Các bài toán Đại số và Lượng giác

Chứng minh rằng các đồng nhất nói trong các bài toán trước có thể mở rộng nh­ sau.. Chứng minh rằng từ đẳng thức.[r]

Môc lôc Các bài toán Đại số và Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số tuý 1.2 Các đẳng thức Lượng giác 15 1.3 Phương trình và bất phương trình 30 Lop10.com Chương Các bài toán Đại số và Lượng giác 1.1 Các đẳng thức Đại số tuý Chøng minh r»ng (a2 + b2 + c2 + d2 )(x2 + y + z + t2 ) = (ax − by − cz − dt)2 + (bx + ay − dz + ct)2 + (cx + dy + az − dt)2 + (dx − cy + bz + at)2 Chứng minh từ các đẳng thức ax−by−cz−dt cx + dy + az − dt = 0, vµ dx − cy + bz + at a = b = c = d = hoÆc x = y = z = t = = 0, bx+ay−dz+ct = 0, = ta suy r»ng hoÆc Chứng minh ta có đồng sau (a2 +b2 +c2 )(x2 +y +z )−(ax+by+cz)2 = (bx−ay)2 +(cy−bz)2 +(az−cx)2 Chứng minh các đồng nói các bài toán trước có thể mở rộng nh­ sau (a21 + a22 + · · · + a2n )(b21 + b22 + · · · + b2n ) − (a1 b1 + a2 b2 + · · · + an bn )2 = = (a1 b2 − a2 b1 )2 + (a1 b3 − a3 b1 )2 + · · · + (an−1 bn − an bn−1 )2 Gi¶ sö r»ng n(a21 + a22 + r»ng a1 = a2 = · · · = an · · · + a2n ) = (a1 + a2 + · · · + an )2 Chøng minh (x − y)2 + (y − z)2 + (z − x)2 = (y + z − 2x)2 + (z + x − 2y)2 + (x + y − 2z)2 ta suy r»ng x = y = z Chứng minh từ đẳng thức Chứng minh các đồng thức sau (a2 − b2 )2 + (2ab)2 = (a + b)2 (6a2 −4ab+4b2 )3 = (3a2 +5ab−5b2 )3 +(4a2 −4ab+6b2 )3 +(5a2 −5ab−3b2 )3 Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n Chøng minh r»ng (p2 − q )4 + (2pq + q )4 + (2pq + p2 )4 = 2(p2 + pq + q )4 Chøng minh r»ng X + XY + Y −3pq(p + q), vµ Z = p2 + pq + q = Z nÕu X = q + 3pq − p3 , Y = 10 Chøng minh r»ng (3a + 3b)k + (2a + 4b)k + ak + bk = (3a + 4b)k + (a + 3b)k + (2a + b)k víi k = 1, 2, 11 Chøng minh r»ng nÕu x + y + z = th× (ix − ky)n + (iy − kz)n + (iz − kx)n = (iy − kx)n + (iz − ky)n + (ix − kz)n n = 0, 1, 2, đó i là đơn vị ảo, ie i2 = −1 xn + (x + 3)n + (x + 5)n + (x + 6)n + (x + 9)n + (x + 10) + (x + 12) + (x + 15)n = (x + 1)n + (x + 2)n + (x + 4)n + (x + 7)n + (x + 8)n + (x + 11)n + (x + 13)n + (x + 14)n mµ n = 0, 1, 2, 12 Chøng minh r»ng n n 13 Chứng minh các đồng thức sau đây i (a + b + c + d)2 + (a + b − c − d)2 + (a + c − b − d)2 + (a + d − b − c)2 = 4(a2 + b2 + c2 + d2 ) ii (a2 − b2 + c2 − d2 )2 + 2(ab − bc + dc + ad)2 = (a2 + b2 + c2 + d2 )2 − 2(ab − ad + bc + dc)2 iii.