Phương pháp giải tích đồng luân và ứng dụng

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC HÀ NỘI–2017 BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI TRẦN THỊ THU HÀ PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN VÀ ỨNG DỤNG Chun ngành: Tốn giải tích Mã số: 60 46 01 02 LUẬN VĂN THẠC SĨ TOÁN HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS TS KHUẤT VĂN NINH HÀ NỘI–2017 i LỜI CẢM ƠN Bằng lòng kính trọng biết ơn sâu sắc, tác giả xin gửi lời cảm ơn đến thầy giáo PGS TS Khuất Văn Ninh người tận tình hướng dẫn tác giả hồn thành luận văn Đồng thời, xin gửi lời cảm ơn đến tập thể thầy, giáo Khoa Tốn, trường Đại học sư phạm Hà Nội 2, người thầy trang bị cho tác giả kiến thức sở vững vàng suốt khóa học Thân cảm ơn bạn học viên cao học khóa K19, chun ngành Tốn Giải tích ln sát cánh, giúp đỡ tác giả suốt trình học tập trau dồi kiếu thức cho thân Cuối cùng, tác giả dành lời cảm ơn đến gia đình, bạn bè người cho nguồn động viên tinh thần lớn để tác giả hồn thành tốt khóa học Xin chân thành cảm ơn! Tác giả Trần Thị Thu Hà ii LỜI CAM ĐOAN Tác giả xin cam đoan luận văn Thạc sĩ chuyên ngành Tốn Giải tích với đề tài “ Phương pháp giải tích đồng ln ứng dụng ” cơng trình nghiên cứu riêng tác giả hướng dẫn PGS.TS Khuất Văn Ninh Trong suốt trình nghiên cứu hoàn thành luận văn, tác giả kế thừa thành khoa học nhà khoa học với trân trọng biết ơn sâu sắc Hà nội, tháng năm 2017 Tác giả Trần Thị Thu Hà iii Mục lục MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Mục đích nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Đối tượng phạm vi nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Dự kiến đóng góp v v v v v vi vi Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ 1.1 Kiến thức giải tích phương trình vi phân thường 1.1.1 Một số khái niệm định lý phương trình vi phân thường 1.1.2 Chuỗi lũy thừa 1.1.3 Chuỗi Taylor 1.1.4 Không gian Tôpô 1.2 Cơ sở lý lý thuyết phương pháp giải tích đồng luân 1.2.1 Khái niệm đồng luân ví dụ 1.2.2 Phương trình biến dạng cấp không 1.2.3 Phương trình biến dạng cấp cao 1 6 10 12 Chương ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN 2.1 Ứng dụng phương pháp HAM giải phương trình vi phân 2.2 Cải tiến phương pháp HAM 2.2.1 Ý tưởng phương pháp giải tích đồng luân 2.2.2 Cải tiến phương trình biến dạng cấp khơng 2.2.3 Tổng qt hóa phương pháp giải tích đồng ln 2.2.4 Tiêu chí lựa chọn c f (t) 2.3 Sự lựa chọn tham số điều khiển - hội tụ 14 14 19 19 21 21 22 25 iv 2.4 So sánh phương pháp giải tích đồng luân 2.4.1 Phương pháp giải 2.4.2 Ví dụ đồng luân phương pháp nhiễu 39 40 40 KẾT LUẬN 45 TÀI LIỆU THAM KHẢO 46 v MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Một phương pháp để giải xấp xỉ phương trình vi phân, phương trình tích phân, phương trình đạo hàm riêng, tuyến tính phi tuyến phương pháp giải tích đồng luân ( Homotopy Analysis Method ) viết tắt