cứu trong khóa luận này là kết

quả nghiên cứu của riêng bản thân, không có sự trùng lặp với kết quả của các tác

MỞ ĐẦU

1 Lý do chọn đề tài

Giải tích lồi là một môn học nghiên cứu các tính chất của tập hợp lồi và

hàm lồi Các kết quả của giải tích lồi được áp dụng trong nhiều lĩnh vực

Trong chương trình toán ở nhà trường phổ thông, các em học sinh đã

được làm quen với khái niệm “lồi” ngay từ cấp 2 khi học môn Hình học Hầu

hết chương trình Hình học ở bậc Trung học cơ sở và Trung học phổ thông đều

giới hạn trong các hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình

tròn,…Trong đại số, tính lồi, lõm của hàm số được giảng dạy trong các chương

trình học về hàm số bậc hai và dùng để khảo sát hàm số

Sử dụng các kết quả cơ bản về hàm lồi cho phép chúng ta thành công

trong việc giải nhiều lớp các bài toán của đại số và giải tích sơ cấp như: Chứng

minh các bất đẳng thức, giải các bài toán tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của

hàm số cũng như biện luận một số lớp của các hệ phương trình và bất phương

trình chứa tham số

Với lý do trên em đã chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải các bài

toán đại số và giải tích”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo, GVC, Ths Phùng

Đức Thắng

2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy

logic đặc thù của bộ môn

3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số và giải

tích

4 Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu

+ Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông

+ Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng của giải tích lồi vào các bài toán đại số

và giải tích

5 Cấu trúc đề tài

Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương:

Chương 1 Các kiến thức có liên quan

Chương 2 Ứng dụng của giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

Các khái niệm cơ bản cũng như các tính chất cơ bản của tập lồi và hàm lồi

được trình bày trong chương 1

Chương 2 trình bày cách sử dụng tính lồi để giải một số lớp bài toán đại

số và giải tích Lớp các bài toán này bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, các

bất đẳng thức đại số và lượng giác, các bài toán cực trị, các bài toán về phương

trình và bất phương trình chứa tham số

Tập D được gọi là tập hợp lồi nếu như với mọi hai phần tử aD b, D ,

với mọi số 0  1 thì phần tử a 1 b cũng thuộc tập hợp D

1.1.2 Bài tập

Bài 1 Cho A và B là các tập hợp lồi Chứng minh rằng AB cũng là tập hợp

lồi

Lời giải

Lấy a,b tùy ý thuộc AB, và  là số thực tùy ý sao cho 0  1

Do , A B là hai tập lồi, mà , a b  ; , A a b  B nên

Điều đó có nghĩa là C lồi, tức AB lồi

Bài 3 Cho hệ phương trình

0 0

Giả sử x y1; 1 và x y là hai phần tử tùy ý của  2; 2 D, và  là số thực

tùy ý sao cho 0  1

2) Tương tự, ta có thể định nghĩa hàm lồi hai biến như sau:

Giả sử D là tập lồi trong  Hàm số 2 1

:

f D được gọi là lồi trên

D, nếu như với mọi x y1; 1 , x y2; 2  ;D với mọi , 0   1, ta có

 1  1  2; 1  1  2    1; 1  1   2; 2

1.2.2 Một số tính chất của hàm lồi

Tính chất 1 Cho D là tập hợp lồi trong  Giả sử 1 f x1   ,f2 x , , f n x là

các hàm lồi xác định trên D Cho 0 i  với mọi i = 1,n Khi đó hàm số

 f x  f x  n f n x cũng là hàm lồi trên D

Vậy F x là hàm lồi trên   D Ta có điều cần chứng minh

Tính chất 2 (Mối liên hệ giữa tập lồi và hàm lồi)

Giả sử f : D , ở đây 1 D là tập lồi trong 1

 Đặt

(epi f gọi là tập hợp trên đồ thị của hàm f)

Hàm f là lồi trên D khi và chỉ khi epi f là tập lồi trong  2

Chứng minh

1) Giả sử f : D là hàm lồi trên 1 D

Lấy x y1, 1  epi f ;x y2, 2  epi f và (0  1)

Theo định nghĩa của tập hợp epi f , ta có

2) Bây giờ giả sử epi f là tập lồi Giả thiết trái lại f x không phải là  

hàm lồi trên D Điều đó có nghĩa là tồn tại x x1, 2 D , tồn tại  0;1 sao cho

2) Bây giờ giả sử f là hàm lồi trên D Ta phải chứng minh (1) là đúng

Điều này được chứng minh bằng quy nạp như sau:

- Với n1, thì (1) hiển nhiên đúng

- Với n2, theo định nghĩa hàm lồi thì (1) cũng đúng

Ta thấy  1  2   k1  (1 )   (1 ) 1 nên từ (4) và theo

giả thiết quy nạp suy ra

đẳng thức Jen-xen sau đây:

Nếu f : D là hàm lồi trên tập lồi1 1

D Khi đó với mọi số n

nguyên dương, với mọi x x1, 2, ,x thuộc n D, ta có

i i

Tính chất 4 (Điều kiện đủ cho tính lồi của hàm số)