(a2 −c2 +2bd)2 +(d2 −b2 +2ac)2 = (a2 −b2 +c2 −d2 )2 +2(ab−bc+dc+ad)2 14 Chứng minh đồng thức sau đây (a+b+c)4 +(a+b−c)4 +(a−b+c)4 +(−a+b+c)4 = 4(a4 +b4 +c4 )+24(a2 b2 +b2 c2 +c2 a2 ) 15 Cho s = a + b + c = 2p Chøng minh r»ng X s(s − 2b)(s − 2c) = (s − 2a)(s − 2b)(s − 2c) + 8abc sym X a(p − a)2 = abc − 2(p − a)(p − b)(p − c) sym 16 Cho s = a + b + c vµ 2δ = a2 + b2 + c2 Chøng minh r»ng X (δ − a2 )(δ − b2 ) = 4s(s − a)(s − b)(s − c) sym Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại 17 Chøng minh r»ng nÕu sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n a + b + c = th× a3 + b3 + c3 = 3abc Hãy chú ý ta có đẳng thức Bµi gi¶i a3 + b3 + c3 − 3abc = (a + b + c)(a2 + b2 + c2 − ab − bc − ca) 18 Cho c¸c sè a, b, c §¬n gi¶n biÓu thøc sau ®©y X (a + b + c)3 − (a + b − c)3 sym 19 Chøng minh r»ng (a − b)3 + (b − c)3 + (c − a)3 = 3(a − b)(b − c)(c − a) [(a − b)2 + (b − c)2 + (c − a)2 ]2 = 2[(a − b)4 + (b − c)4 + (c − a)4 ] 20 Cho a + b + c = , chứng minh ta có các đẳng thức sau đây • 2(a4 + b4 + c4 ) = (a2 + b2 + c2 )2 • a5 +b5 +c5 = abc · a2 +b2 +c2 • a3 +b3 +c3 · • a7 +b7 +c7 = a2 +b2 +c2 · a5 +b5 +c5 • a7 +b7 +c7 = a3 +b3 +c3 · a4 +b4 +c4 · a2 +b2 +c2 a5 +b5 +c5 = 21 Cho 2n sè a1 , a2 , , an vµ b1 , b2 , , bn vµ gi¶ sö r»ng sk = a1 b1 + a2 b2 + · · · + ak bk víi k = 1, 2, , n Chøng minh r»ng n X ak b k = k=1 theo modulo n X (ak − ak+1 )sk k=1 n (Khai triÓn Abel ) 22 Gi¶ sö r»ng a1 + a2 + · · · + an = n2 s Chøng minh r»ng n X (s − ak ) = k=1 n X a2k k=1 23 Cho ®a thøc hai biÕn d¹ng Ax2 + 2Bxy + Cy Chøng minh r»ng qua phÐp đổi biển x = αu + βv và y = γu + δv đa thức trên có thể viết lại dạng M u2 + 2N uv + P v víi N − M P = (B − AC)(αδ − βγ)2 H·y më réng bµi to¸n cho c¸c d¹ng bËc hai nhiÒu chiÒu Lop10.com Hµ Duy H­ng 24 Cho Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n 2n sè a1 , a2 , , an vµ b1 , b2 , , bn tho¶ m·n + bi = vµ a= a1 + a2 + · · · + an n b= b1 + b2 + · · · + bn n Chøng minh r»ng n X ak bk = nab − (a1 − a)2 − (a2 − a)2 − · · · − (an − a)2 k=1 25 Chøng minh r»ng 1− 1 1 1 1 + − + ··· + − = + + ··· + 2n − 2n n+1 n+2 2n 26 Chøng minh r»ng (1+ 1 1 )(1− )(1+ ) · · · (1+ )(1− )= x−1 2x − 3x − (2n − 1)x − 2nx − = (n + 1)x (n + 2)x (n + n)x · ··· (n + 1)x − (n + 2)x − (n + n)x − 27 Chøng minh r»ng x3 = (x · x3 − 2y 3 2x3 − y 3 ) + (y · ) x3 + y x3 + y 28 Chứng minh đồng thức sau đây x2  = 11 20 + + + ··· + −1 x −4 x −9 x − 100 1 + + ··· + (x − 1)(x + 10) (x − 2)(x + 9) (x − 10)(x + 1) 29 Chứng minh từ đẳng thức a c = b d ta suy đẳng thức ab (a + b)2 = cd (c + d)2 Lop10.com  Hµ Duy H­ng Các bài toán đại 30 Gi¶ sö r»ng x= sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n