Ứng dụng của giải tích lôig để giải toán sơ cấp

TRƯỜNG ĐẠI HỌC SƯ PHẠM HÀ NỘI KHOA TOÁN - BÙI THỊ HỒNG HOA ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI ĐỂ GIẢI TOÁN SƠ CẤP KHÓA LUẬN TỐT NGHIỆP ĐẠI HỌC Chuyên ngành: Hình học Người hướng dẫn khoa học PGS.TS NGUYỄN NĂNG TÂM HÀ NỘI - 2013 LỜI CẢM ƠN Trong trình thực đề tài nghiên cứu khoa học này, em nhận nhiều quan tâm giúp đỡ thầy cô giáo bạn sinh viên Em xin chân thành cảm ơn thầy cô giáo khoa Toán – Trường ĐH Sư phạm Hà Nội 2, thầy cô tận tình giúp đỡ em năm học vừa qua tạo điều kiện để em hoàn thành đề tài Em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc tới thầy Nguyễn Năng Tâm, người trực tiếp hướng dẫn, bảo tận tình cho em suốt trình thực đề tài nghiên cứu Do hạn chế trình độ thời gian nên đề tài không tránh khỏi thiếu sót Em mong nhận giúp đỡ góp ý thầy cô bạn để tài nghiên cứu hoàn thiện Em xin chân thành cảm ơn! Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Hồng Hoa LỜI CAM ĐOAN Khóa luận tốt nghiệp em hoàn thành hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm, với côc gắng thân Trong trình nghiên cứu em tham khảo kế thừa thành nghiên cứu với trân trọng lòng biết ơn Em xin cam đoan kết nghiên cứu khóa luận kết nghiên cứu riêng thân, trùng lặp với kết tác giả khác Nếu em sai em xin hoàn toàn chịu trách nhiệm Hà Nội, tháng 05 năm 2013 Sinh viên Bùi Thị Hồng Hoa MỤC LỤC Mở đầu Chương Các kiến thức giải tích lồi 1.1 Tập hợp lồi 1.1.1 Định nghĩa tập hợp lồi 1.1.2 Tính chất 1.2 Hàm lồi 1.2.1 Định nghĩa hàm lồi 1.2.2 Một số tính chất hàm lồi 1.3 Định lí Kelli không gian hai chiều 19 1.4 Định lí Kelli không gian chiều 21 Chương Ứng dụng giải tích lồi vào toán hình học 24 2.1 Các toán sử dụng định lí Kelli 24 2.2 Các toán sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi 28 Chương Ứng dụng giải tích lồi vào toán đại số giải tích 31 3.1 Sử dụng hàm lồi để chứng minh bất đẳng thức 31 3.1.1 Chứng minh bất đẳng thức kinh điển 37 3.1.2 Chứng minh bất đẳng thức đại số 42 3.1.3 Chứng minh bất đẳng thức lượng giác 46 3.1.4 Chứng minh bất đẳng thức hình học 49 3.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số 52 3.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình bất phương trình có tham số 58 Kết luận 60 Tài liệu tham khảo 61 MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Gỉải tích lồi môn nghiên cứu tính chất tập hợp lồi hàm lồi Các kết Giải tích lồi áp dụng nhiều lĩnh vực toán học lí thuyết tối ưu hóa Trong chương trình Toán nhà trường phổ thông, em học sinh làm quen với khái niệm “ lồi” từ cấp học môn Hình học Hầu hết chương trình hình học bậc Trung học sở Trung học phổ thông giới hạn hình lồi: tam giác, hình thang, hình bình hành, hình tròn; đến khối đa diện lồi hình chop, hình lâng trụ, hình cầu khối tròn hình nón hình trụ hình cầu Trong đại số tính lồi, lõm hàm số dạy chương trình học hàm số bậc hai dùng để khảo sát hàm số Sử dụng kết hàm