Hàm số thực và các ứng dụng vào giải toán sơ cấp

BỘ GIÁO DỤC VÀ ĐÀO TẠO ĐẠI HỌC ĐÀ NẴNG PHẠM VĂN HẠNH HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP Chuyên ngành : Phương pháp Toán sơ cấp Mã số: 60.46.40 LUẬN VĂN THẠC SĨ KHOA HỌC Người hướng dẫn khoa học: PGS.TS TRẦN ĐẠO DÕNG Đà Nẵng - Năm 2013 LỜI CAM ĐOAN Tôi xin cam đoan Những nội dung trình bày luận văn thực hướng dẫn PGS.TS Trần Đạo Dõng Mọi tài liệu luận văn trích dẫn rõ ràng trung thực tên tác giả, tên cơng trình, thời gian địa điểm cơng bố Nếu có chép khơng hợp lệ, vi phạm quy chế đào tạo xin chịu hoàn toàn trách nhiệm Tác giả luận văn Phạm Văn Hạnh MỤC LỤC MỞ ĐẦU 1 Lý chọn đề tài Mục tiêu nghiên cứu Nhiệm vụ nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu Ý nghĩa thực tiễn đề tài Cấu trúc luận văn CHƯƠNG 1: CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN 1.1 GIỚI THIỆU VỀ ÁNH XẠ VÀ HÀM SỐ 1.1.1 Ánh xạ 1.1.2 Hàm số 1.2 GIỚI THIỆU CÁC HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG TRUNG HỌC CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 17 2.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ 17 2.2 CỰC TRỊ CỦA HÀM SỐ 39 2.3 GIÁ TRỊ NHỎ NHẤT VÀ GIÁ TRỊ LỚN NHẤT CỦA HÀM SỐ 47 2.4 TÍNH LIÊN TỤC CỦA HÀM SỐ 58 2.5 ĐỒ THỊ CỦA HÀM SỐ 66 2.6 TÍNH KHẢ VI CỦA HÀM SỐ 72 2.7 TÍNH KHẢ TÍCH CỦA HÀM SỐ 82 KẾT LUẬN 92 TÀI LIỆU THAM KHẢO 93 QUYẾT ĐỊNH GIAO ĐỀ TÀI THẠC SĨ (BẢN SAO) MỞ ĐẦU Lý chọn đề tài Trong nhà trường phổ thơng, mơn Tốn có vai trị, vị trí ý nghĩa quan trọng Đặc biệt mơn Tốn có vai trò quan trọng việc thực mục tiêu chung giáo dục phổ thơng, góp phần phát triển nhân cách học sinh Cùng với việc tạo điều kiện cho học sinh kiến tạo tri thức rèn luyện kỹ cần thiết Tốn học cịn có tác dụng góp phần phát triển lực trí tuệ chung như: phân tích, tổng hợp, trừu tượng hố, khái qt hố; rèn luyện đức tính, phẩm chất người lao động tính cẩn thận, xác, tính kỷ luật, tính phê phán, tính sáng tạo, thẩm mỹ, Nhiệm vụ dạy học mơn Tốn trang bị tri thức cần thiết cho học sinh; rèn luyện kỹ Toán học kỹ vận dụng Tốn học vào thực tiễn; phát triển trí tuệ cho học sinh; bồi dưỡng phẩm chất đạo đức tốt đẹp cho học sinh; đảm bảo trình độ phổ thông, đồng thời trọng bồi dưỡng học sinh có khiếu Tốn Thực tế giảng dạy Tốn cho học sinh trung học phổ thông, nhận thấy học sinh gặp nhiều khó khăn việc nắm bắt khái niệm, ứng dụng tính chất, đặc trưng hàm số vào giải toán chủ đề liên quan Cùng với định hướng PGS.TS.Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, trước hết giới thiệu ánh xạ hàm số, hàm số thể chương trình Tốn bậc trung học phổ thơng Tiếp đó, ứng dụng tính chất hàm số tính đơn điệu, tính liên tục, khả vi, để giải số dạng tốn đại số, giải tích hình học 2 Mục tiêu nghiên cứu đề tài Mục đích nghiên cứu đề tài khai thác tính chất hàm số để giải số dạng toán đại số, giải tích hình học thể qua dạng tốn bất đẳng thức, phương trình bất phương trình, tốn tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhất, toán chứng minh tồn nghiệm phương trình, nhằm góp phần nâng cao hiệu chất lượng dạy học mơn Tốn chương trình Trung học phổ thơng (THPT) Nhiệm vụ nghiên cứu Khai thác tính chất hàm số tính đơn điệu, tính liên tục, khả vi,… để giải dạng toán bất đẳng thức, phương trình bất phương trình, tốn tìm giá trị nhỏ giá trị lớn nhất, toán chứng minh tồn nghiệm phương trình, Phương pháp nghiên cứu Phương pháp nghiên cứu lý luận: Nghiên cứu số giáo trình phương pháp dạy học mơn tốn, sách giáo khoa phổ thơng, Sách bồi dưỡng giáo viên THPT, sách tham khảo, tạp chí giáo dục, số luận văn có liên quan đến đề tài Phương pháp tổng kết kinh nghiệm: Tổng kết kinh nghiệm qua nhiều năm trực tiếp giảng dạy, qua trao đổi kinh nghiệm với số giáo viên giỏi mơn Tốn trường THPT Từ xây dựng hệ thống tập điển hình gợi ý dạy học nhằm rèn luyện kỹ giải toán hàm số toán liên quan Ý nghĩa thực tiễn đề tài Nâng cao hiệu dạy học số chủ đề đại số, giải tích hình học chương trình tốn THPT Phát huy tính tự học sáng tạo học sinh Cấu trúc luận văn Luận văn bao gồm: Phần mở đầu Chương Các kiến thức liên quan 1.1 Giới thiệu ánh xạ hàm số 1.2 Giới thiệu hàm số chương trình tốn phổ thơng trung học Chương Ứng dụng tính chất hàm số vào giải tốn sơ cấp 2.1 Tính đơn điệu hàm số 2.2 Cực trị hàm số 2.3 Giá trị nhỏ giá trị lớn 2.4 Tính liên tục hàm số 2.5 Đồ thị hàm số 2.6 Tính khả vi hàm số 2.7 Tính khả tích hàm số Phần kết luận Tài liệu tham khảo CHƯƠNG CÁC KIẾN THỨC LIÊN QUAN Trong chương này, giới thiệu kiến thức ánh xạ hàm số Trình bày số hàm số quen thuộc chương trình phổ thơng trung học liên quan đến hàm số bậc hai, hàm số đa thức, hàm số phân thức Các kiến thức trình bày chương tham khảo tài liệu [3],[6], [8],[9] 1.1 GIỚI THIỆU VỀ ÁNH XẠ VÀ HÀM SỐ 1.1.1 Ánh xạ Định nghĩa 1.1 Cho hai tập hợp X Y khác  Ta gọi ánh xạ f từ tập X vào tập Y qui tắc cho tương ứng với phần tử x ∈ X phần tử y ∈ Y, kí hiệu f : X  Y , x  y  f ( x ) X gọi tập nguồn, Y gọi tập đích Phần tử y gọi ảnh x x gọi nghịch ảnh y Định nghĩa 1.2 Cho A  X , tập hợp  y | y  f ( x), x  A} gọi ảnh tập hợp A qua ánh xạ f, kí hiệu f(A) Định nghĩa 1.3 Cho B  Y , tập hợp { x  X | f ( x )  y  B } gọi nghịch ảnh tập hợp B qua ánh xạ f, kí hiệu f 1 ( B) Định nghĩa 1.4 Cho ánh xạ f : X  Y Ta có định nghĩa sau:  Ánh xạ f gọi đơn ánh nếu: x1 , x2  X , x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) , điều tương đương với x1 , x2  X , f ( x1 )  f ( x2 )  x1  x2  Ánh xạ f gọi toàn ánh f(X) = Y, điều có nghĩa y  Y , tồn phần tử x ∈ X cho y = f(x) Khi ta nói f : X  Y ánh xạ từ X lên Y  Ánh xạ f gọi song ánh f vừa đơn ánh, vừa toàn ánh  Ánh xạ ngược song ánh: Giả sử f : X  Y song ánh Khi đó, phần tử x  X có ảnh xác định f ( x )  Y Ngược lại, phần tử y  Y có nghịch ảnh x  X Vì vậy, song ánh f từ X lên Y phép tương ứng 1-1 hai chiều X Y Ánh xạ biến y  Y thành x  X cho f ( x)  y gọi ánh xạ ngược song ánh f, kí hiệu f 1 Vậy f 1 ánh xạ từ Y lên X, f 1 song ánh  Tích hai ánh xạ: Cho ba tập hợp X, Y, Z hai ánh xạ f : X  Y , g : Y  Z Như vậy, ứng với phần tử x  X , có phần tử y  f ( x )  Y ứng với phần tử y  Y , có phần tử z  g ( y )  Z Từ đó, ứng với phần tử x  X , qua trung gian y, có phần tử z  g ( y )  g[ f ( x)]  Z Ánh xạ từ X tới Z xác định bởi: x  X  z  g[ f ( x)]  Z gọi tích (hay hợp) ánh xạ f g, kí hiệu g  f Nói cách khác g  f : X  Z , x  ( g  f )( x)  g [ f ( x )] Từ định nghĩa ta có tính chất sau: Tính chất 1.1 Giả sử cho f : X  Y , g : Y  Z , h : Z  T Thế thì: (h  g )  f  h  ( g  f ) Nói cách khác, phép nhân ánh xạ có tính kết hợp Tính chất 1.2 Giả sử g : X  Y f : Y  Z Khi đó:  Nếu f g đơn ánh f  g đơn ánh  Nếu f g tồn ánh f  g toàn ánh  Nếu f g song ánh f  g song ánh 1.1.2 Hàm số Định nghĩa 1.5 Cho X tập khác rỗng tập số thực   Người ta gọi ánh xạ f : X  , x  f ( x) , hàm số biến số xác định tập hợp X, x gọi biến độc lập, y gọi biến số phụ thuộc hay hàm số x, X gọi miền xác định hàm số f, tập hợp f ( X )   y   | y  f ( x ), x  X  gọi miền giá trị f  Đồ thị hàm số: Giả sử hàm số y = f(x) có miền xác định X   Ứng với giá trị x0  X, ta giá trị y0 = f(x0) hàm số Gọi M0 điểm có toạ độ (x0;y0) hệ trục toạ độ đề - vng góc Cho x biến thiên tập hợp xác định X, điểm M biến thiên theo tạo nên đường cong mặt phẳng toạ độ Oxy, gọi đồ thị hàm số y = f(x) Nói cách khác đồ thị hàm số y = f(x) tập hợp điểm có toạ độ (x;y) thoả mãn hệ thức y = f(x) Định nghĩa 1.6  Hàm số đơn điệu: Hàm số f gọi tăng (hay đồng biến) khoảng (a;b) nếu: x1 x2  ( a; b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f gọi tăng ngặt khoảng (a;b) nếu: x1 x2  ( a; b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f gọi giảm (hay nghịch biến) khoảng (a;b) nếu: x1 x2  (a; b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f gọi giảm ngặt khoảng (a;b) nếu: x1 x2  ( a; b), x1  x2  f ( x1 )  f ( x2 ) Hàm số f gọi đơn điệu khoảng (a;b) hàm số f tăng giảm khoảng (a;b)  Hàm số chẵn, hàm số lẻ: Hàm số f xác định khoảng (-a;a) gọi chẵn nếu: x  ( a; a), f ( x)  f ( x) Hàm số f xác định khoảng (-a;a) gọi lẻ nếu: x  ( a; a), f ( x)   f ( x)  Hàm số tuần hoàn: Hàm số f gọi tuần hoàn tồn số thực p ≠ cho f(x+p) = f(x) Định nghĩa 1.7  Hàm số hợp: Cho hàm số f1 : X  Y , f : Y  Z Trong X , Y , Z tập hợp số nói chung Hàm hợp f1 f hàm số f : X  Z định nghĩa bởi: f ( x)  f ( f1 ( x)), x  X Có thể kí hiệu hàm hợp là: f  f  f1  Hàm số ngược: Giả sử f hàm số xác định tập hợp X   Khi f song ánh từ X lên f(X) =Y Do đó, phần tử yY ảnh phần tử x  X Quy tắc cho tương ứng phần tử y  Y phần tử x  X gọi hàm số ngược f kí hiệu f 1 79 Bước 2: Biến đổi phương trình dạng thích hợp f(a) = f(b) Từ hàm số f(t) khả vi liên tục [a; b] Khi theo định lí Lagrange ∃c (a; b) cho f '(c)  f (b)  f (a ) ba Bước 3: Giải phương trình f '(c)  f (b)  f (a ) tìm  ba Bước 4: Thử lại Ví dụ 2.63: Giải phương trình 3cos x  2cos x  cos x Lời giải: Phương trình 3cos x  2cos x  cos x  3cos x  3cos x  cos x  2cos x Giả sử phương trình có nghiệm  Khi ta có 3cos   3cos   2cos   2cos  Xét hàm số f (t )  t cos  t.cos  Khi phương trình 3cos   3cos   2cos  2cos   f  3  f   Vì f(t) khả vi liên tục [2;3], theo định lí Lagrange ∃c [2;3],   f  3  f    cos      k cos  cho f '  c     c  1 cos      3  cos     k 2 Thử lại: Thay     k   k 2 vào phương trình cho ta thấy phương trình nghiệm Vậy phương trình cho có nghiệm     k   k 2 , k   Ví dụ 2.64: Giải phương trình 1999 x  2.2002 x  2005 x  Lời giải: Gọi  nghiệm phương trình 1999 x  2.2002 x  2005x  Tức ta có: 1999  2.2002  2005   2005  2002  2002  1999 80  Xét hàm số f  t    t  3  t  , với t  [1999;2002]  1 f  t  liên tục có đạo hàm f '  t     t     t  1 Nên theo định lí Lagrange c  (1999;2002) thoả f '(c)  f (2002)  f (1999)  f '(c )  (vì f(1999) = f(2002)) 2002  1999  1 Từ ta có:   c  3     c 1      Vậy phương trình cho có nghiệm     Bài toán 2.17 Chứng minh bất đẳng thức Để chứng minh bất đẳng thức có dạng: Vế(I) < Vế(II) < Vế(III) ta thực theo bước sau: Định hướng giải: Bước 1: Biến đổi bất đẳng thức cần chứng minh thành dạng cho Vế (II) = f (b)  f (a) ba Bước 2: Chon hàm số f ( x) liên tục khả vi [a;b] Tính f '( x) Bước 3: Áp dụng định lí Lagrange cho hàm số f(x) đoạn [a; b] c  (a; b) : f '(c )  f (b)  f ( a) = Vế (II) ba Bước 4: Do c  ( a; b)  a < c < b  Vế (I) < f’(c) < Vế (III)  Vế (I) < Vế (II) < Vế (III) Ví dụ 2.65: Cho 0< a < b Chứng minh ba b ba  ln  b a a Lời giải: Ta có ba b ba ba ba  ln    ln b  ln a  b a a b a Xét hàm số: f ( x )  ln x với x  ( a; b) 81 Ta có f '( x )  tồn với x  (a; b) < a < b x Theo định lí Lagrange tồn c  (a ; b) cho: f (b)  f (a )  f '(c ).