b−c c−a a−b ;y = ;z = a+b b+c c+a Chøng minh r»ng (1 + x)(1 + y)(1 + z) = (1 − x)(1 − y)(1 − z) 31 Chứng minh từ đẳng thức (a + b + c + d)(a − b − c + d) = (a − b + c − d)(a + b − c − d) suy đẳng thức a b = c d 32 Gi¶ sö r»ng ax + by + cz = Chøng minh r»ng ax2 + by + cz = bc(y − z)2 + ca(z − x)2 + ab(x − y)2 a+b+c 33 Chứng minh tính đúng đắn đẳng thức sau đây x2 y z (x2 − a2 )(y − a2 )(z − a2 ) (x2 − b2 )(y − b2 )(z − b2 ) + + a2 b a2 (a2 − b2 ) b2 (b2 − a2 ) = x + y + z − a2 − b 34 Gi¶ sö r»ng Sk = ak bk ck + + (a − b)(a − c) (b − c)(b − a) (c − a)(c − b) 1 S−2 = abc · ( a1 + 1b + 1c ); S−1 = abc ; S0 = S1 = 0; S2 = 2 a + b + c; S4 = ab + bc + ca + a + b + c ; S5 = a + b3 + c3 + a2 b + ab2 + b2 c + bc2 + c2 a + ca2 Chøng minh r»ng 35 Gi¶ sö r»ng Sk = Chøng minh r»ng ak (a − b)(a − c)(a − d) cyclic X S0 = S1 = S2 = 0; S3 = 1; S4 = a + b + c + d 36 Gi¶ sö r»ng Sk = X cyclic Hãy xác định ak (a + b)(a + c) (a − b)(a − c) S0 , S1 , S2 , S3 , S4 Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n 37 Chứng minh ta có đồng thức sau đây X ab cyclic (c − x)(c − y)(c − z) = abc − xyz (c − a)(c − b) 38 Chøng minh r»ng a2 b c = abc + bcd + cda + dab (a − d)(b − d)(c − d) cyclic X 39 Hãy làm đơn giản biểu thức sau đây ak (a − b)(a − c)(x − a) cyclic X víi k = 1, 40 Chứng minh đồng thức sau đây b+c+d x−a−b−c−d = (a − b)(a − c)(a − d)(a − x) (x − a)(x − b)(x − c)(x − d) cyclic X 41 Chøng minh r»ng X ak cyclic víi (x − b)(x − c) = xk (a − b)(a − c) k = 0, 1, 42 Chøng minh r»ng nÕu ( a + b + c = th× a−b b−c c−a c a b + + )( + + )=9 c a b a−b b−c c−a 43 H·y chøng minh r»ng a−b b−c c−a a−b b−c c−a + + + · · =0 a+b b+c c+a a+b b+c c+a 44 Chøng minh r»ng X b−c =2 (a − b)(a − c) a−b sym cyclic X 45 Cho X b + c − a2 sym 2bc =1 Chøng minh r»ng hai ba ph©n thøc b»ng −1 Lop10.com vµ ph©n thøc cßn l¹i b»ng Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n 46 Chứng minh từ đẳng thức 1 1 + + = a b c a+b+c Chứng minh với số nguyên dương lẻ n ta có đẳng thức 1 1 + + = an b n c n an + b n + c n 47 Chứng minh từ đẳng thức cx + az ay + bx bz + cy = = x(−ax + by + cz) y(ax − by + cz) z(ax + by − cz) suy a(b2 x y z = = 2 2 2 +c −a ) b(c + a − b ) c(a + b2 − c2 ) 48 Cho a+b+c=x+y+z = x y z + + =0 a b c Chøng minh r»ng xa2 + by + cz = 49 Cho a3 +b3 +c3 2 = (b+c)(c+a)(a+b) vµ (b2 +c2 −a2 )x = (c2 +a2 −b2 )y = (a + b − c )z Chøng minh r»ng x3 + y + z = (x + y)(y + z)(z + x) 50 Cho 1 + = x y z Chøng minh r»ng (z − x)2 + z x2 = (z − y)2 + z y2 51 Chøng minh