Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học này, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô khoa Toán – Trường ĐHSPHN 2, thầy cô tận tình dạy dỗ em năm học vừa qua tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC, Ths Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu Do hạn chế trình độ thời gian nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy cô bạn để đề tài nghiên cứu hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán MỤC LỤC Trang Mở đầu Chương Các kiến thức có liên quan 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa tập lồi 1.1.2 Một số tập 1.2 Hàm số 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 1.2.2 Một số tính chất hàm lồi Chương Ứng dụng giải tích lồi giải toán đại số giải tích 16 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 16 2.1.1 Chứng minh bất đẳng thức kinh điển 16 2.1.2 Chứng minh bất đẳng thức đại số 22 2.1.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 27 2.2 Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 34 2.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình bất phương trình có tham số 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Ths Phùng Đức Thắng, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích lồi môn học nghiên cứu tính chất tập hợp lồi hàm lồi Các kết giải tích lồi áp dụng nhiều lĩnh vực Trong chương trình toán nhà trường phổ thông, em học sinh làm quen với khái niệm “lồi” từ cấp học môn Hình học Hầu hết chương trình Hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thông giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn,…Trong đại số, tính lồi, lõm hàm số giảng dạy chương trình học hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm số Sử dụng kết hàm lồi cho phép thành công việc giải nhiều lớp toán đại số giải tích sơ cấp như: Chứng minh bất đẳng thức, giải toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Với lý em chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải toán đại số giải tích”, hướng dẫn thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức Thắng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng giải tích lồi vào toán đại số giải tích Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào toán đại số Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán giải tích Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương: Chương Các kiến thức có liên quan Chương Ứng dụng giải tích lồi giải toán đại số giải tích Các khái niệm tính chất tập lồi hàm lồi trình bày chương Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp toán đại số giải tích Lớp toán bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số lượng giác, toán cực trị, toán phương trình bất phương trình chứa tham số Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi Tập D gọi tập hợp lồi với hai phần tử a  D, b  D, với số      1 phần tử  a  1    b thuộc tập hợp D 1.1.2 Bài tập Bài Cho A B tập hợp lồi Chứng minh A  B tập hợp lồi Lời giải Lấy a,b tùy ý thuộc A  B ,  số thực tùy ý cho    Do A, B hai tập lồi, mà a, b  A; a, b  B nên  a  1    b  A   a  1    b  B Từ  a  1    b  A  B Vậy A  B tập lồi Bài Cho A B tập hợp lồi Chứng minh A  B tập hợp lồi Lời giải Đặt C  A  B , C  c : c  a  b với a  A, b  B Lấy c1 , c2 tùy