Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học này, em nhận nhiều quan tâm, giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy khoa Tốn – Trường ĐHSPHN 2, thầy tận tình dạy dỗ em năm học vừa qua tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới GVC, Ths Phùng Đức Thắng, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu Do hạn chế trình độ thời gian nên đề tài khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ, góp ý thầy cô bạn để đề tài nghiên cứu hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến Nguyễn Thị Luyến K32 CN - Toán MỤC LỤC Trang Mở đầ u Chương Các kiến thức có liên quan 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa tập lồi 1.1.2 Một số tập 1.2 Hàm số 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 1.2.2 Một số tính chất hàm lồi Chương Ứng dụng giải tích lồi giải tốn đại số giải tích 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 16 16 2.1.1 Chứng minh bất đẳng thức kinh điển 16 2.1.2 Chứng minh bất đẳng thức đại số 22 2.1.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 27 2.2 Sử dụng hàm lồi tím giá trị lớn nhất, nhỏ hàm số 34 2.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình bất phương trình có tham số 40 Kết luận 42 Tài liệu tham khảo 43 LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn tận tình thầy giáo Ths Phùng Đức Thắng, với cố gắng thân Trong trình nghiên cứu, em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu nhà khoa học nhà nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Nếu sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Giải tích lồi mơn học nghiên cứu tính chất tập hợp lồi hàm lồi Các kết giải tích lồi áp dụng nhiều lĩnh vực Trong chương trình tốn nhà trường phổ thơng, em học sinh làm quen với khái niệm “lồi” từ cấp học mơn Hình học Hầu hết chương trình Hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thông giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn,… Trong đại số, tính lồi, lõm hàm số giảng dạy chương trình học hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm số Sử dụng kết hàm lồi cho phép thành công việc giải nhiều lớp toán đại số giải tích sơ cấp như: Chứng minh bất đẳng thức, giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Với lý em chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi giải tốn đại số giải tích”, hướng dẫn thầy giáo, GVC, Ths Phùng Đức Thắng Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng giải tích lồi vào tốn đại số giải tích Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào tốn đại số giải tích Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương: Chương Các kiến thức có liên quan Chương Ứng dụng giải tích lồi giải tốn đại số giải tích Các khái niệm tính chất tập lồi hàm lồi trình bày chương Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp tốn đại số giải tích Lớp toán bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số lượng giác, toán cực trị, toán phương trình bất phương trình chứa tham số NỘI DUNG CHƢƠNG CÁC KIẾN THỨC CÓ LIÊN QUAN 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi Tập D gọi tập hợp lồi với hai phần tử a  D,bD, với số 0  phần tử a 1 b thuộc tập hợp D 1 1.1.2 Bài tập Bài Cho A B tập hợp lồi Chứng minh A B tập hợp lồi Lời giải Lấy a,b tùy ý thuộc A B , là số thực tùy ý cho  1 Do A, B hai tập lồi, mà a, b A; B nên a, b  a 1  b A   b B   a  Từ a  A   b  B Vậy A B tập lồi Bài Cho A B tập hợp lồi Chứng minh A B tập hợp lồi Lời giải Đặt C A B , C  c a b với a A, b B  :c Lấy c , c Vì tùy ý thuộc C ,  1 Từ c1 C   a1 c1  c2 C a2 c số thực tùy