Luận văn sư phạm Ứng dụng giải tích lồi giải các bài toán đại số và giải tích

L IC M N Trong trình th c hi n đ tài nghiên c u khoa h c này, em nh n đ c r t nhi u s quan tâm, giúp đ c a th y cô giáo b n sinh viên Em xin chân thành c m n th y cô khoa Toán – Tr ng HSPHN 2, th y t n tình d y d em n m h c v a qua t o u ki n đ em hoàn thành đ tài Em xin bày t lòng bi t n sâu s c c a t i GVC, Ths Phùng Th ng, ng i tr c ti p h c ng d n, ch b o t n tình cho em su t trình th c hi n đ tài nghiên c u Do cịn h n ch v trình đ th i gian nên đ tài không tránh kh i nh ng thi u sót Em r t mong nh n đ b n đ đ tài nghiên c u đ c s giúp đ , góp ý c a th y c hồn thi n h n Em xin chân thành c m n! Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th Luy n Nguy n Th Luy n K32 CN - Toán M CL C Trang M đâu Ch ng Các ki n th c có liên quan 1.1 T p h p l i 1.1.1 nh ngh a t p l i 1.1.2 M t s t p 1.2 Hàm s 1.2.1 Ch ng nh ngh a hàm l i 1.2.2 M t s tính ch t c a hàm l i ng d ng c a gi i tích l i gi i tốn đ i s gi i tích 16 2.1 S d ng hàm l i đ ch ng minh b t đ ng th c 16 2.1.1 Ch ng minh b t đ ng th c kinh n 16 2.1.2 Ch ng minh b t đ ng th c đ i s 22 2.1.3 Ch ng minh b t đ ng th c l 27 ng giác 2.2 S d ng hàm l i tím giá tr l n nh t, nh nh t c a hàm s 2.3 S d ng hàm l i đ gi i h ph ng trình b t ph 34 ng trình có tham s 40 K t lu n 42 Tài li u tham kh o 43 Nguy n Th Luy n K32 CN - Tốn L I CAM OAN Khóa lu n t t nghi p c a em đ t n tình c a th y giáo Ths Phùng c hồn thành d is h ng d n c Th ng, v i s c g ng c a b n thân Trong trình nghiên c u, em tham kh o k th a nh ng thành qu nghiên c u c a nhà khoa h c nhà nghiên c u v i s trân tr ng lòng bi t n Em xin cam đoan nh ng k t qu nghiên c u khóa lu n k t qu nghiên c u c a riêng b n thân, khơng có s trùng l p v i k t qu c a tác gi khác N u sai em xin hoàn toàn ch u trách nhi m Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th Luy n Nguy n Th Luy n K32 CN - Toán M U LỦ ch n đ tƠi Gi i tích l i m t mơn h c nghiên c u tính ch t c a t p h p l i hàm l i Các k t qu c a gi i tích l i đ Trong ch đ ng trình toán c áp d ng nhi u l nh v c nhà tr ng ph thông, em h c sinh c làm quen v i khái ni m “l i” t c p h c mơn Hình h c H u h t ch ng trình Hình h c b c Trung h c c s Trung h c ph thông đ u gi i h n hình l i: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình trịn,…Trong đ i s , tính l i, lõm c a hàm s đ c gi ng d y ch ng trình h c v hàm s b c hai dùng đ kh o sát hàm s S d ng k t qu c b n v hàm l i cho phép thành công vi c gi i nhi u l p toán c a đ i s gi i tích s c p nh : Ch ng minh b t đ ng th c, gi i tốn tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s c ng nh bi n lu n m t s l p c a h ph ng trình b t ph ng trình ch a tham s V i lý em ch n đ tài “ ng d ng gi i tích l i gi i tốn đ i s gi i tích”, d is h ng d n c a th y giáo, GVC, Ths Phùng c Th ng M c đích nghiên c u B c đ u làm quen v