ý thuộc C ,    số thực tùy ý Vì c1  C  c1  a1  b1 với a1  A, b1  B c2  C  c2  a2  b2 với a2  A, b2  B Từ c1  1    c2    a1  b1   1    a2  b2  Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán   a1  1    a2   b1  1    b2  (1) Do A, B lồi mà a1 , a2  A; b1 , b2  B nên  a1  1    a2  A,  b1  1    b2  B Từ (1) suy c1  1    c2  C Điều có nghĩa C lồi, tức A  B lồi Bài Cho hệ phương trình a1 x  b1 y  c1  a x  b y  c   2   an x  bn y  cn  Giả sử hệ có nghiệm D tập hợp nghiệm hệ Chứng minh D tập lồi  Lời giải Giả sử  x1 ; y1   x2 ; y2  hai phần tử tùy ý D ,  số thực tùy ý cho    Ta có ak x1  bk y1  ck  ak x2  bk y2  ck  với k  1, n Từ suy với k  1, n có  (ak x1  bk y1  ck )  1    ( ak x2  bk y2  ck )  , hay ak  x1  1    x2   bk  y1  1    y2   ck  (1) Bất đẳng thức (1) chứng tỏ với k  1, n phần tử   x1 ; y1   1    x2 ; y2   D Theo định nghĩa D tập lồi  Ta có điều cần chứng minh Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán 1.2 Hàm số 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi Giả sử D tập hợp lồi  Hàm số f : D   gọi hàm lồi D , với x1, x2  D, với      1 , f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  Chú ý 1) D tập hợp lồi  Hàm số f : D   gọi hàm lõm D  f lồi D 2) Tương tự, ta định nghĩa hàm lồi hai biến sau: Giả sử D tập lồi  Hàm số f : D   gọi lồi D , với  x1; y1  ,  x2 ; y2   D; với ,    1, ta có f   x1  1    x2 ;  y1  1    y2    f  x1 ; y1   1    f  x2 ; y2  1.2.2 Một số tính chất hàm lồi Tính chất Cho D tập hợp lồi  Giả sử f1  x  , f  x  , , f n  x  hàm lồi xác định D Cho i  với i = 1,n Khi hàm số 1 f1  x   2 f  x    n f n  x  hàm lồi D Chứng minh Đặt F  x    i fi  x  n i 1 Lấy x1 , x2  D  số thực cho    Ta có F   x1  1    x2    i fi   x1  1    x2  n (1) i 1 Vì fi : D   hàm lồi với i  1, n , nên ta có với i  1, n , fi   x1  1    x2    fi  x1   1    fi ( x2 ) Do (2) i  0,  i  1, n nên từ (2) ta có i fi   x1  1    x2   i  fi  x1   i 1    fi ( x2 ) , i = 1, n Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán Từ đến  i fi   x1  1    x2     i fi  x1   1     i fi  x2  n n n i 1 i 1 i 1 hay  i fi   x1  1    x2    F  x1   1    F  x2  n (3) i 1 Từ (1) (3 ), đến F   x1  1    x2    F  x1   1    F  x2  Vậy F  x  hàm lồi D Ta có điều cần chứng minh Tính chất (Mối liên hệ tập lồi hàm lồi) Giả sử f : D   , D tập lồi  Đặt epi f :  x; y    : f  x   y, x  D (epi f gọi tập hợp đồ thị hàm f) Hàm f lồi D epi f tập lồi  Chứng minh 1) Giả sử f : D   hàm lồi D Lấy  x1 , y1   epi f ;  x2 , y2   epi f  (0    1) Theo định nghĩa tập hợp epi f , ta có x1, x2  D f  x1   y1, f  x2   y2 (1) Do f hàm lồi D ,    , nên từ (1) ta có f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2    y1  1    y2 (2) Do x1 , x2  D , mà D tập lồi nên  x1  1    x2  D Kết hợp với (2) suy điểm   x1 ; y1   1    x2 ; y2   epi f , tức epi f tập lồi Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán 2) Bây giả sử epi f tập lồi Giả thiết trái lại f  x  hàm lồi D Điều có nghĩa tồn x1 , x2  D , tồn  0;1 cho         f  x1     f  x2  f  x1    x2 (3) Theo định nghĩa  x ; f  x  1  epi f ;  x2 ; f  x2    epi f Do epi f tập lồi , mà   0;1 , nên     x1; f  x1   +    x2 ; f  x2    epi f      (4)   (5)    x1    x2 ;  f ( x1 )    f ( x2 )  epi f Từ (4) theo định nghĩa epi f , suy      