Luận văn sư phạm Ứng dụng của giải tích lôig để giải toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - BÙI THỊ HỒNG HOA ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI ĐỂ GIẢI TỐN SƠ CẤP KHĨA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học này, em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy giáo khoa Tốn – Trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tận tình giúp đỡ em năm học vừa qua tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu Do cịn hạn chế trình độ thời gian nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ góp ý thầy bạn để tài nghiên cứu hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Hồng Hoa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, với cơc gắng thân Trong q trình nghiên cứu em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, khơng có trùng lặp với kết tác giả khác Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Hồng Hoa MỤC LỤC Mở đầu Chương Các kiến thức giải tích lồi 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi 1.1.2 Tính chất 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 1.2.2 Một số tính chất hàm lồi 1.3 Định lí Kelli khơng gian hai chiều 19 1.4 Định lí Kelli không gian chiều 21 Chương Ứng dụng giải tích lồi vào tốn hình học 24 2.1 Các tốn sử dụng định lí Kelli 24 2.2 Các toán sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi 28 Chương Ứng dụng giải tích lồi vào tốn đại số giải tích 31 3.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 31 3.1.1 Chứng minh bất đẳng thức kinh điển 37 3.1.2 Chứng minh bất đẳng thức đại số 42 3.1.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 46 3.1.4 Chứng minh bất đẳng thức hình học 49 3.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 52 3.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình bất phương trình có tham số 58 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Gỉải tích lồi mơn nghiên cứu tính chất tập hợp lồi hàm lồi Các kết Giải tích lồi áp dụng nhiều lĩnh vực tốn học lí thuyết tối ưu hóa Trong chương trình Tốn nhà trường phổ thông, em học sinh làm quen với khái niệm “ lồi” từ cấp học mơn Hình học Hầu hết chương trình hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thơng giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình trịn; đến khối đa diện lồi hình chop, hình lâng trụ, hình cầu khối trịn hình nón hình trụ hình cầu Trong đại số tính lồi, lõm hàm số dạy chương trình học hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm số Sử dụng kết hàm lồi cho phép chúng thành công việc giải nhiều lớp tốn hình học, đại số giải tích sơ cấp như: giải tốn cách sử dụng định lí Kelli, sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi, chứng minh bất đẳng thức, giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Với lí em chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi để giải tốn sơ cấp”, hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng giải tích lồi để giải toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào tốn sơ cấp Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm ba chương: Chương Các kiến thức giải tích lồi Các khái niệm tính chất tập hợp lồi hàm lồi trình bày chương luận văn Đó kiến thức cần thiết sử dụng đến hai chương luận văn Chương Ứng dụng Giải tích lồi vào tốn Hình học Trong chương giới thiệu cách vận dụng định lí Kelli giao khác rỗng họ tập hợp lồi phép lấy bao lồi hình phẳng để giải nhiều tốn đặc sắc Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng Giải tích lồi vào tốn Đại số Giải tích Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp toán Đại số Lượng giác sơ cấp Lớp toán bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số lượng giác, toán cực trị, tốn phương trình bất phương trình chứa tham số Sử dụng kết lí thuyết hàm lồi bất đẳng thức Jen-xen, tính chất “Cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục”,… hay đặc trưng tập hợp lồi cho phép chuáng ta giải nhiều lớp toán khác Đại số Lượng giác sơ cấp CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa gọi lồi Định nghĩa 1: Tập Định nghĩa 2: Giả sử Đoạn nối định nghĩa sau: Nhận xét: Tập tập lồi Định nghĩa 3: Nếu ta định nghĩa 1.2.2 Tính chất Tính chất 1: Cho tập hợp lồi Khi tập hợp lồi Chứng minh Lấy tùy ý thuộc Do , hai tập hợp lồi, mà , số thực tùy ý cho ; , nên: Từ Vậy tập hợp lồi Đó đ.p.c.m tập hợp lồi Khi Tính chất 2: Cho tập hợp lồi Chứng minh Đặt Lấy , , tùy ý thuộc , Vì số thực tùy ý với , với , Từ ( Do , lồi mà , , (1) , nên : ; Vì lẽ từ (1) suy Điều có nghĩa Tính chất 3: Cho chứa lồi, tứa + lồi tập hợp cho trước Ta kí hiệu (và thường gọi bao lồi tập hợp) Khi Gọi tập hợp lồi nhỏ Chứng minh Không giảm tổng quát cho tập hợp mặt phẳng lí luận khơng có thay đổi) Trước hết ta thấy rằng: Thật vậy, tồn mặt phẳng Vì tập hợp lồi chứa tập hợp lồi, nên ta biết giao tập hợp lồi tập hợp lồi Mặt khác tập hợp lồi chứa Từ (1) (2) suy , nên dĩ nhiên (nếu Đặt Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có: Áp dụng định lí hàm số coin tam giác 50 , Vì (2) với , nên từ (2) ta có : Từ (1) (3) ta có: diện tích đa giác Bài Cho đường trịn bán kính Gọi tiếp đường trịn Chứng minh rằng: 1) 2) Lời giải 1 51 cạnh nội Gọi tâm đa giác cạnh cạnh Ta chứng minh 52 Do (2) suy (1) Vậy 1) chứng minh (3) 2) Từ phần 1) suy Vậy Ta chọn hàm lõm Khi đó, ta có với : 53 hay Thực liên tiếp bất đẳng thức (*) ta có: Trong (*) lấy , ta có : Từ đến : Từ (3) (5) suy ra: (6) hay Từ (1) (6) ta có 3.