ý  b với a1 A, b1 B  b với a2 A, b2 B 2 c1 1  c2  a1 b1 1  a2 b2  a1 , a2 Do A, B lồi mà a1 1  a2 (1)  b1 1  b2  A; b1 , b2 B nên a1 1 A, b1  B a2 1 b2 Từ (1) suy c1 1 C c2 Điều có nghĩa C lồi, tức A B lồi Bài Cho hệ phương trình a1 x b1 y c1 0  a2 x b2 y c2 0    an x bn y cn 0  Giả sử hệ có nghiệm D tập hợp nghiệm hệ Chứng minh D tập lồi  Giả sử x1; y1  x2 ; y2  tùy ý cho  Lời giải hai phần tử tùy ý D , thực là số 1 Ta có ak x1 bk y1 ck 0 ak x2  bk y2 ck với k hay 0 với k 1, n Từ suy 1,n có (ak x1 bk y1 ck ) 1  0 , ( ak x2 bk y2 ck ) ak  x1 1 x2 bk y1 1 y2 ck  Bất đẳng thức (1) chứng tỏ với k 1,n phần tử  x1; y1 1   x2 ; y2  Theo định nghĩa D tập lồi  Ta có điều cần chứng minh D (1) 1.2 Hàm số 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi □ Hàm số f : D Giả sử D tập hợp lồi   lồi D , với f x1, x2 D, với x 1  x2  Chú ý 1) D tập hợp lồi gọi hàm 0 1, f  x1 1 f  x2  □ Hàm số f : D  gọi hàm lõm D f lồi D 2) Tương tự, ta định nghĩa hàm lồi hai biến sau: Giả sử D tập lồi □ Hàm số D , với y2 x1; y1  ,  x2 ;  f : D  gọi lồi D; với ,  1, f   x1 1 x2 ; y1 1 y2  1.2.2 Một số tính chất hàm lồi Tính chất Cho D tập hợp lồi ta có f  x1; y1 1 f  x2 ; y  □ Giả sử f f x,  x  , , x f n hàm lồi xác định D Cho i với i = 1, n Khi hàm số 0 1 f1 x2 f2  x  n fn  x  hàm lồi D Chứng minh 2) Hoặc A1M cắt biên D điểm  y cạnh N x; Aj Aj1 D Khi dó ta có x;   x ; y  1  y 2 x; y        x ; y    x   x; y Vì f y x; j j j 1 hàm lồi nên ta có , 0 , 0 , 1 2 1  2 , ; y j 1  0 , 0 ,  2 1 2 1 f  x; y    f  1 f x; y x1; y1 2 f  x; y  1 f  x j ; y j 2 f  x j 1; y j 1  Do i ,j 0 , i, j=1, , từ ta suy f x; y 1 f  x1; y1 21 f  x j ; y j 22 f j1    x j1 ;y 21 22  S Do 1 2 1 , 1  2 suy f  x;  1   21  22 S y Như ta chứng minh f x; y đỉnh đa giác lồi D Vì f y 1, x; S với điểm x; y  hàm liên tục xét đa giác lồi D , tồn giá trị lớn xét tập D Từ (1) suy Maxf  x; y  maxf x1; y1 ; f x2 ; y2 ; ; f xn ; yn  x; y D f x; Ta có điều phải chứng minh Từ kết suy để tìm giá trị lớn hàm lồi y  đa giác lồi D , ta cần xét giá trị hàm số f y Ai  xi ; yi  D x; đỉnh Bài Tìm giá trị lớn nhỏ hàm số f miền D cho hệ bất phương trình sau: x; y 3x 4 y 2  y 8 0    x 2 D  x y 2 0 x; y :     2x y 4 0     Lời giải Vẽ hệ trục tọa độ OXY Dễ thấy tập hợp D tồn tam giác ABC với đỉnh : A(-2;0), B(-4;2), C(0;4), rõ ràng D đa giác lồi y 2x-y+4=0 C x+y+2=0 B x-2y+8=0 A -8 x; y f x; y 1, ta có O x 3x hàm aphin (theo ngôn ngữ phổ thông 4 y 2 f Hàm -2 -4 hàm bậc nhất), thế, nói riêng f x; vừa lồi, vừa lõm Theo y Maxf x; y   maxf 2;0 ; f 4;2 ; f 0;4 x; y D max 4; 18; 14 4 Ta có x; y f x; y D Đặt g x;  y  f  x; y  f  max  f (1) x; y  , từ (1) ta có x; y  Maxg x; y  (2) Do f y x; x; y D g x; y hàm lõm nên x; y D hàm lồi Theo ta có Maxg x; y  maxg 2;0 ; g 4;2  ; g 0;4  x; y D max 4;18;14 Từ (2) (3) suy  18 (3) f x; y  x; y D 18 Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số f x; y   , tập hợp D cho hệ bất phương trình sau: x2  y2 D  x; y  : 4x 3y 6 0;6x y 24 0; x y 2 0; y  0 Lời giải 4x+3y-6=0 y 6x-y+24=0 C x-y+2=0 D B H -4 A -2 -3 x Dễ thấy D tứ giác lồi ABCD, tọa độ đỉnh là: A(-2;0); B(-4;0); C(-3;6); D(0;2) f x; y   x2  y hàm lồi toàn mặt phẳng Thật vậy: lấy x ; y  , x ; y  1 2   0, ,    1.Ta chứng minh 0 ; 2 f  1 x1; y1 2 x2 ; y2 1 f Ta có  x1; y1  2 f  x2 ; y2  (1) (1) f  1 x1 2 x2 ; 1 y1 2 y2 1 f x1; y1 2  f  x2 ; y    (x  )  x ) (  y   y 12 12 2 x y  1 2 x y 2 2   )  ( x  (y x 1 2 y)  1 2    x y  2 x  y 2  1 2  2 2  (x  y1 )  Vì 1 0, 2 0 , nên từ (2) suy (1) 2 x1 x2 y1 y2   (x y ) x  y 1 (2) 2  (3) x2 y2 Theo Buniakowski (3) Suy (1) Vậy f (x; y) hàm lồi  Vậy theo 1, suy Max f x; y   maxf 2;0 ; f 4;0 ; f  3;6  ; f 0;2 x; yD  max 2;4;3 5;2  3 Ta nhận thấy M x;  f x; y   y Nếu gọi H  x0 ; y0  tiểu địa phương hàm Do f x2  y OM x0 ; y0 hình chiếu O AD điểm cực  f x; y   miền D x2  y x; ylà hàm lồi nên theo tính chất hàm lồi (chương 1) điểm cực tiểu toàn cục hàm f x; ytrên miền D Nên ta có x; y f x; y D f y0  x0 ; OH  Bài Cho x, y, z 0 x y z 1 Tìm gía trị lớn x P  y 1 z x 1 z 1   Hàm số f x x Lời giải lõm  0; vì x  2 1  f ''x  x x  1    0;   13 x2 0;  f ' x   Áp dụng bất đẳng thức Jen-xen cho hàm lõm ta có f x  f   y   f z 3 f     x y z z 3 3 z x   y z 1   y x  x 1 x y z  y 1 hay 3  3 3 P  ; P  x y z  4 Vậy giá trị lớn P 3 2.3 Sử dụng hàm lồi để giải bất phƣơng trình có tham số Trong phần đưa phương pháp sử dụng tính lồi để giải số lớp toán bất phương trình có tham số với cấu trúc đặc biệt Các tốn thường có dấu hiệu nhận biết sau đây: Miền xác định tốn thường có dạng tập lồi hàm số hàm lồi Sử dụng đặc trưng hàm lồi: “Nếu hai điểm thuộc tập hợp lồi A tồn đoạn thẳng nối hai điểm thuộc A ” Bài Xét hệ bất phương trình 2x y a 0  6x 3y 0 5a (1) (2) Gọi là tập nghiệm hệ bất phương trình (1) (2) Trong mặt phẳng tọa độ xét hai điểm A (0;9) B (3;6).Tìm a để đoạn AB  AB thẳng   Lời giải Ta có nằm gọn f1 x; y  2x y  a f x; y 6x 3y 5a hàm aphin, nên hàm lồi.Ở miền xác định D hệ hai phương trình (1) (2) D   (do D lồi) Theo (phần tập lồi chương 1) là tập lồi Nên  AB Avà B  (3) Để A(0;9) , ta cần có 0 9 a 0 a 9  27  0 27 0 5a (4) Để B(3;6) , ta cần có 6 6 a 0  18 18 5a a 0 36 0 (5) Từ (3), (4), (5) ta suy giá trị cần tìm a là:  a 0 27 Bài Cho hệ bất phương trình  x  m 4 x  4m y  3x y  0 (2m 4) (1) (2) Tìm m để tập hợp nghiệm hệ hai phương trình (1) (2) chứa đoạn  2;1của trục hoành Lời giải Gọi D tập nghiệm hệ hai bất phương trình (1) (2), D D1 D2 , Đặt  x f D1, D2 tập nghiệm (1), (2) x2  m 4x 4m , (1) tương f  x y đương với Vì D1   y  x; x (với biến x) nên (vì y Nói cách khác :f D1 tập lồi Mặt khác f x; y là hàm aphin) nên Do đoạn  2;1 D1  epi f Do f hàm lồi f  x; y 3x y  hàm lồi 2m 4 D2 lồi Vì D D1 tập lồi D2 trục hoành thuộc D AD BD , A(-2;0),B(1;0) 4 2(m 4)  4m 0 AD  -5 m 2, 6 (2m 4) 0 1 B D 4)   (m 4m 0 7  m  3 2m 4 02 Từ suy giá trị m là: 7  m 1 1  KẾT LUẬN Sử dụng kết hàm lồi cho phép thành công việc giải nhiều lớp toán đại số giải tích sơ cấp, điển hình là: Chứng minh bất đẳng thức, giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cơ, bạn góp ý nhận xét để đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo: GVC, ThS Phùng Đức Thắng tận tình giúp đỡ em hồn thành đề tài Hà Nội, tháng 05 năm 2010 Sinh viên Nguyễn Thị Luyến TÀI LIỆU THAM KHẢO Nguyễn Xuân Liêm, Chuyên đề bất đẳng thức bất phƣơng trình Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dƣỡng học sinh giỏi tốn THPT – Giải tích lồi toán sơ cấp, NXB Giáo Dục Trần Lưu Cường, Toán Olympic cho sinh viên tập 1, NXB Giáo Dục Trần Phương, Các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức Tạp chí tốn học tuổi trẻ ... cứu ứng dụng giải tích lồi vào tốn đại số giải tích Đối tƣợng, phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào... tiểu toàn cục CHƢƠNG ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO CÁC BÀI TỐN ĐẠI SỐ VÀ GIẢI TÍCH 2.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức Một ứng dụng hàm lồi chứng minh bất đẳng thức sơ cấp Lược dồ... đại số giải tích Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm hai chương: Chương Các kiến thức có liên quan Chương Ứng dụng giải tích lồi giải tốn đại số giải tích