Giải tích fourier hữu hạn

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 LI CM N Trong thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận, em nhận giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện vật chất, tinh thần thầy cô tổ Giải Tích hỗ trợ, động viên bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Do thời gian trình độ nhận thức cịn hạn chế, cố gắng vấn đề em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em kính mong bảo tận tình thầy giáo, giáo, đóng góp ý kiến bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Xuân NguyÔn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tèt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu em thời gian qua, hướng dẫn thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” khơng trùng với khóa luận tốt nghiệp khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viờn Nguyn Th Thanh Xuõn Nguyễn Thị Thanh Xuân Líp K35C – SP To¸n Kho¸ ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier…………………………………………….…… 1.1.1 Định nghĩa………………………………………………3 1.1.2.Sự hội tụ…………………………………………………4 1.1.3 Sự hội tụ đều……………………………………………8 1.1.4 Sự hội tụ L2  L2   ,   ……………………….13 1.1.5 Chuỗi Fourier dạng phức, đẳng thức Parseval 16 1.2 Nhóm hữu hạn…………………………… ………………….18 1.2.1 Định nghĩa nhóm………………………………………18 1.2.2 Tính chất nhóm…………………… 19 1.2.3 Nhóm  N  ………………………………………… 20 CHƯƠNG 2: CHUỖI FOURIER HỮU HẠN 2.1 Chuỗi Fourier  N  …………………………………….28 2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier……………………………….29 2.1.2 Công thc Fourier ngc.30 Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 2.1.3 Bin đổi Fourier nhanh……………………………… 31 2.2 Các đặc trưng nhóm Aben hữu hạn……………………….32 2.2.1 Đặc trưng……………………………………………… 32 2.2.2 Các quan hệ trực giao………………………………… 33 2.2.3 Các đặc trưng hệ đầy đủ…………………….35 2.3 Chuỗi Fourier nhóm hữu hạn tổng quát………………… 38 2.3.1 Định nghĩa……………………………………………….38 2.3.2 Công thức ngược……………………………………… 38 2.3.3 Đẳng thức Plancherel……………………………………39 2.4 Một số tập……………………………………………….….39 Kết luận chung……………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 47 Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết biến đổi Fourier vấn đề lí thú tốn học, có nhiều ứng dụng vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho nghiên cứu nhiều vần đề Trong q trình học tập số mơn học giảng chuyên đề em tiếp thu nhiều kiến thức chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel, đẳng thức Parseval, tích phân Fourier….Những kiến thức tạo cho em niềm say mê, hứng thú với mơn tốn, đặc biệt ngành Giải Tích Hơn em muốn có thêm kiến thức chuỗi Fourier biến đổi Fourier Chính lí em chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” , hướng dẫn thầy giáo TS Bùi Kiên Cường để nghiên cứu làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic, đặc thù mơn học Khắc sâu, tìm hiểu kiến thức Giải tích Fourier hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn Bước đầu tìm hiểu chuỗi Fourier hữu hạn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Chuỗi Fourier nhóm hữu hạn +) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Phng phỏp ỏnh giỏ tổng hợp Phương pháp so sánh, phân tích Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận cịn gồm hai chương là: +) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị +) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn Chương 1: trình bày vấn đề chuỗi Fourier trường hợp tổng quát số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm N Chương 2: trình bày chuỗi Fourier nhóm hữu hạn Từ đó, ta thấy giống khác hai trường hợp Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 NI DUNG CHNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CHUỖI FOURIER 1.1.1 Định nghĩa Với hàm f  L1   ,  , f khả tích Lesbesgue   ,   , ta định nghĩa chuỗi Fourier f chuỗi hàm lượng giác sau: (1.1) a0     an cos nx  bn sin nx  n 1 Trong an  (1.2) bn      f ( x)cos nx dx , n  0, 1,    f  x  sin nx dx , n  1, 2,  Mối liên hệ (1.1) – (1.2) kí hiệu là: f ( x) ~  a0    an cos nx  bn sin nx  n 1 lưu ý kí hiệu “ ~” khơng mang ý nghĩa hội tụ chuỗi trên, đơn giản mối liên hệ (1.1) – (1.2) mà Nếu f hàm tuần hồn chu kì 2 , ta có định nghĩa chuỗi Fourier f tương tự trên, hệ số an , bn tính đoạn tùy ý  a, a  2 Nu f Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 l hàm tuần hồn chu kì 2l , phép đổi biến t  x l , ta đưa trường hợp tuần hồn chu kì 2 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa: Cho hàm số f xác định  a, b  , phân hoạch P  a, b P   a  x0  x1      xn  b  ( n   ) thành n phần tùy ý Ta kí hiệu xi  xi  xi  ,  f  f  xi   f  xi   :  giao độ hàm i  1, n Biến phân hàm f  a, b  kí hiệu V  f   V  f , a, b  xác định bởi: n V  f   sup  P fi i 1 Nếu V  f  hữu hạn ta nói hàm f có biến phân bị chặn Bổ đề Tích phân Dirichlet) Cho f hàm số thực phức xác định khoảng  a, b  thỏa mãn hai điều kiện Dirichlet đây: (i) Tồn giá trị f  a  , f  b   f có biến phân bị chặn  a, b ( ta coi hàm f xác định  a, b  với giá trị biên f  a   f  a   f  b   f  b   ) Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 (ii) Cú hu hn điểm thuộc  a, b  cho bỏ lân cận bé tùy ý điểm f có biến phân bị chặn phần lại  a, b  , f  L1  a, b  Khi đó: b a) Nếu  a  b lim  f  x    a sin  x dx  x b) Nếu a  0, a  b , tồn f    f có biến phân bị chặn  f x  0,     a, b với   lim  0  sin  x  dx  f    x Định lí 1.1 Cho f  L1    ,   Nếu f thỏa mãn điều kiện Dirichlet    ,   x  ,  mà hàm f liên tục, hội tụ  chuỗi Fourier f hội tụ f  x  điểm x điểm gián đoạn thông thường, hội tụ  f  x    f  x     f      f     x    giới hạn f     f    tồn Chứng minh Đặt a Sn  x    n  a k cos kx  bk sin kx  k 1 Ta có: Sn  2    1  cos x cos x  sin x sin x   f  x    dx     cos nx cos nx  sin nx 'sin nx   Ngun ThÞ Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiƯp   2 = Tr­êng §HSPHN2  f  x  1  2cos  x  x    2cos n  x '  x   dx  2 sin   f  x '   2n 1 x  x  dx sin  x  x  công thức: sin n  2 cos ku  k 1  2n  1 u sin u Suy  2n  1 x  x  Sn  dx  f  x 2  sin  x  x  sin  2n  1 x  x    dx  f  x 2 x sin  x  x  sin x Đổi biến   x  x x  x   tích phân thứ 2 tích phân thứ hai đẳng thức trên, ta được: Sn  (1.3)  x   /   f  x  2   Nguyễn Thị Thanh Xuân sin 2n d sin     x /  f  x  2  sin  2n 1 d sin  Líp K35C – SP To¸n Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Nhúm G l hu hạn, giá trị tuyệt đối e  a  bị chặn bị chặn tập giá trị G Từ e  b n   e  b  n ta suy e  b   1, với b  G 2.2.2 Các quan hệ trực giao Định lí 2.2.1 Cho V khơng gian vecto hàm giá trị phức xác định nhóm Aben hữu hạn G Chú ý số chiều không gian V G , cấp G Trên V ta xác định tích vơ hướng sau:  f , g (2.1)  G  f  a  g  a  , với f, g V aG Thì đặc trưng G tạo thành hệ trực chuẩn với tích vơ hướng Chứng minh Từ e  a   với hàm đặc trưng nào, ta có:  e, e   G  ea ea  aG G  ea  aG Nếu e  e hai hàm đặc trưng ta phải chứng minh  e, e   Để chứng minh điều ta sử dụng bổ đề sau ' Bổ đề 2.2.3 Nếu e đặc trưng