Cho f x là hàm số xác định trên    a b và có đạo hàm cấp hai tại mọi ;

điểm x  a b Nếu như ; f '' x > 0 với mọi x   a b , thì ; f x là hàm lồi  

trên  a b ;

Chứng minh

Lấy x x tùy ý thuộc 1, 2  a b và có thể giả sử ; a x1  x2  b

Lấy 1  0 , 2  0 sao cho 1 2  1

Ta phải chứng minh

Rõ ràng (1) đúng nếu như có một trong hai số 1 hoặc 2 bằng 0 Vì thế ta có

thể cho là 1  0 , 2  0 và  1  2  1

Áp dụng định lý Lagrange với hàm số f x trên   x1;1 1x 2x , ta thấy 2

tồn tại 1, mà x1  1  1 1x 2x , sao cho 2

Áp dụng định lí Lagrange với hàm số f x trên   1 1x 2x2; x , ta thấy 2

tồn tại 2 mà 1 1x 2 2x 2 x2 sao cho

 f x  f x  f x  x

Vậy (1) đúng hay ta có điều phải chứng minh

Trước khi xét tính chất 5 của hàm lồi, ta nhắc lại một số khái niệm sau:

- Hàm số f x gọi là đạt cực tiểu địa phương tại   x0D, nếu như tồn tại

lân cận V của x sao cho 0

Ta có điều phải chứng minh

Chú ý Tính chất trên cho ta một đặc trưng quan trọng nhất của hàm lồi là: Với

hàm lồi thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục

CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO

CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH

2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức

Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức

sơ cấp Lược dồ chung của phương pháp này như sau: Trước hết xây dựng một

hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh Sau

đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc

lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jen-xen để đưa ra lời giải

2.1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển

Lớp các bất đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong lí

thuyết bất đẳng thức Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng hay gặp nhất là:

bất đẳng thức Cauchy, bất đẳng thức Buniakowski, bất đẳng thức Schwartz, bất

đẳng thức Min-kop-xki

Bất đẳng thức kinh điển quan trọng ở chỗ, vì nó là cơ sở để chứng minh

rất nhiều bất đẳng thức khác, và đó là những bất đẳng thức hay gặp nhất

Để chứng minh các bất đẳng thức này, người ta có rất nhiều phương

pháp.Trong đề tài này phương pháp được đưa ra là: Dựa vào tính lồi của hàm số

mà thực chất là dựa vào bất đẳng thức Jen-xen

Kết hợp cả hai trường hợp suy ra bất đẳng thức Cauchy được chứng minh

Lấy

2

2 1

b

q j j

p n

a a a

     

  (2)

Ta có

Bất đẳng thức được chứng minh

2.1.2 Chứng minh các bất đẳng thức đại số

Chứng minh bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức đại số nói riêng là

một phần quan trọng trong giáo trình dạy và học môn toán ở trường phổ thông

Có rất nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức Với mỗi bất

đẳng thức cho trước, dựa vào cấu trúc của bất đẳng thức ta có thể lựa chọn một

phương pháp chứng minh thích hợp Trong đề tài này tôi trình bày cách sử dụng

bất đẳng thức Jen-xen để chứng minh các bất đẳng thức đại số Lược đồ chung

để giải các bài toán này cũng giống như lược đồ chung khi sử dụng tính lồi (cụ

Ta có điều phải chứng minh

Bài 3 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng

1

.3

 a  b  c   

a b c a b c a b c

Ta có điều phải chứng minh

Bài 4 Cho a b c là ba số dương Chứng minh rằng , ,

Do y  ln x là hàm đồng biến với 0x  , nên bất đẳng thức cần chứng

minh tương đương với bất đẳng thức sau

Từ (2) và (3) suy ra (1) đúng và đó là điều phải chứng minh

Bài 5 Chứng minh với mọi số tự nhiên n, ta có

Đó là điều phải chứng minh

Bài 6 Cho 0  1 , 0< <1 và + =1.   chứng minh

Đó là điều phải chứng minh

2.1.3 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác

Tính lồi của hàm số cũng được vận dụng một cách có hiệu quả để chứng

minh các bất đẳng thức lượng giác, đặc biệt là các bất đẳng thức lượng giác

trong tam giác

Nhờ việc sử dụng thích hợp bất đẳng thức Jen-xen cho phép chúng ta có

một phương pháp giải nhất quán nhiều bất đẳng thức lượng giác trong tam giác

Bài 1 Cho n là số nguyên dương

1) Giả sử 0  với mọi i1,n Chứng minh rằng

Ta có điều phải chứng minh

Nhận xét Từ các bất đẳng thức cơ bản trên ta suy ra các bất đẳng thức sau:

Trong tam giác ABC, ta có:

3 3

23

Đó là điều phải chứng minh

Nhận xét Từ bài trên suy ra trong mọi tam giác ABC ta có

Ta có điều phải chứng minh

Chú ý 1) Nói riêng trong mọi tam giác ABC, ta có các bất đẳng thức sau:

2sin

24cos

Ta có điều phải chứng minh

Chú ý Nhờ phương pháp hàm lồi, ta chứng minh được bất đẳng thức đã cho,

trong khi ta mới có hai bất đẳng thức ngược chiều sau: Trong mọi tam giác ABC

Do các vế của (3), (4), (5) đều dương, nên sau khi nhân từng vế ba bất đẳng thức

này, ta thu được

2.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Như ta đã biết, cực tiểu của một hàm số f x trên miền   D nào đó, nói

chung không phải là cực tiểu toàn cục, tức là nếu x0D là cực tiểu địa phương

- Tìm các cực tiểu địa phương của f x trên   D (để làm việc này, một

trong những phương pháp hiệu quả và hay sử dụng nhất là sử dụng các tiêu

chuẩn về cực tiểu địa phương thông qua đạo hàm bậc nhất, bậc hai của f x  

- So sánh các cực tiểu địa phương tìm được với một số giá trị đặc biệt

khác của hàm số (chẳng hạn với các giá trị tại các điểm cực hạn của hàm

số f x Từ đó, sau khi kết hợp các bước trên sẽ suy ra giá trị nhỏ nhất của  

 

f x trên miền D.Trong thực tế, đôi khi hàm f x là hàm lồi và miền   D là

tập lồi Khi đó, việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều, vì ta sử dụng tính

chất đặc trưng cơ bản sau đây của hàm lồi: Cực tiểu địa phương của hàm lồi f

trên miền lồi D cũng là cực tiểu toàn cục của hàm f trên miền ấy

Như vậy, với lớp các hàm lồi, việc tìm giá trị nhỏ nhất của nó trên một

miền lồi D đơn giản quy về việc tìm cực tiểu địa phương của chúng trên D

Bài 1 Cho f x y là hàm lồi liên tục xác định trên đa giác lồi  ; D của mặt

phẳng Giả sử A x y là các đỉnh của i i; i D Chứng minh

Lời giải

Lấy M x y là điểm tùy ý của  ; D mà không trùng với bất kì đỉnh nào của

đa giác lồi D Nối A M và kéo dài đến khi cắt biên của 1 D Có hai khả năng:

1) Hoặc là A M cắt biên của 1 D tại một đỉnh A x y nào đó Khi đó ta k k; k

Như vậy ta chứng minh được f x y ;  S với mọi điểm  x y; không phải là

đỉnh của đa giác lồi D

Vì f x y ; là hàm liên tục xét trên đa giác lồi D, do đó tồn tại giá trị lớn nhất

Ta có điều phải chứng minh

Từ kết quả này suy ra để tìm giá trị lớn nhất của hàm lồi f x y ; trên

một đa giác lồi D , ta chỉ cần xét các giá trị của hàm số f x y ; tại các đỉnh

i i i

A x y của D

Bài 2 Tìm giá trị lớn nhất và nhỏ nhất của hàm số f  x y;  3x4y2 trên

miền D được cho bởi hệ bất phương trình sau:

Vẽ hệ trục tọa độ OXY Dễ thấy tập hợp D chính là toàn bộ tam giác

ABC với các đỉnh : A(-2;0), B(-4;2), C(0;4), vì thế rõ ràng D là đa giác lồi

Hàm f  x y;  3x4y2 là hàm aphin (theo ngôn ngữ phổ thông

thì f x y là hàm bậc nhất), vì thế, nói riêng  ; f x y vừa lồi, vừa lõm Theo  ;

-4 -8

y

4

2 x+y+2=0

x-2y+8=0

2x-y+4=0

A A

B

C

x

C

D

x-y+2=04x+3y-6=0

6x-y+24=0

Theo Buniakowski thì (3) đúng Suy ra (1) đúng

Vậy f ( ; )x y là hàm lồi trên 2

 Vậy theo bài 1, suy ra

;

max 2;0 ; 4;0 ; 3;6 ; 0;2Max ;

tiểu địa phương của hàm   2 2

;

f x y  x  y trên miền D

Do f x y là hàm lồi nên theo tính chất 5 của hàm lồi (chương 1) thì đó  ;

cũng là điểm cực tiểu toàn cục của hàm f x y trên miền  ; D Nên ta có

2.3 Sử dụng hàm lồi để giải bất phương trình có tham số

Trong phần này đưa ra phương pháp sử dụng tính lồi để giải một số lớp

bài toán về bất phương trình có tham số với cấu trúc đặc biệt Các bài toán này

thường có dấu hiệu nhận biết sau đây: Miền xác định của bài toán thường có

dạng là các tập lồi và các hàm số là các hàm lồi Sử dụng đặc trưng của hàm lồi:

“Nếu hai điểm thuộc một tập hợp lồi A thì toàn đoạn thẳng nối hai điểm đó

xét hai điểm A (0;9) và B (3;6).Tìm a để đoạn thẳng AB AB nằm gọn    

(với biến x) nên D là tập lồi Mặt khác 1 f x y ; 3x y 2m4 là hàm lồi

(vì f x y là hàm aphin) nên  ; D2 là lồi Vì thế DD1D2 là tập lồi

Do đó đoạn  2; 1 của trục hoành thuộc D khi và chỉ khi