Giải tích Fourier hữu hạn khóa luận tốt nghiệp

Trang 1

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2

LỜI CẢM ƠN

Trong thời gian nghiên cứu và hoàn thành khóa luận, em đã nhận được

sự giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện về vật chất, tinh thần của các thầy cô

trong tô Giải Tích và sự hỗ trợ, động viên của các bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn sự giúp đỡ quý báu này

Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường đã tận tình chỉ bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em trong suốt thời gian qua để em có thê hoàn thành khóa luận

Do thời gian và trình độ nhận thức còn hạn chế, mặc dù đã cố gắng

nhưng những vấn đề em trình bay trong khóa luận không tránh khỏi những thiếu sót Vì vậy em kính mong được sự chỉ bảo tận tình của các thầy giáo, cô giáo, sự đóng góp ý kiến của các bạn sinh viên để khóa luận của em có

thể hoản thiện hơn nữa

Em xin chân thành cảm ơn!

Trang 2

LỜI CAM ĐOAN

Khóa luận tốt nghiệp này là kết quả nghiên cứu của em trong thời gian qua, đưới sự hướng dẫn của thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường

Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier

Hữu Hạn” không trùng với bất kì khóa luận tốt nghiệp nào khác Nêu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm

Trang 3

MỤC LỤC

MO DAU

1 Lí do chọn đề tài

2 Mục đích nghiên cứu của đề tài 3 Nhiệm vụ nghiên cứu của đề tài

4 Phương pháp nghiên cứu

5 Cấu trúc NỘI DUNG

CHUONG 1: MOT SO KIEN THỨC CHUAN BỊ

1.1 Chuỗi FOurier 22222 22221111111115555551115555 551111 xeE 3 1.1.1 Định nghĩa - cà Sa 3 1.1.2.Sự hội fỤ CS n nh nhe 4

1.1.3 Sự hội tụ đều 111 n nh se 8

1.1.4 Sự hội tụ trong ! = LV (=z, 2) oes 13 1.1.5 Chuỗi Fourier đưới đạng phức, đẳng thức Parseval 16

1.2 Nhóm hữu hạn .- -: 18

1.2.1 Định nghĩa nhóm - 18 1.2.2 Tính chất cơ bản của nhóm -<c.cee - 1Ø

1.2.3 Nhóm (N) "——— 20

CHUONG 2: CHUOI FOURIER HUU HAN

2.1 Chudi Fourier trên (N) bee eeeedeeeeeenea tenses ea eeneseneaeeeenes 28 2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier - 2c <<<< 52 29 2.1.2 Công thức Fourler ngược - 30

Trang 4

2.1.3 Biến đổi Fourier nhanh - 22s 222x< 31 2.2 Các đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn 32

2.2.1 Đặc trưng HH nh nh se 32

2.2.2 Các quan hệ trực g1ao - «+ 33

2.2.3 Các đặc trưng như là một hệ đầy đủ 35

2.3 Chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn tổng quát - 38 2.3.1 Định nghĩa - che 38 2.3.2 Công thức ngược -c-c << se 38 2.3.3 Đẳng thức Plancherel s32 222 xs22 39 2.4 Một số bài tẬp 0002011111 n ng re na 39 Kết luận chung TT 2222221111111 1111222222111 1 11c re 46

Tài liệu tham khảo -. -<c<<<<<<<c + 47

Trang 5

MỞ ĐẦU

1 Lí do chọn đề tài

Lý thuyết về biến đổi Fourier là một vấn đề lí thú của toán học, có rất

nhiều ứng dụng trong vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho nghiên cứu rất nhiều van dé

Trong quá trình học tập một số môn học và bài giảng chuyên đề em đã

được tiếp thu rất nhiều kiến thức về chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel,

đẳng thức Parseval, tích phân Fourier Những kiến thức đó đã tạo cho em niềm say mê, hứng thú với mơn tốn, đặc biệt là ngành Giải Tích Hơn nữa em muốn có thêm kiến thức về chuỗi Fourier và biến đôi Fourier

Chính vì lí do trên em đã chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn”, dưới sự hướng dẫn của thầy giáo TS Bùi Kiên Cường đẻ nghiên cứu làm

khóa luận tốt nghiệp của mình 2 Mục đích nghiên cứu

Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ đó hình thành tư duy

logic, đặc thù môn học

Khắc sâu, tìm hiểu những kiến thức về Giải tích Fourier hữu hạn 3 Nhiệm vụ nghiên cứu

Nghiên cứu về chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn

Bước đầu tìm hiểu về chuỗi Fourier hữu hạn

4 Đối tượng, phạm vi nghiên cứu

+) Đối tượng: Chuỗi Fourier và các nhóm hữu hạn

+) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn 5 Phương pháp nghiên cứu

Phương pháp nghiên cứu lý luận

Trang 6

Phương pháp đánh giá tông hợp Phương pháp so sánh, phân tích

6 Cấu trúc khóa luận

Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận còn gồm hai chương là:

+) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị +) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn

Chương I: trình bày các vấn đề cơ bản về chuỗi Fourier trong trường hợp tổng quát và một số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm (N )

Chương 2: trình bày về chuỗi Fourier trên nhóm hữu hạn

Từ đó, ta thấy được sự giống và khác nhau trong hai trường hợp

Trang 7

NỘI DUNG

CHƯƠNG 1 MOT SO KIEN THUC CHUAN BI

1.1 CHUOI FOURIER

1.1.1 Dinh nghia

Voi ham fel’ [-z, Z] f kha tích Lesbesgue trên [-z, Z] ta định nghĩa

chuôi Fourier của ƒ là chuỗi hàm lượng giác như sau:

(1.1) ot + (a, cosnx + b, sinnx) n=l Trong đó 17 a, =—f f(x)cosnx' dx’, n=0, 1, 2 (1.2) “ b, =—] /#(x)sinnx'dv, n=1,2,3 Win Méi lién hé (1.1) - (1.2) cũng được kí hiệu là: ƒ#Œ)~——>+ + >4, cosnx + b, sinnx)

và lưu ý rằng kí hiệu “ ~” không mang ý nghĩa gì về sự hội tụ của chuỗi

trên, đơn giản nó chỉ mối liên hệ (1.1) — (1.2) mà thôi Nếu ƒ là hàm tuần

hoàn chu kì 2Z, ta có định nghĩa chuỗi Fourier của ƒ tương tự như trên, trong đó các hệ số a,, ö, được tính trên một đoạn tùy ý [a, a+2z] Néu f n?

Trang 8

là hàm tuần hoàn chu kì 2/, bằng phép đổi biến =, ta đưa về trường

hợp tuần hoàn chu kì 2Z 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa: Cho hàm số ƒ xác định trên [a, bl, mỗi phân hoạch P của [a.9] P=la=xy<x,<':.<x,=b} (ne `) thành ø phần tùy ý Ta kí hiệu x,= x,-x,,, f= f(x) - f(x): 1 giao độ của hàm (i = 1, n) Biến phân của hàm ƒ trên [a, b] kí hiệu V(ƒ) = V{ƒ a, b) xác định bởi: V(f) = sup3 | 7

Nếu V(ƒ) hữu hạn thì ta nói hàm ƒ có biến phân bị chặn

Bồ đề ( Tích phân Dirichle) Cho ƒ là hàm số thực hoặc phức xác định

trên khoảng (a, b) và thỏa mãn một trong hai điều kiện Dirichlet dưới đây:

() Tôn tại các giá trị f(a’) f(b) và ƒ có biến phân bị chặn trên [4 b| ( ta coi hàm ƒ xác định trên [a, b| với giá trị biên

f(a) = f(a’) và f(b) = f(b)

Trang 9

(i)_ Có hữu hạn điểm thuộc [a b| sao cho khi bỏ đi các lân cận bé tùy ý của những điểm này thì ƒ có biến phân bị chặn trên các phần còn lại của [a, bị, hơn nữa ƒ e L{a, b) Khi đó: a) Nếu 0<a<b thì lim | f(x)" ax = 0 a x How b) Néu a= 0, a<b, ton tai /(0) và ƒ có biến phân bị chặn trên >0 X

0, 5]c [a, b| với ổ >0 đủ lim [ /(x) 9x = Z/(6') } 2

Định li 1.1 Cho fe L[-2,2] Nếu ƒ thỏa mãn điều kiện Dirichlet

trong (—z Z) thì chuỗi Fourier của ƒ sẽ hội tụ về f(x) tại các điểm xe(-a, Z) mà tại đó hàm ƒ liên tục, hội tụ về sv) +/(x)] nếu

x là điểm gián đoạn thông thường, hội tụ về si") +/(Z)] tại x=+Z nếu các giới hạn #(-z) và f(z) ton tai

Chứng mình

Đặt

S, (x) = + Sa, coskx + ö, sin ky)

Trang 10

x ss J f(x’) + 2cos(x' - x)+ +2cosn(x'- x) ]dx’ 27 be, Sin (2n+1)(x" =x) sin (x' -x) do công thức: sin Tan + l)u l+ 2Ÿ cosiu = k=1 sin—u sin (2n + 1)(x' ~ x) 1£ 2 1 ¬ 22: sin +(x! — x) 2

Trang 11

Với xe (—Zz, z) cô định, ta có các hàm theo biến ø là ƒ(x + 2ø) ( theo

biển @ ) thỏa mãn điều kiện Dirichlet trong các khoảng tương ứng

Ũ =¬] và É z 3 *) Do đó, nếu #(x) và f(x) tồn tại, theo bổ đề tích phân Dirichlet, ta có: l[z lim S, (x )= al sf) it) 2 1 =sL/#)+Z\x)] e Nếu ƒ liên tục tại x thì f(x) = f(x) = f(x) Khi đó chuỗi Fourier của ƒ hội tụ về ƒ(x) © Véi x = Z, do (1.3) ta có: s6) = TF (x20) nn Dea 4 sina [ ⁄( - 2a) sin(2n + la 9 sinø )sin(2n + la sinø sin(2n + la sing da da 1") 7# il — da Ty, a J F( z— 2ø) =1 /\ (z- 2z) da 0 sin(2n + 1)x' sinx’ dx’ sic NÌ= £ +—|[f( ƒ(2x - z) 0

trong đó, ta đổi biến x’ = z - ø ở tích phân thứ hai, áp dụng bổ đề về tích

phan Dirichlet, ta suy ra:

limS, ( = Z()+/(-z)]

Trang 12

e Với x=— Z, chứng minh tương tự Ta cũng có 1

ñmS,(x)=2|/)+/(-Z )]|

Vậy định lí đã được chứng minh 1.1.3 Sự hội tụ đều

Định lí 1.2 Cho ƒ L[—z, z | Giả sử rằng ƒ bị chặn, thỏa mãn điều kién Dirichlet trén (—z 2) Giả sử ƒ liên tục trên khoảng

(u, v) Cc (—z z) Khi đó, chuỗi Fourier của ƒƑ hội tụ đều về ƒ trên một đoạn bắt kì [a DỊ Cc (u, v) Chứng mình Trước hết, ta thác triển ƒ thành một hàm xác định trên ˆ, tuần hoàn chu kì 2z bằng công thức ƒ#(x+2z) = f(x) Khi đó, trong bất kì đoạn nào, ví dụ đoạn [—z Z] ÿ# được biểu diễn dưới dạng f=F-G,

voi F va G là các hàm bị chặn, không âm, don diéu tang Ngoai ra, F va G lién tục tại các điểm mà ƒ liên tục

Trang 13

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 1 z sin —(2n +1)(x'— x) s6)= [Z@)—2———=—w ‘ 2z ¬ Z sin —(x — x) 2 (z-x)/2 _l [ p(x +20) 802" +l)ø da Tl (-2-x)/2 sing _1 ĩ p(x 2a) sin(2" +l)ø da I Ta sing

trong đó, ta đã sử dụng phép đổi biến x' = x + 2a trong tích phân thứ hai và tính tuần hoàn chu kì 2z của f trong tích phân thứ ba

Trang 15

Sau đây, ta xét số hạng đầu tiên bên về phải của (1.4) Ta có

ĩ sin(2n +1) da= i( +2 cos ka da= z sina 0 kel 2 Do đó, ta đánh giá các số hạng đầu tiên bên về phải của (1.4) như sau: (1.6) 17? sin(2n +1)@ 1 —|F at (x +2a) 2 sing da 2 (x) —_—F z2 1 =I*ƒ [F(x + 2a) — F(x) nD ay 1% sina 14 sin(2n+l)@ <|/—|| F 2a)-F —————ửd zl (x+ a) (*)] sing 1# sin(2n +l)ø — F 2a)-F ——————d + - i (x +2a) (x)] sing a

Ta lại có hàm @ F(x + 2a)— F(x) la ham bi chan, duong va don điệu tăng trên một đoạn tùy ý; hàm @ / a@/sina citing bi chan, duong, don diéu tang trén (0, z/2] Do đó, theo định lí về giá trị trung bình của tích phân, tồn tại ¿ e [0, Hl sao cho: sin(2n + la 14 al LF +2a) — F(x) | sina da

1 sin w | ¢ sin(2n +1)a

Trang 16

Kết hợp với (1.5), ta có 14 sin(2n +1)ø 8 1.7 —||F 2a) -F ————đz|<“ (1.7) sÍt (x+ z) (*)] sina 8 Cũng từ định lí giá trị trung bình thứ hai, ta có e Ls, 4 sao cho 172 11 [F(x +2z)- F(x)] sin (2n +l)ø - da Tn sing 1 : sin (2n +l)a =|—[F(x+2)-F —————4 (1.8) al (x * ⁄) (x)/[ sing c‡[rG+z)= r0)|ƒ GD sinø 2C < 1 Mat khac, voi0< p<q< > áp dụng định lí trung bình thứ hai, ta được: j sin(2n +1)ø i sin(2n +1)œ 1 sing + ự sing da i sin(2n +l)ø - da > sina "Tu +l)ada tong Jsn(0n +l)ada < 1 sin p 6 day p<r<q; ( tính toán trực tiếp ta có bất đẳng thức sau cùng) Áp [sin (2n +l)ada P + [sin(2n +1)œ da <— *+ (2n +1)sin p

dụng điều nay vao (1.8) va chu y rang sin €' > sin yz, suy ra:

Trang 17

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 (1.9) 17? sin(2n +1)a 16C — || F 2a)—-F —————đdz|<——————— 1 J [ (x+2z) (9) sina (2n+1)zsin uw Từ (1.6) đến (1.9) dẫn đến đánh giá sau cùng cho số hạng thứ nhất bên về phải của (1.4) lóC 17? sin(2n +1)ø 1 (2n +1)zsin ` ql Fe +2a) da~-FƑ() é - <—+ sing 8

Ta cũng có kết quá đánh giá hoàn toàn tương tự cho các số hạng còn lại bên

về phải của (1.4), từ đó suy ra £ 64C s _ oy, ON | (x) f(x)| < 2 * (2n + 1)zsin w Bây giờ ta chọn n, « N_ sao cho: 64C cf (2n + 1)Zsin 2

cách chon nay không phụ thuộc vào x [a bị

Vậy định lí đã được chứng minh

1.1.4 Sự hội tụ trong = /(—z, z)

ƒÏ khả

° L(-a, 7) là không gian các hàm f xac định trên (-2, 7),

tich Lebesgue trên (—Z, Z)

Trang 18

Chuẩn tương ứng với tích vô hướng là: | ƒ | = Jf f)-

Bắt đẳng thirc Schwarzt Với mọi f, g € L(-a, 1) ta co ly 8)|<|Z/llel e Trong /, dãy hàm { Q, | neN } được gọi là một hệ trực giao nếu: Ø,(x) Ø,(x) đà = 0, Vm # n, yon va néu hé nay cé thém tich chat: J @ (x) dx =1, vn thì ta nói hệ { ø, } là trực chuẩn Cho ham f e 7, với hệ trực chuẩn {ø, } ta đặt f (x).@, (x) dx;VneN, C= sos thi ta goi Ye, ø, là chuỗi Fourier của hàm ƒ (ứng với hệ trực chuẩn { Q, } n=0 ) và kí hiệu là / #'e ø n=0 Bất dẳng thúc Bessel: Giả sử Ye, Ø, là chuỗi Fourier của hàm ` ứng k=0

với hệ trực chuẩn { Q, } Khi đó

Định nghĩa: Hệ trực chuẩn { Ợ, } được gọi là đầy đủ trong 7 nghĩa là:

Trang 19

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 Le = j6) _# Định lí 1.3 ( Parsewal) Trong l?(—z, 2) hệ vecto:

{ 1 Te Ue để hy dế nh cosx sinx cosmx sinnx }

là cơ sở trực chuẩn Hơn nữa với bắt kì hàm feL (—z 7) ta co

(1.10) f(x) = 3 + Š (a, cosnx + b, sin nx) x 2 © Va: 1 Ỉ f(x) dx = 4 >(z + b) ( Đẳng thức Parseval ) Win 2 k=1 Ngoài ra chuối (1.10) hội tu trong † về hàm ƒ, tức là: z 2 i / _ ($ + Ya, coskx +b, sink | dx > 0,n> Chứng mình Cho ƒ là hàm số bắt kì liên tục trên [—z, Z] và cho trước £ > 0, khi đó ƒ bị chặn bởi 1⁄4 >0 Đặt ổ = min{£?/32M°,z} >0

Đặt g là hàm số liên tục trên [-z, Z] sao cho ø bằng ƒ trên đoạn [_Ez+ở z—ð] g(-2) = g(x) = sIZLz) + f()] và g tuyến tính

trên hai đoạn [-z —Z+ đ] và [x —Ổ, z] Suy ra ø cũng bị chặn bởi Ä⁄

và| ƒ — g| < 2M Ngoài ra, ta xem ø như hàm tuần hoàn chu ki 2Z và

Trang 20

liên tục trên , nên ta có một đa thức lượng giác (tổng Fejer — Cesaro của g) o, thoa man:

£ su S(x⁄)—Ø,(*)| <<”

sụp |e()- 0.09] <5 5

và đĩ nhiên ơ, có dạng tổ hợp tuyến tính của hữu hạn các hàm trong họ trực chuẩn đang xét Vậy

lZ-=ø,l, < |7 #lL + llg = ø, Í,

Như vậy hệ đã cho là một cơ sở trực chuẩn

Định lí 1.4 Chuỗi Fourier của hàm ƒ e [-z Z] sẽ hội tụ trung bình về hàm ƒ theo nghĩa:

lim J [1(s) — ($ +¥ (a, coskx + b, sinks) dx=0

1.1.5 Chuỗi Fourier dưới dạng phức, đẳng thức Parseval

Cho fe L’[-z, 7], ta đã biết hệ [(2z) ”e"*Ì — là một hệ trực

Trang 21

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 inx re x: e 5 x: + , ⁄* DA Ậ Ta nói chuỗi >`c, Na là chuỗi Fourier của ƒ ứng với hệ trực chuân ne 2z {(z) 1e" ne \, và mối quan hệ này được kí hiệu bởi: jnx f (x) Loe Nếu giới hạn sau đây tồn tại ike e lim Œ—==„, noe oy x n ‘ N2z thì ta nói chuỗi Fourier của ƒ ứng với hệ trực chuẩn {0z} e"'lne \ jinx là hội tụ và giá trị hội tụ cũng được kí hiệu là Yc, TE ne 7

Trong trường hợp chuỗi Fourier của ƒ (ứng với hệ trực chuẩn đã cho)

hội tụ, ta có thể viết chuỗi đó dưới dạng sau: e™ 17 Ae! De pe Zag li => lÍ f (x') cosn(x- x')dx' +if £(2') sinn(— x’) | z =f r(x "\dx' + all [z )cosn(x —x') dx’ 20 on

Do j/(+)cosz(x-x)dv là hàm chẩn theo ø , đồng thời [ Z(x)sinn(x — x') de’ la ham lé theo nn, từ đó suy ra:

_

Trang 22

Trong đó: f(x’) cos nx’ dx' b= f(x’) sin nx’ dx’ jos hts al- ale

Điều này có nghĩa là chuỗi Fourier của ƒ ứng với hệ trực chuẩn { (2z) e™ |ne \ trùng với chuỗi Fourier đã được định nghĩa ở trên eNếu ƒ el [-z Z] thì ta có đẳng thức Parseval sau đây: Y|ef=im Ð la ne noe _nsk|<n = [/G)Ï a — hay yrs Vậy ta có thể xem phép biến đổi Fourier bién f thanh day (c, ), = LTÌ là một =1,2, phép đẳng cự từ 7 [-z z] vào ? 1.2 NHÓM HỮU HAN 1.2.1 Định nghĩa 1.2.1.1 Định nghĩa nhóm

Cho tập hợp X # ©, (.) là một phép tốn hai ngơi trên X, (X,.) là một

nhóm nếu nó thỏa mãn các điều kiện sau:

() Tính kết hợp: Vx, y,z e X: (x.y ).z= x.( y.z)

Trang 23

(i) Phần tử đơn vị: lee X,VxeX:e.x=x.e=x; e: là phần tử đơn vị của nhóm (iii) Phan tử nghịch đảo: V xe X, 3x'e X:x.x'= x.x=e€; x': là phần tử nghịch đảo của nhóm « X là một nhóm giao hoán ( nhóm Aben) nếu: () X là một nhóm (i) Có tính chất giao hoán: Vx, y X: x.y = y.x 1.2.1.2 Định nghĩa nhóm liữu hạn

Cấp của một nhóm X, kí hiệu |X „ là số phần tử của X nếu X có hữu hạn

phần tử, bằng vô cùng nếu X có vô hạn các phần tử

+) X là nhóm hữu hạn nếu | X | là hữu hạn 1.2.2 Tính chất cơ bản của nhóm Tính chất 1 ( Luật giản ưóc ): Cho X là một nhóm, thì: Vx,y,Z€ XixyH=xzDy=z yxX=Zx—=y=Z Chứng mình xy=xz>x'(xy)=x '(xz) S (x' x)y = (x" x)z oS eyrez Synz Tương tự: yx=zx

Tính chất 2: Cho X là một nhóm Phương trình ax =b( ya =b), với mọi a,be X có nghiệm duy nhất x = a'b(y=ba")

Tinh chat 3: Cho X là một nhóm, thì:

Trang 24

1.2.3 Nhém_ (NV)

Cho X là một số nguyên dương Một số phức z là cin bac N ctia don vi nếu zŸ= 1 Tập hợp các căn bậc M của đơn vị là:

{ em

Thật vậy, giả sử rằng zŸ = I với z = re” Thì chúng ta phải có rŸ e*“=],

và lấy giá trị tuyệt đối r=l Do đó e*”=I và điều này chỉ ra rằng

NØ=2zk, ở đây ke Vì vậy nêu ý = e”“*thì chúng ta tìm được đ” là nhóm đầy đủ tất cả các căn bậc W của đơn vị Tuy nhiên, chú ý rằng

€Ý =1, do đó nếu ø và múm khác nhau bởi một bội số nguyên của X thì

¢" = €" Trong thực tế dé dang thay:

C" = €", néu va chi néu n — m chia hét cho N

Chúng ta kí hiệu tập hợp tất cả các căn bậc M của đơn vị bởi (N) Chú ý rằng tập hợp (N) thỏa mãn các tính chất sau:

(i) Néuz,@e (N) thizwe (N) và z@=øz

(ii) le (N)

(ii Nếu ze (N), thi ziel/ze (N) va lu6n c6 zz" =1 Suy ra (V)là một nhóm Aben với phép nhân các số phức

Định nghĩa: Nhóm (N) là tập hợp tất cả các căn bậc N của đơn vị trên đường tròn

Trang 25

Chú ý: Từ £" = C”, với m và n khác nhau bởi một bội số nguyên của N ta thấy việc lựa chọn lũy thừa với số mũ nguyên của £ để xác định các căn

của đơn vị không phải là duy nhất Thực tế, ta có thể lựa chọn các số

nguyên thỏa mãn 0 < ” < N-1

Sự lựa chọn này là hoàn toàn hợp lí trong các số hạng của tập hợp, chúng ta hỏi rằng điều gì sẽ xảy ra khi chúng ta nhân các căn của đơn vị Rõ ràng chúng ta phải cộng các số mũ một cách tuong tmg.Tir do 6" 6" = 6""" nhưng không có gì chắc chắn rằng 0 < ø + m < N —I Trong thực tế, nếu

€°é" =£',0<k<N-—I thì n+ m và k khác nhau bởi một bội số nguyên của W Để tìm được số nguyên trong [0 N- 1] tương ứng với tìm căn của đơn vị C" {” Chúng ta nhìn thấy rằng sau khi cộng các số nguyên ø và m chúng ta quy về modun X, để mà tìm được duy nhất số nguyên

0<k<N-I thỏa mãn (n + m) - & là một bội số nguyên của N Một cơ sở tương đương để tiến tới vô cùng là sự kết hợp mỗi căn của đơn vị w với một lớp tương đương của ø để mà đ” = œ Để cộng hai lớp này, chọn bắt kì một số nguyên trong mỗi nhóm của chúng, ta lấy lần lượt là n va m , va

xác định tổng của hai lớp này là lớp với số mũ là số nguyên mò + ø

Chúng ta hình thức hóa các khái niệm trên Hai số nguyên x, y cùng modun X nếu hiệu x-— y chia hết cho W, và chúng ta viết x= y mod N

Nói một cách khác, điều này nghĩa là x và y khác nhau bởi một bội số

nguyên của W Dễ dàng kiêm tra được ba tích chất dưới đây: e x=x mod N, voi moi số nguyên x

e Nếu x= y mod N, thì y= x mod N

Trang 26

e Nếu x= y mod N và „=z mod, thì x=z mod N

Các tính chất trên là một quan hệ tương đương trên Lấy R(x) ki hiéu cho lớp tương đương hoặc lớp thặng dư các số nguyên x Bất kì số nguyên nào có công thức x+ #W với ke là một phần tử ( hoặc đại điện) của R(x) Trong thực tế có đúng M lớp tương đương, mỗi lớp có duy nhất một đại diện nằm giữa 0 và W —1 Bây giờ chúng ta có thể cộng các lớp tương đương bằng định nghĩa sau:

R(x) + R(y) = R(x + y)

Định nghĩa này không phụ thuộc vào việc chọn đại diện x và y bởi vì

nếu x'e#(x) và y'eR(y) thì dé dang kiểm tra được rằng x'+y'eR(x+ y) Tập hợp các lớp tương đương trở thành một nhóm Aben được gọi là nhóm các số nguyên modun W, cái mà thường được kí hiệu là /MN Sự liên hệ

R(k) © c2

cho một tương ứng giữa hai nhóm Aben /N_ và (N ) Từ đó, các phép toán được lưu tâm, trong ánh xạ chỉ ra rằng phép cộng các số nguyên modun X trở thành phép nhân của các số phức Chúng ta sẽ kí hiệu nhóm các số nguyên modun W bởi () Chú ý rằng0e /NW_ tương ứng với

1 nằm trên đường tròn đơn vị

Cho và W lần lượt kí hiệu cho không gian vecto của các hàm có giá trị phức trên nhóm các số nguyên modun và nhóm các căn bậc M của đơn vị Khi đó, tương ứng cho ở trên được mở rộng từ ƒ vào W như sau:

F(k) @ f(e’)

Trang 27

ở đây F là một hàm trên vành các số nguyên modun W và ƒ là một hàm

trên nhóm các can bac N cua đơn vi

Từ bây giờ trở đi, chúng ta viết (N ) nhưng hiểu một trong hai nghĩa là

nhóm các số nguyên modun W hoặc nhóm các căn bac N cua don vi Một đồng cấu giữa hai nhóm Aben G va H 1a mot anh xa f: G> H

mà thỏa mãn tính chất:

Z(a-b) = /(a) -/0)

ở đó dấu nhân nằm ở bên tay trái là phép toán trong Œ và dấu nhân nằm ở bên tay phải là phép toán trong Ởƒ

Chúng ta nói rằng hai nhóm G và #7 là đăng cấu, và viết G ~ 7, nếu ƒ

vừa là song ánh vừa là đồng cấu từ G vào /¡ Hay G đẳng cấu với H khi

và chỉ khi ƒ và ƒ' đều là đẳng cấu

Nói cách khác, đăng cấu nhóm mô tả các đối tượng giống nhau bởi vì chúng đều có cùng cấu trúc nhóm cơ bản; tuy nhiên, các kí hiệu biểu điễn trong các trường hợp của chúng có thể là khác nhau

Ví dụ 1, Một đẳng cấu giữa hai nhóm Aben được nảy sinh khi chúng tôi xem xét nhóm (JN) Trong biểu diễn thứ nhất cho trước nhóm nhân các căn bậc của đơn vị trong _ Trong biểu diễn thứ hai cho nhóm cộng /N_ các lớp thặng dư của các số nguyên modun X Ánh xạ ¡0 +> R(n)

2zin/N

biến một căn của đơn vị z=e =7” thành một lớp thang du trong

/N để xác định được ø, cho ta một đẳng cầu giữa hai biểu diễn khác nhau

Trang 28

Ví dụ 2 Song song với ví dụ trên, chúng ta thấy rằng đường tròn ( với phép toán nhân) đẳng cấu với nhóm các số thực modun 2z ( với phép toán

cộng)

Ví dụ 3 Các tính chất của hàm mũ và hàm logarit đảm bảo rằng:

+ +

©€XpP: => va log: >

là hai đồng cấu mà cái này là nghịch đảo của cái kia Do đó (với phép cộng) và _ ° (với phép nhân) là một đăng cấu

Trong những điều sau đây, chúng ta chỉ quan tâm tới các nhóm Aben mà hữu hạn Trong trường hợp này, chúng ta kí hiệu | Ơ| là số lượng các phần tử trong Ớ và gọi | G | là cấp của nhóm Ví dụ cấp của nhóm (M) là N Một số điều đáng chú ý về lực lượng « Nếu G, va G,la hai nhóm Aben hữu hạn, tích trực tiếp của chúng Gx G, la một nhóm, các phần tử ở đây là một cặp (g„ø,) với ø.<GŒ,;:g,cŒ, Phép toán trong G, x G, thì được định nghĩa bởi: (8 8.)-(8,; 8.) =(8, - 8; 8; - 8)

Rõ ràng, nếu Œ, và G, là hai nhóm Aben hữu hạn thì G x Œ, cũng là một

nhóm Aben hữu hạn Định nghĩa của tích trực tiếp có thể mở rộng cho

trường hợp có hữu các thừa số Œ, x G, x x Ở,

+ Dinh lí cầu trúc đối với các nhóm Aben hữu hạn phát biểu rằng những nhóm như vậy là đẳng cấu với tích trực tiếp của các nhóm kiểu (N) Đây là một kết quá đẹp cho chúng ta một cách nhìn tổng quát về các lớp của tất cả các nhóm Aben hữu hạn Tuy nhiên, từ nay chúng ta sẽ không sử dụng định lí này dưới đây, chúng ta bỏ qua việc chứng minh nó

Trang 29

Nhóm '(2)

Cho ¿ là một số nguyên dương Chúng ta thấy rằng phép nhân trong (4) được định nghĩa không thể nhằm lẫn được, bởi vì nếu z cùng một lớp tương đương với # và z cùng một lớp tương đương với ( cả hai cùng modun q), thi zz cùng một lớp tương đương zøzz modun z Một số nguyén ne (q) là đơn vị nếu ở đây tồn tại một số nguyên ø e (4) sao cho

nm =l mod q

Tập hợp tất cả các đơn vị trong (4) được kíhiệu bởi * (4) „ từ định nghĩa ta suy ra '(g) là một nhóm Aben với phép nhân modun ø Do đó nhóm cộng (gq) chứa nhóm nhân ‘(q)

Ví dụ 4 Nhóm các đơn vị trong (4) ={ 0,1, 2,3 } la:

(4) = {1.3},

Điều này phản ánh một thực tế rằng các số nguyên lẻ được chia thành hai lớp không phụ thuộc vào nhau, chúng có dạng là 4k+ I hoặc 4k + 3

Trong thực tẾ, '(4) đẳng cấu với (2) Thật vậy, chúng ta có thé chi ra

nhu sau:

4) (2)

o 0 306

và chú ý rằng phép nhân trong ` ( 4) tương ứng với phép cộng trong (2) Ví dụ 5 Các đơn vị trong (5) la:

Trang 30

'(5) = { 1, 2,3, 4} Hơn nữa, * (5) đẳng cấu với (4) với các tương ứng dưới đây (5) (4) tits 1 2 3 4 Ví dụ 6 Đơn vị trong (8) ={0,1, 2,3, 4,5, 6, 7} dugc cho béi “(8) = {1 3, 5,7}

Thực tế, “(8) dang cau với tích để các (2) x (2) Trong trường hợp nay dang cầu giữa hai nhóm đã cho được xác định như sau: (8) (2)x (2) 1 ( 0, 0) (1,0) ‡+ + ‡ (0.1) ©_ (1) 1.3 Các ví dụ của nhóm Aben e Tập hợp các số thực với phép cộng thông thường Phần tử đơn vị là 0 và phần tử đối của x là -x

Tập —{0} và *={xe :x>0} được trang bị phép toán nhân là

các nhóm Aben Cả hai trường hợp này đơn vị đều là 1 và phần tử nghịch đảo của x là l/x

Trang 31

e Với phép cộng thông thường, tập hợp tất cả các số nguyên là một

nhóm Aben Tuy nhiên, tập — {0} không là một nhóm Aben với phép

toán nhân, từ đó với ví dụ này, 2 không có phần tử nghịch đảo trong

Ngược lạ,tập — {0} là một nhóm Aben với phép toán nhân

e Đường tròn $' trong mặt phẳng phức Nếu chúng ta xem đường tròn giống như tập các điểm { ede } thì phép toán trong nhóm này là phép nhân của các số phức Tuy nhiên, nếu chúng ta xác định các điểm trén S' với góc của chúng là Ø thì S%' trở thành nhóm modun 2z, phép toán ở đây là phép cộng modun 2Z

° (N ) là một nhóm Aben, ở đây được hiểu là nhóm các căn bậc N của

đơn vị trên đường tròn, () là một nhóm với phép nhân các số phức ở

trên Tuy nhiên, nếu () được xem như là / „, các số nguyên

modun X thì nó là một nhóm Aben, phép toán ở đây là phép cộng modun N

Trang 32

CHƯƠNG 2

CHUOI FOURIER HUU HAN

2.1 CHUOI FOURIER TREN (N)

Bước đầu tiên và quan trọng nhất trong việc phát triển chuỗi Fourier là

2 minx

tìm ra các hàm tương ứng với cdc ham mii e, (x) = £””" trong trường hợp các hàm tuần hoàn Một vài tính chất quan trọng của hàm mũ là:

() {°,}, _ là một hệ trực chuẩn với tích vô hướng trên không gian các

hàm khả tích Riemann tuần hoàn với chu kì 27

(ii) Tổ hợp tuyến tính hữu hạn của e, ( các đa thức lượng giác ) là trù mật

trong không gian các hàm liên tục, tuần hoàn chu kì 2z (iii) e, (x + y) = e, (x) e,(y) Trên (NV), cdc ham tuong ty phi hop 1a N ham @ ,e,_, duge dinh nghia boi: (k) =£*= £”"* với I=0,1, ,N— 1;k=0, ,NW —1 Mi o day =e"

Trang 33

Khoá luận tốt nghiệp Trường ĐHSPHN2 2 |F "= DIFC) Bồ đề 2.1.1 Ho { đạ, ey} là hệ trực giao Tức là: ( aa m=Ïl, 0;m# 1 Chứng minh Chúng ta có “`

+) Nếu m =7 thì mỗi số hạng trong tổng bằng I và đo đó tổng bằng NV +) Néu m #1 thi g=¢""' khac 1 và sử dụng công thức:

dé chi ra rang (e,, e,) =0, béi vi g”=1

Vì N ham e,, ,é,_, là trực giao, chúng ta phải chỉ ra nó là một hệ độc

lập tuyến tính, và vì không gian vecto ƒ là không gian M chiều, chúng ta kết luận rằng {e,, sa sỞy } là một cơ sở trực giao đối với ƒ Rõ rằng tính

Trang 34

Ta có định nghĩa chuỗi Fourier như sau:

2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier

Cho W là không gian vectơ các hàm giá trị phức có số chiều W Trên V được trang bị tích vô hướng (2.1) Voi bat ki F eV ta dinh nghĩa chuỗi Fourier cua no 1a: 1 sÀ + (2.2) F yl e)£, Nhờ lí thuyết tổng quát của không gian Hilbert ta có 1 N-1 ` N-1 (2.3) Fad (re)e va [FP = D\(F, s)Ï n=0 n=0 Chúng ta định nghĩa ø hệ số Fourier của F bởi a, = wr (ee N Ta co dinh li sau:

2.1.2 Công thức Fourier ngược

Trang 35

1 1 +

Từ đây ta suy ra điều phải chứng minh

2.1.3 Biến đối Fourier nhanh

Bién déi Fourier nhanh là phương pháp được xây dựng như là một phương

tiện của việc tính toán có hiệu quả trung bình cộng các hệ số Fourier của một hàm #ˆ trên (N)

Vấn đề xuất hiện trong khi tính toán là xác định một thuật toán mà lượng

thời gian để máy tính có thể tính toán các hệ số Fourier của một hàm đã cho trên (N ) là nhỏ nhất Vì lượng thời gian này là xấp xỉ với số phép tính mà máy tính phải thực hiện nên vấn đề của chúng ta là tìm số phép toán nhỏ

nhất cần thiết đề thu được tất cả các hệ số Fourier {a,} của hàm #' đã cho

trên (N ) Thuật toán này có tên là FFT ( Fast Fourier Transform ) Bằng các phép tính chúng ta có thể cộng hoặc nhân các số phức với nhau

Chúng ta bắt đầu với một phép tính gần đúng liên quan tới vấn đề Cố dinh N , va giả sử rằng chúng ta đã cho F(0), ( NT 1) và a, =e" Chung ta ki hiéu a (F) là hệ số Fourier thứ & của hàm # trên (), được định nghĩa

N 1 ¬ r

a, (F)=— LF (ro ›

Những đánh giá đơn giản chỉ ra rằng số lượng các phép tính cần thiết để tính toán tất cả các hệ sé Fourier là không quá 2N? + N Thật vậy, chúng

Trang 36

NI

ta cần nhiều nhất W— 2 phép nhân để xác định ø}, , ø}ˆ' và mỗi hệ số a’ can N +1 phép nhan va W — I phép cộng

Bây giờ chúng ta thực hiện biến đổi Fourier nhanh, một thuật toán mà giới hạn O(N *) thu được ở trên được trở nên tốt hơn Sự cải tiễn này có thé thuc hién đối với vi dụ mà N = 2"

Ta co định lí sau:

Định lí 2.1.2 Cho @, =e””"Y với N =2", chúng ta có thể tính được các hệ

số Fourier của một hàm trên (M) với nhiều nhất

4.2'n=4N log,(N)=O(N logN) phép toán

2.2 CÁC ĐẶC TRƯNG CỦA NHÓM ABEN HỮU HAN

2.2.1 Đặc trưng

Cho G là một nhóm Aben hữu hạn ( kí hiệu phép toán là phép nhân ) và Š' là đường tròn đơn vị trong mặt phẳng phức Một đặc trưng trên G 1a

một hàm được lấy giá trị phức e: G —> $S' thỏa mãn điều kiện dưới đây: (2.4) e(a b) = e(a) e(b), voimoia, be G

Nói một cách khác, đặc trưng là một đồng cấu từ nhóm Œ vào nhóm Š$' Một đặc trưng tầm thường hay một đặc trưng đơn vị được định nghĩa bởi

e(a) = 1, với mọi a e G

Các đặc trưng đóng vai trò quan trọng trong phần chuỗi Fourier hữu hạn, chủ yếu bởi vì tính chất nhân (2.4) tổng quát hóa đẳng thức của các hàm mũ trên đường tròn theo quy luật

e(k+m) =e(k)e(m)

Trang 37

ở đây các hàm mũ e,, €y_, được sử dụng trong định lí Fourier trên

(N) Chúng ta có

6(k) =£"* =£”“* với 0 XI <N-— lvàke (N)

Thực tế, chỉ ra rằng @,, ,é,_, 1a tat ca cdc dic trưng của nhóm (N)

Nếu G là một nhóm Aben hữu hạn, chúng ta kí hiệu Œ là tập tất cả các

hàm đặc trưng trên G thi G cũng là một nhóm Aben

Bồ đề 2.2 ] Tập GŒ là một nhóm Aben với phép nhân ở trên được xác định

bởi

(e,- e, )(a) = s(a) e,(a), với mọi a e G

Chứng minh khẳng định này được suy ra trực tiếp nếu ta nhận xét thấy đặc trưng tầm thường đóng vai trò của đơn vị Chúng ta gọi G là nhóm đối

ngẫu của Œ

Ví dụ: Nếu G =_ (N), tất cả các đặc trưng của G có dạng e(k) =o" =e" voi 0 <1 < N-1, va dé dang kiém tra duoc

e, + 1 cho mét dang cau tr (N) vao (N)

Bổ đề 2.2.2 Cho Œ là m6t nhém Aben hitu han, vae: G > = —{0} là

Trang 38

Nhóm G là hữu hạn, giá trị tuyệt đối của e(a) 1a bi chan trên và bị chặn

dưới như là một tập giá trị trên G Từ |e(o") = |e(d) |" ta suy ra

|e(d)| =l,véimoibeG

2.2.2 Các quan hệ trực giao

Dinh li 2.2.1 Cho Wƒ là không gian vecto các hàm giá trị phức được xác định trên nhóm Aben hữu hạn G Chú ý rằng số chiều của không gian V là

, cấp của Œ Trên V ta xác định tích vô hướng như sau: (2.1) (/.s)= => f4) (2), với ƒ, g<V Iơ|⁄ Thì các đặc trưng của Œ tạo thành một hệ trực chuẩn với tích vô hướng ở trên Chứng mình Từ Ie(2)| = 1 với bất kì hàm đặc trưng nảo, ta có: (06) =) B ela)ela) = 4) Elela)l = 1

Néu e # e’ vaca hai đều là hàm đặc trưng thì ta phải chứng minh (e e) = 0 Để chứng minh điều này ta sử dụng bổ đề sau

Bồ đề 2.2.3 Nếu e là một đặc trưng không tầm thường trên nhóm G, thì 5;e(a) = 0

aeG

Thật vậy, chọn b e Œ thỏa mãn e(b) # 1 Khi đó, ta có:

e(b) aeG 3 (a4) = 3 c(b)c(a)= 3 c(ab) = 3 c(a) aeG aeG aeG

Trang 39

Đăng thức cuối cùng được chỉ ra bởi vì z chạy khắp nhóm G,øb cũng

chạy khắp nhóm Œ Do đó Ð` e(a) = 0

aeG

Để kết thúc chứng minh cho định lí 2.2.1, ta giả sử e' là một đặc trưng khác

e Vì e(e’) | là đặc trưng không tầm thường, áp dụng bổ đề ta có:

>e(2)(e(a)) = 0

aeG

Vi (e(a))' = e'(a), dinh lí đã được chứng minh

Như là một hệ quả của định lí 2.2.1, chúng ta chỉ ra rằng các đặc trưng tạo thành một hệ độc lập tuyến tính Từ đó, số chiều của không gian vectơ V

2.2.3 Các đặc trưng như một hệ đầy đú

Định lí 2.2.2 Các đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn GŒ tạo thành một cơ

sở đối với không gian vectơ của các hàm trên G Chứng mình

Định lí này có một vài cách chứng minh Một trong số đó sử dụng định lí cấu trúc đối với các nhóm Aben hữu hạn, nó chỉ ra rằng: bất kì nhóm nào là

tổng trực tiếp của các nhóm xyclic đều là một nhóm kiểu (NV) Tir do,

nhóm xyclic là nhóm tự đối ngẫu Từ đây ta suy ra | G | = ||, do đó các

hàm đặc trưng tạo thành một cơ sở đối với Œ

Ngoài ra ta có thể chứng minh trực tiếp định lí này mà không cần sử

dụng định lí cấu trúc

Trang 40

Định nghĩa: Cho Ƒ là không gian vectơ có số chiều đ với tích vô hướng (.,.) Một biến đổi tuyến tính 7: —> W là toán tử Unita nếu nó bảo tồn tích vô hướng, (7v, Ta) = (v, ø) với mọi v, @ € V Định lí phổ trong đại số tuyến tinh khẳng định rằng bat kì phép biến đổi Unita nao déu chéo hóa được Nói cách khác, ở đây tồn tại một cơ sở {v, , v„} (các

vectơ riêng ) của Wƒ thỏa mãn:

T(y)=Ay

ở đó 4c là giá trị riêng ứng với v,

Chứng minh của định lí 2.2.2 được dựa trên sự mở rộng dưới đây của định lí phổ

Bồ đề 2.2.4 Giả sử { T,, 51, } là một họ các toán tử Unita giao hốn trên

khơng gian vecto hữu hạn chiều V với tích vô hướng (2.5), mà: [T, =T,T, , voi moi i, j

Khi đó T,, T, là chéo hóa được một cách dong thời, nói cách khác tôn tại một cơ sở đối voi V ma nod gom các vecto riéng của mọi T;, ¡ = Ì, , k Chứng minh

Chứng minh bằng quy nạp đối với k

+) Trường hợp & = 1 là đơn giản Bổ đề đúng

+) Giả sử bô đề đúng với bắt kì họ nào có & — I toán tử Unita giao hoán

Áp dụng định lí phô với T,, chi ra rang V 1a tong truc tiếp của các không gian con riêng của nó

V =V, ® @V,

Định dạng
Số trang	51
Dung lượng	5,12 MB