2.2. Các đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn
2.2.2. Các quan hệ trực giao
Định lí 2.2.1. Cho V là không gian vecto các hàm giá trị phức được xác định trên nhóm Aben hữu hạn G . Chú ý rằng số chiều của không gian V là
G , cấp của G . Trên V ta xác định tích vô hướng như sau:
(2.1) , 1
a G
f g f a g a
G
, với ,f g V
Thì các đặc trưng của G tạo thành một hệ trực chuẩn với tích vô hướng ở trên.
Chứng minh
Từ e a 1 với bất kì hàm đặc trưng nào, ta có:
, 1 1 2 1
a G a G
e e e a e a e a
G G
.
Nếu e e và cả hai đều là hàm đặc trưng thì ta phải chứng minh
e e, ' 0. Để chứng minh điều này ta sử dụng bổ đề sau
Bổ đề 2.2.3 Nếu e là một đặc trưng không tầm thường trên nhóm G , thì
0
a G
e a
.
Thật vậy, chọn b G thỏa mãn e b 1. Khi đó, ta có:
a G a G a G a G
e b e a e b e a e a b e a
.
Nguyễn Thị Thanh Xuân 35 Lớp K35C – SP Toán
Đẳng thức cuối cùng được chỉ ra bởi vì a chạy khắp nhóm G , ab cũng chạy khắp nhóm G . Do đó 0
a G
e a
.
Để kết thúc chứng minh cho định lí 2.2.1, ta giả sử e là một đặc trưng khác e. Vì e e 1 là đặc trưng không tầm thường, áp dụng bổ đề ta có:
1
0
a G
e a e a
.
Vì e a 1 e a , định lí đã được chứng minh.
Như là một hệ quả của định lí 2.2.1, chúng ta chỉ ra rằng các đặc trưng tạo thành một hệ độc lập tuyến tính. Từ đó, số chiều của không gian vectơ V trên là G , chúng ta chỉ ra rằng cấp của G là hữu hạn và không quá
G . Kết quả chính mà chúng ta chỉ ra là G G . 2.2.3. Các đặc trưng như một hệ đầy đủ
Định lí 2.2.2. Các đặc trưng của nhóm Aben hữu hạn G tạo thành một cơ sở đối với không gian vectơ của các hàm trên G .
Chứng minh
Định lí này có một vài cách chứng minh. Một trong số đó sử dụng định lí cấu trúc đối với các nhóm Aben hữu hạn, nó chỉ ra rằng: bất kì nhóm nào là tổng trực tiếp của các nhóm xyclic đều là một nhóm kiểu N . Từ đó,
nhóm xyclic là nhóm tự đối ngẫu. Từ đây ta suy ra G G , do đó các hàm đặc trưng tạo thành một cơ sở đối với G .
Ngoài ra ta có thể chứng minh trực tiếp định lí này mà không cần sử dụng định lí cấu trúc.
Nguyễn Thị Thanh Xuân 36 Lớp K35C – SP Toán
Định nghĩa: Cho V là không gian vectơ có số chiều d với tích vô hướng . , . Một biến đổi tuyến tính T : V V là toán tử Unita nếu nó bảo tồn tích vô hướng, T v T, v, với mọi ,v V. Định lí phổ trong đại số tuyến tính khẳng định rằng bất kì phép biến đổi Unita nào đều chéo hóa được. Nói cách khác, ở đây tồn tại một cơ sở v1, . . . ,vd ( các vectơ riêng ) của V thỏa mãn:
T v i ivi ở đó i là giá trị riêng ứng với vi.
Chứng minh của định lí 2.2.2 được dựa trên sự mở rộng dưới đây của định lí phổ.
Bổ đề 2.2.4. Giả sử T1,...,Tk là một họ các toán tử Unita giao hoán trên không gian vecto hữu hạn chiều V với tích vô hướng (2.5), mà:
T Ti j T Tj i , với mọi i j,
Khi đó T1,...,Tk là chéo hóa được một cách đồng thời, nói cách khác tồn tại một cơ sở đối với V mà nó gồm các vectơ riêng của mọi T ii, 1,...,k. Chứng minh
Chứng minh bằng quy nạp đối với k.
+) Trường hợp k 1 là đơn giản. Bổ đề đúng.
+) Giả sử bổ đề đúng với bất kì họ nào có k 1 toán tử Unita giao hoán.
Áp dụng định lí phổ với Tk, chỉ ra rằng V là tổng trực tiếp của các không gian con riêng của nó
1 ....
V V Vs
Nguyễn Thị Thanh Xuân 37 Lớp K35C – SP Toán
ở đó
Vi kí hiệu cho không gian con của tất cả các không gian vectơ riêng ứng với giá trị riêng i. Ta có T1,....,Tk1 là các ánh xạ từ không gian vectơ riêng
Vi vào chính nó. Thật vậy, nếu
vVi và 1 j k 1 thì:
T T vk j T T vj k Tjiv iT vj Vì vậy T vj Vi, yêu cầu đã được chứng minh.
Vì sự hạn chế đối với
Vi nên T1, . . . , Tk1 tạo thành một họ các phép biến đổi Unita tuyến tính giao hoán, giả thiết quy nạp đảm bảo rằng chúng đồng thời chéo hóa được trên mỗi không gian con
Vi . Phép chéo hóa này cung cấp cho ta một cơ sở mong muốn trên mỗi
Vi, và trên mỗi V.
Bây giờ ta đi chứng minh định lí 2.2.2. Nhớ lại rằng không gian vecto V của các hàm lấy giá trị phức xác định trên G có số chiều G . Với mỗi
a G chúng ta xác định Ta : V V bởi:
T fa x f a x . , với x G.
Vì G là một nhóm Aben nên rõ ràng T Ta b T Tb a với mọi ,a b G, dễ dàng kiểm tra rằng Ta là toán tử Unita với tích vô hướng (2.5) được xác định ở trên. Áp dụng bổ đề 2.2.4 họ Ta a G
là đòng thời chéo hóa được. Điều này chỉ ra rằng có một cơ sở v xb b G
đối với V mà mỗi v xb là hàm riêng với Ta, với mọi a . Cho v là một phần tử của cơ sở và 1 là phần tử đơn vị trong G . Chúng ta phải có v 1 0vì nếu ngược lại
v a v a . 1 T va 1 av 1 0,