khơng tầm thường nhóm G ,  ea  a G Thật vậy, chọn b  G thỏa mãn e  b   Khi đó, ta có: e b   ea aG   eb e  a  aG Nguyễn Thị Thanh Xuân e ab  aG 34   ea aG Líp K35C – SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 ng thc cuối a chạy khắp nhóm G , ab chạy khắp nhóm G Do  ea  aG Để kết thúc chứng minh cho định lí 2.2.1, ta giả sử e đặc trưng khác 1 e Vì e  e  đặc trưng không tầm thường, áp dụng bổ đề ta có: 1  e  a   e  a    aG Vì  e  a   1  e  a  , định lí chứng minh Như hệ định lí 2.2.1, đặc trưng tạo thành hệ độc lập tuyến tính Từ đó, số chiều không gian vectơ V G , cấp G hữu hạn khơng q G Kết mà G  G 2.2.3 Các đặc trưng hệ đầy đủ Định lí 2.2.2 Các đặc trưng nhóm Aben hữu hạn G tạo thành sở không gian vectơ hàm G Chứng minh Định lí có vài cách chứng minh Một số sử dụng định lí cấu trúc nhóm Aben hữu hạn, rằng: nhóm tổng trực tiếp nhóm xyclic nhóm kiểu nhóm xyclic nhóm tự đối ngẫu Từ ta suy G  N  Từ đó,  G , hàm đặc trưng tạo thành sở G Ngồi ta chứng minh trực tiếp định lí mà khơng cần sử dụng định lí cu trỳc Nguyễn Thị Thanh Xuân 35 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 nh ngha: Cho V khơng gian vectơ có số chiều d với tích vơ hướng  ,  Một biến đổi tuyến tính T : V  V tốn tử Unita bảo tồn tích vơ hướng, T v, T     v,   với v,   V Định lí phổ đại số tuyến tính khẳng định phép biến đổi Unita chéo hóa Nói cách khác, tồn sở  v1 , , vd  ( vectơ riêng ) V thỏa mãn: T  vi i    i vi giá trị riêng ứng với vi Chứng minh định lí 2.2.2 dựa mở rộng định lí phổ Bổ đề 2.2.4 Giả sử  T1 , ,Tk  họ toán tử Unita giao hốn khơng gian vecto hữu hạn chiều V với tích vơ hướng (2.5), mà: Ti Tj  Tj Ti , với i, j Khi T1 , , Tk chéo hóa cách đồng thời, nói cách khác tồn sở V mà gồm vectơ riêng Ti , i  1, , k Chứng minh Chứng minh quy nạp k +) Trường hợp k  đơn giản Bổ đề +) Giả sử bổ đề với họ có k  tốn tử Unita giao hốn Áp dụng định lí phổ với Tk , V tổng trực tiếp không gian riêng V  V   V Nguyễn Thị Thanh Xuân s 36 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 ú V kí hiệu cho khơng gian tất không gian vectơ riêng i ứng với giá trị riêng i Ta có T1 , , Tk  ánh xạ từ không gian vectơ riêng V vào Thật vậy, v  V  j  k  thì: i i Tk T j  v   T j Tk  v   T j  i v   i T j  v  Vì T j  v   V , yêu cầu chứng minh i Vì hạn chế V nên T1 , , Tk  tạo thành họ phép biến i đổi Unita tuyến tính giao hốn, giả thiết quy nạp đảm bảo chúng đồng thời chéo hóa khơng gian V Phép chéo hóa cung i cấp cho ta sở mong muốn V , V i Bây ta chứng minh định lí 2.2.2 Nhớ lại không gian vecto V hàm lấy giá trị phức xác định G có số chiều G Với a  G xác định Ta : V  V bởi: T f  x  a  f  a x  , với x  G Vì G nhóm Aben nên rõ ràng Ta Tb  Tb Ta với a, b  G , dễ dàng kiểm tra Ta tốn tử Unita với tích vơ hướng (2.5) xác định Áp dụng bổ đề 2.2.4 họ  Ta a  G đòng thời chéo hóa Điều có sở vb  x b  G V mà vb  x  hàm riêng với Ta , với a Cho v phần tử sở phần tử đơn vị G Chúng ta phải có v 1  ngược lại v  a   v  a 1  Ta v 1  a v 1  0, NguyÔn Thị Thanh Xuân 37 Lớp K35C SP Toán Khoá ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 a giá trị riêng v Ta Do v  , điều mâu thuẫn Chúng ta hàm xác định   x   x  v x v 1 đặc trưng G Từ ta   x   , với x và:   a b  v  a b  a v  b  v 1   a b  a b    a    b  v 1 v 1 v 1 Vậy   a b     a    b  , áp dụng bổ đề 2.2.2 ta kết luận cho định lí 2.2.2 2.3 CHUỖI FOURIER TRÊN NHĨM HỮU HẠN TỔNG QUÁT 2.3.1 Định nghĩa Cho G nhóm Aben hữu hạn, f hàm G , e đặc trưng G định