f ( x1 )    f ( x2 )  f  x1    x2 Từ (3), (5) suy mâu thuẫn Vậy giả sử sai, suy f hàm lồi D Ta có điều cần chứng minh Tính chất (Bất đẳng thức Jen-xen) Cho D tập lồi  , f : D   hàm số xác định D Khi f hàm lồi D với số n nguyên dương, với   n x1 , x2 , , xn thuộc D , với số i  i  1, n  i  ta có bất đẳng i 1 thức  n f  i xi i 1    i f  xi  n i 1 (1) Bất đẳng thức (1) gọi bất đẳng thức Jen-xen Chứng minh 1) Giả sử (1) thỏa mãn, ứng với n  , theo định nghĩa f hàm lồi D 2) Bây giả sử f hàm lồi D Ta phải chứng minh (1) Điều chứng minh quy nạp sau: Nguyễn Thị Luyến 10 K32 CN - Toán hay cos1  cos   cos n       n  cos , n n Ta có điều phải chứng minh 3) Xét hàm số f  x   tan x , với  x   Ta có f ' x   2sin x    f''  x   > , x   0;  cos x cos x  2   Vậy f  x  hàm lồi  0;  Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có  2        n  f    f 1   f     f  n  , n n   hay tan 1  tan    tan  n       n  tan n n Ta có điều phải chứng minh Nhận xét Từ bất đẳng thức ta suy bất đẳng thức sau: Trong tam giác ABC, ta có: 3 ;  ; 3  ; a) sin A  sin B  sin C  A B C  sin  sin 2 A B C c) cos  cos  cos 2 A B C d ) tan  tan  tan  2 b) sin Bài Cho  xi   với i  1, n Chứng minh 1 n     x1  x2   xn sinx1 sinx sinx n sin n Nguyễn Thị Luyến 29 K32 CN - Toán Lời giải Xét hàm số f  x   với  x   Ta có sinx  cos x  cos x   f ''  x    , x   0;   sin x sin x f ' x  Do f  x  hàm lồi  0;  Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có  x  x2   xn  f    f  x1   f  x2    f  xn   n n   n 1      x1  x2   xn sinx sinx sinx n sin n Đó điều phải chứng minh Nhận xét Từ suy tam giác ABC ta có 1    3, sin A sin B sin C 1 b)    A B C sin sin sin 2 a) Bài Chứng minh 1 n     x  x   xn sin x1 sin x2 sin xn sin 2 n với  xi   , với i  1, n Lời giải Xét hàm số f  x   f ' x   với  x   Ta có sin x 2cos x 2sin x  6cos x  f '' x   0,  x   0;     sin x sin x Do f  x  hàm lồi  0;  , theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có Nguyễn Thị Luyến 30 K32 CN - Toán  x  x2   xn   f  x1   f  x2    f  xn   , f   n n   1 n      2 sin x1 sin x2 sin xn x1  x2   xn sin n Ta có điều phải chứng minh Chú ý 1) Nói riêng tam giác ABC, ta có bất đẳng thức sau: 1    4, sin A sin B sin C 1 b)    12 A B C sin sin sin 2 a) 2) Tương tự, cách xét hàm số f  x   với cos x    x  ta có 2cos2 x  6sin x    f ''  x    x    ;  cos x  2    Vì f  x  hàm lồi   ;   2 Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen, với    xi   , i  1, n , ta có 1 n     2 cos x1 cos x2 cos xn x1  x2   xn cos n Nói riêng tam giác ABC, ta có 1    12, 2 cos A cos B cos C 1 b)    A B C cos cos cos 2 a) Bài Chứng minh tam giác ABC, ta có sin A B C A B C  sin  sin  tan  tan  tan  2 2 2 Nguyễn Thị Luyến 31 3 K32 CN - Toán  , Lời giải x x Xét hàm số f  x   sin  tan với  x   2 Ta có f ' x   x cos  2 2cos x sin x x  f ''  x    sin  2cos3 x x sin   cos3 x   x   0;    x 2 4cos3  Vậy f  x  hàm lồi  0;  Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có  A B C  f    f  A  f  B   f  C   3   1 A A B B C C    f    sin  tan  sin  tan  sin  tan  3 2 2 2 3  A B C A B C    3 sin  tan   sin  sin  sin  tan  tan  tan 6 2 2 2  A B C A B C  sin  sin  sin  tan  tan  tan  3 2 2 2 Ta có điều phải chứng minh Chú ý Nhờ phương pháp hàm lồi, ta chứng minh bất đẳng thức