Khóa luận tốt nghiệp đại học chuyên ngành giải tích

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI II KHOA TOÁN ——————————o0o—————————— PHẠM THỊ HUYỀN THƯƠNG C ∗-ĐẠI SỐ KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP Chuyên ngành: Giải Tích Người hướng dẫn khoa học ThS HOÀNG NGỌC TUẤN HÀ NỘI-2014 LỜI CẢM ƠN Với giúp đỡ thầy cô, bạn bè với cố gắng thân, sau thời gian tìm hiểu, nghiên cứu em hồn thành đề tài Lời em xin bày tỏ lòng kính trọng biết ơn sâu sắc tới thầy giáo ThS Hoàng Ngọc Tuấn - Giảng viên trường Đại học Sư phạm Hà Nội - người tận tình hướng dẫn, bảo tạo điều kiện để em hồn thành khóa luận Em xin gửi lời cảm ơn chân thành tới thầy khoa Tốn trường Đại học Sư phạm Hà Nội bảo em suốt thời gian em theo học trường Và em xin gửi lời cảm ơn tới gia đình bạn bè động viên, giúp đỡ em suốt thời gian thực đề tài Mặc dù cố gắng, xong thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, bạn để đề tài em hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Huyền Thương i LỜI CAM ĐOAN Em xin cam đoan khóa luận hồn thành cố gắng nỗ lực tìm hiểu, nghiên cứu thân, đặc biệt với giúp đỡ tận tình thầy giáo ThS Hồng Ngọc Tuấn Trong q trình nghiên cứu hồn thành khóa luận em có tham khảo số tài liệu ghi mục Tài liệu tham khảo Vì vậy, em xin khẳng định kết khóa luận khơng trùng với kết tác giả khác Rất mong đóng góp ý kiến bạn đọc để khóa luận hồn thiện Hà Nội, tháng 05 năm 2014 Sinh viên Phạm Thị Huyền Thương ii Mục lục LỜI MỞ ĐẦU iv KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 1.2 Không gian Metric Không gian định chuẩn 1.3 1.4 Không gian Hilbert Đại số Banach 10 15 C∗ − ĐẠI SỐ 2.1 Định nghĩa tính chất 2.2 C ∗ − đại số giao hoán 2.3 Các phần tử dương C ∗ − đại số 2.4 Phép tính vị từ tốn tử chuẩn tắc 2.5 Hoán tập toán tử chuẩn tắc 2.6 Lí thuyết bội 18 18 23 26 31 39 42 KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 iii LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài C∗ -đại số có nguồn gốc từ mơn giải tích hàm có vị trí quan trọng việc nghiên cứu khái niệm giải tích C∗ -đại số lớp đặt biệt đại số Banach C∗ -đại số có phép đối hợp có tính chất song song với tính chất phép liên hợp tốn tử khơng gian Hilbert Tuy nhiên thời gian học lớp hạn chế nên lĩnh vực chưa nghiên cứu cách cụ thể chi tiết Với mong muốn tìm hiểu sâu nội dung lớp C∗ đại số với hướng dẫn tận tình thầy giáo Th.s Hồng Ngọc Tuấn Vì vậy, em xin mạnh dạn trình bày hiểu biết đề tài "C∗ -đại số" Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với cơng việc Nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu mơn Giải tích hàm mà đặc biệt tìm hiểu C∗ -đại số Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất C∗ -đại số, C∗ -đại số giao hoán, Phần tử dương C∗ -đại số, Phép tính vị từ toán tử chuẩn tắc, Hoán tập tốn tử chuẩn tắc Lí thuyết bội Đối tượng nghiên cứu C∗ -đại số iv Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngồi phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, khóa luận gồm hai chương: Chương 1: Kiến thức chuẩn bị Chương 2: C∗ -đại số Phạm Thị Huyền Thương v K36C SP Tốn Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Khơng gian Metric Định nghĩa 1.1 Không gian metric cặp (X , d); X tập, d : X × X → R hàm xác định X × X thoả mãn điều kiện sau d(x, y) ≥ với x, y ∈ X , d(x, y) = ⇔ x = y , d(x, y) = d(y, x) với x, y ∈ X (tính đối xứng), d(x, z) ≤ d(x, y) + d(y, z) với x, y, z ∈ X (bất đẳng thức tam giác) d gọi metric X Mỗi phần tử X gọi điểm X ; d(x, y) khoảng cách hai điểm x y Định nghĩa 1.2 Nếu x r > cố định định nghĩa B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) < r}, B(x; r) = {y ∈ X : d(x, y) ≤ r} B(x; r) B(x; r) tương ứng gọi hình cầu mở đóng với tâm x, bán kính r Định nghĩa 1.3 Cho không gian metric (X , d), tập G ⊂ X tập mở x ∈ G có ε > cho B(x; ε) ⊂ G Khóa luận tốt nghiệp Mệnh đề 1.1 Cho (X , d) khơng gian metric Ta có (a) Tập X ∅ tập mở, n (b) Nếu G1 , , Gn tập mở X có Gk , k=1 (c) Nếu {Gj : j ∈ J} tập tập mở X , J tập hợp số bất kì, G = ∪{Gj : j ∈ J} mở Định nghĩa 1.4 Tập F ∈ X đóng X \ F mở Mệnh đề 1.2 Cho (X , d) khơng gian metric (a) Tập X ∅ đóng; n (b) Nếu F1 , , Fn tập đóng X Fk tập k=1 đóng; (c) Nếu {Fj : j ∈ J} tập tập đóng X , J tập hợp số bất kì, F = ∩{Fj : j ∈ J} đóng Định nghĩa 1.5 Một dãy {xn } gọi dãy Cauchy với ε > 0, có số nguyên N cho d(xn , xm ) < ε với n, m ≥ N Định nghĩa 1.6 Một không gian metric đầy dãy Cauchy hội tụ Định nghĩa 1.7 Cho không gian metric M = (X , d) Tập K ⊂ X gọi tập compact không gian M , dãy vô hạn phần tử thuộc K chứa dãy hội tụ tới phần tử thuộc tập K Định nghĩa 1.8 Cho không gian metric M = (X , d), không gian M không gian compact, tập X tập compact M Định lý 1.1 Cho K tập đóng khơng gian metric (X , d), điều sau tương đương Phạm Thị Huyền Thương K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp (a) K compact (b) Nếu F tập hợp tập đóng K có tính chất tập hữu hạn có giao khác rỗng, F ∈F F = ∅ (c) Mọi tập vơ hạn K có điểm giới hạn (d) Mọi dãy K có dãy hội tụ (e) (K, d) khơng gian metric đầy, hồn toàn bị chặn; nghĩa là, n r > 0, có điểm x1 , , xn cho X = B(xk ; r) k=1 1.2 Không gian định chuẩn Định nghĩa 1.9 Cho X không gian vectơ F = R C Một chuẩn X hàm · : X → [0, ∞) có tính chất sau với số a ∈ F vectơ x, y ∈ X (a) x = ⇔ x = 0; (b) ax = |a| x ; (c) x + y ≤ x + y (bất đẳng thức tam giác) Một không gian định chuẩn cặp (X , · ) gồm không gian vectơ X chuẩn · Ví dụ 1.1 Cho X = Fd với d số tự nhiên x = (x1 , , xd ) ∈ d |xk |2 ] chuẩn Khi (X , x ) d F xác định x = [ k=1 không gian định chuẩn Nếu X khơng gian định chuẩn, ta định nghĩa ballX = {x ∈ X : Phạm Thị Huyền Thương x ≤ 1} K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Định nghĩa 1.10 Một không gian Banach không gian định chuẩn đầy với metric tương ứng Tức là, dãy Cauchy