i nghiên c u khoa h c, t hình thành t logic đ c thù c a b môn Nhi m v nghiên c u Nghiên c u v ng d ng c a gi i tích l i vào tốn đ i s gi i tích it ng, ph m vi nghiên c u + it ng nghiên c u: Sinh viên đ i h c, giáo viên ph thông + Ph m vi nghiên c u: Nguy n Th Luy n ng d ng c a gi i tích l i vào toán đ i s K32 CN - Toán gi i tích C u trúc đ tƠi Ngồi ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o, đ tài g m hai ch Ch ng Các ki n th c có liên quan Ch ng ng: ng d ng c a gi i tích l i gi i tốn đ i s gi i tích Các khái ni m c b n c ng nh tính ch t c b n c a t p l i hàm l i đ c trình bày ch Ch ng ng trình bày cách s d ng tính l i đ gi i m t s l p toán đ i s gi i tích L p tốn bao g m: Các b t đ ng th c kinh n, b t đ ng th c đ i s l trình b t ph Nguy n Th Luy n ng giác, toán c c tr , tốn v ph ng trình ch a tham s K32 CN - Toán ng N I DUNG CH NG CÁC KI N TH C CÓ LIÊN QUAN 1.1 T p h p l i 1.1.1 nh ngh a t p h p l i T p D đ c g i t p h p l i n u nh v i m i hai ph n t a  D, b  D, v i m i s      1 ph n t  a  1    b c ng thu c t p h p D 1.1.2 Bài t p Bài Cho A B t p h p l i Ch ng minh r ng A  B c ng t p h p l i L i gi i L y a,b tùy ý thu c A  B ,  s th c tùy ý cho    Do A, B hai t p l i, mà a , b  A; a , b  B nên  a  1    b  A   a  1    b  B T  a  1    b  A B V y A  B t p l i Bài Cho A B t p h p l i Ch ng minh r ng A  B c ng t p h p l i L i gi i t C  A B , C  c : c  a  b v i a  A, b  B L y c1 , c2 tùy ý thu c C ,    s th c tùy ý Vì c1  C  c1  a1  b1 v i a1  A, b1  B c2  C  c2  a  b2 v i a2  A, b2  B T c1  1    c2    a1  b1   1    a2  b2  Nguy n Th Luy n K32 CN - Toán   a1  1    a   b1  1    b2  (1) Do A, B l i mà a1 , a2  A; b1 , b2  B nên  a1  1    a  A,  b1  1    b2  B T (1) suy c1  1    c2  C i u có ngh a C l i, t c A  B l i Bài Cho h ph ng trình a1 x  b1 y  c1  a x  b y  c   2   a n x  bn y  cn  Gi s h có nghi m D t p h p nghi m c a h Ch ng minh r ng D t p l i ฀ L i gi i Gi s  x1; y1   x2 ; y2  hai ph n t tùy ý c a D ,  s th c tùy ý cho    Ta có ak x1  bk y1  ck  a k x2  bk y2  ck  v i m i k  1, n T suy v i m i k  1, n c ng có  (ak x1  bk y1  ck )  1    ( a k x2  bk y2  ck )  , hay a k  x1  1    x2   bk  y1  1    y2   ck  (1) B t đ ng th c (1) ch ng t r ng v i m i k  1, n ph n t   x1 ; y1   1    x2 ; y2   D Theo đ nh ngh a D t p l i ฀ Ta có u c n ch ng minh Nguy n Th Luy n K32 CN - Toán 1.2 HƠm s 1.2.1 nh ngh a hàm l i Gi s D t p h p l i ฀ Hàm s f : D฀ đ c g i hàm l i D , n u nh v i m i x1, x2  D, v i m i      1 , f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2  Chú ý 1) D t p h p l i ฀ Hàm s f : D฀ đ c g i hàm lõm D n u nh  f l i D 2) T ng t , ta có th đ nh ngh a hàm l i hai bi n nh sau: Gi s D t p l i ฀ Hàm s f : D฀ đ c g i l i D , n u nh v i m i  x1; y1  ,  x2 ; y2   D; v i m i ,    1, ta có f   x1  1    x2 ;  y1  1    y2    f  x1 ; y1   1    f  x2 ; y2  1.2.2 M t s tính ch t c a hàm l i Tính ch t Cho