(b  a ) 1 ln b  ln a  ln b  ln a  (b  a )   c c ba Mặt khác: a < c < b nên  1   b c a ln b  ln a ba ba ba b ba     ln b  ln a  hay  ln  b ba a b a b a a Ví dụ 2.66: Cho n > 1, n ∈  Chứng minh : 1 1 1     ln n      n n 1 Lời giải: Xét hàm số f ( x )  ln x với x  ( n  1; n) , n > Ta có f '( x )  tồn x  ( n  1; n) , n > x Theo định lí Lagrange tồn số c  ( n  1; n ) cho: f (n )  f ( n  1)  f '(c ).[ n  (n  1)]  f '(c)  ln n  ln( n  1)  c Vì n   c  n nên 1 1   , hay  ln n  ln(n  1)  n c n 1 n n 1 Lần lượt thay n = 2, 3, 4, …, n ta được: 1 1  ln  ln1  1;  ln  ln  ; ;  ln n  ln( n  1)  n n 1 Cộng bất đẳng thức vế theo vế ta được: 1 1 1     ln  ln  ln   ln n  ln( n  1)      n n 1 82 Do 1 1 1     ln n      n n 1 2.7 TÍNH KHẢ TÍCH CỦA HÀM SỐ 2.7.1 Định nghĩa tích phân xác định a Bài tốn diện tích hình thang cong Cho hàm số y = f(x) xác định, liên tục, khơng âm đoạn [a; b] Hãy tính diện tích hình thang cong aABb giới hạn trục Ox, đường cong y  f ( x) hai đường x = a, x = b Chia tuỳ ý đoạn [a;b] thành n đoạn nhỏ điểm chia: a  x0  x1  x2   xi  xi 1   xn1  xn  b Từ điểm chia ấy, dựng đường thẳng vng góc với trục Ox Khi đó, hình thang cong aABb chia thành n hình thang cong nhỏ Diện tích hình thang cong nhỏ thứ I xem gần diện tích hình chữ nhật có kích thước xi  xi1  xi f (i ) , với i điểm [xi; xi+1] Do đó, diện tích S hình thang cong aABb gần bằng: n 1 Sn  f (0 )x0  f (1 ) x1   f ( n1 ) xn 1   f (i )xi i 0 Dễ thấy rằng, độ dài đoạn nhỏ xi nhỏ khác S Sn Do đó, diện tích S hình thang cong aABb xem n 1 giới hạn tổng Sn max xi  0: S  lim max xi 0 Giới hạn có vai trị quan trọng tốn học  f ( )x i i i 83 b Định nghĩa tích phân xác định Cho hàm số f(x) xác định bị chặn đoạn [a; b] Chia cách tuỳ ý đoạn [a; b] điểm chia: a  x0  x1  x2   xi  xi 1   xn1  xn  b Trên đoạn nhỏ [xi; xi+1], lấy điểm  i lập tổng: n 1 I n  f ( ) x0  f (1 ) x1   f ( n1 ) xn 1   f (i )xi i 0 Nếu n   cho max xi  , In dẫn tới giới hạn xác định I không phụ thuộc vào cách chia [a; b] cách chọn điểm i đoạn [xi; xi+1] giới hạn gọi tích phân xác định hàm số f ( x) đoạn [a; b], kí hiệu  b a f ( x).dx Khi đó, ta nói hàm số f(x) khả tích đoạn  a; b  ;  a; b  gọi khoảng lấy tích phân, a cận dưới, b cận trên, x biến số lấy tích phân, f(x) hàm số dấu tích phân, f(x).dx