cho, ta có hai bất đẳng thức ngược chiều sau: Trong tam giác ABC có: tan sin A B C  tan  tan  2 A B C  sin  sin  2 2 ta phép cộng hai bất đẳng thức ngược chiều Nguyễn Thị Luyến 32 K32 CN - Toán Bài Chứng minh tam giác ABC, ta có  A  3B   B  3C   C  A  sin A sin B sin C  sin   sin   sin         Lời giải Do sin A, sin B, sin C số dương nên theo bất đẳng thức Cauchy, ta có  sin A  3sin B  sin A sin B      Xét hàm số f  x f ' x  f (1)  sin x với  x   Ta có  cos x  f''  x    sinx < x   0;   x  hàm lõm  0;  , nên theo bất đẳng thức Jen-xen,  1 f  A  B  f  A  f  B   4 4  sin A  3B   sin A  3sin B  4 (2) Từ (1) (2), đến  A  3B  sin A sin B  sin     (3)  B  3C  sin B sin C  sin     (4)  C  3A  sin C sin A  sin     (5) Tương tự ta có Do vế (3), (4), (5) dương, nên sau nhân vế ba bất đẳng thức này, ta thu  A  3B   B  3C   C  A  sin A sin B sin C  sin   sin   sin         hay  A  3B   B  3C   C  A  sin A sin B sin C  sin   sin   sin         Ta có điều phải chứng minh Nguyễn Thị Luyến 33 K32 CN - Toán 2.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Như ta biết, cực tiểu hàm số f  x  miền D đó, nói chung cực tiểu toàn cục, tức x0  D cực tiểu địa phương f  x  D ta có: f  x0   f  x  , x  D Do đó, để tìm giá trị nhỏ f  x  miền D cho trước, ta tiến hành sau: - Tìm cực tiểu địa phương f  x  D (để làm việc này, phương pháp hiệu hay sử dụng sử dụng tiêu chuẩn cực tiểu địa phương thông qua đạo hàm bậc nhất, bậc hai f  x  - So sánh cực tiểu địa phương tìm với số giá trị đặc biệt khác hàm số (chẳng hạn với giá trị điểm cực hạn hàm số f  x  Từ đó, sau kết hợp bước suy giá trị nhỏ f  x  miền D Trong thực tế, hàm f  x  hàm lồi miền D tập lồi Khi đó, việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, ta sử dụng tính chất đặc trưng sau hàm lồi: Cực tiểu địa phương hàm lồi f miền lồi D cực tiểu toàn cục hàm f miền Như vậy, với lớp hàm lồi, việc tìm giá trị nhỏ miền lồi D đơn giản quy việc tìm cực tiểu địa phương chúng D Bài Cho f  x; y  hàm lồi liên tục xác định đa giác lồi D mặt phẳng Giả sử Ai  xi ; yi  đỉnh D Chứng minh Maxf  x; y   max  f  x1; y1  ; f  x2 ; y2  ; ; f  xn ; yn   x ; y D Nguyễn Thị Luyến 34 K32 CN - Toán Lời giải A3 A2 A2 Aj M(x;y) A1 M(x;y)     N x; y N x; y N ( x; y ) A Aj+1 Ak An An Lấy M  x; y  điểm tùy ý D mà không trùng với đỉnh đa giác lồi D Nối A1M kéo dài đến cắt biên D Có hai khả năng: 1) Hoặc A1M cắt biên D đỉnh Ak  xk ; yk  Khi ta có M thuộc đoạn A1 Ak tức là:  x; y   1  x1; y1   2  xk ; yk  , với 1  , 2  , 1  2  Vì f  x; y  hàm lồi nên ta có f ( x; y)  1 f ( x1; y1 )  2 f ( xk ; yk ) (1) S  max  f  x1; y1  ; f  x2 ; y2  ; ; f  xn ; yn  Đặt Do 1  , 2  ,nên từ (1) suy f  x; y    1  2  S  S   2) Hoặc A1M cắt biên D điểm N x; y cạnh Aj Aj 1 D Khi dó ta có    x; y   1  x1; y1   2 x; y , 1  , 2  , 1  2    x; y  1  x j ; y j   2  x j 1; y j 1  , 1  , 2  , 1  2      Vì f  x; y  hàm lồi nên ta có Nguyễn Thị Luyến 35 K32 CN - Toán    f  x; y   1 f  x1; y1   2 f x; y   f x; y  1 f  x j ; y j   2 f  x j 1; y j 1      Do i , j  , i, j=1,2 , từ ta suy f  x; y   1 f  x1; y1   21 f  x j ; y j   22 f  x j 1; y j 1    1  21  22  S Do 1  2  , 1  2   1  21  22  1, suy f  x; y   S Như ta chứng minh f  x; y   S với điểm  x; y  đỉnh đa giác lồi D Vì f  x; y  hàm liên