D t p h p l i ฀ Gi s f1  x , f2  x , , fn  x hàm l i xác đ nh D Cho i  v i m i i = 1,n Khi hàm s 1 f1  x  2 f2  x   n fn  x c ng hàm l i D Ch ng minh t F  x   i fi  x n i 1 L y x1 , x2  D  s th c cho    Ta có F   x1  1    x2    i fi   x1  1    x2  n (1) i 1 Vì fi : D  ฀ hàm l i v i i  1, n , nên ta có v i m i i  1, n , fi   x1  1    x2    fi  x1   1    fi ( x2 ) Do (2) i  0,  i  1, n nên t (2) ta có i fi   x1  1    x2   i  fi  x1   i 1    fi ( x2 ) , i = 1, n Nguy n Th Luy n K32 CN - Toán T đ n  i fi   x1  1    x2     i fi  x1   1     i fi  x2  n n n i 1 i 1 i 1 hay  i fi   x1  1    x2    F  x1   1    F  x2  n (3) i 1 T (1) (3 ), đ n F   x1  1    x2    F  x1   1    F  x2  V y F  x hàm l i D Ta có u c n ch ng minh Tính ch t (M i liên h gi a t p l i hàm l i) Gi s f : D฀ , D t p l i ฀ t epi f :  x; y  ฀ : f  x  y, x  D (epi f g i t p h p đ th c a hàm f) Hàm f l i D ch epi f t p l i ฀ Ch ng minh 1) Gi s L y  x1 , y1  f : D  ฀ hàm l i D  epi f ;  x2 , y2   epi f  (0    1) Theo đ nh ngh a c a t p h p epi f , ta có x1, x2  D f  x1   y1, f  x2   y2 (1) Do f hàm l i D ,    , nên t (1) ta có f   x1  1    x2    f  x1   1    f  x2    y1  1    y2 (2) Do x1 , x2  D , mà D t p l i nên  x1  1    x2  D K t h p v i (2) suy m   x1 ; y1   1    x2 ; y2   epi f , t c epi f t p l i Nguy n Th Luy n K32 CN - Toán 2) Bây gi gi s epi f t p l i Gi thi t trái l i f  x không ph i hàm l i D i u có ngh a t n t i x1 , x2  D , t n t i  0;1 cho         f  x1     f  x2  f  x1    x2 (3) Theo đ nh ngh a  x ; f  x  1  epi f ;  x2 ; f  x2    epi f Do epi f t p l i , mà   0;1 , nên     x1; f  x1   +    x2 ; f  x2    epi f      (4)   (5)    x1    x2 ;  f ( x1 )    f ( x2 )  epi f T (4) theo đ nh ngh a c a epi f , suy      f ( x1 )    f ( x2 )  f  x1    x2 T (3), (5) suy mâu thu n V y gi s sai, suy f hàm l i D Ta có u c n ch ng minh Tính ch t (B t đ ng th c Jen-xen) Cho D t p l i ฀ , f : D  ฀ hàm s xác đ nh D Khi f hàm l i D ch v i m i s   n f  i xi i 1 ng, v i m i n i  i  1, n  i  ta có b t đ ng x1 , x2 , , xn thu c D , v i m i s th c  n nguyên d    i f  xi  n i 1 i 1 (1) B t đ ng th c (1) g i b t đ ng th c Jen-xen Ch ng minh 1) Gi s (1) th a mãn, ng v i n  , theo đ nh ngh a f hàm l i D 2) Bây gi gi s f hàm l i D Ta ph i ch ng minh (1) i u đ c ch ng minh b ng quy n p nh sau: Nguy n Th Luy n 10 K32 CN - Toán hay cos1  cos   cos n       n  cos , n n Ta có u ph i ch ng minh 3) Xét hàm s f  x  tan x , v i  x   Ta có f '  x  2sin x   > , x   0;   f''  x  cos x cos x  2   V y f  x hàm l i  0;  Theo b t đ ng th c Jen-xen, ta có  2        n  f    f 1   f     f  n   , n n   hay tan 1  tan    tan  n       n  tan n n Ta có u ph i ch ng minh Nh n xét T b t đ ng th c c b n ta suy b t đ ng th c sau: Trong tam giác ABC, ta có: 3 ;  ; 3  ; a ) sin A  sin B  sin C  A B C  sin  sin 2 A B C c) cos  cos  cos 2 A B C d ) tan  tan  tan  2 b) sin Bài Cho  xi   v i m i i  1, n