hội tụ Mệnh đề 1.3 Nếu X không gian định chuẩn x, y ∈ X , | x − y | ≤ x − y Hơn nữa, d : X × X → [0; ∞) xác định d(x, y) = x − y , (X , d) không gian metric Định nghĩa 1.11 Một không gian metric (X , d) compact địa phương với điểm x ∈ X có bán kính r > cho B(x; r) có bao đóng compact Định nghĩa 1.12 Nếu X khơng gian metric compact địa phương, ta nói hàm liên tục f : X → F triệt tiêu vô cực với ε > 0, tập {x ∈ X : |f (x)| ≥ ε} compact Gọi C0 (X ) kí hiệu tập tất hàm liên tục X triệt tiêu vô cực Đối với hàm liên tục f : X → F định nghĩa giá f tập cl{x : f(x) = 0} kí hiệu tập spt(f) Nói f có giá compact spt(f) tập compact X Gọi Cc (X ) kí hiệu tập hợp tất hàm liên tục f : X → F có giá compact Định nghĩa 1.13 C(X ) kí hiệu không gian tất hàm liên tục f : X → F Cb (X ) kí hiệu khơng gian hàm liên tục bị chặn C(X ) Tức là, f ∈ Cb (X ) f ∈ C(X ) có số M cho |f (x)| ≤ M với x ∈ X Khi X compact, C(X ) = Cb (X ) Định nghĩa 1.14 C(X ) có cấu trúc đại số tự nhiên phép tốn đại số định nghĩa theo điểm Nếu f, g ∈ C(X , (f + g) : X → F định nghĩa (f + g)(x) = f (x) + g(x) Và định nghĩa (f g) : X → F (f g)(x) = f (x)g(x) Tương tự, ta định nghĩa af a ∈ F f ∈ C(X ) Ta có f + g, f g, af thuộc C(X ) Khi C(X ) đại số Tức là, có khơng gian vectơ F có cấu trúc nhân phép phân phối Ta có Cb (X ) đại số Kí hiệu 2X tập hợp hàm X : X → {0, 1} Phạm Thị Huyền Thương K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp ψ ∈ L1 (µe ) thoả mãn ν = ψµe Giả sử g ∈ L2 (µe ) cho ψ = |g|2 đặt h = U g Theo lập luận sử dụng ta suy ν = µh Mệnh đề 2.16 (a) Nếu {en } sở trực chuẩn H ∞ h= ∞ n=1 αn en , µh = n=1 |αn | µen (b) Có vectơ e H cho với h ∈ H, µh µe Chứng minh (a) Đầu tiên, từ Mệnh đề 2.14 dẫn tới µen = en = với n ≥ Do ν = µh = ∞ n=1 |αn | µen độ đo hữu hạn tổng biến thiên h Với f ∈ C(σ(N )), ta có ∞ |αn |2 f (N )en , en f dµh = f (N )e, e = n=1 ∞ |αn |2 = f dµen = f dν n=1 Do hàm f tuỳ ý, nên ta có đẳng thức độ đo ν µh (b) Giả sử {en } sở trực chuẩn H đặt e = ∞ n=1 λn en với chuỗi {λn } khả tích liên tục thoả mãn λ = với ∞ n Nếu h = |λn |2 µen với n=1 αn en |αn | µen n ≥ theo (a) ta suy µh µe Định nghĩa 2.7 Nếu N toán tử chuẩn tắc, vectơ e H gọi vectơ cực đại N µh µe với h ∈ H Một độ đo µ σ(N ) gọi độ đo phổ có giá trị vơ hướng N có vectơ cực đại e với [µ] = [µe ]; tương đương, µh µ với h ∈ H Mệnh đề 2.17 Nếu N tốn tử H g, h ∈ H có độ đo có giá trị phức σ(N ) thoả mãn ν µg Phạm Thị Huyền Thương 35 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp f (N )g, h = f dν với f ∈ C(σ(N ) Ngược lại, e ∈ H ν độ đo phức σ(N ) cho ν µe , có vectơ g, h ∈ He thoả mãn f (N )g, h = f dν , cố định f ∈ C(σ(N )) Hg = He Chứng minh Đầu tiên thấy f → f (N )g, h xác định phiếm hàm tuyến tính bị chặn C(σ(N )), theo có độ đo phức ν σ(N ) với f (N )g, h = f dν với f ∈ C(σ(N ) Vì | f dν|2 = | f (N )g, h |2 ≤ f (N )g = h = h 2 h f (N )∗ f (N )g, g |f |2 dµg Với tập compact