HAM Phương pháp định nghĩa dựa khái niệm tô pô hình học vi phân khái niệm Homotopy Phương pháp đồng luân chuyển việc giải phương trình vi phân phi tuyến ban đầu giải dãy phương trình tuyến tính đơn giản Với mong muốn tìm hiểu sâu phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng phương pháp này, hướng dẫn PGS TS Khuất Văn Ninh, chọn đề tài : “Phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng” để thực luận văn Mục đích nghiên cứu - Luận văn nghiên cứu sở lí thuyết phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng phương pháp giải phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải tích đồng luân số ứng dụng Đối tượng phạm vi nghiên cứu - Đối tượng nghiên cứu: Phương pháp giải tích đồng luân vi - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng vào giải phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương pháp Giải tích hàm, Giải tích số, lập trình máy tính - Thu thập tài liệu liên quan tới phương pháp giải tích đồng luân - Phân tích, tổng hợp hệ thống kiến thức liên quan tới phương pháp giải tích đồng ln Dự kiến đóng góp - Xây dựng luận văn thành tài liệu tham khảo cho sinh viên học viên cao học phương pháp giải tích đồng luân Áp dụng giải số phương trình vi phân Chương KIẾN THỨC CHUẨN BỊ Trong chương trình bày số kiến thức phương trình vi phân thường, chuỗi lũy thừa, không gian tô pô Một số khái niệm đồng luân ví dụ Nội dung chương tham khảo tài liệu [1], [2], [3], [4], [5], [6] 1.1 Kiến thức giải tích phương trình vi phân thường 1.1.1 Một số khái niệm định lý phương trình vi phân thường Định lý tồn nghiệm phương trình vi phân cấp n Xét tốn Cauchy phương trình vi phân cấp n y (n) = f (x, y, y , , y (n−1) ) (1.1) y (x0 ) = y0 , y (x0 ) = y0 , , y (n−1) = y0n−1 (1.2) với điều kiện ban đầu Định nghĩa 1.1.1 Hàm f (x, u1 , u2 , , un ) xác định miền G ⊂ Rn+1 gọi thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo biến u1 , u2 , , un tồn số L > (hằng số Lipschitz) cho hai điểm (x, u1 , u2 , , un ) ∈ G, (x, u1 , u2 , , un ) ∈ G ta có bất đẳng thức n |f (x, u1 , u2 , un ) − f (x, u1 , u2 , , un )| ≤ L |ui − ui | i=1 (1.3) Định lí 1.1.2 Giả sử miền G ⊂ Rn+1 hàm f (x, u1 , u2 , , un ) liên tục thỏa mãn điều kiện Lipschitz theo u1 , u2 , , un Khi với điểm (n−1) ) ∈ G tồn nghiệm y = y (x) phương trình (x0 , y0 , y0 , , y0 (1.1) thỏa mãn điều kiện ban đầu (1.2) Nghiệm xác định lân cận điểm x0 Một số phương pháp giải gần phương trình vi phân thường Phương pháp chuỗi hàm Xét toán (1.1) - (1.2), giả sử nghiệm y = y (x) tốn phân tích thành chuỗi Taylor: y (x) = y (x0 )+ y (x0 ) 1! (x−x0 )+ y ”(x0 ) 2! y (n) (x0 ) (x−x0 ) + · · · + (x−x0 )n + · · · (1.4) n! Từ điều kiện (1.2) cho ta giá trị y (k) (x0 ), k = 0, 1, 2, , n − Trong khai triển (1.4) giá trị y (n) (x0 ) tìm nhờ phương trình (1.1) điều kiện ban đầu (n−1) (1.2) y (n) (x0 ) = f (x0 , y0 , y0 , , y0 ) (k ) Lấy đạo hàm