tục xét đa giác lồi D , tồn giá trị lớn xét tập D Từ (1) suy Maxf  x; y   max  f  x1; y1  ; f  x2 ; y2  ; ; f  xn ; yn   x ; y D Ta có điều phải chứng minh Từ kết suy để tìm giá trị lớn hàm lồi f  x; y  đa giác lồi D , ta cần xét giá trị hàm số f  x; y  đỉnh Ai  xi ; yi  D Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f  x; y   3x  y  miền D cho hệ bất phương trình sau:  x  y       D   x; y  :  x  y     2 x  y   0    Lời giải Vẽ hệ trục tọa độ OXY Dễ thấy tập hợp D toàn tam giác ABC với đỉnh : A(-2;0), B(-4;2), C(0;4), rõ ràng D đa giác lồi Nguyễn Thị Luyến 36 K32 CN - Toán y 2x-y+4=0 C x+y+2=0 B x-2y+8=0 -8 Hàm f  x; y  A -2 A -4 O x  3x  y  hàm aphin (theo ngôn ngữ phổ thông f  x; y  hàm bậc nhất), thế, nói riêng f  x; y  vừa lồi, vừa lõm Theo 1, ta có Maxf  x; y   max  f  2;0  ; f  4;2  ; f  0;4   x ; y D  max 4; 18; 14  4 Ta có f  x; y    max   f  x; y   (1)  x ; y D Đặt g  x; y    f  x; y  , từ (1) ta có f  x; y    Maxg  x; y   x ; y D (2)  x ; y D Do f  x; y  hàm lõm nên g  x; y  hàm lồi Theo ta có Maxg  x; y   max  g  2;0  ; g  4;2  ; g  0;4   x ; y D  max 4;18;14  18 (3) Từ (2) (3) suy Nguyễn Thị Luyến 37 K32 CN - Toán f  x; y    18  x ; y D Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f  x; y   x2  y , tập hợp D cho hệ bất phương trình sau: D   x; y  : x  y   0;6 x  y  24  0; x  y   0; y  0 Lời giải 4x+3y-6=0 y 6x-y+24=0 C x-y+2=0 D B H -4 A -2 -3 x Dễ thấy D tứ giác lồi ABCD, tọa độ đỉnh là: A(-2;0); B(-4;0); C(-3;6); D(0;2) f  x; y   x  y hàm lồi toàn mặt phẳng Thật vậy: lấy  x1; y1  ,  x2 ; y2   , 1  0, 2  ; 1  2  Ta chứng minh f  1  x1; y1   2  x2 ; y2    1 f  x1; y1   2 f  x2 ; y2  (1) Ta có (1)  f  1 x1  2 x2 ; 1 y1  2 y2   1 f  x1; y1   2 f  x2 ; y2   (1 x1  2 x2 )2  (1 y1  2 y2 )2  1 x12  y12  2 x22  y22 Nguyễn Thị Luyến 38 K32 CN - Toán  (1 x1  2 x2 )  (1 y1  2 y )   12  x12  y12   22  x22  y22   212 ( x12  y12 )  x22  y22  (2) Vì 1  0, 2  , nên từ (2) suy ( x12  y12 )  x22  y22  (1)  x1 x2  y1 y2  (3) Theo Buniakowski (3) Suy (1) Vậy f ( x; y ) hàm lồi  Vậy theo 1, suy Max f  x; y   max  f  2;0  ; f  4;0  ; f  3;6  ; f  0;2   x ; y D    max 2;4;3 5;2  Ta nhận thấy M  x; y  f  x; y   x  y  OM Nếu gọi H  x0 ; y0  hình chiếu O AD  x0 ; y0  điểm cực tiểu địa phương hàm f  x; y   x  y miền D Do f  x; y  hàm lồi nên theo tính chất hàm lồi (chương 1) điểm cực tiểu toàn cục hàm f  x; y  miền D Nên ta có f  x; y   f  x0 ; y0   OH   x ; y D Bài Cho x, y, z  x  y  z  Tìm gía trị lớn P x y z   x 1 y 1 z 1 Lời giải Hàm số f  x   f ' x   x lõm  0;  x 1 1  x   f ''  x   2  x  1  0; x   0;   Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen cho hàm lõm ta có Nguyễn Thị Luyến 39 K32 CN - Toán  x yz f  x  f  y  f  z   f     x yz x y z 3    3 3  3 x yz x 1 y 1 z 1 1 1 3 P hay 3 ;P x yz 4 Vậy giá trị lớn P 2.3 Sử dụng hàm lồi để giải bất phƣơng trình có tham số Trong phần đưa phương pháp sử dụng tính lồi để giải số lớp toán bất phương trình có tham số với cấu trúc đặc biệt Các toán thường có dấu hiệu nhận biết sau đây: Miền xác định toán thường có dạng tập lồi hàm số hàm lồi Sử dụng đặc trưng hàm lồi: “Nếu hai điểm thuộc tập hợp lồi A toàn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc A ” Bài Xét hệ bất phương trình 2 x  y  a   6 x  y  5a  (1) (2) Gọi  tập nghiệm hệ bất phương trình (1) (2) Trong mặt phẳng tọa độ xét hai điểm A (0;9) B (3;6).Tìm a để đoạn thẳng AB  AB nằm gọn  Lời giải Ta có f1  x; y   x  y  a f  x; y   x  y  5a hàm aphin, nên hàm lồi.