K σ(N ), lấy {fn } dãy hàm liên tục σ(N ) cho χK ≤ fn ≤ fn (z) → χK (z) với fn dν |fn |2 dµg → µg (K) với tập compact K Bây giả sử tập Borel σ(N ) cho µg ( ) = 0, có nghĩa ν(K) = với tập compact chứa Theo ν( ) = ta có ν µg Ngược lại, lấy ψ đạo hàm Randon-Nikodym ν tương ứng với µe ; ν = ψµe Đặt = {z ∈ σ(Ne ) : ψ(z) = 0} Lấy U : L2 (µe ) → He unita có (Định lí 2.5) cho U Nµe = Ne U Xác định hàm g1 σ(Ne ) g1 (z) = |ψ(z)| với z ∈ g1 (z) = z ∈ / Xác định hàm khác cho z ∈ σ(N ) Vì ν(K) = limn h1 (z) = ψ(z) |ψ(z)| với z ∈ h1 (z) = z ∈ / Chú ý g1 , h1 ∈ L2 (µe ) ψ = g1 h1 Lấy g = U g1 , h = U h1 Nếu f ∈ C(σ(N )), f dν = f g1 h1 dµe = f (N )g, h Vậy có Hg = He Phạm Thị Huyền Thương 36 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mệnh đề 2.18 Nếu X không gian metric compact µ độ đo dương X , với φ L∞ (µ) có dãy liên tục {fn } C(X) cho fn ≤ φ ∞ fn (x) → φ(x) a.e[µ] Do đó, ∗ ball C(X) trù mật -yếu ball L∞ (µ) Chứng minh Giả sử M tập hợp tất hàm số φ L∞ (µ) thoả mãn kết luận định lí Dễ thấy M đa tạp tuyến tính Ta cần cơng thức tương đương phần tử M có chứa metric, điều dễ dàng thực điểm hội tụ a.e[µ] Khẳng định 1: φ ∈ M có dãy liên tục {fn } C(X) với fn ≤ φ ∞ |fn − φ|dµ → Thật φ ∈ M, giả sử {fn } dãy liên tục C(X) cho fn ≤ φ ∞ fn (x) → φ(x) a.e.[µ] Do |fn (x) − φ(x)| ≤ φ ∞ theo DCT ta có |fn −φ|dµ → Trái lại |fn −φ|dµ → với {fn } dãy liên tục C(X) với fn ≤ φ ∞ có dãy liên tục {fnk } thoả mãn: fnk (x) → φ(x) a.e[µ] Khẳng định 2: M đóng theo chuẩn L∞ (µ) Lấy φ bao đóng M với φ ∞ = giả sử {φn } dãy ballM cho φ − φn ∞ < n−1 Theo Khẳng định với n ≥ có fn C(X) với fn ≤ φn ∞ ≤ cho |fn − φn |dµ < n−1 Do |fn − φn |dµ < 2n−1 φ ∈ M theo Khẳng định Ta biết hàm đơn giản trù mật L∞ (µ) Kết hợp Khẳng định thực tế M khơng gian tuyến tính, ta cần chứng tỏ hàm đặc trưng thuộc vào M Đầu tiên ta giả sử rằng, K tập compact Có dãy {fn } C(X) với χK ≤ fn ≤ thoả mãn fn (x) → χK (x), có nghĩa χK ∈ M Nếu E tập Borel ta tìm dãy {Kn } tập compact cho µ(E \ Kn ) → Do χKn ∈ M, nên có hàm liên Phạm Thị Huyền Thương 37 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp tục fn với fn ≤ |fn − χKn |dµ < n−1 Vì |χE − χkn |dµ = µ(E \ Kn ), ta nhận χE ∈ M ∗ Sự kiện ballC(X) trù mật -yếu ballL∞ (µ) hệ dễ nhận thấy DCT Mệnh đề 2.19 Nếu H không gian Hilbert {Tn } dãy bị chặn B(H) cho tồn limn Tn e, h với e, h ∈ H, có tốn tử bị chặn T H cho T Tn e, h = limn Tn e, h với e, h ∈ H ≤ supn Tn Định lý 2.7 Nếu N tốn tử chuẩn tắc µ độ đo phổ có giá trị vơ hướng, có ánh xạ ρ : L∞ (µ) → B(H) có tính chất sau (a) ρ đẳng cự ∗ − đẳng cấu ảnh (b) ρ(f ) = f (N ) với hàm liên tục f σ(N ) ∗ (c) Nếu {φi } lưới L∞ (µ), {φi } → (yếu ) L∞ (µ) với vectơ g, h ∈ H ta có ρ(φi )g, h → (d) Với φ L∞ (µ), σ(ρ(φ)) hạng thiết yếu φ Ánh xạ ρ theo nghĩa γ : L∞ (µ) → B(H) đẳng cự ∗ − đẳng cấu ảnh cho γ(f ) = f (N ), f ∈ C(σ(N )) γ thoả mãn điều kiện hàm liên tục nói (c) γ = ρ Ví dụ 2.2 Nếu µ độ đo dương tập compact C N = Nµ L2 (µ) µ độ đo phổ có giá trị vô hướng N với φ L∞ (µ), φ(N ) = Mφ Phạm Thị Huyền Thương 38 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Mệnh đề 2.20 Nếu N toán tử chuẩn tắc H với µ độ đo phổ có giá trị vơ hướng e ∈ H, e vectơ cực đại φ ∈ L∞ (µ) φ(N )e = suy φ = Chứng minh Giả sử e vectơ cực đại; nên ta lấy µ = µe Nếu φ(N )e = 0, = φ(N )e = φ(N )∗ φ(N )e, e = |φ|2 dµe Do φ = L∞ (µ) Trái lại, giả sử e khơng vectơ cực đại; có tập Borel với µ( ) > µe ( ) = Lấy φ = χ , ta có φ = L∞ (µ), φ(N )e 2.5 = |φ|2 dµe = µe ( ) = Hốn tập toán tử chuẩn tắc Ở ta nghiên cứu đặc điểm toán tử giao hoán với toán tử chuẩn tắc Khi A tập hợp tốn tử không gian Hilbert H, A = {T ∈ B(H) : T A = AT với A ∈ A} gọi hốn tập A Khơng khó khăn để nhận hoán tập tập tốn tử đại số có phần tử đơn vị Chúng ta bắt đầu với đại số toán tử chuẩn tắc Định lý 2.8 Nếu (X, A, µ) khơng gian độ đo σ -hữu hạn Aµ = {Mφ : φ ∈ L∞ (µ)} Aµ = Aµ Chứng minh Rõ ràng có Aµ ⊆ Aµ Cố định T Aµ TH1 µ(X) < ∞ Trong trường hợp này, ∈ L2 (µ) có T (1) = φ ∈ L2 (µ) Nếu ψ ∈ L∞ (µ), ψ ∈ L2 (µ) T (ψ) = T Mψ (1) = Mψ T (1) = φψ Phạm Thị Huyền Thương 39 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Nếu tập n = {x ∈ X : |φ(x)| ≥ n} lấy ψ = χ trình trước ta T µ( n) = T = φχ χ n n ≥ T (χ n n ) phương |φ|2 dµ ≥ n2 µ( = n ) n Vì T bị chặn, nên µ( n ) = với n đủ lớn Vì φ ∈ L∞ (µ), T = Mφ T = φ ∞ TH2 µ(X) = ∞ Giả sử ∈ A có µ( ) < ∞ xét L2 (µ| ) = {f ∈ L2 (µ) : f (x) = ∈ / } Đối với f L2 (µ| ) ta có T f = T MX f = MX T (f ) ∈ L2 (µ| ) Vì ta cần xác định tốn tử T = T |L2 (µ| ) ta thấy theo TH1 có hàm φ L∞ (µ| ) thoả mãn T f = φ f với f ∈ L2 (µ| ) Giả sử ta có hai tập độ đo hữu hạn thấy φ | ∩ = φ | ∩ Cũng có T ≥ T Dễ ≥ φ ∞ tập đo độ đo hữu hạn Bây sử dụng kiện không gian σ -hữu hạn ∞ n=1 < ∞ với n ≥ Theo điều chứng minh ta xác định φ X việc đặt φ(x) = φ n (x) x ∈ n , φ xác định hàm đo X Vì φ n ∞ ≤ T n ≥ ta có φ ∈ L∞ (µ) Dễ kiểm tra T = Mφ viết X = n với µ( n) Định lý 2.9 (Định lí Fuglede-Putnam) Nếu N M toán tử chuẩn tắc H K B : K → H toán tử bị chặn thoả mãn N B = BM N ∗ B = BM ∗ Chứng minh Từ giả thiết suy p(N )B = Bp (M ) với p(z) đa thức Với z cố định C, exp(izN ) exp(izN ) giới hạn dãy đa thức N M , tương ứng Do exp(izN )B = B exp(izM ) Phạm Thị Huyền Thương 40 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp với z ∈ C Laị có ∗ f (z) = e−izN BeizM ∗ ∗ = e−izN e−izN BeizM eizM = e−i(zN ∗ +zN ) Bei(zM +zM ∗ ∗ ) Như thấy f hàm giải tích tồn mặt phẳng Sự kiện ∗ ∗ zN ∗ +zN zM ∗ +zM hermitian suy e−i(zN +zN ) ei(zM +zM ) unita Do f (z) ≤ B với z Theo Định lí Liouville, f hàm Theo ∗ ∗ ∗ ∗ = f (z) = −iN ∗ e−izN BeizM + ie−izN BM ∗ eizM Khi cho z = ta có = −iN ∗ B + iBM ∗ Định lí chứng minh Hệ 2.4 Nếu µ độ đo có giá compact C {Nµ } = {Mφ : φ ∈ L∞ (µ)} Chứng minh Nếu T ∈ {Nµ } theo định lí Fuglede-Putnam suy ta có T Nµ∗ = Nµ∗ T Sử dụng đại số cho ta T Mφ = Mφ T φ đa thức theo biến z z Lấy giới hạn sau lấy giới hạn ∗ -yếu ta kết cần chứng minh Mệnh đề 2.21 Lấy N M toán tử chuẩn tắc H K Nếu T : H → K toán tử bị chặn thoả mãn T N = M T , ta có điều sau (a) cl(ranT ) khơng gian suy biến M (b) kerT không gian suy biến N (c) Nếu N1 = N |(kerT )⊥ M1 = M |cl(ranT ), N1 ∼ = M1 Chứng minh (a) Nếu h ∈ H M T h = T N h ∈ ranT , cl(ranT ) bất biến M Theo định lí Fuglede-Putnam, T N ∗ = M ∗ T tương tự ta có cl(ranT ) bất biến M ∗ Phạm Thị Huyền Thương 41 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp (b) Chứng minh tương tự (a) (c) Sử dụng ý (a) (b) Để chứng minh (c), ta cần giả sử (kerT )⊥ = H cl(ranT ) = K chứng tỏ N ∼ = M Xét phân tích cực T = U A với A ≥ (Định lí 2.4) Bởi theo giả thiết T đơn ánh với hạng trù mật, U : H → K unita Do vậy: T N = M T T N ∗ = M ∗ T có T ∗ M = N T ∗ T ∗ M ∗ = N ∗ T ∗ Do (T ∗ T )N = T ∗ M T = N (T ∗ T ), A = (T ∗ T ) ∈ {N } Theo M U A = M T = T N = U AN = U N A, nghĩa M U = U N ranA Ngoài kerA = kerT = 0, cl(ranA) = (kerT )⊥ = H M U = U N ; nghĩa là, M ∼ = N Hệ 2.5 Hai toán tử chuẩn tắc đồng dạng chúng tương đương unita 2.6 Lí thuyết bội Định lý 2.10 Cho N tốn tử chuẩn tắc Có dãy vectơ đơn vị {en } thoả mãn điều sau (a) Hen ⊥ Hem với n = m ∞ (b) H = H en n=1 (c) Nếu µen+1 µen với n ≥ Để chứng minh định lí có bổ đề liên quan Bổ đề 2.1 Nếu N, A B toán tử chuẩn tắc với N ∗−cyclic N ⊕ A ∼ = B , A ∼ = B Chứng minh Giả sử N, A, B toán tử K, HA , HB , tương ứng Lấy U : K ⊕ HA → K ⊕ HB unita cho U (N ⊕ A)U −1 = N ⊕ B Phạm Thị Huyền Thương 42 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp Ta viết U ma trận với bảng ghi toán tử U= U11 U12 U21 U22 Ở U11 : K → K; U12 : HA → K; U21 : K → HB ; U22 : HB → HB Biểu diễn N ⊕ A N ⊕ B ma trận N 0 A N 0 B Khi phương trình U (N ⊕ A) = (N ⊕ B)U trở thành U11 N U12 A N U11 N U12 = U21 N U22 A BU21 BU22 (2.1) Tương tự U (N ⊕ A)∗ = (N ⊕ B)∗ U trở thành U11 N ∗ U12 A∗ N ∗ U11 N ∗ U12 = U21 N ∗ U22 A∗ B ∗ U21 B ∗ U22 (2.2) Nhìn vào phương trình U U ∗ = U ∗ U = thực nhân ma trận ta  ∗ ∗   a) U11 U12 + U21 U22 = HA   ∗ ∗ b) U11 U11 + U12 U12 = K    c) U U ∗ + U U ∗ = K 21 11 22 12 Chúng ta sử dụng Mệnh đề 2.21 vào (2.1) để đưa tới kết luận (kerU22 )⊥ suy biến A; cl(ranU22 ) = ker(U22 )⊥ suy biến B A|(ker U22 )⊥ ∼ = B|(ker U22 )⊥ (2.3) Lấy h ∈ ker U22 ⊂ HA , ta thấy U (0 ⊕ h) = U12 h ⊕ Vì U đẳng cự nên U12 ánh xạ ker U12 đẳng cấu không gian đóng K, đặt M1 = U12 (ker U22 ) ≤ K Theo (2.1) (2.2) Phạm Thị Huyền Thương 43 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp kiện ker U22 suy biến A dẫn tới M1 suy biến N Do unita U12 | ker U22 kéo theo tương đương A| ker U22 ∼ = N |M1 (2.4) ∗ Tương tự, U21 ánh xạ ker U22 = (ranU22 )⊥ đẳng cự M2 = ∗ ∗ ), M2 suy biến N (ker U22 U21 B|(ker U22 )∗ ∼ = N |M2 (2.5) Nếu M1 = M2 (2.3), (2.4) (2.5) suy A ∼ = B Bổ đề 2.2 Giả sử µ độ đo có giá compact K C, lấy tập Borel K với µ( ) > đặt ν = µ| Nếu N = Nµ ⊕ Nν g ⊕ h ∈ L2 (µ) ⊕ L2 (ν) cho |h(z)| > a.e.[ν] có f L2 (µ) thoả mãn f ⊕ h vectơ cực đại N g ⊕ h ∈ cl[C ∗ (N )(f ⊕ h)] Bổ đề 2.3 Nếu N toán tử tắc H k ∈ H có vectơ cực đại e thoả mãn k ∈ He Ta chứng minh Định lí 2.10 Chứng minh Cố định sở trực chuẩn {fn } H, với f1 vectơ cực đại N Chọn dãy {en } thoả mãn (b) Lấy e1 = f1 lấy f2 phép chiếu vng góc f2 lên He⊥1 Theo Bổ đề 2.3 có vectơ cực đại e2 với N2 = N |He⊥1 cho e2 = f2 ∈ cl{φ(N2 ) : φ ∈ L∞ (µe2 )} Chú ý cl{φ(N2 )e2 : φ ∈ L∞ (µe2 )} = He2 , He2 ⊥ He1 , {f1 , f2 } ⊆ He1 ⊕ He2 µe2 µe1 Tiếp tục chứng minh phương pháp qui nạp ta n bước ta có {f1 , , fn } ⊆ j=1 Hej , đảm bảo (b) thoả mãn Chứng minh cho (a) (c) nhận từ trình qui nạp Mệnh đề 2.22 Nếu N = Nµ1 ⊕ Nµ2 ⊕ với µn+1 µn với n ≥ (a) µ1 độ đo phổ có giá trị vơ hướng N Phạm Thị Huyền Thương 44 K36C SP Toán Khóa luận tốt nghiệp (b) Nếu φ ∈ L(µ1 )∞ , φ(N ) = φ(Nµ1 ) ⊕ φ(Nµ2 ) ⊕ = Mφ ⊕ Mφ ⊕ Chứng minh Nếu h = h1 ⊕ h2 ⊕ ∈ L(µ1 )2 ⊕ L(µ2 )2 ⊕ , µh = ∞ µn µ1 , n=1 µhn Theo (Mệnh đề 2.15) µhn µh µ1 Theo định nghĩa µ1 độ đo phổ có giá trị vơ hướng Định lý 2.11 (a) Nếu N toán tử chuẩn tắc không gian Hilbert tách có dãy hữu hạn độ đo {µn } σ(N ) cho µn+1 µn với n ≥ N∼ = Nµ1 ⊕ Nµ2 ⊕ ∞ (b) Nếu N {µn } (a) M ∼ = n=1 Nνn , νn+1 νn với n ≥ N ∼ = M [µn ] = [νn ] với n Chứng minh Từ Định lí 2.10 Định lí 2.5 ta chứng minh (a) Bây ta chứng minh (b) Nếu [µn ] = νn với n ≥ 1, từ Định lí 2.6 ta có N ∼ = M Bây giả sử N ∼ = M Trước tiên ta [µ1 ] = [ν1 ] Lấy N M tốn tử khơng gian H K, lấy µ ν độ đo phổ có giá trị vơ hướng N M , tương ứng gọi U : H → K unita cho M U = U N Để [µ] = [ν], ta gọi e vectơ cực đại N giả sử µ = µe Ta có σ(N ) = σ(M ) p(M, M ∗ )U = Up (N, N ∗ ) với đa thức p(z, z) Bằng cách lấy giới hạn ta có f (M )U = U f (N ) với f ∈ C(σ(N )) Lấy k = U e, ta có với f ∈ C(σ(N )), f dµ = f (N )e, e = U f (N )e, U e = f (M )k, k = f dνk , νk độ đo M xác định k Do đó, tính Định lí biểu diễn Riesz, ta có µ = νk ν Phạm Thị Huyền Thương 45 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp [µ] ⊆ [ν] Nếu ta đảo ngược vai trò N M ta nhận bao hàm khác Do đó, ta có [µ] = [ν] Vì µ1 ν1 độ đo phổ có giá trị vô hướng N M , ta có [µ1 ] = [ν1 ] phần Do Nµ1 = Nν1 theo Định lí 2.6 Bởi có Bổ đề 2.3 Nµ2 ⊕ Nµ3 ⊕ ∼ = Nν2 ⊕ Nν3 ⊕ Định lý 2.12 Nếu N toán tử chuẩn tắc không gian Hilbert tách H với độ đo phổ có giá trị vơ hướng µ, có hàm Borel mN : C → {0, ∞} ∪ N thoả mãn điều sau (a) µ({z : mN (z) = 0}) = (b) Nếu ≤ n ≤ ∞ ∆n = {z : mN (z) = n}, N |[χ∆n (N )H] ∼ = Nµ|∆n ⊕ ⊕ Nµ|∆n (n lần) Nếu M tốn tử chuẩn tắc khác với độ đo phổ có giá trị vơ hướng ν hàm mM thoả mãn điều kiện tương ứng (a) (b), N ∼ =M [µ] = [ν] mN = mM a.e.[µ] Định lý 2.13 Nếu N toán tử chuẩn tắc khơng gian Hilbert tách H, có khơng gian độ đo σ -hữu hạn (X, A, µ) cho L2 (µ) tách có hàm φ L∞ (µ) cho N∼ = Mφ Chứng minh Từ định lí trước, ta nhận biểu diễn N Lấy ν độ đo phổ có giá trị vơ hướng N giả sử mN hàm bội Cho n ∞, đặt ∆n = {z : mN (z) = n} lấy Xn phép hợp rời n ∆n , kí hiệu ∆1n , , ∆nn Đối với tập, ta lấy ∆jn = ∆n × {j} ⊆ C Ta ý tập hợp {Xn : ≤ n ≤ ∞} đôi rời Đặt X = X∞ ∪ ∞ n=1 Xn xác định A tập hợp tất tập E X cho Phạm Thị Huyền Thương 46 K36C SP Tốn Khóa luận tốt nghiệp n ∞, E ∩ Xn = nj=1 Enj với Enj tập Borel ∆jn Độ đo µ xác định (X, A) ∞ µ(E) = µ∞ (E ∩ X∞ ) + µn (E ∩ Xn ) n=1 Dễ dàng xác định (X, A, µ) khơng gian độ đo σ -hữu hạn Định nghĩa φ : X → C sau: đề xuất tập ∆jn = ∆n × {j} φ(z, j) = z (z, j) ∈ ∆n × {j} Điều hiển nhiên thấy φ ∈ L∞ (µ) Bây ta biểu diễn N ∼ = Mφ L∞ (µ) Thực ta biết ∞ N∼ = N |[χ∆∞ (N )H] ⊕ N |[χ∆n (N )H] n=1 với {1 ≤ n ≤ ∞} ta có N |[χ∆n (N )H] ∼ = Nµ|∆n ⊕ ⊕ Nµ|∆n (n lần) Lại có: ∞ Mφ ∼ = Mφ |L (µ∞ ) ⊕ Mφ |L2 (µn ) n=1 Chúng ta hồn thành ta ≤ n ≤ ∞ Mφ |L2 (µn ) ∼ = Nµ|∆n ⊕ ⊕ Nµ|∆n (n lần) Nhưng n Mφ |L (µn ) ∼ = Mφ |[L2 (µn |∆jn )] j=1 Và từ định nghĩa φ ta thấy Nµ|∆n ∼ = Mφ |[L2 (µn |∆jn )] Do N ∼ = Mφ Phạm Thị Huyền Thương 47 K36C SP Tốn KẾT LUẬN Luận văn trình bày kiến thức đề tài C ∗ - đại số Đề tài C ∗ - đại số có nguồn gốc từ mơn giải tích hàm có vị trí quan trọng việc nghiên khái niêm giải tích Kiến thức cần chuẩn bị để thực đề tài kiến thức liên quan đến Không gian metric, Không gian định chuẩn, Không gian Hilber Đại số Banach Đó cở sở để hình thành nên kiến thức C ∗ đại số, nội dung bao gồm: Định nghĩa tính chất bản, C ∗ - đại số giao hoán, Các phần tử dương C ∗ - đại số, Hàm vị từ toán tử chuẩn tắc Lí thuyết bội Bước đầu làm quen với cơng việc Nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu mơn Giải tích hàm mà đặc biệt tìm hiểu C ∗ đại số, cố gắng thời gian kinh nghiệm thân nhiều hạn chế nên khơng tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận ý kiến đóng góp thầy giáo, bạn để đề tài em hoàn thiện 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO A Tài liệu tiếng Việt Nguyễn Phụ Hy (2006), Giải tích hàm, Nxb Khoa học xã hội Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, Nxb ĐHQG Hà Nội B Tài liệu tiếng Anh John B Conway (1999), A Course in Operator Theory, American Mathematical Society John B Conway (2012), A Course in Abstract Analysis, American Mathematical Society 49 ... nghiên cứu C∗ -đại số iv Khóa luận tốt nghiệp Phương pháp nghiên cứu Sử dụng phương pháp: nghiên cứu lí luận, phân tích, tổng hợp, đánh giá Cấu trúc khóa luận Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu... KẾT LUẬN 48 TÀI LIỆU THAM KHẢO 49 iii LỜI MỞ ĐẦU Lí chọn đề tài C∗ -đại số có nguồn gốc từ mơn giải tích hàm có vị trí quan trọng việc nghiên cứu khái niệm giải tích C∗ -đại số lớp đặt biệt đại. .. Nghiên cứu khoa học tìm hiểu sâu mơn Giải tích hàm mà đặc biệt tìm hiểu C∗ -đại số Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu tính chất C∗ -đại số, C∗ -đại số giao hoán, Phần tử dương C∗ -đại số, Phép tính