Ch ng minh r ng n 1     x1  x2   xn sinx1 sinx sinx n sin n Nguy n Th Luy n 29 K32 CN - Toán L i gi i Xét hàm s f  x  v i  x   Ta có sinx  cos x  cos x  f ''  x   , x   0;   f '  x  sin x sin x Do f  x hàm l i  0;  Theo b t đ ng th c Jen-xen, ta có  x  x2   xn  f    f  x1   f  x2    f  xn   n n   n 1      x1  x2   xn sinx sinx sinx n sin n ó u ph i ch ng minh Nh n xét T suy m i tam giác ABC ta có 1    3, sin A sin B sin C 1 b)    A B C sin sin sin 2 a) Bài Ch ng minh r ng n 1     x  x   xn sin x1 sin x2 sin xn sin 2 n v i  xi   , v i m i i  1, n L i gi i Xét hàm s f '  x  f  x  v i  x   Ta có sin x 2sin x  6cos x 2cos x '' f x    0,  x   0;     sin x sin x Do f  x hàm l i  0;  , theo b t đ ng th c Jen-xen, ta có Nguy n Th Luy n 30 K32 CN - Toán  x  x2   xn   f  x1   f  x2    f  xn   , f   n n   n 1      2 sin x1 sin x2 sin xn x1  x2   xn sin n Ta có u ph i ch ng minh Chú ý 1) Nói riêng m i tam giác ABC, ta có b t đ ng th c sau: 1    4, sin A sin B sin C 1 b)    12 A B C sin sin sin 2 a) 2) T ng t , b ng cách xét hàm s f  x  v i cos x    x  ta có 2cos2 x  6sin x    f ''  x   x    ;  cos x  2 Vì th    f  x hàm l i   ;   2 Áp d ng b t đ ng th c Jen-xen, v i m i    xi   , i  1, n , ta có 1 n     2 cos x1 cos x2 cos xn x1  x2   xn cos n Nói riêng m i tam giác ABC, ta có 1    12, 2 cos A cos B cos C 1 b)    A B C cos cos cos 2 a) Bài Ch ng minh r ng m i tam giác ABC, ta có sin A B C A B C  sin  sin  tan  tan  tan  2 2 2 Nguy n Th Luy n 31 3 K32 CN - Toán  , L i gi i Xét hàm s x x f  x  sin  tan v i  x   2 Ta có f '  x  x 1 cos  2 2cos x sin x x  f ''  x   sin  2cos3 x x sin   cos3 x   x   0;    x 2 4cos3  V y f  x hàm l i  0;  Theo b t đ ng th c Jen-xen, ta có  A B  C  f    f  A  f  B  f  C   3   1 A A B B C C    f    sin  tan  sin  tan  sin  tan  3 2 2 2 3  A B C A B C    3 sin  tan   sin  sin  sin  tan  tan  tan 6 2 2 2  A B C A B C  sin  sin  sin  tan  tan  tan  3 2 2 2 Ta có u ph i ch ng minh Chú ý Nh ph ng pháp hàm l i, ta ch ng minh đ ta m i có hai b t đ ng th c ng c b t đ ng th c cho, c chi u sau: Trong m i tam giác ABC ch có: tan sin A B C  tan  tan  2 A B C  sin  sin  2 2 ta khơng có phép c ng hai b t đ ng th c ng Nguy n Th Luy n 32 c chi u K32 CN - Toán Bài Ch ng minh m i tam giác ABC, ta có  A  3B   B  3C   C  A  sin Asin Bsin C  sin   sin   sin         L i gi i Do sin A, sin B, sin C s d ng nên theo b t đ ng th c Cauchy, ta có  sin A  3sin B  sin Asin B       x f '  x Xét hàm s v yf f (1)  sin x v i  x   Ta có  cos x  f''  x   sinx < x   0;   x hàm lõm  0;  , nên theo b t đ ng th c Jen-xen,  1 f  A B   f  A  f  B  4 4  sin A  3B   sin A  3sin B 4 (2) T (1) (2), đ n T  A  3B  sin Asin B  sin     (3)  B  3C  sin Bsin C  sin     (4)  C  A sin C sin A  sin     (5) ng t ta có Do v c a (3), (4), (5) đ u d này, ta thu đ ng, nên sau nhân t ng v ba b t đ ng th c c  A  3B   B  3C   C  A  sin Asin Bsin C  sin   