r»ng tæng ba ph©n sè b−c c−a a−b , , + bc + ca + ab b»ng tÝch cña chóng 52 Chứng minh đẳng thức sau đây X cyclic víi ak (x − b)(x − c)(x − d) = xk (a − b)(a − c)(a − d) k = 0, 1, 2, Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại 53 [HongKong TST 2004] §Æt thøc x= √ sè 4+ c¸c cuéc thi Olympic To¸n √ + Hãy xác định giá trị biểu (1 + )3 x 54 Chứng minh các đồng thức sau đây • (a + b + c)(bc + ca + ab) = abc + (b + c)(c + a)(a + b) • (a2 − 1)(b2 − 1)(c2 − 1) + (a + bc)(b + ca)(c + ab) = (abc + 1)(a2 + b2 + c2 + 2abc − 1) • (b + c − a)3 + (c + a − b)3 + (a + b − c)3 − 4(a3 + b3 + c3 − 3abc) = 3(b + c − a)(c + a − b)(a + b − c) P P 2 • cyclic a (b − c ) = ( cyclic a (b − c))(a + b)(b + c)(c + a) • a5 + b5 − (a + b)5 = −5ab(a2 + ab + b2 ) • (a + b)7 − a7 − b7 = 7ab(a + b)(a2 + ab + b2 )2 55 Chøng minh r»ng nÕu Y xy + yz + zx = th× (x + y)2 + 24x2 y z = sym X x4 (y + z)2 sym 56 Chứng minh từ đẳng thức xy + yz + zx = ta nhận đẳng thức X x 4xyz = 2 1−x (1 − x )(1 − y )(1 − z ) sym 57 §Æt f (a, b, c) = | Chøng minh r»ng |b − a| b + a |b − a| b + a + − |+ + + |ab| ab c |ab| ab c 1 f (a, b, c) = 4max{ , , } a b c 58 Chøng minh r»ng nÕu b c a + + =1 b+c c+a a+b thì ta có đẳng thức a2 b2 c2 + + =0 b+c c+a a+b 59 H·y t×m c¸c gi¸ trÞ cã thÓ nhËn cña biÓu thøc x+y y+z z+t t+x + + + z+t t+x x+y y+z nÕu biÕt r»ng x y z t = = = y+z+t z+t+x t+x+y x+y+z Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại 60 Chứng minh từ đẳng thức sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.10 x + y = z + t ta suy đẳng thức x2 + y + z + t2 = (x + y)2 + (x − z)2 + (x − t)2 61 Cho ab + bc + ca = , chứng minh ta có đẳng thức (1 + a2 )(1 + b2 )(1 + c2 ) = [(a + b)(b + c)(c + a)]2 62 Cho ba sè a, b, c tho¶ m·n b 6= c , a + b 6= Chứng minh ta có đẳng thức sau đây c vµ c2 + 2(ab − bc − ca) = a2 + (a − c)2 a−c = 2 b + (b − c) b−c 63 Chøng minh r»ng nÕu b c a + + =0 b−c c−a a−b thì ta có đẳng thức a b c + + =0 2 (b − c) (c − a) (a − b)2 64 Cho c¸c sè thùc x, y, z tho¶ m·n p xy + yz + zx = 0, a = y + yz + z p √ b = z + zx + x2 , c = x2 + xy + y Chứng minh ta có đẳng thức (a + b − c)(b + c − a)(c + a − b) = 65 Cho bốn số thực a, b, c, d thoả mãn đẳng thức d − a + c) Chøng minh r»ng ac + bd = (b + d + a − c)(b + (ab + cd)(ad + bc) = (ac + bd)(a2 − ac + c2 ) 66 Cho c¸c sè thùc a, b, c tho¶ m·n minh r»ng a + b2 + c3 = a2 + b2 + c2 = a3 + b3 + c3 = Chøng 67 Cho bốn số dương a, b, c, d thoả mãn a + b2 = c + d2 , a2 + b minh r»ng nÕu a + b + c + d ≤ th× {a, b} = {x, y} 