biểu thức dấu tích phân Người ta chứng minh rằng: Nếu hàm số f(x) liên tục đoạn [a; b], hàm số f ( x ) bị chặn có số hữu hạn điểm gián đoạn [a; b] khả tích [a; b] Trở lại tốn tính diện tích hình thang cong giới hạn trục Ox, đường cong y  f ( x) hai đường thẳng x = a, x = b, ta có: b S   f ( x ).dx a Lưu ý: + Tích phân xác định phụ thuộc vào hàm số f ( x) cận lấy tích phân mà khơng phụ thuộc vào biến số lấy tích phân Do đó:  b a b f ( x).dx   f (t ).dt a 84 + Khi đưa vào khái niệm tích phân xác định, ta giả thiết a < b Bây mở rộng khái niệm tích phân xác định cho hai trường hợp a ≥ b, ta có định nghĩa sau:  b a a f ( x).dx    f ( x).dx (a>b)  b a a f ( x).dx  c Các tính chất tích phân xác định Ta thừa nhận tính chất sau: 1) Nếu f g hai hàm khả tích đoạn [a; b]  f   g khả tích đoạ [a; b] (α,β số)  b a b b a a ( f ( x)   g ( x))dx    f ( x) dx    g ( x) dx 2) Cho đoạn [a; b], [a; c] [c; b] Nếu f(x) khả tích đoạn có độ dài lớn khả tích hai đoạn cịn lại  b a c b a c f ( x) dx   f ( x) dx   f ( x)dx 3) Giả sử f(x) khả tích [a; b] Nếu f ( x )  0, x  [a; b], a  b Nếu f ( x)  0, x  [a; b], a  b  b a  b a f ( x) dx  f ( x) dx  b b a a 4) Nếu f ( x)  g ( x), x  [ a; b]  f ( x) dx   g ( x) dx 5) Nếu f(x) khả tích [a; b] , |f(x)| khả tích [a; b]  b a b f ( x ) dx   f ( x) dx a 6) Nếu m M tương ứng hai giá trị lớn nhỏ hàm số b f ( x) đoạn [a; b] , a < b m(b  a)   f ( x) dx  M (b  a) a 7) Giả sử f(x) liên tục đoạn [a; b], F(x) nguyên hàm f(x) Khi  b a b f ( x) dx  F (b)  F ( a)  F ( x) a 85 2.7.2 Các dạng ứng dụng tính khả tích Dạng 1: Tính diện tích hình phẳng Bài tốn 2.18 Cho hai hàm số y1 = f(x), y2 = g(x) liên tục đoạn [a; b] có đồ thị (C1) (C2) Diện tích hình phẳng giới hạn (C1) (C2) hai đường thẳng x = a, x = b xác định công thức: b S=  | f ( x)  g ( x) | dx a Định hướng giải: Bước 1: Giải phương trình f(x) = g(x) b + Nếu phương trình (1) vơ nghiệm S =  | f ( x)  g ( x ) | dx Bước 2: a + Nếu phương trình (1) có nghiệm thuộc đoạn [a;b] giả sử α,β  S=  b  | f ( x)  g ( x) | dx   | f ( x)  g ( x) | dx   | f ( x)  g ( x) | dx a   Ví dụ 2.67: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường y = x, y = – x2 86 Lời giải: Cận tích phân nghiệm phương trình hồnh độ giao điểm x = – x2 Phương trình có nghiệm x = -2, x =1 Vậy diện tích hình phẳng S =  ((2  x )  x)dx  2 x2 y2 Ví dụ 2.68: Tính diện tích hình (E):   a b Lời giải: Xét phương trình tham số (E): x = acost, y = bsint,  t  2 Khi x đoạn [0; a] tham số t thay đổi từ  đến Ta có  S  4S1  4 b sin t.