sin   sin         hay  A  3B   B  3C   C  A  sin Asin Bsin C  sin   sin   sin         Ta có u ph i ch ng minh Nguy n Th Luy n 33 K32 CN - Toán 2.2 S d ng hƠm l i đ tìm giá tr l n nh t vƠ giá tr nh nh t c a hƠm s Nh ta bi t, c c ti u c a m t hàm s f  x mi n D đó, nói chung khơng ph i c c ti u toàn c c, t c n u x0  D c c ti u đ a ph ng c a f  x D ta có: f  x0   f  x , x  D Do đó, đ tìm giá tr nh nh t c a f  x mi n D cho tr c, ta ti n hành nh sau: - Tìm c c ti u đ a ph nh ng ph ng c a f  x D (đ làm vi c này, m t ng pháp hi u qu hay s d ng nh t s d ng tiêu chu n v c c ti u đ a ph ng thông qua đ o hàm b c nh t, b c hai c a f  x - So sánh c c ti u đ a ph khác c a hàm s ng tìm đ c v i m t s giá tr đ c bi t (ch ng h n v i giá tr t i m c c h n c a hàm s f  x T đó, sau k t h p b c s suy giá tr nh nh t c a f  x mi n D Trong th c t , hàm f  x hàm l i mi n D t p l i Khi đó, vi c gi i tốn tr nên đ n gi n h n nhi u, ta s d ng tính ch t đ c tr ng c b n sau c a hàm l i: C c ti u đ a ph ng c a hàm l i f mi n l i D c ng c c ti u toàn c c c a hàm f mi n y Nh v y, v i l p hàm l i, vi c tìm giá tr nh nh t c a m t mi n l i D đ n gi n quy v vi c tìm c c ti u đ a ph ng c a chúng D Bài Cho f  x; y hàm l i liên t c xác đ nh đa giác l i D c a m t ph ng Gi s Ai  xi ; yi  đ nh c a D Ch ng minh Maxf  x; y   max  f  x1; y1  ; f  x2 ; y2  ; ; f  xn ; yn   x; yD Nguy n Th Luy n 34 K32 CN - Toán L i gi i A3 A2 A2 Aj M(x;y) A1 M(x;y)     N x; y N x; y N ( x; y ) A Aj+1 Ak An An L y M  x; y m tùy ý c a D mà không trùng v i b t kì đ nh c a kéo dài đ n c t biên c a D Có hai kh n ng: đa giác l i D N i AM 1) Ho c AM c t biên c a D t i m t đ nh Ak  xk ; yk  Khi ta có M thu c đo n AA k t c là:  x; y  1  x1; y1   2  xk ; yk  , v i 1  , 2  , 1  2  Vì f  x; y hàm l i nên ta có f ( x; y)  1 f ( x1; y1 )  2 f ( xk ; yk ) (1) S  max  f  x1; y1  ; f  x2 ; y2  ; ; f  xn ; yn  t Do 1  , 2  ,nên t (1) suy f  x; y   1  2  S  S   2) Ho c AM c t biên c a D t i m t m N x; y c a c nh Aj Aj 1 c a D Khi dó ta có    x; y   1  x1; y1   2 x; y , 1  , 2  , 1  2    x; y  1  x j ; y j   2  x j 1; y j 1  , 1  , 2  , 1  2      Vì f  x; y hàm l i nên ta có Nguy n Th Luy n 35 K32 CN - Toán    f  x; y   1 f  x1; y1   2 f x; y   f x; y  1 f  x j ; y j   2 f  x j 1; y j 1      Do i , j  , i, j=1,2 , t ta suy f  x; y  1 f  x1; y1   21 f  x j ; y j   22 f  x j 1; y j 1    1  21  22  S Do 1  2  , 1  2   1  21  22  1, suy f  x; y  S Nh v y ta ch ng minh đ c f  x; y  S v i m i m  x; y không ph i đ nh c a đa giác l i D Vì f  x; y hàm liên t c xét đa giác l i D , t n t i giá tr l n nh t xét t p D T (1) suy Maxf  x; y   max  f  x1; y1  ; f  x2 ; y2  ; ; f  xn ; yn   x; yD Ta có u ph i ch ng minh T k t qu suy đ tìm giá tr l n nh t c a hàm l i f  x; y m t đa giác l i D , ta ch c n xét giá tr c a hàm s f  x; y t i đ nh Ai  xi ; yi  c a D Bài Tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s