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Như rõ cực tiểu hàm số khơng phải cực tiểu tồn cục, tức phương ta có: 54 miền đó, nói chung điểm đạt cực tiểu địa miền Do đó, để tìm giá trị nhỏ cho trước, nói chung ta tiến hành sau: - T ìm cực tiểu địa phương miền - S o sánh cực tiểu địa phương tìm với số giá trị đặc biệt khác hàm số Từ sau kết hợp bước vẽ suy giá trị nhỏ miền hàm lồi miền cho Trong thực tế, hàm số tập hợp lồi Khi đó, việc giải tốn trở nên đơn giản nhiều, ta tận dụng tính chất đặc trưng sau hàm lồi : Cực tiểu địa phương hàm lồi lồi cực tiểu toàn cục hàm miền miền Như vậy, với lớp hàm số lồi, việc tìm giá trị nhỏ miền lồi đơn giản quy việc tìm cực tiểu địa phương chúng Trong chương trình đại số chương trình phổ thơng, ta thường gặp tốn sau: Tìm giá trị lớn hàm lồi hai biến định miền hàm lồi liên tục xác đa giác lồi Khi ta thường sử dụng đến kết sau Giả sử Gỉa sử hàm lồi liên tục xác định đa giác lồi đỉnh , mặt phẳng Khi ta có : 55 Từ kết suy để tìm giá trị lớn hàm lồi đa giác lồi , ta cần xét giá trị hàm số đỉnh Đó phương pháp giải toan hữu hiệu lớp tốn Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: miền cho hệ bất phương trình sau : Lời giải Dễ thấy miền cịn đỉnh tồn tứ giác lồi có tọa độ 56 với gốc tọa độ Do hàm lồi, nên: Cũng hàm lồi toàn mặt phẳng Xét đoạn tập hợp Theo lập luận ta có , tức : Thật vậy, lân cân lấy đủ bé cho: 57 Khi tồn ta có: dạng sau: Viết lại hàm số tọa độ điểm Nếu gọi Nếu gọi hình chiếu miền phương hàm lồi hàm số Ta có miền với Do cực tiểu tồn cục Vì khoảng cách từ cực tiểu địa tới đường thẳng theo hình học giải tích, ta có: Bài Cho hàm số Xét miền Tìm miền giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Lời giải Ta có hàm số : 58 miền Vì Là hàm lồi tồn khơng gian hàm lồi tồn khơng gian tứ giác lồi Dễ thấy (chính hình chữ nhật với tọa độ đỉnh sau : Do ta có: Để tìm , ta viết lại hàm số Từ suy ra: Xét hệ phương trình: 59 dạng sau : Dễ thấy Nghiệm thỏa mãn phương trình (1) (2) Vì suy thỏa mãn hệ (1), (2) (3) Ta có Vậy theo định nghĩa cực tiểu toàn cục, suy Bài Cho Tìm giá trị lớn Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Jen-xen cho hàm lõm ta có 60 3.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Trong phần ta đưa phương pháp sử dụng tính lồi để giải số lớp tốn bất phương trình có tham số với cấu trúc đặc biệt Các tốn thường có dấu hiệu nhận biết sau : Miền xác định toán thường có dạng tập lồi hàm số hàm lồi Sử dụng đặc trưng hàm lồi “ Nếu hai điểm thuộc tập hợp lồi điểm thuộc tập hợp tồn đoạn thẳng nối hai “ Bài Cho hệ bất phương trình Tìm để tập hợp nghiệm hệ hai phương trình (1) (2) chứa đoạn trục hoành Lời giải Gọi tập hợp nghiệm hệ phương trình (1) (2), , tương ứng tập nghiệm (1) (2) , (1) tương đương với Đặt Vì Nói cách khác (với biến ) nên Do hàm lồi tập hợp lồi hàm lồi (vì Mặt khác nên lồi 61 hàm aphin ) Vì tập hợp lồi Vì vậy, đoạn , và , trục hoành thuộc tương ứng điểm (-2 ; 0), (-1 ; 0) Trong chương em trình bày số ứng dụng giải tích lồi để giẩi tốn đại số giải tích KẾT LUẬN Sử dụng kết hàm lồi cho phép thành công việc giải nhiều lớp tốn sơ cấp, điển hình : Giải tốn cách sử dụng định lí Kelli, sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi, chứng minh bất đẳng thức , giải tốn tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số 62 Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cơ, bạn góp ý nhận xét đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo Nguyễn Năng Tâm tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi tốn THPT – Giải tích lồi toán sơ cấp, NXB Giáo dụ, năm 2007 Trần Lưu Cường, Toán Olimpic cho sinh viên tập 1, NXB Giáo dục, năm 2000 bất đẳng thức, NXB Hồ Chí Minh, năm 2012 Trần Phương, Các kĩ thuật chứng minh 64 ... cứu ứng dụng giải tích lồi để giải toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào tốn sơ. .. phẳng để giải nhiều tốn đặc sắc Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng Giải tích lồi vào tốn Đại số Giải tích Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp toán Đại số Lượng giác sơ cấp Lớp toán. .. Ứng dụng giải tích lồi vào tốn hình học 24 2.1 Các tốn sử dụng định lí Kelli 24 2.2 Các tốn sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi 28 Chương Ứng dụng giải tích lồi vào tốn đại số giải