68 Gi¶ sö r»ng = c2 + d Chøng a, b, c, d là bốn số thực thoả mãn đẳng thức a + b + c + d = a + b + c + d7 = Chøng minh r»ng 7 (a + b)(a + c)(a + d) = Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.11 69 Chứng minh đồng thức sau đây X cyclic ak xy (a − x)(a − y) = (a − b)(a − c) abc 70 Chứng minh các đồng thức sau đây • P cyclic x(y + z)2 − 4xyz = (x + y)(y + z)(z + x) • + x + x2 + x3 + x4 + x5 = (1 + x)(1 + x + x2 )(1 − x + x2 ) • (ab + bc + ca)(a + b + c) − abc = (a + b)(b + c)(c + a) • (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 )2 − x5 = (1 + x + x2 + x3 + x4 ) · (1 + x + x2 + x3 + x4 + x5 + x6 ) 71 Chứng minh từ đẳng thức a+b(1+a)+c(1+a)(1+b)+· · ·+l(1+a)(1+b) · · · (1+k) = (1+a)(1+b) · · · (1+l)−1 ta suy r»ng 72 Cho a = b = c = ··· = l a + b + c = , chứng minh ta có đẳng thức sau đây ( b−c c−a a−b a b c + + )( + + )=9 a b c b−c c−a a−b 73 Chứng minh đẳng thức sau đây a2 k+1 − b2 a−b k+1 k k = (a + b)(a2 + b2 )(a4 + b4 ) · · · (a2 + b2 ) 74 [HongKong TST 1990] Gi¶ sö r»ng a, b, c, d lµ bèn sè thùc tho¶ m·n hÖ   a + 4b + 9c + 16d = 4a + 9b + 16c + 25d = 12   9a + 16b + 25c + 36d = 123 Hãy xác định giá trị biểu thức 16a + 25b + 36c + 49d 75 [HongKong TST 1993]Cho các số dương a, b, c tho¶ m·n a b c = = b c a Hãy xác định giá trị a+b+c a+b−c Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại 76 Cho các số thực dương c¸c cuéc thi Olympic To¸n.12 sè a, b, c, d satisfying the conditions a4 b + = b d b+d a2 + c2 = Chøng minh r»ng a2004 b2004 + 1002 = 1002 b d (b + d)1002 77 Chøng minh r»ng nÕu xyz = th× ta cã 1 + + =1 + x + xy + y + yz + z + zx 78 Chøng minh r»ng √ √ √ 2− 2+ p p √ √ +√ √ = 2+ 2+ 2− 2− 79 Chứng minh tính đúng đắn các hệ thức sau đây q √ r 2−1= − r + r 80 Gi¶ sö r»ng ta cã A B C D = = = a b c d Chøng minh r»ng √ √ Aa + √ √ Bb + Cc + 81 Chøng minh r»ng nÕu Dd = p (a + b + c + d)(A + B + C + D) ax3 = by = cz vµ x + y + z = th× ta cã hÖ thøc p √ √ √ 3 ax2 + by + cz = a + b + c 82 Cho bèn sè thùc a, b, c, d tho¶ m·n c¸c ®iÒu kiÖn abcd = vµ a+b+c+d= 1 1 + + + a b c d Chứng minh có thể chia bốn số đó thành hai cặp, cặp hai số mà tÝch cña chóng b»ng 83 Chứng minh các đẳng thức sau đây Lop10.com Hµ Duy H­ng r Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.13 r q √ √ √ (a) − 10 − − + 10 − = − q q √ √ √ (b) + + 14 − = s s r r 847 847 3 + 6− =3 (c) 6+ 27 27 q 84 Rút gọn các biểu thức đây √ √ − 15 + + 21 + − 35 + s s r r 55 55 3 (b) 7+ + 7− 3 3 r r r r q q q q √ √ √ √ (c) + 17 + 7+ + 17 − 7+ − 17 + 7− + 17 − r r q q √ √ √ √ 4 (d) 2+ 5+2 2+ 5+ 2+ 5−2 2+ q (a) √ √ q 85 Cho c¸c sè thùc q a, b, c thoả mãn đẳng thức b c a = = 2002 2003 2004 Chøng minh r»ng 4(a − b)(b − c) = (c − a)2 86 Cho c¸c sè x, y kh¸c kh«ng tho¶ m·n trÞ cña biÓu thøc  x x+y x2 + xy + y = Hãy xác định giá 2001  + y x+y 2001 87 Cho n là số nguyên dương và 2n + số lấy từ tập hợp {2, 5, 9} tho¶ m·n nÕu ta viÕt chóng ë d¹ng d·y a1 , a2 , , a2n+1 th× hai sè liªn tiÕp bất kì khác và a2n+1 = a1 Chứng minh a1 a2 − a2 a3 + · · · + a2n−1 a2n − a2n a2n+1 = 88 Cho c¸c sè a, b, c ∈ R thoả mãn đẳng thức 1 + + =0 2 bc − a ca − b ab − c2 Chøng minh r»ng a b c + + =0 2 2 (bc − a ) (ca − b ) (ab − c2 )2 Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.14 89 Cho n là số nguyên dương và n số thực x1 , , xn Với dương đặt Sk = xk1 + ã ã ã + xkn Chứng minh S2 = S3 Sk = S1 víi mäi k 90 Cho hai sè thùc x, y tho¶ m·n p √ ( x2 + + x)( y + + y) = Chøng minh r»ng 91 Cho c¸c sè thùc k nguyªn = S4 th× x + y = x, y, z tho¶ m·n xyz(x + y + z) = Chøng minh r»ng (x + y)(y + z)(z + x) = 1 + + (x + z)xz x z 92 (Proposed by Hµ Duy H­ng) Cho s¸u sè thùc phương trình a, b, c, d, e, f tho¶ m·n hÖ  √
 |d + e − a − b| = √3 · |b − a| + |e − d|
|e + f − b − c| = · |c − b| + |e − f |  √
 |f + a − c − d| = · |c − d| + |f − a| Chøng minh r»ng 93 Cho a + c + e = b + d + f n là số nguyên dương chẵn Kí hiệu w = cos lµ mét c¨n bËc n + cña kh¸c víi KÝ hiÖu n  2kπ ak = cos n+1 2kπ 2kπ + i · sin n+1 n+1 Chøng minh r»ng + a1 w + a2 w2 + · · · + an wn 6= Lop10.com Hµ Duy H­ng 1.2 Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.15 Các đẳng thức Lượng giác Chứng minh các đồng thức sau ) · cos( a−b ) • cos a + cos b = cos( a+b 2 • cos a − cos b = −2 sin( a+b ) · sin( a−b ) 2 • sin a + sin b = sin( a+b ) · cos( a−b ) 2 • sin a − sin b = cos( a+b ) · sin( a−b ) 2 • tan a + tan b = sin(a+b) cos a·cos b • cos a · cos b = 12 [cos(a + b) + cos(a − b)] • sin a · cos b = 21 [sin(a + b) + sin(a − b)] • cos(a + b) · cos(a − b) = cos2 a − sin2 b a−b 2 a−b sin • (cos a + cos b)2 + (sin a + sin b)2 = cos2 • (cos a − cos b)2 + (sin a − sin b)2 = • cos(a + b) = cos a · cos b − sin a · sin b • cos(a − b) = cos a · cos b + sin a · sin b • sin(a + b) = sin a · cos b + cos a · sin b • sin(a − b) = sin a · cos b − cos a · sin b • sin 2a = sin a · cos a • cos 2a = cos2 a − sin2 a = cos2 a − = − sin2 a • cos2 a + sin2 a = • tan 2a = tan a 1−tan2 a • sin 3a = sin a − sin3 a • cos 3a = cos3 a − cos a • tan 3a = tan a−tan3 a 1−3tg