lồi cho phép chúng thành công việc giải nhiều lớp toán hình học, đại số giải tích sơ cấp như: giải toán cách sử dụng định lí Kelli, sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi, chứng minh bất đẳng thức, giải toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Với lí em chọn đề tài “Ứng dụng giải tích lồi để giải toán sơ cấp”, hướng dẫn thầy giáo Nguyễn Năng Tâm Mục đích nghiên cứu Bước đầu làm quen với nghiên cứu khoa học, từ hình thành tư logic đặc thù môn Nhiệm vụ nghiên cứu Nghiên cứu ứng dụng giải tích lồi để giải toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào toán sơ cấp Cấu trúc đề tài Ngoài phần mở đầu, kết luận, tài liệu tham khảo, đề tài gồm ba chương: Chương Các kiến thức giải tích lồi Các khái niệm tính chất tập hợp lồi hàm lồi trình bày chương luận văn Đó kiến thức cần thiết sử dụng đến hai chương luận văn Chương Ứng dụng Giải tích lồi vào toán Hình học Trong chương giới thiệu cách vận dụng định lí Kelli giao khác rỗng họ tập hợp lồi phép lấy bao lồi hình phẳng để giải nhiều toán đặc sắc Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng Giải tích lồi vào toán Đại số Giải tích Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp toán Đại số Lượng giác sơ cấp Lớp toán bao gồm: Các bất đẳng thức kinh điển, bất đẳng thức đại số lượng giác, toán cực trị, toán phương trình bất phương trình chứa tham số Sử dụng kết lí thuyết hàm lồi bất đẳng thức Jen-xen, tính chất “Cực tiểu địa phương cực tiểu toàn cục”,… hay đặc trưng tập hợp lồi cho phép chuáng ta giải nhiều lớp toán khác Đại số Lượng giác sơ cấp CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC CƠ BẢN CỦA GIẢI TÍCH LỒI 1.1 Tập lồi 1.1.1 Định nghĩa Định nghĩa 1: Tập gọi lồi Định nghĩa 2: Giả sử Đoạn nối định nghĩa sau: Nhận xét: Tập tập lồi Định nghĩa 3: Nếu ta định nghĩa 1.2.2 Tính chất Tính chất 1: Cho tập hợp lồi Khi tập hợp lồi Chứng minh Lấy tùy ý thuộc , Do , hai tập hợp lồi, mà số thực tùy ý cho ; , nên: Từ Vậy tập hợp lồi Đó đ.p.c.m Tính chất 2: Cho tập hợp lồi Khi tập hợp lồi Chứng minh Đặt Lấy , , tùy ý thuộc , Vì số thực tùy ý với , với , Từ ( Do , lồi mà , , (1) , nên : ; Vì lẽ từ (1) suy Điều có nghĩa Tính chất 3: Cho chứa lồi, tứa + lồi tập hợp cho trước Ta kí hiệu (và thường gọi bao lồi tập hợp) Gọi Khi tập hợp lồi nhỏ Chứng minh Không giảm tổng quát cho tập hợp mặt phẳng lí luận thay đổi) Trước hết ta thấy rằng: Thật vậy, toàn mặt phẳng Vì tập hợp lồi chứa tập hợp lồi, nên ta biết giao tập hợp lồi tập hợp lồi Mặt khác tập hợp lồi chứa Từ (1) (2) suy , nên dĩ nhiên (nếu Đặt Theo bất đẳng thức Jen-xen, ta có: Áp dụng định lí hàm số coin tam giác 50 , Vì (2) với , nên từ (2) ta có : Từ (1) (3) ta có: Bài Cho đường tròn bán kính Gọi tiếp đường tròn diện tích đa giác Chứng minh rằng: 1) 2) Lời giải 1 51 cạnh nội Gọi tâm đa giác cạnh cạnh Ta chứng minh 52 Do (2) suy (1) Vậy 1) chứng minh 2) Từ phần 1) suy Vậy Ta chọn hàm lõm (3) Khi đó, ta