( a sin t ) dt     4ab  sin t.dt  ab. (1  cos 2t ) dt  ab (t  sin2t )   ab 0 87 Ví dụ 2.69: Tính diện tích hình phẳng giới hạn đường: y  x , y x2 27 , y x Lời giải: x2 27 Đồ thị hàm số (P1): y  x , (P2): y  , (H): y  hình vẽ x Phương trình hồnh độ giao điểm (P1) (H): x2  27  x  x Suy A(3;9) Phương trình hồnh độ giao điểm (P2) (H): x 27   x  x Suy A(6; )  x2   27 x  Diện tích cần tìm là: S  S1  S    x   dx     .dx  27 ln  x  0 3 Ví dụ 2.70: Chứng minh (P) thay đổi Parabol (P): y  x2  cắt đường thẳng (d): y  mx  hai điểm phân biệt Hãy xác định tham số 88 m cho phần diện tích hình phẳng giới hạn đường thẳng Parabol nhỏ Lời giải: Ta có phương trình hồnh độ giao điểm (P) (d) là: x   mx   x  mx   Phương trình có   m2   0, m Vậy với m (d) cắt (P) hai điểm phân biệt A, B có hồnh độ x1 , x2 Diện tích hình phẳng S : x2 x2  mx x  S   ( mx   x  1) dx     x   x1 x1 m   ( x23  x13 )  ( x2  x12 )  x2  x1  Vậy diện tích nhỏ m  4  m  Dạng Tính thể tích vật thể trịn xoay Thể tích vật thể: Cắt vật thể T hai mặt phẳng (P) (Q) vng góc với trục Ox x = a, x = b (a < b) Một mặt phẳng tuỳ ý vng góc với Ox điểm x (a  x  b) cắt T theo thiết diện có diện tích S(x) Giả sử S(x) liên tục [a; b] Khi thể tích V phần vật thể T giới hạn hai mặt b phẳng (P), (Q) tính theo cơng thức: V   S ( x).dx a 89 Giả sử hình phẳng giới hạn đường y = f(x), x =a, x = b y = quay quanh trục Ox (hình a) Hình trịn S(x) có bán kính R = y, S(x) = πy2 b V    y dx a (Hình a) (Hình b) Thể tích hình phẳng giới hạn: x = g(y), x =0, y = a, y= b quay quanh trục b Oy (hình b): V    x dy a Thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox (hình c): y1 = f(x), y2=g(x), 0≤y1≤y2, ∀x∈[a;b]: b V    ( y2  y12 ) dx a Thể tích vật thể hình phẳng giới hạn hai đường cắt quay quanh Ox (hình d): y1 = f(x), y2=g(x), y1≤y2≤0, ∀x∈[a;b]: b V    ( y12  y2 )dx a (Hình c) (Hình d) 90 Ví dụ 2.71: (Trích đề thi đại học cao đẳng năm 2007) Cho (H) hình phẳng giới hạn đường y  x.ln x, y  x  e Tính thể tích vật thể trịn xoay sinh hình (H) quay quanh trục Ox Lời giải: x  Xét phương trình: x.ln x     x  ln x  e Thể tích vật thể cần tìm: V    x ln x.dx  du  ln x.dx  u  ln x  x Xét I   x ln x.dx Đặt    dv  x dx v  x  e e e e  x3  2 Khi I   x ln x.dx   ln x    x ln x.dx  e3  J 3  1 1 2  du  dx  u  ln x x Xét J   x ln x.dx Đặt    dv  x dx v  x  e e e  x3  1e 1 e Khi J   x ln x.dx   ln x    x dx  e3  x  e3  9  1 1 Vậy I   e  Suy V  (5e3  2) 27 27 27 Ví dụ 2.72: (Trích đề thi ĐHSP Hà Nội 1999) Cho hình phẳng (D) giới hạn đường y  x , y  x, x  Tính thể tích vật thể khối trịn xoay tạo thành quay hình (D) quanh trục Ox Lời