Giải tích Fourier hữu hạn

Khoá luận tốt nghiệp Trờng ĐHSPHN2 LI CM N Trong thời gian nghiên cứu hồn thành khóa luận, em nhận giúp đỡ, quan tâm, tạo điều kiện vật chất, tinh thần thầy cô tổ Giải Tích hỗ trợ, động viên bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn giúp đỡ quý báu Đặc biệt, em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc đến thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường tận tình bảo, hướng dẫn, giúp đỡ em suốt thời gian qua để em hồn thành khóa luận Do thời gian trình độ nhận thức hạn chế, cố gắng vấn đề em trình bày khóa luận khơng tránh khỏi thiếu sót Vì em kính mong bảo tận tình thầy giáo, giáo, đóng góp ý kiến bạn sinh viên để khóa luận em hồn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Xuân NguyÔn Thị Thanh Xuân Lớp K35C SP Toán LI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp kết nghiên cứu em thời gian qua, hướng dẫn thầy giáo Tiến Sĩ: Bùi Kiên Cường Em xin cam đoan khóa luận tốt nghiệp với đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” khơng trùng với khóa luận tốt nghiệp khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Xuân MỤC LỤC MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài Nhiệm vụ nghiên cứu đề tài Phương pháp nghiên cứu Cấu trúc NỘI DUNG CHƯƠNG 1: MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Chuỗi Fourier…………………………………………….…… 1.1.1 Định nghĩa………………………………………………3 1.1.2.Sự hội tụ…………………………………………………4 1.1.3 Sự hội tụ đều……………………………………………8 1.1.4 Sự hội tụ L  L2   ,   ……………………….13 1.1.5 Chuỗi Fourier dạng phức, đẳng thức Parseval 16 1.2 Nhóm hữu hạn…………………………… ………………….18 1.2.1 Định nghĩa nhóm………………………………………18 1.2.2 .Tính chất nhóm…………………… Nhó ………………………………………… 20 1.2.3 m □  N CHƯƠNG 2: CHUỖI FOURIER HỮU HẠN 2.1 Chuỗi Fourier □  N …………………………………….28 2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier……………………………….29 19 2.1.2 Công thức Fourier ngược……………………………….30 2.1.3 Biến đổi Fourier nhanh……………………………… 31 2.2 Các đặc trưng nhóm hạn……………………….32 Aben 2.2.1 hữu Đặc trưng……………………………………………… 32 2.2.2 Các quan hệ trực giao………………………………… 33 2.2.3 Các đặc trưng hệ đầy đủ…………………….35 2.3 Chuỗi Fourier quát………………… 38 nhóm hữu hạn 2.3.1 nghĩa……………………………………………….38 tổng Định 2.3.2 Công thức ngược……………………………………… 38 2.3.3 Đẳng thức Plancherel……………………………………39 2.4 Một số tập……………………………………………….….39 Kết luận chung……………………………………………………… 46 Tài liệu tham khảo…………………………………………………… 47 MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài Lý thuyết biến đổi Fourier vấn đề lí thú tốn học, có nhiều ứng dụng vật lí, hóa học, lí thuyết đạo hàm riêng phục vụ cho nghiên cứu nhiều vần đề Trong trình học tập số môn học giảng chuyên đề em tiếp thu nhiều kiến thức chuỗi Fourier, bất đẳng thức Bessel, đẳng thức Parseval, tích phân Fourier….Những kiến thức tạo cho em niềm say mê, hứng thú với mơn tốn, đặc biệt ngành Giải Tích Hơn em muốn có thêm kiến thức chuỗi Fourier biến đổi Fourier Chính lí em chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn” , hướng dẫn thầy giáo TS Bùi Kiên Cường để nghiên cứu làm khóa luận tốt nghiệp Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic, đặc thù mơn học Khắc sâu, tìm hiểu kiến thức Giải tích Fourier hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn Bước đầu tìm hiểu chuỗi Fourier hữu hạn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Chuỗi Fourier nhóm hữu hạn +) Phạm vi nghiên cứu: Giải tích Fourier hữu hạn Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cu lý lun Nguyễn Thị Thanh Xuân Lớp K35C – SP To¸n Phương pháp đánh giá tổng hợp Phương pháp so sánh, phân tích Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, lời cảm ơn, lời cam đoan khóa luận gồm hai chương là: +) Chương 1: Một số kiến thức chuẩn bị +) Chương 2: Chuỗi Fourier hữu hạn Chương 1: trình bày vấn đề chuỗi Fourier trường hợp tổng quát số yếu tố liên quan đến nhóm, nhóm □  N  Chương 2: trình bày chuỗi Fourier nhóm hữu hạn Từ đó, ta thấy giống khác hai trường hợp NỘI DUNG CHƯƠNG MỘT SỐ KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 CHUỖI FOURIER 1.1.1 Định nghĩa Với hàm f L  ,  , 1  f khả tích Lesbesgue  ,   , ta định nghĩa chuỗi Fourier f chuỗi hàm lượng giác sau: (1.1) a   a cos nx  b sin nx n n n1 Trong a (1.2) n   f (x ) cos nx dx , n  0, 1,    f x sin nxdx, bn       n  1, 2, Mối liên hệ (1.1) – (1.2) kí hiệu là: ( )~ f x an a0    cos nx  bn sin nx  n1 lưu ý kí hiệu “ ~” khơng mang ý nghĩa hội tụ chuỗi trên, đơn giản mối liên hệ (1.1) – (1.2) mà Nếu f hàm tuần hồn chu kì 2 , ta có định nghĩa chuỗi Fourier f tương tự trên, hệ số an bn tính đoạn tùy ý  a, a  2 ,  Nếu f hàm tuần hồn chu kì 2l , phép đổi biến t  x , ta đưa trường l hợp tuần hồn chu kì 2 1.1.2 Sự hội tụ Định nghĩa: Cho hàm số f xác định a, b  , phân hoạch P  a, b P  a x x x  b  ( n  □ ) n x i  xi  , □ f  f  xi   f  xi   : thành n phần tùy ý Ta kí hiệu □ xi   giao độ hàm i  1, n  Biến phân hàm f a, b kí hiệu V f   V  f , a, b bởi: xác định n V f   sup □ f  i P i1 Nếu V f  hữu hạn ta nói hàm f có biến phân bị chặn Bổ đề  Tích phân Dirichlet) Cho f hàm số thực phức xác định khoảng  a, b thỏa mãn hai điều kiện Dirichlet đây: (i) Tồn giá trị f  a  , f  b  f có biến phân bị chặn   a, b ( ta coi hàm f xác định a, b f  a  f a f  b  f b )       với giá trị biên Vì f chuỗi Fourier nó, cụ thể: f   □f  e  e e  G□ Ta có định lí sau: Định lí 2.3.1 Cho G nhóm Aben hữu hạn Các đặc trưng G tạo thành sở trực chuẩn không gian vecto V hàm G trang bị tích vơ hướng:  f, g  G f  a g  a   aG Đặc biệt, hàm f G chuỗi Fourier nó, f   □f  e  e e  G□ Cuối có cơng thức Plancherel nhóm ben hữu hạn 2.3.3 Đẳng thức Plancherel Định lí 2.3.1 ( Đẳng thứ Plancherel ) Nếu f hàm G , 2 f   e  G□ □f  e  Chứng minh Vì đặc trưng G tạo thành sở trực chuẩn không gian vecto V  f , e  □f  e nên có: f  f, f   f , e □f  e e  G□ 2.4 MỘT SỐ BÀI TẬP   e G□ □f  e  Bài 1: Cho f hàm đường tròn Với N  hệ số Fourier rời rạc hàm 1f xác định bởi: N   2 ik / N  2 ikn/ N , e nZ aN n  f e N k1 Chúng rằng: a  n   f e e 2 ix 2 inx dx : thường kí hiệu hệ số Fourier hàm f (a) Chỉ a n  N  (b) Chứng minh f liên tục aN  n  N  aN  n  a  n N   Bài 2: Nếu f hàm khả vi liên tục đường tròn, chứng minh aN  n  c / n ,  [ Hướng dẫn: viết 1 2 i ln/ N   aN n   e n  N / N    2 ik / N fe  – e  f 2 i k  l  / N  2 ikn/ N e , chọn l thỏa mãn l n / N gần / ] Bài 3: Bằng phương pháp tương tự, f hàm khả vi liên tục đến cấp hai, thì: aN  n  c / n ,  n  N / Một kết tương tự, chứng minh công thức ngược f  □ , từ cơng thức thuận [ Hướng dẫn: Đối với phần thứ nhất, sử dụng công thức đối xứng thứ hai hiệu  f e 2 i k  l  / N   f e  i k  l  / N   f  e2ik / N  Đối với phần thứ hai, N số lẻ, viết công thức ngược giống như: f  e2 ik / N    aN n  N /2  n e 2 ikn/ N Bài 4: Cho e hàm đặc trưng G ]  □  N  , nhóm cộng số nguyên modun N , tồn phần tử 0l N  mà:  e k  el k 2 ilk / N e , với k  □  N  Ngược lại, hàm loại hàm đặc trưng □  N  Kết luận el  l G□ xác định đẳng cấu từ [ Hướng dẫn: Chỉ e 1 vào G bậc N đơn vị ] Bài 5: Chỉ tất hàm đặc trưng S1 cho bởi: 2 inx , nZ  en x  e en  n xác định đẳng cấu từ S vào □ □ [ Hướng dẫn: Nếu F hàm liên tục F x  y  F x  F y       F hàm lấy vi phân được, Từ điều này, ý thích hợp F  0  , với   c   F  y  dy  0 c F  x x  F y dy    x ] Bài 6: Chứng minh tất hàm đặc trưng □ có cơng thức cấu tạo:   x  e 2 i x , với   □ , Và e   xác định đẳng cấu từ □□ vào □ Chứng minh tập áp dụng Bài 7: Cho   2 i / N e □  □ xác định ma trận M   aj k Trên  1j,kN , a j  N 1/  jk k (a) Chỉ M toán tử Unita Mv    u, v (b) Giải thích đẳng thức  Mu,  M  M thực tế phép lấy tích phân chuỗi Fourier □  N  1 Bài 8: Giả sử P  x  N  n1 an e2 inx (a) Chỉ việc sử dụng đẳng thức Parseval đường tròn □ N :  P  x dx  N N  Pj/N j1 (b) Xây dụng việc chứngNminh công thức: P  x   P  j / N K  x  j1  j/N K  x  2iNx  2 iNx  2 ix  2 i x   e e  e e N  e2ix N e2i x Chỉ P hoàn toàn xác định giá trị P  j / N  với 1 j N Cũng ý K  0  K  j / N  , j không đồng dư modun N  Bài 9: Để chứng minh khẳng sau đây, điều chỉnh agument cho tập: (a) Chỉ tính tính hệ số Fourier hàm □  N  N  3n với nhiều N (b) Tổng quát với N log N phép tính   ,  số nguyên lớn n Bài 10: Một nhóm G nhóm xyclic tồn g  G mà với phần tử G viết dạng n g , với n  □ Chứng minh nhóm Aben hữu hạn xyclic đẳng cấu từ □  N  vào □ Bài 11: Viết bảng nhân: □  3 , □  4 , □  5 , □  6 , □  8 , □  9  Nhóm nhóm xyclic? Bài 12: Giả sử G nhóm Aben hữu hạn e : G  □ hàm mà thỏa mãn: e x y   e x e y  , với x, y  G Chứng minh e đồng e khác Trong trường hợp thứ hai, với x, e x   e 2 ir , với r  □ có cơng thức cấu tạo r  p q , q  G Bài 13: Tương tự với chuỗi Fourier thường, giải tích Fourier hữu hạn triển khai cách sử dụng phép biến đổi tích chập Giả sử G nhóm Aben hữu hạn, 1G đơn vị nó, V không gian vecto hàm giá trị phức G (a) Tích chập hai hàm f g V định nghĩa sau:  f  g  a  G  f  b g  a b1  , với a  G bG Chỉ với e  G□ có □f  g  e  □f  e g□  e (b) Sử dụng định lí 2.2.2 để e hàm đặc trưng G , thì:  e c e  G□  , c  G; c  G 2.5 CÁC BÀI TOÁN Chứng minh n m hai số nguyên dương mà nguyên tố nhau, thì: □  nm  □  n  □  m [ Hướng dẫn: Xem xét ánh xạ □  nm   □  n  □  m  cho tương ứng, sử dụng thực tế tồn số nguyên x y thỏa mãn: x n  y m  1.] Mỗi nhóm Aben hữu hạn G đẳng cấu với tích trực tiếp nhóm xyclic có nhiều hai cơng thức khác định lí ● Np , , p thừa số nguyên tố khác xuất ếu s phân tích thừa số G , thì: G  G  p1    G  p  , s G  p có cơng thức cấu tạo: G  p Z  p r1    Z  p  , rl  r1   rl ( Dãy số nguyên phụ thuộc vào p ) Điều ●ở tồn số nguyên d , ., d mà: k d1 d2 , d2 d3 , ., dk  dk Và G  □  d1    □  dk  Công thức thứ hai suy từ công thức thứ Lấy □ G kí hiệu tập hàm đặc trưng khác nhóm Aben hữu hạn G  □  N  đẳng cấu với G G□ □ (b) ) Chứng minh G   G□ G G□ (a) Chú ý G 2 (c) Sử dụng toán chứng minh rằng: G nhóm Aben hữu hạn □ G đẳng cấu với G Khi p số ngun tố nhóm □  p  □  p  1  □  p nhóm xyclic KẾT LUẬN Thơng qua việc tìm hiểu chuỗi Fourier hữu hạn giúp ta có thêm nhiều kiến thức giải tích Fourier, qua áp dụng vào làm số tốn đại diện Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cơ, bạn sinh viên góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô trường, đặc biệt thầy giáo TS Bùi Kiên Cường tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài Hà Nội, ngày 15 tháng 05 năm 2013 Sinh viên Nguyễn Thị Thanh Xuân TÀI LIỆU THAM KHẢO 1 2  3  4 Nguyễn Tiến Quang, Đại số số học, NXB Giáo Dục GS TSKH Đặng Đình Áng, Biến Đổi Tích Phân, NXB Giáo Dục Nguyễn Phụ Hy, Giải tích hàm, NXB Sư Phạm A Stain, Fourier Analysis, MC Ronziere ... thức Giải tích Fourier hữu hạn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu chuỗi Fourier, nhóm hữu hạn Bước đầu tìm hiểu chuỗi Fourier hữu hạn Đối tượng, phạm vi nghiên cứu +) Đối tượng: Chuỗi Fourier nhóm hữu. .. đặc biệt ngành Giải Tích Hơn em muốn có thêm kiến thức chuỗi Fourier biến đổi Fourier Chính lí em chọn đề tài: “ Giải Tích Fourier Hữu Hạn , hướng dẫn thầy giáo TS Bùi Kiên Cường để nghiên cứu... CHƯƠNG 2: CHUỖI FOURIER HỮU HẠN 2.1 Chuỗi Fourier □  N …………………………………….28 2.1.1 Định nghĩa chuỗi Fourier …………………………….29 19 2.1.2 Công thức Fourier ngược……………………………….30 2.1.3 Biến đổi Fourier nhanh………………………………