a • tan a − tan b = • cot a + cot b = • cot a − cot b = Cho sin(a−b) cos a·cos b sin(a+b) sin a·sin b sin(b−a) sin a·sin b tan a2 = tan 2b , chứng minh ta có đẳng thức tan a−b sin b = − cos b Cho a cos x + b cos y = a cos(x + z) + b cos(y + z) minh với số thực t ∈ R ta có đẳng thức = víi z 6= kπ Chøng a cos(x + t) + b cos(y + t) = Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.16 Chứng minh ta có các đẳng thức sau đây • tan4 a = • cos 4a−4 cos 2a+3 cos 4a+4 cos 2a+3 · cot4 a = sin2 2a+4 sin2 a−4 1−8 sin2 a−cos 4a • cot a − tan a − tan 2a − tan 4a = cot 8a • cos6 a − sin6 a = (3+cos2 2a) cos 2a 4 • 2(sin6 a + cos6 a) − 3(sin a + cos4 a) + = • • Cho 1−tan2 a2 1+sin 2a − sin a+cos a 1+tan2 a2 √ √ √1+cos a+√1−cos a = 1+cos a− 1−cos a cot( a2 + π4 ) sin(a + 2b) = sin a Chøng minh r»ng tan(a + b) = tan b Cho a sin(x − α) = sin(x − β) b cos(x − α) a1 = cos(x − β) b1 víi ab1 + a1 b 6= Chøng minh r»ng cos(α − β) = aa1 + bb1 ab1 + a1 b Cho hµm f (x) = a sin x + b cos x tho¶ m·n ®iÒu kiÖn cã hai sè thùc x1 , x2 cho x1 − x2 6= k · π (k ∈ Z ) mµ f (x1 ) = f (x2 ) = Chøng minh r»ng f (x) đồng không = cos(x−α), b = sin(x−β) Chøng minh r»ng a2 −2ab sin(α− β) + b2 = cos2 (α − β) Gi¶ sö r»ng a Cho x 10 Cho = 2y , vµ x+y+z = π Chøng minh r»ng (sin y+sin z)·sin y = sin2 x < α, β < π vµ ( sin2 α + sin2 β = sin 2α − sin 2β = Chøng minh r»ng 11 Cho α + 2β = π r2 − 1 + 2r cos v + r2 = + 2r cos u + r2 r2 − Chứng minh ta có các đẳng thức sau đây r2 − r + cos u sin u + r cos u = =± =− + 2r cos u + r r − cos v sin v + r cos v Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại cos x = tan y, cos y = tan z, cos z = tan x Chøng minh r»ng √ 5−1 sin x = sin y = sin z = 13 Cho sin x sin 3x sin 5x = = a1 a3 a5 Chøng minh r»ng a1 + a5 a3 − a1 = a3 a1 14 Cho cos x cos 2x cos 3x = = a1 a2 a3 Chøng minh r»ng sin2 15 Cho x 2a2 − a1 − a3 = 4a2 m sin β = sin(2α + β) n Chøng minh r»ng 1+ tan α tan β m+n 16 Cho c¸c cuéc thi Olympic To¸n.17 u v r+1 · tan = ± 2 r−1 tan 12 Cho sè < α, β < π vµ = − tan α tan β m−n α 6= β vµ gi¶ sö r»ng sin2 α cos β cos x − cos α = cos x − cos β sin2 β cos α Chøng minh r»ng tan2 x α β = tan2 · tan2 2 17 Chứng minh đồng thức sau đây sin(a − c) sin(a − d) sin(b − c) sin(b − d) + sin(a − b) sin(b − a) X Y sin(a + b + c) tan a − Q = tan a cos a cyclic cyclic cyclic sin(a + b − c − d) = X sin a − sin(a + b + c) = cyclic X Y sin a+b cos a+b cyclic cos a − cos(a + b + c) = cyclic Y cyclic Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại 18 Gi¶ sö r»ng c¸c cuéc thi Olympic To¸n.18 sin4 α cos4 β + = a b a+b Chøng minh r»ng 19 Cho c¸c sè thùc sè sin8 α cos8 β + = 3 a b (a + b)3 a, b, c , chøng minh r»ng X sin(a − b) =0 cos a · cos b cyclic sin a =0 sin(a − b) sin(a − c) cyclic X cos a =0 sin(a − b) sin(a − c) cyclic X X sin a sin(b − c) cos(b + c − a) = cyclic X cos a sin(b − c) sin(b + c − a) = cyclic 1 = Q sin(a − b)(a − c) cyclic cos a−b cyclic X 20 Cho a + b + c = π , chøng minh r»ng X sin 3a sin3 (b − c) = cyclic X sin 3a cos3 (b − c) = cyclic X sin3 a cos(b − c) = cyclic X sin3 a sin(b − c) = cyclic X sin a = cyclic X Y cos cyclic cos a = + cyclic Y a sin cyclic X tan a = cyclic Lop10.com Y cyclic tan a a Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.19 b a tan = 2 cyclic X Y sin 2a = sin a X tan cyclic X cyclic Y cos2 a = cyclic cos a + cyclic 21 Gi¶ sö r»ng a1 cos α1 + a2 cos α2 + · · · + an cos αn = vµ a1 cos(α1 + θ) + a2 cos(α2 + θ) + · · · + an cos(αn + θ) = víi θ 6= k · π(k ∈ Z) Chøng minh với λ ∈ R ta có đẳng thức a1 cos(α1 + λ) + a2 cos(α2 + λ) + · · · + an cos(αn + λ) = 22 Gi¶ sö r»ng a b c = = tan(α + x) tan(α + y) tan(α + z) Chøng minh r»ng X a+b sin2 (x − y) = a − b cyclic 23 Gi¶ sö r»ng ta cã (a+b) sin(x−α) Chøng minh r»ng = (a−b) sin(x+α) vµ atg x2 = c+b tan α2 sin α = a2 2bc − b2 − c 24 Chøng minh r»ng tan 3α = tan α · tan(600 − α) · tan(600 + α) cot 3α = cot α · cot(600 − α) · cot(600 + α) tan2 α + tan2 (600 − α) + tan2 (600 + α) = tan2 3α + 25 Chøng minh r»ng √ 5−1 √ tg150 = − √ √ 6− sin 15 = √ √ − cos 150 = q √ cos 180 = 10 + 2 sin 18 = Lop10.com Hµ Duy H­ng Các bài toán đại sè c¸c cuéc thi Olympic To¸n.20 p √ √ 30 − − 6+2 sin = p p √ √ 18 + + 10 − cos = p 26 [HongKong TST 2004] Chøng minh r»ng
2 cos 420 + cos 1020 + cos 1140 + cos 1740 = 27 Chøng minh r»ng tan 30 ·tan 170 ·tan 230 ·tan 370 ·tan 430 ·tan 570 ·tan 630 ·tan 770 ·tan 830 = tan 270 cos π 2π 3π 4π 5π 6π 7π · cos · cos · cos · cos · cos · cos = 15 15 15 15 15 15 15 128 28 Gi¶ sö r»ng −1 < x < Chøng minh r»ng X k=0 Từ đó suy − x2 + x7 = · − x7 − 2x cos 2kπ + x2 sin2 π + 1 =8 2π + sin sin2 3π 29 Chøng minh r»ng tan2 50 + tan2 100 + · · · + tan2 800 + tan2 850 = 195 30 [The Democratic Republic of Germany 3] Chøng minh r»ng tan 70 300 = √ 6+ √ 2− √ 3−2 31 Chøng minh r»ng tan2 10 + tan2 20 + · · · + tan2 890 = 4005 32 Chøng minh r»ng tan6 200 − 33 tan4 200 + 27 tan 200 = 33 Chøng minh r»ng cos4 π 3π 5π π 3π 5π + cos4 + cos4 = 12 cos2 · cos2 · cos2 14 14 14 14 14 14 Lop10.com