giải: 91 x  x  x x  x 1 x  x Xét phương trình Khi đó: 5  x x3   x3 x  V    ( x  x ).dx    ( x  x).dx            0  1 2  x x3   x3 x  59           0  1 92 KẾT LUẬN Trong luận văn Hàm số thực ứng dụng vào giải toán sơ cấp khảo sát vấn đề sau: Tìm hiểu giới thiệu kiến thức hàm số, ánh xạ, tính đơn điệu hàm số, cực trị hàm số, tính liên tục, tính khả vi, tính khả tích hàm số Ứng dụng tính chất hàm số để giải số ví dụ tính đơn điệu, cực trị, xác định GTLN, GTNN, xác định tính liên tục, xác định tính khả vi, khả tích hàm số Luận văn giới thiệu số dạng toán đề thi tuyển sinh Đại học, Cao đẳng có sử dụng tính chất hàm số thực để giải Các kết luận văn góp phần nâng cao chất lượng dạy học tốn giải tích bậc THPT, nhằm phát triển tư toán cho học sinh đặc biệt cho học sinh chun Tốn có tư liệu tham khảo bổ ích 93 TÀI LIỆU THAM KHẢO [1] Lê Quang Ánh, Nguyễn Thành Dũng, Trần Thái Hùng (1995), Các chuyên đề luyện thi đại học hàm số, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [2] Nguyễn Cam (2004), Giải Toán Đạo Hàm Và Khảo Sát Hàm Số , Nhà Xuất Bản Đại học quốc gia Hà Nội [3] Nguyễn Viết Đông, Lê Thị Thiên Hương, Nguyễn Anh Tuấn, Lê Anh Vũ (2009), Toán Cao Cấp tập 1, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [4] Trần Tuấn Điệp, Ngô Long Hậu, Nguyễn Phú Trường (2012), Giới thiệu đề thi Đại học Cao đẳng toàn quốc từ năm học 2002 – 2003 đến năm học 2012 – 2013 mơn Tốn, Nhà Xuất Bản Hà Nội [5] Lê Hồng Đức (2004), Phương pháp giải tốn giải tích, Nhà Xuất Bản Giáo Dục [6] Trần Văn Hạo (2009), Chuyên Đề Luyện Thi Vào Đại Học - Khảo Sát Hàm Số, Nhà Xuất Bản Giáo Dục Việt Nam [7] Võ Đại Mau (1997), Phương pháp giải toán khảo sát hàm số, Nhà Xuất Bản Trẻ TP Hồ Chí Minh [8] Nguyễn Văn Mậu (2004), Phương pháp giải phương trình, bất phương trình, Nhà Xuất Giáo dục [9] Đồn Quỳnh (2010), Giải tích 12 nâng cao, Nhà Xuất Bản Giáo dục [10] Lê Anh Vũ (2002), Các dạng đề thi đại học cao đẳng, Nhà Xuất Bản Giáo dục ... PGS.TS.Trần Đạo Dõng, chọn đề tài “HÀM SỐ THỰC VÀ CÁC ỨNG DỤNG VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP” làm đề tài luận văn thạc sĩ Trong luận văn này, trước hết giới thiệu ánh xạ hàm số, hàm số thể chương trình Tốn bậc... GIỚI THIỆU CÁC HÀM SỐ TRONG CHƯƠNG TRÌNH TỐN PHỔ THƠNG TRUNG HỌC CHƯƠNG 2: ỨNG DỤNG CÁC TÍNH CHẤT CỦA HÀM SỐ VÀO GIẢI TOÁN SƠ CẤP 17 2.1 TÍNH ĐƠN ĐIỆU CỦA HÀM SỐ ... thiệu ánh xạ hàm số 1.2 Giới thiệu hàm số chương trình tốn phổ thơng trung học Chương Ứng dụng tính chất hàm số vào giải tốn sơ cấp 2.1 Tính đơn điệu hàm số 2.2 Cực trị hàm số 2.3 Giá trị nhỏ