có với : 53 hay Thực liên tiếp bất đẳng thức (*) ta có: Trong (*) lấy , ta có : Từ đến : Từ (3) (5) suy ra: hay (6) Từ (1) (6) ta có 3.2 Sử dụng hàm lồi để tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Như rõ cực tiểu hàm số cực tiểu toàn cục, tức phương ta có: 54 miền đó, nói chung điểm đạt cực tiểu địa Do đó, để tìm giá trị nhỏ miền cho trước, nói chung ta tiến hành sau: - T ìm cực tiểu địa phương miền - S o sánh cực tiểu địa phương tìm với số giá trị đặc biệt khác hàm số Từ sau kết hợp bước vẽ suy giá trị nhỏ miền hàm lồi miền cho Trong thực tế, hàm số tập hợp lồi Khi đó, việc giải toán trở nên đơn giản nhiều, ta tận dụng tính chất đặc trưng sau hàm lồi : Cực tiểu địa phương hàm lồi lồi cực tiểu toàn cục hàm miền miền Như vậy, với lớp hàm số lồi, việc tìm giá trị nhỏ miền lồi đơn giản quy việc tìm cực tiểu địa phương chúng Trong chương trình đại số chương trình phổ thông, ta thường gặp toán sau: Tìm giá trị lớn hàm lồi hai biến định miền hàm lồi liên tục xác đa giác lồi Khi ta thường sử dụng đến kết sau Giả sử Gỉa sử hàm lồi liên tục xác định đa giác lồi đỉnh , mặt phẳng Khi ta có : 55 Từ kết suy để tìm giá trị lớn hàm lồi đa giác lồi , ta cần xét giá trị hàm số đỉnh Đó phương pháp giải toan hữu hiệu lớp toán Bài Tìm giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số: miền cho hệ bất phương trình sau : Lời giải Dễ thấy miền đỉnh toàn tứ giác lồi có tọa độ 56 với gốc tọa độ Do hàm lồi, nên: Cũng hàm lồi toàn mặt phẳng Xét đoạn tập hợp Theo lập luận ta có , tức : Thật vậy, lân cân lấy đủ bé cho: 57 Khi tồn ta có: Viết lại hàm số Nếu gọi dạng sau: tọa độ điểm Nếu gọi hình chiếu phương hàm lồi hàm số Ta có miền miền với Do cực tiểu toàn cục Vì khoảng cách từ cực tiểu địa tới đường thẳng theo hình học giải tích, ta có: Bài Cho hàm số Xét miền Tìm miền giá trị lớn giá trị nhỏ hàm số Lời giải Ta có hàm số : 58 miền Là hàm lồi toàn không gian Vì hàm lồi toàn không gian Dễ thấy tứ giác lồi (chính hình chữ nhật với tọa độ đỉnh sau : Do ta có: Để tìm , ta viết lại hàm số Từ suy ra: Xét hệ phương trình: 59 dạng sau : Dễ thấy Nghiệm thỏa mãn phương trình (1) (2) Vì suy thỏa mãn hệ (1), (2) (3) Ta có Vậy theo định nghĩa cực tiểu toàn cục, suy Bài Cho Tìm giá trị lớn Lời giải Sử dụng bất đẳng thức Jen-xen cho hàm lõm ta có 60 3.3 Sử dụng hàm lồi để giải hệ phương trình bất phương trình chứa tham số Trong phần ta đưa phương pháp sử dụng tính lồi để giải số lớp toán bất phương trình có tham số với cấu trúc đặc biệt Các toán thường có dấu hiệu nhận biết sau : Miền xác định toán thường có dạng tập lồi hàm số hàm lồi Sử dụng đặc trưng hàm lồi “ Nếu hai điểm thuộc tập hợp lồi điểm thuộc tập hợp toàn đoạn thẳng nối hai “ Bài Cho hệ bất phương trình Tìm để tập hợp nghiệm hệ hai phương trình (1) (2) chứa đoạn trục hoành Lời giải Gọi tập hợp nghiệm hệ phương trình (1) (2), , Đặt tương ứng tập nghiệm (1) (2) , (1) tương đương với Vì Nói cách khác (với biến ) nên Do hàm lồi tập hợp lồi Mặt khác nên hàm lồi (vì lồi 61 hàm aphin ) Vì tập hợp lồi Vì vậy, đoạn , và , trục hoành thuộc tương ứng điểm (-2 ; 0), (-1 ; 0) Trong chương em trình bày số ứng dụng giải tích lồi để giẩi toán đại số giải tích KẾT LUẬN Sử dụng kết hàm lồi cho phép thành công việc giải nhiều lớp toán sơ cấp, điển hình : Giải toán cách sử dụng định lí Kelli, sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi, chứng minh bất đẳng thức , giải toán tìm giá trị lớn nhỏ hàm số biện luận số lớp hệ phương trình bất phương trình chứa tham số 62 Do thời gian nghiên cứu lực hạn chế nên đề tài đạt số kết định Em mong thầy cô, bạn góp ý nhận xét đề tài đầy đủ hoàn thiện Trước kết thúc đề tài này, lần em xin bày tỏ lòng biết ơn sâu sắc thầy cô giáo trường, đặc biệt thầy giáo Nguyễn Năng Tâm tận tình giúp đỡ em hoàn thành đề tài 63 TÀI LIỆU THAM KHẢO Phan Huy Khải, Chuyên đề bồi dưỡng học sinh giỏi toán THPT – Giải tích lồi toán sơ cấp, NXB Giáo dụ, năm 2007 Trần Lưu Cường, Toán Olimpic cho sinh viên tập 1, NXB Giáo dục, năm 2000 Trần Phương, Các kĩ thuật chứng minh bất đẳng thức, NXB Hồ Chí Minh, năm 2012 64 [...]... bật là : Kết luận của các bài toán này thực chất phụ thuộc vào sự giao nhau có khác rỗng hay không của một họ tập lồi nào đó Phương pháp có hiệu lực nhất để giải lớp các bài toán ấy là sử dụng định lí Kelli Lược đồ chung của việc sử dụng định lí Kelli để giải các bài toán này như sau : - Đưa bài toán đã cho về dạng khảo sát sự giao nhau của một họ tập lồi nào đó - Sử dụng định lí Kelli để suy ra kết luận... xét được chứng minh Từ (2) suy ra tồn tại sao cho: Bất đẳng thức (3) chứng tỏ rằng: Định lí Kelli trong được chứng minh hoàn toàn Trong chương này em đã trình bày một số kiến thức cơ bản của tập lồi và hàm lồi để giải các bài tập ở chương sau 24 CHƯƠNG 2 ỨNG DỤNG CỦA GIẢI TÍCH LỒI VÀO CÁC BÀI TOÁN HÌNH HỌC 2.1 Các bài toán sử dụng định lí Kelli Trong hình học tổ hợp có một số lớp các bài toán mà chúng... trước một tập hợp bao lồi - Hai là thì bao giờ cũng tồn tại của nó chính là một hợp lồi nhỏ nhất chứa Như vậy, khi lấy bao lồi ta vừa sử dụng được tính lồi để giải toán mà lại không làm phức tạp bài toán lên quá nhiều Với các bài toán của hình học tổ hợp mà có thể sử dụng được phép lấy bao lồi để giải chúng, thì lược đồ chung để giải các bài toán như sau: 29 - Chọn một phép lấy bao lồi thích hợp Cần... nhiên, các tập hợp cho trước trong các bài toán mà ta cần giải nói chung không phải là tập hợp lồi Trong một số trường hợp ta có thể gắn nó với một tập hợp lồi chứa chúng để khảo sát, và sẽ tận dụng được ưu thế của tính lồi để giải quyết các vấn đề đặt ra của bài toán Dĩ nhiên tập hợp lồi mà ta sẽ dùng đến chính là bao lồi mà ta sẽ dùng đến chính là bao lồi của các hình ban đầu đã cho Việc làm này có... nhất là chúng ta sử dụng kết quả sau: Bao lồi của một họ hữu hạn điểm trên mặt phẳng là một đoạn thẳng hoặc là một đa