Ở miền xác định D hệ hai phương trình (1) (2) D     (do D lồi) Theo (phần tập lồi chương 1)  tập lồi Nên  AB   A  B  Nguyễn Thị Luyến (3) 40 K32 CN - Toán Để A(0;9)  , ta cần có 0   a  27   a   0  27  5a  (4) Để B(3;6)  , ta cần có 6   a  36   a   18  18  a   Từ (3), (4), (5) ta suy giá trị cần tìm a là: (5) 27  a  Bài Cho hệ bất phương trình   x   m   x  4m  y   3x  y  (2m  4)  (1) (2) Tìm m để tập hợp nghiệm hệ hai phương trình (1) (2) chứa đoạn  2; 1 trục hoành Lời giải Gọi D tập nghiệm hệ hai bất phương trình (1) (2), D  D1  D2 , D1 , D2 tập nghiệm (1), (2) Đặt f  x   x   m   x  4m , (1) tương đương với f  x   y Vì D1   x; y  : f  x   y Nói cách khác D1  epi f Do f hàm lồi (với biến x) nên D1 tập lồi Mặt khác f  x; y   3x  y   2m  4 hàm lồi (vì f  x; y  hàm aphin) nên D2 lồi Vì D  D1  D2 tập lồi Do đoạn  2; 1 trục hoành thuộc D A  D B  D , A(-2;0),B(-1;0) 4  2(m  4)  4m  A D   6  (2m  4)   -5  m  2, 1  (m  4)  4m  7 BD     m    m    Từ suy giá trị m là: Nguyễn Thị Luyến 7  m  41 K32 CN - Toán KẾT LUẬN Sử dụng kết hàm lồi cho phép thành công việc giải nhiều lớp toán đại số giải tích sơ cấp, điển hình là: Chứng minh bất đẳng thức, giải toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cô, bạn góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo: GVC, ThS Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến Nguyễn Thị Luyến 42 K32 CN - Toán TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề bất đẳng thức bất phƣơng trình Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi toán THPT – Giải tích lồi toán sơ cấp, NXB Giáo Dục Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên tập 1, NXB Giáo Dục Trần Phương, Các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức Tạp chí toán học tuổi trẻ Nguyễn Thị Luyến 43 K32 CN - Toán [...]... tại x0 Ta có điều phải chứng minh Chú ý Tính chất trên cho ta một đặc trưng quan trọng nhất của hàm lồi là: Với hàm lồi thì mọi cực tiểu địa phương đều là cực tiểu toàn cục Nguyễn Thị Luyến 15 K32 CN - Toán CHƢƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức Một trong những ứng dụng của hàm lồi là chứng minh các bất đẳng thức sơ cấp... trình bày cách sử dụng bất đẳng thức Jen-xen để chứng minh các bất đẳng thức đại số Lược đồ chung để giải các bài toán này cũng giống như lược đồ chung khi sử dụng tính lồi (cụ thể là sử dụng BĐT Jen-xen) để chứng minh Bài 1 Giả sử a1 , a2 , , an là các số lớn hơn hoặc bằng 1 Chứng minh 1 1 1    1  a1 1  a2 1  an  1 n n a1a2 an Lời giải Nguyễn Thị Luyến 22 K32 CN - Toán Xét hàm số f  x ... dựng một hàm số tương thích với các biểu thức trong bất đẳng thức cần chứng minh Sau đó dùng các tiêu chuẩn để chứng minh hàm số vừa xây dựng là hàm lồi (hoặc lõm), và cuối cùng áp dụng bất đẳng thức Jen-xen để đưa ra lời giải 2.1.1 Chứng minh các bất đẳng thức kinh điển Lớp các bất đẳng thức kinh điển đóng một vai trò quan trọng trong lí thuyết bất đẳng thức Các bất đẳng thức kinh điển thông dụng hay... là hàm lồi và miền D là tập lồi Khi đó, việc giải bài toán trở