nghĩa hệ số Fourier f e f e   f , e  G  f aea , aG Và chuỗi Fourier f f  f ee eG 2.3.2 Công thức ngược Vì đặc trưng tạo thành sở nên: f  c e e eG tập hàng số ce Nhờ tính chất trực giao thỏa mãn đặc trưng, tìm thy rng f , e Nguyễn Thị Thanh Xuân  ce , 38 Líp K35C – SP To¸n Kho¸ ln tèt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 Vì f chuỗi Fourier nó, cụ thể:  f ee f  eG Ta có định lí sau: Định lí 2.3.1 Cho G nhóm Aben hữu hạn Các đặc trưng G tạo thành sở trực chuẩn không gian vecto V hàm G trang bị tích vơ hướng:  f , g  G  f a g a aG Đặc biệt, hàm f G chuỗi Fourier nó, f   f ee eG Cuối có cơng thức Plancherel nhóm ben hữu hạn 2.3.3 Đẳng thức Plancherel Định lí 2.3.1 ( Đẳng thứ Plancherel ) Nếu f hàm G , f   f e e G Chứng minh Vì đặc trưng G tạo thành sở trực chuẩn không gian vecto V  f , e   f  e  nên có: f  f, f     f , e f  e eG   f e e  G 2.4 MT S BI TP Nguyễn Thị Thanh Xuân 39 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Bài 1: Cho f hàm đường tròn Với N  hệ số Fourier rời rạc hàm f xác định bởi: aN  n   N f  e 2 ik / N  e 2 ikn / N , n  Z  N k 1 Chúng rằng: a  n    f e e ix 2  inx dx : thường kí hiệu hệ số Fourier hàm f (a) Chỉ aN  n   aN  n  N  (b) Chứng minh f liên tục aN  n   a  n  N   Bài 2: Nếu f hàm khả vi liên tục đường tròn, chứng minh aN  n   c / n ,  n  N / [ Hướng dẫn: viết aN  n    e2 i ln/ N    f  e2 ik / N   f  e2 i k  l / N  e2 ikn / N ,   N chọn l thỏa mãn l n / N gần / ] Bài 3: Bằng phương pháp tương tự, f hàm khả vi liên tục đến cấp hai, thì: aN  n   c / n ,  n  N / Một kết tương tự, chứng minh công thức ngược f  , từ cơng thức thuận [ Hướng dẫn: Đối với phần thứ nhất, sử dụng công thức đối xứng thứ hai hiệu f  e2 i k  l / N   f  e2 i k  l  / N   f  e2 ik / N  Ngun ThÞ Thanh Xuân 40 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 Đối với phần thứ hai, N số lẻ, viết công thức ngược giống như: f  e 2 ik / N    aN  n  e 2 ikn / N ] n  N /2 Bài 4: Cho e hàm đặc trưng G  N , nhóm cộng số nguyên modun N , tồn phần tử  l  N  mà: e  k   el  k   e2 ilk / N , với k  N  N  Kết luận Ngược lại, hàm loại hàm đặc trưng el  l xác định đẳng cấu từ G vào G [ Hướng dẫn: Chỉ e 1 bậc N đơn vị ] Bài 5: Chỉ tất hàm đặc trưng S1 cho bởi: en  x   e 2 inx , n  Z en  n xác định đẳng cấu từ S vào [ Hướng dẫn: Nếu F hàm liên tục F  x  y   F  x   F  y  F hàm lấy vi phân được, Từ điều này, ý F    , với  thích hợp  c   F  y  dy  0 x  c F  x   F  y  dy ] x Bài 6: Chứng minh tất hàm đặc trưng có cơng thức cấu tạo:   x   e 2 i x , với   Nguyễn Thị Thanh Xuân , 41 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 V ch e   xác định đẳng cấu từ vào Chứng minh tập áp dụng Bài 7: Cho   e2 i / N Trên xác định ma trận M   a j k 1  j , k  N ,  a j k  N 1/  jk (a) Chỉ M tốn tử Unita (b) Giải thích đẳng thức  Mu , Mv    u , v  thực tế M   M 1 phép lấy tích phân chuỗi Fourier Bài 8: Giả sử P  x   N a n N e 2 inx n1 (a) Chỉ việc sử dụng đẳng thức Parseval đường tròn N:  P  x  dx  N N  P j / N  j1 (b) Xây dụng việc chứng minh công thức: P x  N  P  j / N K  x    j / N j 1 e2 i x  e2 iNx K  x    e2 ix  e2 i x   e2 iNx  2 ix N 1e N Chỉ P hoàn toàn xác định giá trị P  j / N  với  j  N Cũng ý K    K  j / N   , j khơng đồng dư modun N Ngun ThÞ Thanh Xuân 42 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 Bài 9: Để chứng minh khẳng sau đây, điều chỉnh agument cho tập: (a) Chỉ tính tính hệ số Fourier hàm  N  N  3n với nhiều N log N phép tính (b) Tổng quát với N   n ,  số nguyên lớn Bài 10: Một nhóm G nhóm xyclic tồn g  G mà với phần tử G viết dạng g n , với n  Chứng minh nhóm Aben hữu hạn xyclic đẳng cấu từ  N  vào Bài 11: Viết bảng nhân:   3 ,   4 ,   5 ,   ,  8 ,     9 Nhóm nhóm xyclic? Bài 12: Giả sử G nhóm Aben hữu hạn e : G  hàm mà thỏa mãn: e  x y   e  x  e  y  , với x, y  G Chứng minh e đồng e khác Trong trường hợp thứ hai, với x, e  x   e 2 ir , với r  có công thức cấu tạo r  p , q q  G Bài 13: Tương tự với chuỗi Fourier thường, giải tích Fourier hữu hạn triển khai cách sử dụng phép biến đổi tích chập Giả sử G nhóm Aben hữu hạn, 1G đơn vị nó, V không gian vecto hàm giá trị phức G (a) Tích chập hai hàm f g V định nghĩa sau: NguyÔn Thị Thanh Xuân 43 Lớp K35C SP Toán Khoá luËn tèt nghiÖp  f  g  a   Tr­êng §HSPHN2 G  f  b  g  a b  , với a  G 1 b G Chỉ với e  G có  f  g  e  f e g  e (b) Sử dụng định lí 2.2.2 để e hàm đặc trưng G , thì:  ec  , c  G; c  1G eG 2.5 CÁC BÀI TOÁN Chứng minh n m hai số nguyên dương mà nguyên tố nhau, thì:  nm  [ Hướng dẫn: Xem xét ánh xạ  n  m   nm    n   m  cho tương ứng, sử dụng thực tế tồn số nguyên x y thỏa mãn: x n  y m  ] Mỗi nhóm Aben hữu hạn G đẳng cấu với tích trực tiếp nhóm xyclic có nhiều hai cơng thức khác định lí  Nếu p1 , , ps thừa số nguyên tố khác xuất phân tích thừa số G , thì: G  G  p1    G  ps  , G  p  có cơng thức cấu tạo: G  p   Z  p r1    Z  p r l  ,  r1   rl ( Dãy số nguyên phụ thuộc vào p ) Điều Ngun ThÞ Thanh Xuân 44 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tèt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2  tồn số nguyên d1 , ., d k mà: d1 d , d d3 , ., d k  d k Và G   d     d  k Công thức thứ hai suy từ công thức thứ Lấy G kí hiệu tập hàm đặc trưng khác nhóm Aben hữu hạn G (a) Chú ý G  N  G đẳng cấu với G (b) Chứng minh G1  G2  G1  G2 (c) Sử dụng toán chứng minh rằng: G nhóm Aben hữu hạn G đẳng cấu với G Khi p số nguyên tố nhóm   p    p nhóm xyclic  p  1 Ngun ThÞ Thanh Xuân 45 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiƯp Tr­êng §HSPHN2 KẾT LUẬN Thơng qua việc tìm hiểu chuỗi Fourier hữu hạn giúp ta có thêm nhiều kiến thức giải tích Fourier, qua áp dụng vào làm số toán đại diện Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cô, bạn sinh viên góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô trường, đặc biệt thầy giáo TS Bùi Kiên Cường tận tình giúp đỡ em hồn thành đề tài Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Xn Ngun ThÞ Thanh Xuân 46 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Nguyễn Thị Thanh Xuân Trường ĐHSPHN2 47 Lớp K35C SP Toán Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 Nguyễn Tiến Quang, Đại số số học, NXB Giáo Dục 2 GS TSKH Đặng Đình Áng, Biến Đổi Tích Phân, NXB Giáo Dục 3 Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Sư Phạm 4 A Stain, Fourier Analysis, MC Ronziere Ngun ThÞ Thanh Xuân 48 Lớp K35C SP Toán ... thức Giải tích Fourier hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn Bước đầu tìm hiểu chuỗi Fourier hữu hạn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Chuỗi Fourier nhóm hữu. .. với chuỗi Fourier thường, giải tích Fourier hữu hạn triển khai cách sử dụng phép biến đổi tích chập Giả sử G nhóm Aben hữu hạn, 1G đơn vị nó, V không gian vecto hàm giá trị phức G (a) Tích chập... Aben hữu hạn G1  G2 nhóm Aben hữu hạn Định nghĩa tích trực tiếp mở rộng cho trường hợp có hữu thừa số G1  G2   Gn  Định lí cấu trúc nhóm Aben hữu hạn phát biểu nhóm đẳng cấu với tích trực