giác lồi mà các đỉnh của chúng thuộc vào tập hợp các điểm đã cho - Sử dụng tính lồi để giải quyết các yêu cầu của bài toán đặt ra Bài 1: Trên mặt phẳng cho một số hữu hạn điểm Chứng minh rằng luôn luôn tìm được một điểm sao cho gần nó nhất có không quá 3 điểm đã cho Lời giải Giả sử điểm... tương ứng 1 – 1 sau đây : Như vậy ta có : họ các đoạn thẳng , với mọi Do , và họ các đoạn thẳng , với mọi , cho nên , 28 2.2 Các bài toán sử dụng tính chất của tập hợp lồi và bao lồi Tập hợp lồi có một đặc trưng cơ bản là khi nó chứa hai điểm, thi nó sẽ chứa toàn bộ đoạn thẳng nối hai điểm ấy Tính chất ưu việt này được tận dụng triệt để trong việc giải các bài toán hình học nói chung là các bài toán. .. khoảng Xét bao lồi của tập hợp Chỉ có hai khả năng xảy ra: 1) Nếu bao lồi của là đoạn thẳng Khi đó gần đỉnh đầu mút của nó chỉ có không quá một điểm của hệ 30 Thật vậy, mọi điểm cách một đoạn bằng do đó dĩ nhiên nó thuộc bao lồi của một điểm gần là các điểm của tập hợp , tức là thuộc Như vậy có tối đa nhất 2) Nếu bao lồi của là một đa giác lồi Ta chọn Giả sử có ba điểm gần nghĩa của , thì với mọi... đỉnh bao lồi của tới Theo định ( ở đây là các điểm có còn , từ đó suy ra , nên Do vậy Vì đa giác bao lồi nên là góc của Mâu thuẫn này chứng tỏ giả thiết phản chứng sai, suy ra đ.p.c.m Bài 2 : Cho , và điểm trong mặt phẳng, với thẳng hàng Chưng minh có ít nhất 31 và không có ba điểm nào tứ giác lồi có đỉnh nằm trong số điểm đã cho Lời giải Trước tiên ta xét với ta có Vậy kết luận của bài toán đúng khi... Biết rằng giao của hai hình lồi bất kì trong chúng khác rỗng Khi đó giao của cả hình lồi cũng khác rỗng Chứng minh: Ta biết rằng hình lồi trên đường thẳng chỉ có thể là đoạn thẳng , khoảng ( thể là , hay ( ở đây có thể là , còn có Ở đây, ta chỉ xét với các hình lồi là các đoạn thẳng, các trường hợp còn lại chứng minh tương tự Giả sử có đoạn thẳng , có tính chất sau : Bất kì giao của hai đoạn thẳng... 1: Cho bốn nửa mặt phẳng Chứng minh rằng tồn tại ba nửa mặt phẳng trong bốn nửa mặt phẳng ấy sao cho chỉ riêng ba nửa mặt phẳng này cũng lấp đầy mặt phẳng Lời giải Gọi Rõ ràng là bốn nửa mặt phẳng Từ giả thiết ta có : là lồi với mọi Từ (1) suy ra 25 (ở đây dùng để chỉ phần bù của tập hợp ) Theo quy tắc Demorgan, từ (2) có Vì lồi nên cũng lồi với mọi (3) Giả thiết phản chứng không tồn tại ba nửa mặt ... cứu ứng dụng giải tích lồi để giải toán sơ cấp Đối tượng phạm vi nghiên cứu + Đối tượng nghiên cứu: Sinh viên đại học, giáo viên phổ thông + Phạm vi nghiên cứu: Ứng dụng giải tích lồi vào toán sơ. .. giải nhiều toán đặc sắc Hình học tổ hợp Chương Ứng dụng Giải tích lồi vào toán Đại số Giải tích Chương trình bày cách sử dụng tính lồi để giải số lớp toán Đại số Lượng giác sơ cấp Lớp toán bao... Chương Ứng dụng giải tích lồi vào toán hình học 24 2.1 Các toán sử dụng định lí Kelli 24 2.2 Các toán sử dụng tính chất tập hợp lồi bao lồi 28 Chương Ứng dụng giải tích lồi vào toán