mi n D đ c cho b i h b t ph f  x; y  3x  y  ng trình sau:  x  y       D   x; y  :  x  y     2 x  y   0    L i gi i V h tr c t a đ OXY D th y t p h p D tồn b tam giác ABC v i đ nh : A(-2;0), B(-4;2), C(0;4), th rõ ràng D đa giác l i Nguy n Th Luy n 36 K32 CN - Toán y 2x-y+4=0 C x+y+2=0 B x-2y+8=0 -8 A -2 A -4 O x Hàm f  x; y  3x  y  hàm aphin (theo ngôn ng ph thơng f  x; y hàm b c nh t), th , nói riêng f  x; y v a l i, v a lõm Theo 1, ta có Maxf  x; y   max  f  2;0  ; f  4;2  ; f  0;4   x; yD  max 4; 18; 14  4 Ta có f  x; y   max   f  x; y  (1)  x; yD t g  x; y   f  x; y , t (1) ta có f  x; y    Maxg  x; y   x; yD (2)  x; yD Do f  x; y hàm lõm nên g  x; y hàm l i Theo ta có Maxg  x; y   max  g  2;0  ; g  4;2  ; g  0;4   x; yD  max 4;18;14  18 (3) T (2) (3) suy Nguy n Th Luy n 37 K32 CN - Toán f  x; y    18  x; yD Bài Tìm giá tr l n nh t giá tr nh nh t c a hàm s f  x; y  x2  y2 , t p h p D cho b i h b t ph ng trình sau: D   x; y : x  y   0;6 x  y  24  0; x  y   0; y  0 L i gi i 4x+3y-6=0 y 6x-y+24=0 C x-y+2=0 D B H -4 A -2 -3 x D th y D t giác l i ABCD, t a đ đ nh là: A(-2;0); B(-4;0); C(-3;6); D(0;2) f  x; y  x2  y2 hàm l i toàn m t ph ng Th t v y: l y  x1; y1  ,  x2 ; y2  ฀ , 1  0, 2  ; 1  2  Ta s ch ng minh r ng f  1  x1; y1   2  x2 ; y2    1 f  x1; y1   2 f  x2 ; y2  (1) Ta có (1)  f  1 x1  2 x2 ; 1 y1  2 y2   1 f  x1; y1   2 f  x2 ; y2   (1 x1  2 x2 )2  (1 y1  2 y2 )2  1 x12  y12  2 x22  y22 Nguy n Th Luy n 38 K32 CN - Toán  (1 x1  2 x2 )  (1 y1  2 y)   12  x12  y12   22  x22  y22   212 ( x12  y12 )  x22  y22  (2) Vì 1  0, 2  , nên t (2) suy ( x12  y12 )  x22  y22  (1)  x1 x2  y1 y2  (3) Theo Buniakowski (3) Suy (1) V y f ( x; y) hàm l i ฀ V y theo 1, suy Max f  x; y   max  f  2;0  ; f  4;0  ; f  3;6  ; f  0;2   x; yD    max 2;4;3 5;2  Ta nh n th y n u M  x; y f  x; y  x2  y2  OM N u g i H  x0 ; y0  hình chi u c a O AD  x0 ; y0  m c c ti u đ a ph ng c a hàm f  x; y  x2  y2 mi n D Do f  x; y hàm l i nên theo tính ch t c a hàm l i (ch ng 1) c ng m c c ti u toàn c c c a hàm f  x; y mi n D Nên ta có f  x; y   f  x0 ; y0   OH   x; yD Bài Cho x, y, z x  y  z  Tìm gía tr l n nh t c a P x y z   x 1 y 1 z 1 L i gi i Hàm s f  x  f '  x  x lõm  0;  x 1 1  x  f ''  x  2  x  1  0; x   0;   Áp d ng b t đ ng th c Jen-xen cho hàm lõm ta có Nguy n Th Luy n 39 K32 CN - Toán  x y z f  x  f  y   f  z   f     x y z x y z 3    3 3  3 x y z x 1 y 1 z 1 1 1 3 P hay 3 ; P   x y z 4 V y giá tr l n nh t c a P 2.3 S d ng hƠm l i đ gi i b t ph Trong ph n đ a ph tốn v b t ph th ng trình có tham s ng pháp s d ng tính l i đ gi i m t s l p ng trình có tham s v i c u trúc đ c bi t Các tốn ng có d u hi u nh n bi t sau đây: Mi n xác đ nh c a tốn th ng có d ng t p l i hàm s hàm l i S d ng đ c tr ng c a hàm l i: “N u hai m thu c m t t p h p l i A tồn đo n th ng n i hai m c ng thu c A” Bài Xét h b t ph ng trình 2 x  y  a   6 x  y  5a  G i  