phương trình (1.1) thay x = x0 , y (k) (x0 ) = y0 (k = 0, 1, 2, ) ta tìm giá trị y (n+1) (x0 ), y (n+2) (x0 ), Người ta chứng minh hàm f (x, y, y , , y (n−1) ) giải tích (n−1) lân cận điểm (x0 , y0 , y0 , , y0 ) lân cận đủ nhỏ điểm x0 tốn (1.1) - (1.2) có nghiệm nghiệm khai triển thành chuỗi Taylor (1.4) Khi tổng riêng (1.4) nghiệm xấp xỉ toán (1.1) (1.2) 1.1.2 Chuỗi lũy thừa Định nghĩa 1.1.3 Chuỗi lũy thừa chuỗi hàm có dạng ∞ an xn = a0 + a1 x + (1.5) n=0 ∞ an (x − x0 )n cách đặt t = x − x0 ta Nếu chuỗi lũy thừa có dạng n=0 đưa chuỗi dạng (1.5) Vì ta quy ước nghiên cứu chuỗi lũy thừa dạng (1.5) ∞ an xn hội tụ x = x0 = Định lí 1.1.4 (Định lý Abel) Nếu chuỗi lũy thừa n=0 hội tụ tuyệt đối x thỏa mãn |x| < |x0 | 33 Định nghĩa 2.3.3 Mỗi tham số phụ chưa xác định phương trình biến dạng cấp không, ngoại trừ tham số đồng luân q ∈ [0, 1], gọi tham số hội tụ điều khiển có ảnh hưởng đến hội tụ chuỗi - đồng luân Tất tham số hội tụ - điều khiển xây dựng nên véc tơ hội tụ - điều khiển, xác định c = (c0 , c1 , c2 , ) Trong c0 , c1 , c2 , tham số hội tụ - điều khiển Định nghĩa 2.3.4 Một tập Rc tất giá trị có khả véc tơ hội tụ - điều khiển c gọi miền hội tụ hữu hiệu tham số hội tụ điều khiển c, chuỗi - đồng luân tương ứng hội tụ với c ∈ Rc Theo hình (2.4) bảng (2.2), chuỗi đồng luân đưa giá trị khác c0 ∈ Rc , hội tụ với tốc độ khác Ví dụ, chuỗi đồng luân hội tụ nhanh nhiều so với chuỗi đồng luân 20 1 đưa c0 = − c0 = − ; biểu diễn bảng (2.2) Ngồi ra, theo 20 hình (2.4), giá trị nhỏ Em (c0 ) tồn với c0 = −0, 17 Trong trường hợp ε = 1, λ = − x∗ = Điều thật Bảng giá trị trung bình 17 tham số hội tụ - điều khiển c∗ = − , bình phương phần dư rời rạc Em (c0 ) 100 đưa c0 = − giảm nhanh chóng γ hướng đến giá trị không đổi 3.9278 hơn, biểu diễn bảng (2.4) Như vậy, tham số hội tụ điều khiển c0 cung cấp cho cách tiện lợi để đảm bảo hội tụ nhanh chóng chuỗi nghiệm đồng luân Chú ý rằng, mặc dù, giả định γ có sai số tương đối 19.3%, xấp xỉ bậc bậc γ có sai số tương đối 0.1% 0.04% tương ứng Như vậy, trường hợp này, vài số hạng đưa thay xấp xỉ xác x(τ ) giá trị trung bình giá trị tối ưu c0 , biểu diễn hình (2.5) Cần lưu ý rằng, chuỗi đồng luân với c0 = − hội tụ nhanh Như vậy, 20 thực tế, chưa cần thiết để sử dụng "chính xác" giá trị tối ưu tham số hội tụ - điều khiển c0 Các phương pháp có ý nghĩa tổng qt Ví dụ, tiếp tục xét ba trường hợp sau ε = 1, λ= , x∗ = ε = 1, λ = 0, x∗ = ε = 1, λ = 4, x∗ = −1 34 Đối với trường hợp, kiểm tra đường cong bình phương phần dư rời rạc Em (c0 ) c0 để tìm miền giá trị c0 hội tụ chuỗi đồng luân giá trị tối ưu c0 Theo hình (2.6) đến (2.8), có giá trị tối ưu c0 = − trường hợp ε = 1, λ = , x∗ = Hình 2.5: So sánh kết số với xấp xỉ giải tích x(τ ) trường hợp ε = 1, λ = , x∗ = giá trị c0 = −0.17 Đường nét liền: xấp xỉ bậc 5; đường nét đứt: xấp xỉ đầu; ký hiệu: kết số 35 Hình 2.6: Bình phương rời rạc Em (c0 ) trường hợp ε = 1, λ = , x∗ = Đường nét liền: xấp xỉ bậc 1; đường nét đứt: xấp xỉ bậc 3; đường nét đứt chấm: xấp xỉ bậc Hình 2.7: Bình phương rời rạc Em (c0 ) trường hợp ε = 1, λ = 0, x∗ = Đường nét liền: xấp xỉ bậc 1; đường nét đứt: xấp xỉ bậc 3; đường nét đứt chấm: xấp xỉ bậc 36 Hình 2.8: Bình phương rời rạc Em (c0 ) trường hợp ε = −1, λ = 4, x∗ = −1 Đường nét liền: xấp xỉ bậc 1; đường nét đứt: xấp xỉ bậc 3; đường nét đứt chấm: xấp xỉ bậc 37 Hình 2.9: So sánh kết số với phân tích xấp xỉ x(τ ) Đường nét liền: xấp , x∗ = với c0 = − ; đường nét đứt: 4 xấp xỉ bậc trường hợp ε = 1, λ = 0, x∗ = với c0 = − ; đường nét đứt 3 ∗ chấm: xấp xỉ bậc trường hợp ε = −1, λ = 4, x = −1 với c0 = − 10 xỉ bậc trường hợp ε = 1, λ = Giá trị c0 = − c0 = − −4 trường hợp ε = 1, λ = 0, x∗ = 1, giá trị tối ưu trường hợp ε = −1, 10 λ = 4, x∗ = −1, tương ứng Sử dụng giá trị tối ưu c0 tương ứng, bình phương phần dư rời rạc Em giảm nhanh trường hợp, biểu diễn hình (2.6) ngồi λ = ω có xu hướng tiến đến giá trị cố định, biểu diễn hình (2.7) Hơn nữa, xấp xỉ bậc bậc tương ứng x(t) xác, biểu diễn hình (2.9) Tất điều này, biểu thị hội tụ chuỗi nghiệm đồng luân tương ứng Cần phải nhấn mạnh kỹ thuật phân tích khác khơng có cách để đảm bảo hội tụ chuỗi Vì thế, lợi rõ ràng phương pháp giải tích đồng luân (HAM) Xem xét lý thuyết chặt chẽ HAM, thường đề cập đến chuỗi - đồng luân kiểm tra hội tụ loại chuỗi vô hạn Tuy nhiên, điều khơng có nghĩa phải sử dụng nhiều số hạng để có xấp xỉ 38 xác Trong nhiều trường hợp, cần vài số hạng xấp xỉ - đồng luân Bậc ε = 1, λ = 49 , ε = 1, λ = 0, x∗ = 1, ε = −1, λ = 4, xấp xỉ x∗ = 1, c0 = − 31 c0 = − 43 x∗ = −1, c0 = − 10 0.032 0.032 0.032 3.1 × 10−5 5.1 × 10−4 4.6 × 10−5 1.3 × 10−14 1.5 × 10−8 6.7 × 10−14 10 5.8 × 10−26 7.3 × 10−14 2.4 × 10−24 15 × 10−37 7.7 × 10−19 1.1 × 10−34 Bảng 2.5: Bình phương phần dư rời rạc Em (c0 ) xấp xỉ bậc m trường hợp khác Bậc ε = 1, λ = 49 , ε = 1, λ = 0, ε = −1, λ = 4, xấp xỉ x∗ = 1, c0 = − 31 x∗ = 1, c0 = − 43 x∗ = −1, c0 = − 10 0.75 3.25 2.9921875 0.71875 3.24296875 2.9921730367 0.7177741910 3.2427770978 10 2.9921730364 0.7177700399 3.2427770917 15 2.9921730364 0.7177700110 3.2427770917 20 2.9921730364 0.7177700110 3.2427770917 25 2.9921730364 0.7177700110 3.2427770917 30 2.9921730364 0.7177700110 3.2427770917 Bảng 2.6: Xấp xỉ bậc m γ = ω trường hợp khác đưa kết xác Ví dụ, có xấp xỉ đồng luân 39 bậc xác √ 95 cos(τ ) + cos(3τ ) , τ = 3t, (2.41) 96 trường hợp ε = 1, λ = , x∗ = với giá trị tối ưu c0 = − , xấp xỉ x≈ bậc xác x≈ 551 cos(τ ) + 24 cos(3τ ) + cos(5τ ) , 576 trường hợp ε = 1, λ = 0, τ= 23 t, 32 (2.42) x∗ = giá trị trung bình giá trị tối ưu c0 = − , xấp xỉ bậc xác x ≈ −1.00952 cos(τ ) + 9.60938 × 10−3 cos(3τ ) − 8.78906 × 10−5 cos(5τ ), (2.43) 4151 t, 1280 τ= Trong trường hợp ε = −1, λ = 4, x∗ = −1 giá trị giá trị trung bình −3 c0 = − , tương ứng hình (2.9) Trong thực tế, sử dụng tham số hội tụ 10 điều khiển tối ưu, nhận xấp xỉ xác vài số hạng phương pháp HAM Tuy nhiên, phi tuyến phương trình trở nên mạnh nhiều nhiều số hạng cần thiết, phức tạp toán phi tuyến mạnh 2.4 So sánh phương pháp giải tích đồng luân phương pháp nhiễu đồng luân - Phương pháp giải tích đồng luân phương pháp nhiễu đồng luân hai phương pháp dựa khái niệm đồng luân - Phương pháp nhiễu đồng luân dựa việc khai triển nghiệm thành chuỗi ∞ um q m lũy thừa m=0 - Phương pháp giải tích đồng luân khai triển nghiệm thành chuỗi lũy thừa theo q xây dựng um dựa vào phương trình biến dạng cấp khơng phương trình biến dạng cấp cao - Việc sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân vào giải phương trình vi phân phi tuyến nhanh đơn giản dùng phương pháp giải tích đồng luân 40 2.4.1 Phương pháp giải Sau ta trình bày phương pháp nhiễu đồng luân để giải phương trình vi phân phi tuyến cấp hai dạng mu + ω u + εf (u, u , u ) = (2.44) m ω số, f hàm ba biến phi tuyến với nghiệm u(t) Bằng cách xây dựng đồng luân H (u, q ) H (u, 0) = mu + ω u, H (u, 1) = mu + ω u + εf (u, u , u ) mu + ω u toán tử vi phân tuyến tính u Thơng thường chọn đồng luân lồi xác định sau H (u, q ) = (1 − q )(mu + ω u) + q [mu + ω u + εf (u, u , u )], (2.45) phương trình H (u, q ) (2.46) Khi tham số q tăng dần từ đến 1, tốn tuyến tính đơn giản mu + ω u = biến đổi liên tục thành toán gốc mu + ω u + εf (u, u , u ) = Tham số q ∈ [0; 1] xem tham số đồng luân Phương pháp nhiễu đồng luân sử dụng tham số đồng luân q tham số mở rộng để có uq = u0 + qu1 + q u2 + (2.46) Khi q → 1, nghiệm u trở thành nghiệm gần (2.45), tức u = lim uq = u0 + u1 + u2 + q→1 (2.47) Chuỗi (2.47) hội tụ hầu hết trường hợp, hội tụ phụ thuộc vào toán tử H (u, 1) = mu + ω u + εf (u, u , u ) 2.4.2 Ví dụ Ví dụ 2.4.1 Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải toán Cauchy sau u + εu3 = 0, u(0) = a, u (0) = (2.48) 41 Phương trình (2.48) viết lại dạng u + ω u − ω u + εu3 = 0, u(0) = a, u (0) = 0, (2.49) ω tham số chọn cách thích hợp Từ phương trình (2.49), lập phương trình đồng luân sau u + ω u + q [−ω u + εu3 ] = 0, q ∈ [0, 1], (2.50) q ∈ [0, 1] tham số đồng luân Khi q = 0, phương trình (2.50) trở thành phương trình vi phân tuyến tính u + ω u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1 cos ωt + C2 sin ωt, (C1 , C2 số bất kì) Khi q = 1, phương trình (2.50) trở thành toán ban đầu Lúc tham số đồng luân q sử dụng để tìm nghiệm u(t) Giả sử nghiệm có dạng uq = u0 + qu1 + q u2 + (2.51) Thay (2.51) vào (2.50): u0 + qu1 + q u2 + ω (u0 + qu1 + q u2 + ) + q [−ω (u0 + qu1 + q u2 + ) + ε(u0 + qu1 + q u2 + )3 ] = ⇔ u0 + qu1 + q u2 + ω u0 + qω u1 + q ω u2 − qω u0 − q ω u1 − q ω u2 + qεu30 + q εu0 u1 + · · · = Cân hệ số lũy thừa bậc q đặt điều kiện ban đầu ta có: p0 : u0 + ω u0 = 0, u0 (0) = a, u0 (0) = (2.52) p1 : u1 + ω u1 − ω u0 + εu30 = 0, u1 (0) = 0, u1 (0) = (2.53) Giải (2.52) ta có: u0 = a cos ωt (2.54) Thay (2.54) vào (2.53), ta nhận được: 4 u1 + ω u1 + a( εa2 − ω ) cos ωt + εa3 cos 3ωt = 0, u1 (0) = 0, u1 (0) = (2.55) 42 Loại bỏ số hạng thứ ba, ta thu được: εa − ω = (2.56) Từ phương trình (2.56), ta dễ dàng thấy √ 3ε ω= a (2.57) Suy √ u0 = a cos 3ε at (2.58) Thay (2.57) vào (2.56) ta √ 3ε u1 + ω u1 + εa3 cos at = 0, u1 (0) = 0, u1 = (2.59) Giải (2.59) ta thu √ √ 3ε a 3ε at + cos at u1 = − cos 24 24 a (2.60) Vì nghiệm gần phương trình (2.48)là: ua (t) = u0 + u1 √ √ 23 3ε 3ε = a cos at + a cos at 24 24 (2.61) Ví dụ 2.4.2 Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải toán Cauchy sau u + εu + u = 0, u(0) = 0, u (0) = a (2.62) Từ phương trình (2.62), lập đồng luân sau u + u + q [εu ] = 0, q ∈ [0, 1], (2.63) q ∈ [0, 1] tham số đồng luân Khi q = 0, phương trình (2.63) trở thành phương trình vi phân tuyến tính u + u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1 cos t + C2 sin t, (C1 , C2 số bất kì) Khi q = 1, phương trình (2.63) trở thành tốn ban đầu Lúc tham số đồng luân q sử dụng để tìm nghiệm u(t) Giả sử nghiệm có dạng uq = u0 + qu1 + q u2 + (2.64) 43 Thay (2.64) vào (2.63): u0 + qu1 + q u2 + · · · + (u0 + qu1 + q u2 + ) + (u0 + qu1 + q u2 + dots) = ⇔ u0 + qu1 + u0 + qu1 + qε( u03 − u0 ) + · · · = Cân hệ số lũy thừa bậc q đặt điều kiện ban đầu ta có: q : u0 + u0 = 0, u0 (0) = 0, u0 (0) = a (2.65) q : u1 + u1 + εu0 = 0, u1 (0) = 0, u1 (0) = (2.66) u0 = a sin t (2.67) Giải (2.65) ta có: Thay (2.67) vào (2.66), ta nhận được: u1 + u1 + εa cos t = 0, u1 (0) = 0, u1 (0) = (2.68) Giải (2.68) ta thu u1 = − εat sin t (2.69) Vì nghiệm gần phương trình (2.62) là: uapp (t) = u0 + u1 = a sin t − εat sin t (2.70) Ví dụ 2.4.3 Sử dụng phương pháp nhiễu đồng luân giải toán Cauchy sau u + ε(u2 − 1)u + u3 = 0, u(0) = a, u (0) = (2.71) Phương trình (2.71) viết lại dạng u + ω u − ω u + ε(u2 − 1)u + u3 = 0, u(0) = a, u (0) = 0, (2.72) ω tham số chọn cách thích hợp Từ phương trình (2.72), lập đồng luân sau u + ω u + q [u3 − ω u + ε(u2 − 1)u ] = 0, q ∈ [0, 1], q ∈ [0, 1] tham số đồng luân (2.73) 44 Khi q = phương trình (2.73) trở thành phương trình vi phân tuyến tính u + ω u = 0, có nghiệm tổng quát u = C1 cos ωt + C2 sin ωt, (C1 , C2 số bất kì) Khi q = 1, phương trình (2.73) trở thành tốn ban đầu Lúc tham số đồng luân q sử dụng để tìm nghiệm u(t) Giả sử nghiệm có dạng uq = u0 + qu1 + q u2 + (2.74) Thay (2.74) vào (2.73): u0 + qu1 + q u2 + · · · + ω (u0 + qu1 + q u2 + ) + qε[((u0 + qu1 + q u2 + )2 − 1)(u0 + qu1 + q u2 + )] = ⇔u0 + qu1 + ω u0 + qω u1 + qu30 − qω u0 + qε(u20 − 1)u0 = Cân hệ số lũy thừa bậc q đặt điều kiện ban đầu q : u0 + ω u0 = 0, u0 (0) = a, u0 (0) = (2.75) q : u1 + ω u1 + u30 − ω u0 + ε(u20 − 1)u0 = 0, u1 (0) = 0, u1 (0) = (2.76) (2.77) Giải (2.75) ta có: u0 = a cos ωt (2.78) Thay (2.78) vào (2.76), ta nhận được: u1 + ω u1 + a( a2 − ω ) cos ωt 1 + aεω (1 − a2 ) sin ωt + a3 cos 3ωt − a3 ω sin 3ωt = 4 (2.79) (2.80) Loại bỏ số hạng thứ ba, ta thu được: a − ω = Từ phương trình (2.81), ta dễ dàng thấy √ ω= a Vì nghiệm gần phương trình (2.71) là: √ uapp (t) = a cos at a (2.81) (2.82) (2.83) 45 KẾT LUẬN Luận văn trình bày số nội dung sau: Trong chương trình bày số kiến thức chuẩn bị bao gồm định lí tồn nghiệm phương trình vi phân cấp n, phương pháp chuỗi hàm, chuỗi lũy thừa, khơng gian tơ pơ, sở lí thuyết phương pháp đồng luân Trong chương trình bày ứng dụng phương pháp giải tích đồng luân giải phương trình vi phân - Mục 2.1 trình bày ứng dụng phương pháp HAM giải phương trình vi phân - Mục 2.2 trình bày cải tiến phương pháp HAM - Mục 2.3 trình bày lựa chọn tham số điều khiển - hội tụ - Mục 2.4 trình bày so sánh phương pháp đồng luân với phương pháp nhiễu đồng luân Trên luận văn với đề tài : " Phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng" Em mong thầy cô nhận xét, hướng dẫn, bảo để luận văn em chi tiết, hoàn chỉnh Em xin chân thành cảm ơn! 46 TÀI LIỆU THAM KHẢO Tiếng Việt [1] Phạm Kỳ Anh (2005), Giải tích số, NXB Đại Học Quốc gia Hà Nội [2] Nguyễn Minh Chương, Ya.D.Mamedov, Khuất Văn Ninh (1992), Giải xấp xỉ phương trình tốn tử, NXB Khoa học Kỹ thuật [3] Nguyễn Phụ Hy (2005), Giải tích hàm, NXB Khoa học Kỹ thuật [4] Hồng Tụy (2005), Hàm thực giải tích hàm, NXB Đại học Quốc gia Hà Nội Tiếng Anh [5] A.K.Shukla, T.R.Ramamohan, S.Srinivas, Homotopy analysis method with a non-homogeneous term in the auxiliary linear operator, Commun Nonlinear Sci Numer Simulat 17 (2012) 3776–3787 [6] G A Afrouzi, D D Ganji, H Hosseinzadeh, R A Talarposhti (2011), Fourth order Volterra integral - differential equations using modified homotopy - perturbation method, Mazandazan University, Babolsar, Iran [7] J H He (2006), New interpretation of Homotopy perturbation method, Donghua University, China [8] S.J Liao : (2003) Beyond perturbation - Introduction to the Homotopy Analysis Method, Chapman & Hall/ CRC Press, Boca Raton [9] S.J Liao (2012), Homotomy Analysis Method in Nonlinear Differential Equations , Springer 47 [10] T.S.L Radhika, T.K.V.Iyengar, T.Rajarani, (2015) Approximate analytical methods for solving odinary differential equations, Chapman & Hall/ CRC Press, Boca Raton ... cứu: Phương pháp giải tích đồng luân vi - Phạm vi nghiên cứu: Nghiên cứu phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng vào giải phương trình vi phân Phương pháp nghiên cứu - Vận dụng kiến thức, phương. .. Chương ỨNG DỤNG CỦA PHƯƠNG PHÁP GIẢI TÍCH ĐỒNG LUÂN VÀO GIẢI PHƯƠNG TRÌNH VI PHÂN Trong chương trình bày ứng dụng phương pháp giải tích đồng ln (HAM) giải phương trình vi phân Mục 2.1: Trình bày ứng. .. nghiên cứu sở lí thuyết phương pháp giải tích đồng luân ứng dụng phương pháp giải phương trình vi phân Nhiệm vụ nghiên cứu - Nghiên cứu phương pháp giải tích đồng luân số ứng dụng Đối tượng phạm