nên đơn giản hơn nhiều, vì ta sử dụng tính chất đặc trưng cơ bản sau đây của hàm lồi: Cực tiểu địa phương của hàm lồi f trên miền lồi D cũng là cực tiểu toàn cục của hàm f trên miền ấy Như vậy, với lớp các hàm lồi, việc tìm giá trị nhỏ nhất của nó trên một miền lồi D đơn giản quy về việc tìm cực tiểu địa phương của chúng trên D Bài 1 Cho... Bất đẳng thức được chứng minh 2.1.2 Chứng minh các bất đẳng thức đại số Chứng minh bất đẳng thức nói chung, bất đẳng thức đại số nói riêng là một phần quan trọng trong giáo trình dạy và học môn toán ở trường phổ thông Có rất nhiều phương pháp khác nhau để chứng minh bất đẳng thức Với mỗi bất đẳng thức cho trước, dựa vào cấu trúc của bất đẳng thức ta có thể lựa chọn một phương pháp chứng minh thích hợp... Tìm các cực tiểu địa phương của f  x  trên D (để làm việc này, một trong những phương pháp hiệu quả và hay sử dụng nhất là sử dụng các tiêu chuẩn về cực tiểu địa phương thông qua đạo hàm bậc nhất, bậc hai của f  x  - So sánh các cực tiểu địa phương tìm được với một số giá trị đặc biệt khác của hàm số (chẳng hạn với các giá trị tại các điểm cực hạn của hàm số f  x  Từ đó, sau khi kết hợp các. .. để chứng minh rất nhiều bất đẳng thức khác, và đó là những bất đẳng thức hay gặp nhất Để chứng minh các bất đẳng thức này, người ta có rất nhiều phương pháp.Trong đề tài này phương pháp được đưa ra là: Dựa vào tính lồi của hàm số mà thực chất là dựa vào bất đẳng thức Jen-xen Bài 1 (Bất đẳng thức Cauchy) Cho n số thực không âm a1 , a2 , , an Chứng minh rằng a1  a2   an  n n a1a2 an Lời giải 1)... lồi trên  0;1 Ta có          1    1  F    F 1    (2) Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen với hàm lồi F  x  trên  0;1 , ta có F    F 1      1  1 1  F   F     2 2   2 2 1 2  1 2 Từ đó suy ra      2 Đó là điều phải chứng minh 2.1.3 Chứng minh các bất đẳng thức lượng giác Tính lồi của hàm số cũng được vận dụng một cách có hiệu quả để chứng... ln a1a1 a2a2 anan  (1) Dựa vào tính đồng biến của hàm số y  ln x khi x  0 , ta thấy (1)  a a a a1 1 a2 2 an n a  a2   an  a  a2   an  1   1  n   Ta có điều phải chứng minh Bài 3 Cho a, b, c là ba số dương Chứng minh rằng a a a b  c b b a b  c c c a b  c 1  a  b  c  3  Lời giải Xét hàm số f  x   x ln x , với x  0 f  x  là hàm lồi x  0 Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen,... thức được Buniakowski chứng minh Bài 3 (Bất đẳng thức Schwartz) Cho 2n số thực a1 , a 2 , a.n, b 1;b 2 bi  0 , i  1, n , bn , trong , đó Chứng minh an2 a12 a22     b1 b2 bn  a1  a2   an  b1  b2   bn 2 Lời giải Xét hàm số f  x   x 2 f  x  là hàm lồi trên toàn trục số R Lấy xi  ai b , i  n i , i = 1, n bi  bj j 1 n Ta có i  0 ,  i = 1, n và  i  1 i 1 Theo bất ... Ứng dụng giải tích lồi giải toán đại số giải tích Các khái niệm tính chất tập lồi hàm lồi trình bày chương Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp toán đại số giải tích Lớp toán bao... hàm lồi là: Với hàm lồi cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục Nguyễn Thị Luyến 15 K32 CN - Toán CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO CÁC BÀI TOÁN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng... cứu ứng dụng giải tích lồi vào toán đại số giải tích Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào