MỞ ĐẦU
1 Lý do chọn đề tài
Trong nhà trường phổ thơng mơn Tốn giữ một vị trí quan trọng nĩ
giúp học sinh học tốt hầu hết các mơn học, và là cơng cụ của nhiều ngành khoa học kỹ thuật, cĩ nhiều ứng dụng to lớn trong đời sống
Muốn học giỏi nĩi chung và học giỏi Tốn nĩi riêng thì phải luyện tập, thực hành nhiều nghĩa là ngồi việc nắm rõ lý thuyết các em cịn phải làm nhiều bài tập Đối với học sinh bài tập thì rất nhiều và đa dạng nhưng thời
gian thì hạn hẹp đồng thời các em khĩ cĩ điều kiện chọn lọc những bài tốn
hay cĩ tác dụng thiết thực cho việc học tập rèn luyện tư duy tốn học của mình
Trong mơn Tốn phương trình giữ vị trí hết sức quan trọng khơng những là đối tượng nghiên cứu của Đại số mà cịn là cơng cụ đắc lực của Giải
tích Nĩ được giới thiệu ngay từ những năm đầu của bậc phố thơng ở các
dạng đơn giản
Đa phần các em được làm quen với phương trình bậc nhất hoặc bậc hai cịn các phương trình bậc cao các em ít được làm quen Ngày nay phương trình bậc ba, bậc bốn đã giải được bằng căn thức Xong ở phố thơng nghiệm phức đưa vào chỉ ở mức độ giới thiệu, do đĩ việc áp dụng cách giải này thế
nào cho các em dễ hiểu và dễ nắm bắt là cả một vấn đề
Với những lý do trên cùng với lịng say mê nghiên cứu và được sự giúp đỡ tận tình của cơ giáo Nguyễn Thị Bình, em đã chọn đề tài: “Một số phương
pháp giải phương trình bậc bốn” để làm khĩa luận tốt nghiệp với mong
Trang 2hơn về phương trình bậc bốn
3 Nhiệm vụ nghiên cứu
- Giải được phương trình bậc bốn tổng quát
- Tìm một số phương pháp giải một số phương trình bậc bốn thường dùng 4 Đối tượng và phạm vi nghiên cứu
* Đối tượng nghiên cứu: phương trình bậc bốn * Phạm vi nghiên cứu
- Kiến thức về đa thức
- Phương trình bậc bốn tống quát và một số phương trình bậc bốn thường dùng
5 Phương pháp nghiên cứu
- Phương pháp nghiên cứu tài liệu - So sánh, phân tích, tổng hợp - Phương pháp đánh giá
6 Cấu trúc khĩa luận
Ngồi mở đầu, kết luận, danh mục tài liệu tham khảo, khĩa luận của em gồm hai chương:
Chương 1: Đa thức và phương pháp giải phương trình bậc bốn tổng quát Chương 2: Một số phương pháp giải phương trình bậc bốn
Trang 3NOI DUNG
CHUONG 1: DA THUC VA PHUONG PHAP GIAI PHUONG TRINH BAC BON TONG QUAT
1.1.Da thire
1.1.1 Xây dựng vành đa thức một ấn
Dinh ly 1.1.1.1: Cho A là vành giao hốn co don vi 1 Khi đĩ ta cĩ tập P
là tập hợp cĩ dạng
P={ ag,a,, đ„„ Ì à =0 hầu hết}
cùng với hai phép tốn
ys Ayres Aygo Ð bạ, bị Dye = dạ +tbẹ, a +bịụ, , a„+b, n đọ, đị , đ nành Đụ bị, D„, — Cạ, C¿ Caves n trong đĩ Cy = Ayhy C, = Ad, + aby C= » ab; it j=k
lập thành một vành giao hốn, cĩ đơn vị và gọi là vành đa thức, mỗi phần tử thuộc vào P gọi là một đa thức
Chứng mình
Lay hai phan tir bat ky thuộc vào P: aạ, ø,, đ„„ VÀ hạ, bự Đụ
Trang 4Trước hết ta chứng minh tập P cùng với phép tốn cộng lập thành một nhĩm giao hốn
Với mọi 4= dạ, đị, , d„, , Ð= bạ, bị b„, ,
C= Cy, Ci, wy Cp 6€ P,tacĩ n
a+b +c= đạ, đị, , Ap gees + bạ, bị, , D., |+ Cos Cyseers Cy gees = dg+bg,ai+b,, da, +P„„ + Cys Chyeees C, a Cys ll đạ+bạ +, a+b, +ú, , a,+b„ + = dạ+ bạ+cạ ,a+ b.+c ,da.+ b+c, = G, Ay see a, D> 6 bị b„ 3 < €\, Cy D =a+@+c) Suy ra phép cộng trong P cĩ tính chất kết hợp Với mọi a= dạ, đ, , đ, noe eP,tồn tại phần tr 0, 0, ,0, €P, thoa man at 0,0, ,0, = dạ, đ, , đ„, + 0, 0, , 0, = a,+0,a,+0, , 4a, +0 = Ay đ, , đ„„ =a 0,0, ,0, tư= 0,0, ,0, + đạ, đ,, , đ nành = 0+a),0+4, ,0+4,, = Ay, Ay A =a
Suy ra phan tử khơng trong P là 0,= 0, 0, ,0,
Với mọi =_ đạ, đ , đ nose € P, ton tai phan tử đối là dãy -A= đụ, đỊ, , — q nà tt
Trang 5
a+ —a = dạ, d, , q„„ F n? gy — Ayyeery — Ay gees =_ đạT đụ, dị — đ, , đụ — đu —a +d= Tdạ,T—dI, , — q„, + đọ, đị, , đ,.„ =_ —đg + đụ, — đi + đị, — q„ + q„ 0, 0, , 0, = 0p Với mọi 4= dạ, đ, , d„, , D= bạ, b,, b,„ EP, tacd a+b= qg,da, d„, + bạ, bị, , Dạ = đạ+ bạ, a + b,, , q„ + Є,
= byt dy, b+ Ay, D, + Ay = bạ, b, Є„ + Ags Uy very Aygo
=b+a
Suy ra phép cộng trong P cĩ tính chất giao hốn
Vậy tập P cùng với phép tốn cộng là một nhĩm giao hốn
Bây giờ ta chứng minh tập P cùng với phép tốn nhân là một vị nhĩm giao hốn
5c notte là các
Trang 6s of " be" S ae,
jt pei ktEp Jj+k+lEi
Suyra ab c=a be
Mặt khác, với moi a= dy, d), 4,5 , D= bạ, bị, ,b,, € P, ta cĩ Hạng tử với chỉ số ¡ trong ab là > aby J†+k=i Hang tir voi chi sé i trong ba 1a > bụa, kt jei Suy ra ab=ba Ma voi moi a= dp, G, 4 nành € P, ton tai phan tr 1,0, ,0, €P thỏa mãn =a 1, 0, ,0, @= 1, 0, , 0) dạ, đị, , đ„„ = dạ, đị, , đ„„ =a
Suy ra phan tử đơn vị của P là dãy 1,= 1,0, ,0,
Vậy tập P cùng với phép nhân là một vị nhĩm giao hốn
Trang 7Về trái là hạng tử với chỉ số ¡ của a+b c cịn về phải là hạng tử với chi
số ¡ của actbe Suyra a+b c=ac+be
Ta cĩ
» a, btq = Y ab, + 3` dục
jekei inhi jek=i
Về trái là hạng tử với chỉ số ¡ của a b+ec_ cịn về phải là hạng tử với chỉ số ¡ của gb+ ac Suy ra a b+ec =ab+dc
Do đĩ trong P phép nhân phân phối với phép cộng
Vậy tậpP cùng với hai phép tốn cộng và nhân lập thành một vành giao
hốn cĩ đơn vi
Trang 8a,,0, Ú, # a,,0, ,0,
Suy ra A là vành con của vành P
Do đĩ từ bây giờ ta đồng nhất phần tử ø 6A với dãy a,0, ,0, € P Mỗi phần tử của P là một dãy 4ạ, đ; , đ note trong đĩ các 4, bằng 0 tắt cả trừ một số hữu hạn, cho nên mỗi phần tử của P cĩ dạng
đạ, đị, , đ„„ Ư,
trong đĩ øạ, a„ 4, A, khơng nhất thiết khác 0
Việc đồng nhất ø với dãy z,0 0, và việc đưa vào dãy x cho phép ta viết đạ, đ, đ„,Ú, = Ay, 0, ,0, + 0, a, , 0 + 4+ 0,0, ,0, đ = dp, 0, ,0, + đ,0, ,0, 0,I, ,Ú, + + 0, 0, , 0, a,,0, 0, 0, , 0, L 0 0, n?
=ax taxt t a,x"
Người ta thường ký hiệu các phần tử của P viết dưới dạng
dạx” + ax+ + dua"
bằng ƒ x,& x
Định nghĩa 1.1.1.1: Vành P gọi là vành đa thức của ẩn x lấy hệ tử trong A, hay van tắt vành đa thức của ấn x trên A và ký hiệu là A x Các phần tử của vành đĩ gọi là vành đa thức của ân x lấy hệ tử trong A Trong một đa thức
0
ƒ x =dagx +ax+ +a,x"
các a,,¡=0,n gọi là các hệ tử của đa thức Các a,x! gọi là các hạng tử của đa thức, đặc biệt Ax” =a, la hang tu ty do
Vidu: f x =x tx°-2xtleZ x,
Trang 9gx =x°- 3x €j x 1.1.2 Bậc của một đa thức Xét một dãy thuộc vành P Vì các a, bằng 0 tất cá trừ một số hữu hạn nên neu đạ, đ\ , đ„„ # 0,0, , 0,
thì bao giờ cũng cĩ một chỉ số 0 sao cho a,#0 va a,=0, Vi>n
Theo như trên, ta viết
đụ, đị„ đ„„ = Ag+ GXt + a,x"
Định nghĩa 1.1.2.1: Bac cua da thức khác 0
f x =dg+ax+ +a,x"
với a,#0, n>0, là n Hệ tử a„ gọi là hệ tử cao nhất của f x
Ký hiệu bậc của đa thức ƒ x là degƒ x Khi đĩ degƒ x =n
Như vậy, ta chỉ định nghĩa bậc của một đa thức khác 0 Đối với đa thức 0
ta bảo nĩ khơng cĩ bậc (hay bậc là —œ )
Ví dụ: ƒ x =xÌ`-l,degƒ x =3, g x =5,degg x =0
Trang 10trong đĩ c, = > ab,, noi riéng c,,,, n+m = 4,0, n-m*
it jek
Do A 1a mién nguyén nén tir a, #0, b, #0 suyrac,,,, #0
Do dé deg fg =n+m=deg f +deg g Vậy bố đề được chứng minh
1.1.3 Phép chia và phép chia voi dw
Định lý 1.1.3.1: Cho A là một miền nguyên và ƒ x, g x là hai đa thức trong A x, ngồi ra hệ tử cao nhất của g x khả nghịch trong A Khi đĩ tồn tai duy nhất cặp đa thức 4 x ,r x sao cho ƒ * =gxqx+rx với degr< degg nếu r x #0 Chứng mình a) Sy ton tại Giả sử f x =a) + ax + +a,x", a,#0, gx =b t+ bxt + bx", b, #0 Néu n<m thitadatg x =O.rx=f x Néu n= m thi ta đặt fi x =f x —bi'a,x""g x =fx-qxgx —
Bậc của đa thức này khơng lớn hơn m—1 boi vi cdc hé tit cao nhat cia
f x vag, x g x tring nhau va bang b,'a,b, =a,
Trang 11deg f x <degg x Khi đĩ đặt 4 x =q x +{q x + +dq x,rx =ƒ, x Ta điều phải chứng minh b) Tính duy nhất Giả sử cịn cĩ ƒ x =4 x @ x + x Với degr <degg nếu x #0 Khi đĩ rx-rx =qx-qx |g x
Nếu r x #r' x thictingcd g x #q x vakhido deg r—r’ =deg q—q' +degg=degg
Điều này vơ lý vi
deg r—r’ <max degr,degr’ <degg
Boi vay ta phaico r x =r’ x Do A x là miền nguyên nên từ đĩ qx=qx 1.1.4 Nghiém cua mét da thức Định nghĩa 1.1.4.1: Giả sử c là một phần tử tùy ý của vành A, n ƒ x =a,t+ ax + 4 a,x là một đa thức tùy ý của vành A x ; phần tử fx =a+act + ac"EA
được bằng cách thay x bởi c gọi là giá trị của ƒ x tại c.Nếu ƒ c =0 thì
Trang 12Định lý 1.1.4.1: Giả sử A là miền nguyên, ce A Khi đĩ x—c là ước của đa thức p x 6A x khi và chỉ khi p c =0
Chứng mình
Giả sử A là miền nguyên Xét đa thức p x eA x và ceA
Chia p x cho x—c, theo định lý phép chia với dư ta được pxX=x-cqxtrx trong dé degr<1néur x #0,nghialar x =reA Tac6pe=re Suyra pc =r Boi vay, x—c lauéc cua p x khi và chi khi r x =U<©r=U<>pc =0 Vậy định lý được chứng minh
Định lý 1.1.4.2 (Định lý Bơdu): Phần tử thuộc A là nghiệm của đa thức ƒ x thuộc A x nếu và chỉ nếu x—ø chia hết ƒ x trong vành A x
Chứng mình
Giả sử A là một miền nguyên Xét da thie f x €A x và phần tử œe A
Gia str # là nghiệm của đa thức ƒ x Ta cần chứng minh x- ø chia hết ƒ x trong vành A x
Nếu # là nghiệm của đa thức f x thìtacĩ ƒ œ =0
Theo định lý 1.1.4.1 ta cĩ x—# là ước của ƒ x hay x-# chia hết ƒ x trong vành A x
Ngược lại, gia sit x-@ chia hét f x trong vành A x Ta can chứng minh @ langhiém cua da thuc f x
Trang 13
Do x-ø chia hết ƒ x trong vành A x nên x-# làước của ƒ x Theo định lý 1.1.4.1 tacĩ ƒ œ =0
Do đĩ ø là nghiệm của đa thức ƒ x Định lý được chứng minh
s* Lược đồ Hoocne
Cho f x =a,x"+ a,x"! + +ax+a,EeAx a,#0,A lamién
nguyên, øe A Khi đĩ tồn tại duy nhat g x ,r x € A x sao cho ƒ x=x-aqx+rx (*) trong đĩ degr x <deg x—ø =1 Giả thiết rằng g x =b,„,x nl + + 5, EA x thế thì ta cĩ n nl — ye ml a,x" +a,)X" + 4Qxta,= x-a bx" + +b +r x —ab ml n n-1 _ n n-1
Carta x" + tax+aj=b_ x" + b m2 x t+ 4 bab, x-abjt+r x (1) Do degr x <1 nénr x =rcA Hơn nữa, từ (*) ta cĩ r=ra=fa (2) Từ (1) và (2) suy ra a,x" +a, px” + + ax+a,=b-ix "+ bab, x"'+ 4+ b-ab, xt f a —ab, Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc 2 về của đồng nhất thức, ta cĩ hệ phương trình sau a, = 8, Da = 4, a,,) = by — db, 4 Dy = 4,44 ab, , =>
ai =bạT db, by, =a, + ab,
a,=f a —ab, f a =a,+abh,
Ta cĩ lược đơ sau
Trang 15
1 0 2 0 -1 1 2 1 2 6 12 23 47 2 1 4 14 40 103 >P x= x-2 x +4x +l4x+40 +103 x—2 +47 Thương và dư trong phép cha P x cho x—2 ? tương ứng là x +4x?+14x+40 va 103 x-2 +47 hay 103x-159 2 + Nghiệm bội Định nghĩa 1.1.4.2: Cho k 1a sé tự nhiên khác 0 Phần tử z của vành A *,
gọi là nghiệm bội k của đa thức ƒ x eA x néu f x chiahétcho x-u ‘
và khơng chia hếtcho x—w “`
Dac biét: Khi k =1 thi u gọi là nghiệm don Khi k=2 thì w gọi là nghiệm kép
Định lý 1.1.4.3: Giá sử A là một miền nguyên, ƒ x là một đa thức khác
0 thuộc vành A x và ø,, u„, , „, là các nghiệm trong A của nĩ với bội số
tương ứng là k, k„ k„ Khi đĩ
— kị ky k,
ƒ x= x-M | XU, Ou XU, "BX,
8@ x€Ax và g ứ, #0 với i=l,2, r
Chứng mình Trong miền nguyên A, xét đa thức ƒ x khác 0
Gia sw u,, U5, , u, la cac nghiém trong A của nĩ với bội số tương ứng là
Trang 16k,+1 f x Mx-u, ‘ f x kh6ng chia hét cho x-u, ”
ky ky k,
Suyra f x Mx-u, ` x—M;, ` x—u
hay f x = x-u, ‘ X= Uy © xu vơ Xx,@x€Áx r
Do ƒ x khơng chia hết cho x—ứ, én suy ra
ky k, ˆ - ok kytl
X—u, | Xu, ° x-u, r "g x khéngchiahétcho x-u, ` kị ky k, ^ : A
=> x-U, ` x—u, ` x-u, r 'g x khéngchiahétcho x-u, tl => x-u, ° x-u, "gx khơng chia hếtcho X- Uy,
—=ø x khơng chia hếtcho x—u, Theo định lý 1.1.4.1, ta cĩ ø „;¿ #0 Tương tự ta cũng cĩ øg „, #0, ¡= 2,7 Ạ k k k, ne 5 Vậy ƒ x = x—u, ` x—M, ` X—U, 2 r g8 x ,VỚI g8 X €Ax Và gu, #0, i=ljr Định lý được chứng minh
Hệ quả 1.1.4.1: Cho A là miền nguyên, ƒ x €A x cĩ bậc ø>I Khi đĩ f x cĩ khơng quá n nghiệm (các nghiệm cĩ thể phân biệt hoặc trùng nhau)
Chứng mình
Giá sử A là miền nguyên Xét đa thức ƒ x eA x cĩ bậc ø>1 Giả sử
Trang 17deg f x =k,+k,+ +k,+degg x ©n=k,+k,+ +k +degg x
=k,+k,+ +k,<n
Điều này chứng tỏ ƒ x cĩ khơng quá n nghiệm Hệ quả được chứng minh
Chú ý: Nếu A khơng là miền nguyên thì kết quả khơng cịn đúng nữa
Chẳng hạn đa thức ƒ x =#+” trong Z„¿ x cĩ tới 4 nghiệm là , 2, 4, 6
“ Cong thire Viet tổng quát
Cho đa thức f x bậc ø trên trường A
f x =a,x"+ ax"! + +4+ ax + dạ (1)
Giả sử ƒ x cĩ trong A hoặc trong một mở rộng nào đĩ của A, tức là
một trường nào đĩ chứa A làm trường con, ø nghiệm ø,,đ;, z„ Khi đĩ
theo định lý Bodu, ta cé
f xX =a, x-@ x-@, x-@, (2)
Trang 18ae ka Chú ý: » a0,.4,= -1 + Mi, -%, đ<is< <Íy a điy„ j€ 12, n Ví dụ
1) Nếu X,,X, là các nghiệm (phân biệt hoặc khơng) của một phương trình bậc
hai: ax`+bx+c=0 a#0 thì ta cĩ
x¡†X¿=—— c a
2) Nếu x¡.*;.x; là các nghiệm (phân biệt hoặc khơng) của phương trình bậc
Trang 19Định lý 1.1.4.4: Nếu phân số tối gián '“ là nghiệm của một đa thức thuộc Z x — n n-1 ff x =a,x" +a, x" + taxt+a) thi P|ao.4 a, Chứng mình
Xét da thie f x =a,x"+a,,x"'+ +4,x+ a, với hệ số nguyên tùy ý n-l
Giả sử phân số tối giản 7 1a nghiém cua da thtte f x Khi dé tacd n n-1 a2] va(2) + +a2+a,=0 q q q n nÌ nl n Sap" ta, p" qt +apq" +a gq" =0 nh] nh]
©-a,p"=ú,„¡p” q+ +apq” +agq"
©-a,p"=4 a,,p" "4 +a,pq’ > + ang” 1 (1) Do a, € Z,i=0,n;p,q¢Z nén tt (1) suy ra q|a,p" (2) a, + Do 2 1a phân số tối giản nên p,q =1 Két hop voi (2) ta duge gq q
Tương tự như trên ta cũng cĩ: p|dạ
Vậy định lý được chứng minh
Hệ quả 1.1.4.2
1) Mọi nghiệm nguyên của một đa thức với hệ số nguyên là ước của số hạng tự do
2) Mọi nghiệm hữu tỷ của đa thức với hệ số nguyên với hệ tử cao nhất bằng I đều là nghiệm nguyên
Trang 20
Chứng mình 1) Xét đa thức — n n-1 f x =a,x"+a,_,x" + 4+a,X+ ay
trong dd a, i=0,n là các hệ số nguyên tùy ý Giả sử # là nghiệm nguyên của đa thức ƒ x
Ta viết @ =o Khi đĩ theo định lý 1.1.4.4, ta cĩ ø|a, và l|a, Tức là
aay
Suy ra ta cĩ điều phải chứng minh
2) Xét đa thức
f x =a,x" +4, ,x"'+ +a,x+ dy
với hệ số nguyên tùy ý và a, =1
Giiả sử phân số tối giản 7 là nghiệm của đa thức ƒ x Khi đĩ theo định
lý 1.1.4.4, ta cĩ p|aạ và q|a„ Tức là pla, va 4|I
Suy ra ø= +1, hay Pez
q
Trang 22non n-1_n-l n-1 mm] =>q'f m =a, mạ '-p'" +qa,¡, m q p` + +qg' a mạ—=p Ta cĩ m4 “— p‘= mạc=p_ m'q“'+ + p1 Suy ra q” “a, m*q‘ — p* Mua- p ,k=1,n Do dé g"f m Mng- p (1) Mat khac, vi p,g =1 nén q",mgq-p =1 (2)
Từ (1) và (2) suy ra f m Mng-p hay p—mq |/ m VmeZ
Chú ý: Từ nhận xét trén ta thay rang néu p—mg=0 thi f m =0, nghia la m là nghiệm của đa thức f x (tất nhiên nếu Pia nghiệm của đa thức f x) 1.2 Phwong trinh bac bén va phwong phap giải phương trình bậc bốn téng quat 1.2.1 Phwong trinh béc bon Là phương trình dạng ax’ + bx’? + cx’ +dx+e=0
trong do a,b,c,d,e la cac số phức tùy ý và a0
1.2.2 Phương pháp giải phương trình bậc bốn tống quát 1.2.2.1 Phương pháp
Cho phương trình
ax' + bx} + ex’? +dx+e=0 (1)
trong đĩ a, b, c, đ, e là các 36 phitc thy y va a#0
Ta sẽ đưa về phép giải một phương trình phụ bậc ba gọi là phương trình giải bậc ba Ta tiến hành như sau
Vì a#0 nên ta chia cả hai về của phương trình (1) cho z, ta được
Trang 23
- (2) a a a ea Đặt a, = 2 a, = oo = “a, = a thì phương trình (2) trở thành x +ax+a,x° +a,xt+a,=0 2 A 2 ke k as de a ^ 2 ok Chuyên ba hạng tử cuối sang về phải rơi cộng 7 vao ca hai vé, ta duoc 2 2 2 2,4 a 2 [2 tân) -($-s}: —a;X~ q, 3
Sau đĩ ta cộng vào hai về của phương trình này tổng ø + “| ytiợ trong đĩ y là một ân mới, ta được
(¿+#rx3] -(Loaty]e(Sy-a) rma (3)
2 2 4 2 ; 4
Ta chọn ấn phy y sao cho về phải của phương trình (3) là một chính
phương Muốn thế thì chỉ việc làm triệt tiêu biệt số của tam thức bậc hai đối
với x ở về phải
& , đ y
(#s-s) -4 a ety TT =0
Hay y-a,y’+ aa,—4a, y- a} +a/a,-4a,a, (4)
Trang 24Từ đĩ
2+ „ y_ 2,4 y_
x +—xt2=ax+ Pix +—x+—=-ax-
2 2 B 2 2 B
Hai phương trình bậc hai đĩ sẽ cho tất cả bốn nghiệm của phương trình bậc bốn Vậy phép giải một phương trình bậc bốn đã đưa được về phép giải một phương trình bậc ba và hai phương trình bậc hai Ta suy ra từ đĩ rằng phương trình bậc bốn giải được bằng căn thức 1.2.2.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x'+2x`+5x”+6x+9=0 Giải TXĐ:¡ Phương trình đã cho tương đương với phương trình x'°+2xÌ=—5x”—6x—9 © x84 2x0 4x7? =-4x?-6x-9 © tx =-4x?-6x-9 2
Ta cộng vào hai về của phương trình này tổng x°+x y+ n , trong do y
là một ân mới, ta được
2 2
[s+z+3] = y-4x°+ y-6 TƯỜNG @)
Trang 26Cộng vào hai về của phương trình này với ra , ta duoc
2
Cuối cùng ta cộng vào hai về của phương trình này tổng [= — x) yt T › trong đĩ y là một ân mới, ta được
3 , 3 °
(2-342) “[s-šJƑ+Ít-3)*+}-? (1)
2 2 4 2 4
Trang 27Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x=l; x=2; x= đi 1.2.2.3 Bài tập Giải các phương trình sau a) x'-3x3+x°+4x-6=0 b) x°-4x° +3x°+2x-1=0 c) x1 +2x°+8x°+2x+7=0 d) x'+6x°+ 6x’ -8=0 Chú ý
1) Từ phương trình (4) ta sẽ cĩ 3 giá trị y và với mỗi giá trị y ta sẽ cĩ được 4 giá trị x Như vậy, tơng cộng ta cĩ 12 giá trị x là nghiệm của phương
trình (1) Tuy nhiên, do (1) là phương trình bậc bốn nên chỉ cĩ đúng 4 nghiệm
(thực hoặc phức) Do đĩ các giá trị x tương ứng với yụạ sẽ phải trùng lại với các giá trị x tương ứng với y, và y; Vậy từ (4) ta chỉ cần tìm một giá trị Vo la du
2) Ta cĩ cách nhằm nghiệm của phương trình (1) nhu sau a) Néu a+ b+c+d+e=0 thi (1) cĩ nghiệm x= l
b) Nếu øa~b+c—d+e=0 thì (1) cĩ nghiệm x=—1
c) Nếu a,b,c,d,e nguyên và (1) cĩ nghiệm hữu tỷ ? thì p.q theo q
thử tự là ước của e va a
Trang 28Giải TXĐ:¡ Phương trình đã cho tương đương với phương trình x=x`=x*- 4x?-4x-4 =0 Sx x-x-l-4x -x-l=0 | x= ¬.ằ= L# ~ Lx=#+2
HH để ho số An HAT chân kia c—1+XS
Trang 29r=l 2?— Tr+5=(< 5 (thỏa mãn) ƒ=— 2 'x=l1 Với £=l ta cĩ 4x7— 3x=1< 4x”-3x—1=0«< 1 x=—— L 4 = Với =Š tacĩ 44°~3x=S©4x~-3xy- 2 2 =0 yal 2 _ 2 Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm phân biệt là 1 5 1 x=l;x=——;x=—;x=—— 4 2 2
4) Nếu trong phương trình cĩ chứa tham số , trong nhiều trường hợp ta cĩ thể đổi vai trị của ân và tham số (nếu xét phương trình ấn x theo tham sé a thì ta
Trang 30Suy ra, phương trình (2) cĩ nghiệm là a= x”—l#+ 2x—l
x’ +2x-a-2=0 3
2
x’ -2x-a=0 4
Giải (3): Ta cĩ
A'=l- -a-2 =a+3
Nếu A'>0>a>-3 thì phương trình (3) cĩ 2 nghiệm phân biệt
x=-l+4'a+3
Nếu A'=0<>a>-~3 thì phương trình (3) cĩ nghiệm kép x=-1
Nếu A'<0©a<-3 thì phương trình (3) vơ nghiệm
Giải (4): Ta cĩ A=l+a
Nếu A'>0<>ø>~—I thì phương trình (4) cĩ 2 nghiệm phân biệt x=l# Vat]
Nếu A'>0> à>—1 thì phương trình (4) cĩ nghiệm kép x= l
Nếu A'<0<©> a<—1 thì phương trình (4) vơ nghiệm Tống kết lại ta cĩ
Với a<—3: Phương trình (1) vơ nghiệm
Với a=—3: Phương trình (1) cĩ I nghiệm x=—l
Với =3<a<—1: Phương trình (1) c6 2 nghiém x=-1+ Ja+3 Với a=—1: Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm x=-1+Ja+3; x=-1 Với a>-l: Phương trình (1l) cĩ 4 nghiệm x=-l+Aa+3;
x=l#Aa+l
Trang 31CHƯƠNG 2: MỘT SĨ PHƯƠNG PHÁP GIẢI PHƯƠNG TRÌNH BẬC BĨN 2.1 Phân tích về trái của phương trình thành nhân tử bằng phương pháp hệ số bất định 2.1.1 Phương pháp Xét phương trình bậc bốn dạng xt+ax)+bx?+cx+d=0 a,b.c,de i Ta thuc hiện theo các bước sau
Bước 1: Ta phân tích về trái thành tích 2 nhân tử bậc hai: x”+ px+q, x°+rx+ s trong đĩ p,q, r,s la các hệ số chưa xác định Ta cĩ xl+tax`+bx°+cx+d= x°+px+q x°+rx+s Bước 2: Biến đổi xX + pxtq x +rx+s =x + p+q xÌ+ q+s+qạr x + ps+qr x+đs Bước 3: Đồng nhất các hệ số của những số hạng cùng bậc hai về của đồng nhất thức, ta cĩ hệ phương trình sau ptr=a q+s+pr=b pst+qr=c qs=d
Trang 32Giải hai phương trình này ta thu được các nghiệm (nếu cĩ) của phương trình đã cho
Chú ý: Trong một số trường hợp ta khơng thể đùng phương pháp này vì nhiều khi việc phân tích trên khơng được như mong muốn chẳng hạn khi hệ trên khơng cĩ nghiệm nguyên 2.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x1 + 4x? -10x7 +37x-14=0 Giai TXD: j
Ta phân tích về trái thành tích hai nhan tt bac hai: x°+ pxt+q,x°+rx+s,
Trang 33Xét hệ (1)(3) Thử lần lượt các giá trị của ¿ và s thì thấy chỉ cĩ cặp giá trị g= 2,s=—7 là thỏa mãn Từ đĩ ta cũng cĩ: p=—5,r=] Thay các giá trị trên vào hai phương trình (2) và (4) thì thấy thỏa mãn Do đĩ p=-—5,q= 2,r=l,s=—7 Thay các giá trị p,g.r,s vừa vừa tìm được vào (*), ta cĩ x" + 49° -10x° +37x-14= x -5x+2 x°+x-7 Phương trình đã cho tương đương với x -5x42 x 4+x-7 =0 - _ 5417 xÌ-5x+2=0 0 8" 2 V+x-7=0 | -1+./29 L E= 2 - Vậy phương trình đã cho cĩ nghiệm là x= Ví dụ 2: Giải phương trình x* +12x° +32x°-8x-4=0 TXD: j
Trang 35x'+4x-2 x +8x+2 =0 Ẳ + +4x-2=0 'x=-2+6 Lx +8x+2=0 x=-4+414 Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm phân biệt là x=-2# V6:x=-4+ 14 2.1.3 Bài tập Giải các phương trình sau a) x'-5x`+x”-2x+2=0 b) 5xÌ-7xÌ-x?+4x-7=0 â) 4x f+xè-2x -x+8Đ=0 2.2 Phng trình bậc bốn trùng phương và một số phương trình quy về phương trình bậc bốn trùng phương 2.2.1 Phương trình bậc bỗn trùng phương 2.2.1.1 Phương pháp Cho phương trình ax'+bx°+c=0 (1)
trong đĩ a,b,c la nhimg hé số thực và a0
Ta thực hiện theo các bước sau
Bước 1: Đặt ¡ = xŸ với điều kiện r> 0
Bước 2: Khi đĩ phương trình đã cho tương với phương trình
at’ +bt+c=0 (2)
Bước 3: Khi đĩ ta cĩ kết luận sau
a) Phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất © Phương trình (2) cĩ nghiệm
duy nhất ¿=0 hoặc cĩ nghiệm í,<0=ứ,
b) Phương trình (1) cĩ 2 nghiệm phân biệt ©> Phương trình (2) cĩ
nghiệm í,< 0<¿,
Trang 36
c) Phương trình (1) cĩ 3 nghiệm phân biệt © Phương trình (2) cĩ nghiệm t,=0<t, d) Phương trình (1) cĩ 4 nghiệm phân biệt © Phương trình (2) cĩ nghiệm 0<¡<£; Chú ý 1) Các kết luận trên dựa vào nhận xét: nếu phương trình (2) cĩ nghiệm /¿ > 0 thì phương trình (2) cĩ nghiệm x= t/t,
2) Cũng qua nhận xét này chúng ta cĩ điều kiện cua x thì chúng ta cũng thiết lập được điều kiện của / 2.2.1.2 Ví dụ Ví dụ 1: Giải phương trình x'+5x°-6=0 Giai TXD: |
Dat t= x° voi diéu kiện r> 0
Trang 37Khi đĩ phương trình đã cho tương đương với phương trình t=1 P-9t+8=00 t= 8 (thỏa mãn) Với t=1 tacéd xr =1 x=H1., Với 1=8 tacd P =8 x=42V2, Vậy phương trình đã cho cĩ 4 nghiệm phân biét la x =+1;x = +22 Ví dụ 3: Cho phương trình m-1 x*-2mx’ +m-5=0 Tim m dé phuong trinh a) Cĩ nghiệm duy nhất b) Cĩ 2 nghiệm phân biệt c) Cĩ 3 nghiệm phân biệt đ) Cĩ 4 nghiệm phân biệt
TXĐ: ¡
Dat r= x° voi điều kiện >0
Khi đĩ phương trình đã cho tương đương với phương trình m-1 t?-2mt+m-5=0 (1) Dat f t = m-1t?-2mt+m-S TH1: Voi m—1=0 hay m=1 thi phuong trinh (1) tro thanh —~2r—4=0<>r=~—2 (loại) Suy ra với m=1 thì phương trình đã cho vơ nghiệm TH2: Với m# ], ta cĩ
a) Phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất ©> Phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất =0 hoặc phương trình (1) cĩ nghiệm 1, <0=1,
Phương trình (1) cĩ nghiệm duy nhất ¿=0
Trang 38A'=0 6m-5=0 m=> oS o o 6©meØ ly 0 =07 |m-s=0 | —« Phương trình (1) cĩ nghiệm ¢, < 0=t, 6m—5>0 m>> A >0 ©$S5<0© a <0 ©0<ïm<l<© me P=0 | s m =5 mu =0 m—Ì Vậy khơng cĩ giá trị nào của m để phương trình đã cho cĩ nghiệm duy nhất
b) Phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm phân biệt © Phương trình (1) cĩ 2
nghiệm trái dấu
= m-1 m-S5 <0 ©l<m<5
Vậy với mec I,5_ thì phương trình đã cho cĩ 2 nghiệm phân biệt
c) Phương trình đã cho cĩ 3 nghiệm phân biệt © Phương trình (1) cĩ nghiệm t=0<t, 5 A'>0 6m—5>0 mài ©‹s>0<©= — ©+m<0Vm>l<=m=S5 P=0 | s m=5 —~-0 m-1
Vay voi m=5 thi phuong trinh đã cho cĩ 4 nghiệm phân biệt
Trang 39cĩ 4 nghiệm lập thành một cấp số cộng
Ta thực hiện theo các bước sau
Trang 402.2.1.3 Bài tập
Bài 1: Cho phương trình
x'— 2m+5 x°+m-1=0 Tim m dé phuong trinh
a)_ Cĩ 1 nghiệm duy nhất b) Cĩ 2 nghiệm phân biệt c)_ Cĩ 3 nghiệm phân biệt d) Cĩ 4 nghiệm phân biệt Bài 2: Cho phương trình
2x*- mx? +m=0 Tim m dé phuong trinh