t p nghi m c a h b t ph (1) (2) ng trình (1) (2) Trong m t ph ng t a đ xét hai m A (0;9) B (3;6).Tìm a đ đo n th ng AB AB n m g n  L i gi i Ta có f1  x; y  x  y  a f2  x; y  x  y  5a hàm aphin, nên hàm l i mi n xác đ nh D c a h hai ph ng trình (1) (2) D  ฀  ฀ (do D l i) Theo (ph n t p l i ch Nên ng 1)  t p l i  AB   A B Nguy n Th Luy n (3) 40 K32 CN - Toán A(0;9)  , ta c n có 0   a  27   a   0  27  5a  (4) B(3;6)  , ta c n có 6   a  36   a      a 18 18 5  27  a  T (3), (4), (5) ta suy giá tr c n tìm c a a là: Bài Cho h b t ph ng trình   x   m   x  4m  y   3x  y  (2m  4)  Tìm m đ t p h p nghi m c a h hai ph  2; 1 c (5) (1) (2) ng trình (1) (2) ch a đo n a tr c hoành L i gi i G i D t p nghi m c a h hai b t ph ng trình (1) (2), D  D1  D2 , D1 , D2 t p nghi m c a (1), (2) t f  x  x2   m   x  4m , (1) t th D1   x; y ng đ ng v i f  x  y Vì : f  x  y Nói cách khác D1  epi f Do f hàm l i (v i bi n x) nên D1 t p l i M t khác f  x; y  3x  y   2m  4 hàm l i (vì f  x; y hàm aphin) nên D2 l i Vì th D  D1  D2 t p l i Do đo n A D B D ,  2; 1 c a tr c hoành thu c D ch A(-2;0),B(-1;0) 4  2(m  4)  4m  A D   6  (2m  4)   -5  m  2, 1  (m  4)  4m  7   m  B D       m  T suy giá tr c a m là: Nguy n Th Luy n 7  m  41 K32 CN - Toán K T LU N S d ng k t qu c b n v hàm l i cho phép thành công vi c gi i nhi u l p toán c a đ i s gi i tích s c p, n hình là: Ch ng minh b t đ ng th c, gi i tốn tìm giá tr l n nh t nh nh t c a hàm s c ng nh bi n lu n m t s l p c a h ph ph ng trình b t ng trình ch a tham s Do th i gian nghiên c u n ng l c h n ch nên đ tài m i ch đ t m t s k t qu nh t đ nh Em r t mong th y cơ, b n góp ý nh n xét đ đ tài đ Tr c đ y đ hoàn thi n h n c k t thúc đ tài này, m t l n n a em xin bày t lòng bi t n sâu s c đ i v i th y cô giáo tr Phùng ng, đ c bi t th y giáo: GVC, ThS c Th ng t n tình giúp đ em hồn thành đ tài Hà N i, tháng 05 n m 2010 Sinh viên Nguy n Th Luy n Nguy n Th Luy n 42 K32 CN - Toán TÀI LI U THAM KH O Nguy n Xuân Liêm, Chuyên đ v b t đ ng th c vƠ b t ph Phan Huy Kh i, Chuyên đ b i d ng trình ng h c sinh gi i tốn THPT ậ Gi i tích l i vƠ bƠi toán s c p, NXB Giáo D c Tr n L u C Tr n Ph ng, Toán Olympic cho sinh viên t p 1, NXB Giáo D c ng, Các k thu t ch ng minh b t đ ng th c T p chí toán h c tu i tr Nguy n Th Luy n 43 K32 CN - Toán ... - Toán gi i tích C u trúc đ tƠi Ngồi ph n m đ u, k t lu n, tài li u tham kh o, đ tài g m hai ch Ch ng Các ki n th c có liên quan Ch ng ng: ng d ng c a gi i tích l i gi i tốn đ i s gi i tích Các. .. c ti u đ a ph Nguy n Th Luy n ng đ u c c ti u toàn c c 15 K32 CN - Toán CH NG NG D NG C A GI I TệCH L I VÀO CÁC BÀI TOÁN IS VÀ GI I TệCH 2.1 S d ng hƠm l i đ ch ng minh b t đ ng th c M t nh ng... ng ng trình bày cách s d ng tính l i đ gi i m t s l p tốn đ i s gi i tích L p toán bao g m: Các b t đ ng th c kinh n, b t đ ng th c đ i s l trình b t ph Nguy n Th Luy n ng giác, toán c c tr , tốn